杜學才，周 輝，郭鵬云，劉文博，謝 靜，趙成偉

(1.云南省滇中引水工程有限公司，昆明 650000； 2.中國科學院武漢巖土力學研究所 巖土力學與工程國家重點實驗室，武漢 430071； 3.中國科學院大學，北京 100049)

1 研究背景

巖石流變性質也是其力學性質的重要組成部分之一， 為了保證引水隧洞施工安全與運營期間的長期穩(wěn)定性， 就需要對流變性質進行研究[1-2]。 大量的工程實踐表明， 引水隧洞的襯砌失穩(wěn)和圍巖變形破壞并不是在開挖之后立即發(fā)生， 而在圍巖-襯砌結構內部應力不斷重新分配、 調整的過程中發(fā)生， 即圍巖-襯砌結構的變形和穩(wěn)定性與時間有關[3]。 同時， 現(xiàn)場原位試驗和室內試驗表明了巖石的應力-應變關系是非線性的且其自身也不是理想的變形體， 故巖石的流變模型方程也是一個非線性的關系[3-5]。 因此， 構建一個合適、 科學的流變模型來描述巖石的流變力學性質是非常有必要的，也是現(xiàn)階段流變力學理論研究的重點與難點。

近些年，國內外學者在引水隧洞圍巖變特性研究方面取得了豐碩的成果。例如，張明珠等[6]建立了圍壓、溫度和時間三因素影響的本構模型，并通過試驗數(shù)據和模型曲線的對比驗證了所建立時效性模型的正確性。林韓祥等[7]分析了應力和時間雙重影響作用下粉質巖石的蠕變性質，并通過引入開關函數(shù)對伯格斯模型進行了修正，得到了可描述蠕變全過程曲線的非線性模型。韓佳偉[8]以新疆ABH輸水隧洞圍巖為研究對象，開展了膨脹泥巖的蠕變時間和構建了相應的模型，并將其應用到工程數(shù)值計算中來分析考慮蠕變效應圍巖的長期穩(wěn)定性。Sun等[9]以深井巷道工程為研究背景，提出了花崗巖非線性蠕變損傷與應變軟化耦合機制，并建立花崗巖非線性蠕變損傷與應變軟化耦合模型。Wei等[10]基于分數(shù)階微積分理論，探究了蠕變元件隨分數(shù)階階次變化的蠕變曲線特征，構建了基于分數(shù)階微積分的巖石非線性黏彈塑性蠕變模型和推導了蠕變本構方程。上述研究對于蠕變參數(shù)的確定方法都是采用最小二乘法，且對蠕變參數(shù)與應力等條件關系的描述也少，只是簡單地確定出蠕變參數(shù)與開展模型驗證。只有通過分析蠕變參數(shù)與試驗條件的變化規(guī)律才可以更好地揭示巖石蠕變變形破壞機制。

因此，本文將從探索如何確定蠕變模型參數(shù)著手，通過建立蠕變模型與試驗曲線之間的一一對應的關系，建立一種新型的可描述巖石蠕變曲線本構模型，且分析蠕變參數(shù)與時間、應力等因素的關系，探討蠕變參數(shù)變化規(guī)律與蠕變變形機制的關系，進一步揭示隧洞圍巖的蠕變破壞機理。

2 滇中引水工程麗江2#隧洞圍巖蠕變試驗

2.1 工程概況

2#施工支洞布置于白漢場槽谷西側山體內，與主洞交接點樁號DLⅠ12+100，以斜井形式布置，洞口開挖后斜井長約1 234 m，進口底板高程約2 372 m，與主洞交匯處底板高程約2 020.90 m，底板坡角17.65°，洞軸向為N17°E。支洞與槽谷呈小角度斜交，沿線地面高程2 350～2 508 m，高差約132 m，地形坡角9°～34°，地形起伏不大，線路地表分布有吾都克溝和本木灣溝，均向白漢場槽谷排泄，僅雨季有水。支洞進口位于白漢場槽谷西側吾都克溝溝口，地形坡角34°～57°，總體下陡上緩，自然邊坡穩(wěn)定。2#施工支洞洞室Ⅴ類圍巖長239 m，占支洞長度的19.2%，Ⅳ類圍巖長620 m，占支洞長度的50.1%，Ⅲ類圍巖長380 m，占支洞長度的30.7%；2#施工支洞Ⅳ、Ⅴ類圍巖累計約占69.3%，洞室圍巖穩(wěn)定問題突出。

為分析隧洞圍巖對其穩(wěn)定性的影響，通過現(xiàn)場深部取樣，在室內開展泥質粉巖石的三軸蠕變試驗。所取巖石試樣的樁號為DLI BK0+057.2—058，經后期檢測后得知該巖石類型為綠泥頁巖。通過現(xiàn)場巖石簡單切割成塊后運回武漢實驗室再進行精加工。根據國際巖石力學學會要求，室內試驗巖石試樣的尺寸為高h=100 mm，直徑D=50 mm的標準圓柱體，如圖1所示，需要將表面具有明顯裂隙的試樣剔除，且采用超聲波探測出巖石的波速后，選取波速較為一致的巖石作為同一組。

圖1 巖石試樣Fig.1 Rock specimens

2.2 巖石單軸力學特性試驗

本文所采用的試驗設備為中國科學院武漢巖土力學研究所自主研制的實時高溫常規(guī)三軸試驗系統(tǒng)(圖2)，該設備參數(shù)如下：圍壓可到100 MPa，壓力控制精度<0.01 MPa，主要包括圍壓室、軸壓室、測試室、圍壓閉環(huán)伺服計量泵、軸壓閉環(huán)伺服計量泵等，且壓力控制有兩種：流量控制和恒壓控制。

圖2 巖石試驗系統(tǒng)實物Fig.2 Rock test system

單軸壓縮試驗的試驗步驟為[11]：

(1)將軸向位移傳感器和鏈式橫向位移傳感器安裝在試樣表面，緩緩放下加載倉且在加載倉充滿液壓油。

(2)為了防止巖石在加載過程突然破壞和軸向傳感器平穩(wěn)，需在施加軸向應力之前設置位移上限安全值和施加一個預應力。

(3)以1 mL/min的油量加載速率施加軸向應力，直至應力-應變曲線出現(xiàn)殘余應變階段。

(4)將測得數(shù)據進行保存，卸載圍壓后卸載軸向應力。

(5)取出已經破壞巖石試樣，進行標記后存放。

根據試驗數(shù)據繪制出巖石的軸向和徑向應力-應變曲線如圖3所示。

由圖3可知，軸向應力-應變曲線存在明顯的壓密變形階段，但是在達到峰值強度后應力開始了快速下降，這是由于單軸試驗無徑向圍壓的約束，當施加在巖石端部外荷載的大小超過了巖石自身的極限強度時，巖石就會失去抵抗變形的能力，從而較快地失去承載力。因此，在實際隧洞施工中應該避免圍巖處于單向受力的狀態(tài)，應該及時支護，使得工程不會出現(xiàn)不必要的經濟損失和人員傷亡。

2.3 巖石單軸蠕變特性試驗

為了使得蠕變時間相對縮短，施加的蠕變第一級荷載不能太小，根據文獻[12]可知，現(xiàn)在對于蠕變試驗應力初始水平普遍選取單軸試驗巖石峰值強度的50%，這樣不僅保證了巖石蠕變時間的相對縮短，也保證蠕變試驗數(shù)據的正確性。開展單軸壓縮試驗后獲取巖石的峰值強度，現(xiàn)設置蠕變試驗方案和步驟如下[12]：

(1)單軸試驗的峰值強度為76.14 MPa；為了后續(xù)施加荷載的方便，本文第一級應力水平值設置為38 MPa，以后每一級應力水平增加8 MPa(取峰值強度的10%)。

(2)待第一級應力水平持續(xù)施加后，蠕變變形由衰減蠕變進入到穩(wěn)定后，測得每2 h的應變變形值<0.002 mm時，即認為該荷載作用下巖石的蠕變變形達到了穩(wěn)定，開始施加下一級荷載，直至巖石發(fā)生蠕變變形破壞。

(3)待所有蠕變試驗結束后，以每隔5 s來保存試驗數(shù)據。

(4)將破壞后試樣取出編號保存。

根據試驗數(shù)據繪制出巖石的蠕變歷時曲線如圖4所示。

圖4 巖石的蠕變歷時曲線Fig.4 Creep duration curves of rock

由圖4可知，巖石的蠕變變形經歷了5級應力水平，隨著應力水平的不斷增大，巖石的瞬時應變值也是不斷增大的，這說明了應力對于巖石的荷載作用產生的損傷是不斷累積的，但是瞬時應變占總應變比值的變化規(guī)律卻呈現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢，這主要是由于巖石在受到的荷載加載初始時刻，還處于空隙壓密實階段，此時空隙變形提供的瞬時應變要遠遠大于后期裂隙等缺陷變形提供的瞬時應變。巖石在應力為38、46、54、62和70 MPa時的瞬時應變?yōu)?.057 8%、0.097%、0.152%、0.236%和0.323%，總的應變分別為0.059%、0.101%、0.155%、0.237%和0.436%，瞬時應變占總應變的百分比分別為0.966%、0.962%、0.983%、0.9957%和0.741%。隨著應力的不斷增大，巖石的蠕變變形也是不斷非線性增大的，說明了應力對于巖石的荷載作用產生的蠕變損傷也是不斷累積的，但是蠕變應變占總應變的比值的變化規(guī)律卻是呈先減小后增大的變化趨勢，這主要是由于前期巖石空隙壓密實提供的瞬時應變要遠遠大于巖石自身在荷載作用下產生的蠕變變形，后期巖石的瞬時應變占總應變的百分比也是下降的，故蠕變變形占總應變的比例開始逐漸增大，巖石在應力為38、46、54、62和70 MPa時的蠕變應變?yōu)?.002 02%、0.003 82%、0.002 66%、0.001%和0.112 88%，總應變分別為0.059%、0.101%、0.155%、0.237%和0.436%，蠕變應變占總應變的百分比分別為3.38%、3.79%、1.71%、和25.88%。

3 滇中引水隧洞圍巖的蠕變模型

通常采用傳統(tǒng)模型可以進行較好地描述蠕變過程，其中伯格斯模型可以較好地描述巖石的衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變[13]，其力學模型如圖5所示。

圖5 伯格斯模型Fig.5 Burgers model

根據流變模型理論，伯格斯模型在一維狀態(tài)下可以表示為

(1)

式中：E1為彈性模量；E2為黏彈性體的彈性模量；η1、η2均為黏滯性系數(shù)；ε為應變；σ為應力。

為了描述巖石在加速蠕變變形特性，引入文獻[14]中非線性黏壺元件，其表達式為

(2)

式中：εnl為非線性黏壺的應變；ηnl為非線性黏壺的黏滯性系數(shù)；t*為巖石進入加速蠕變階段的時刻。

根據流變模型理論，在一維狀態(tài)下蠕變模型總應變ε滿足如下條件[15-16]，即

ε=εe+εve+εvp+εnl。

(3)

式中：εe為彈性應變；εve為黏彈性應變；εvp為黏塑性應變。

根據廣義胡克定律彈性應變εe可以表示為

(4)

巖石的黏彈性應變εve為

(5)

巖石的黏塑性應變εvp為

(6)

聯(lián)立式(2)—式(6)可得

當t

(7)

當t≥t*時，

(8)

為了更好地計算蠕變模型參數(shù)與應力之間的關系，將上述改進后蠕變模型與經典蠕變曲線各個階段相對應，使得瞬時應變、衰減蠕變、穩(wěn)定蠕變和加速蠕變都有相對應的蠕變元件，如圖6所示。

圖6 經典蠕變曲線與模型元件的對應關系Fig.6 Correspondence between classical creep curve and model elements

由圖6可知，可以采用彈性元件來描述巖石在加載蠕變過程中的瞬時應變，即可以通過式(4)來確定出彈性體的彈性模量E1。

當巖石蠕變進入到穩(wěn)定蠕變階段時，巖石黏彈性蠕變變形隨著時間的增長只是永久變形，則巖石在穩(wěn)定蠕變時的蠕變值為衰減蠕變和瞬時應變之和[17-18]，即

(9)

式中E2∞為時間趨近于無窮時的黏彈性體彈性模量。

當穩(wěn)定蠕變曲線上任意取兩點，得到：

(10)

(11)

式中：εi、εj分別為時間為ti、tj的應變；η1i、η1j分別為時間為ti、tj的黏滯系數(shù)。

聯(lián)立式(10)和式(11)可得

(12)

假設在時間ti附近小區(qū)間內取得時間tj，且認為蠕變參數(shù)保持不變[19-20]，即由式(12)可得

(13)

取上述的平均值作為非線性黏壺的黏滯性系數(shù)，即

(14)

式中n為時間點的個數(shù)。

由上述分析可知，對于加速蠕變變形可近似采用式(10)計算彈性模量E2i，即

(15)

式中E2i為時間ti時的E2取值。

取上述的平均值作為黏彈性體的彈性模量，即

(16)

巖石的穩(wěn)定蠕變應變可以通過試驗數(shù)據確定，故巖石穩(wěn)定蠕變時間t可以表示為

(17)

巖石的黏彈性應變值εve、蠕變時間t和應力σ也可以通過試驗確定，可以確定黏彈性體黏滯性系數(shù)η2為

(18)

將式(7)和式(8)進行關于時間t的一階導數(shù)，得到巖石的蠕變速率為

(20)

由式(20)可得

(21)

綜上所述，得到了一種確定蠕變參數(shù)的方法，該方法可以結合巖石的蠕變試驗數(shù)據，確定不同應力下的蠕變參數(shù)值；將蠕變參數(shù)值代入修正后的蠕變模型，得到該條件下巖石的模型蠕變曲線，可將模型蠕變曲線與試驗蠕變曲線進行對比，驗證所提出的蠕變參數(shù)確定方法的正確性。此外，該模型可用于預測隧道圍巖的長期變形；同時，通過應力與蠕變參數(shù)的變化規(guī)律，可以進一步探索巖石的蠕變變形機制。

4 不同應力作用下蠕變參數(shù)的變化規(guī)律

4.1 彈性體彈性模量E1

由式(9)計算得到巖石在不同應力作用下的彈性體彈性模量數(shù)值，繪制出彈性體彈性模量與應力的關系如圖7所示。

圖7 彈性體彈性模量與 應力的關系Fig.7 Relationship between elastic modulus and stress of elastomer

由圖7可知，隨著蠕變應力水平的不斷增大，隧洞圍巖蠕變模型中彈性體彈性模量E1呈現(xiàn)出近乎線性減小的趨勢，這也說明了蠕變應力的增大使得巖石內部損傷也是不斷增大的。

4.2 黏彈性體彈性模量E2和黏滯性系數(shù)η2

由式(16)和式(18)計算得到巖石在不同應力作用下的黏彈性體彈性模量和黏滯性系數(shù)，繪制出黏彈性體彈性模量和黏滯性系數(shù)與應力的關系如圖8所示。

圖8 σ/E2和E2/η2與應力的關系Fig.8 Relations of σ/E2 (ratio of stress to elastic modulus of elastoplastic body) and E2/η2 (ratio of elastic modulus to viscosity coefficient) against stress

由圖8可知，隨著蠕變應力水平的不斷增大，隧洞圍巖蠕變模型中應力與黏彈性體彈性模量比值σ/E2和黏彈性體彈性模量與黏滯性系數(shù)的比值E2/η2都呈現(xiàn)出不斷增大的趨勢，這是由于只有當時間趨于無窮大時，黏彈性蠕變變形才可以取到該極限值σ/E2，該值越大也代表了巖石的黏彈性蠕變變形越大，尤其在破壞應力水平下蠕變變形遠大于其他應力水平作用下的蠕變變形，也說明了當蠕變變形進入加速蠕變變形階段后，巖石的黏彈性蠕變變形變化趨勢也會更加穩(wěn)定。作為控制黏彈性應變的E2/η2越大，黏彈性蠕變變形也就越大。

4.3 牛頓黏壺黏滯性系數(shù)η1

由文獻[21]可知，蠕變參數(shù)與蠕變時間相關，取t為t1、t2、t3、…、ti，則在各時刻附近的小區(qū)間內，可近似認為蠕變參數(shù)不變，故在本文在確定黏滯性系數(shù)η1時，假定黏滯性系數(shù)在時間ti附近小區(qū)間內取得時間tj，也可以認為蠕變參數(shù)保持不變。為了驗證本文上述假設的合理性與正確性，采用最小二乘法來確定該系數(shù)，與本文所提出方法確定的黏滯性系數(shù)相對比，進一步確保黏滯性系數(shù)η1的合理性。繪制出不同應力作用下最小二乘法確定黏滯性系數(shù)與本文方法確定黏滯性系數(shù)對比如圖9所示。

圖9 不同應力作用下最小二乘法與本文方法確定 的黏滯性系數(shù)對比Fig.9 Comparison of viscosity coefficient determined by the least squares method and the proposed method under different stresses

由圖9可知，不同應力作用下最小二乘法確定的黏滯性系數(shù)與本文方法確定的黏滯性系數(shù)都較為接近，且兩種方法確定的黏滯性系數(shù)與應力的關系基本一致，σ/η1的變化規(guī)律都呈現(xiàn)為非線性增大趨勢。上述結果同時也證明了上述變化規(guī)律值是合理的。

因此，由式(14)計算得到巖石在不同應力作用下的牛頓黏壺黏滯性系數(shù)，繪制出牛頓黏壺黏滯性系數(shù)與應力的關系如圖10所示。由圖10可知，隨著蠕變應力水平的不斷增大，σ/η1都呈現(xiàn)出不斷增大的趨勢，這是由于該比值反映了巖石的黏塑性應變，隨著蠕變應力的增大，其黏塑性應變也非線性增大。

圖10 σ/η1與應力的關系Fig.10 Relationship between σ/η1 (ratio of stress to viscosity coefficient of Newtonian dashpot) and stress

4.4 非線性黏壺黏滯性系數(shù)ηnl

由于本文中加速蠕變曲線只有一組，且蠕變加載方法采用單試件逐級加載的方法，無法得到多組具有加速蠕變的曲線，故只能通過式(21)計算得到巖石非線性黏壺黏滯性系數(shù)ηnl。后續(xù)研究中會采用單試件分別加載的方法來開展蠕變試驗，爭取獲得不同應力作用下非線性黏壺黏滯性系數(shù)ηnl，進一步分析其與應力之間的關系，進而為揭示加速蠕變變形破壞機制作鋪墊。

5 模型驗證

上述蠕變參數(shù)與應力之間都存在關系，根據擬合曲線與試驗數(shù)據得到該關系的表達式，即：

E1=-1.366σ+113.097,R2=0.931 ;

(22)

σ/E2=1.172×10-4exp(σ/5.378)+81.003 ,

R2=0.943 ;

(23)

E2/η2=0.026exp(σ/41.300)+0.221 ,

R2=0.963 ;

(24)

σ/η1=1.152exp(σ/13.483)+1715.615 ,

R2=0.974 。

(25)

將式(22)—式(25)代入式(7)中，得到考慮應力影響的蠕變模型方程為

(26)

根據式(26)繪制出模型曲線與試驗數(shù)據的對比如圖11所示。

圖11 模型曲線與試驗數(shù)據的對比Fig.11 Comparison between model curve and test data

由圖11可知，在不同蠕變應力作用下模型曲線和試驗數(shù)據的變化規(guī)律較為一致，且兩者之間的相關性系數(shù)均達到0.90以上，這說明了采用本文提出確定蠕變參數(shù)的方法是合適可行的。同時，加速蠕變曲線與試驗數(shù)據吻合度也較高，但是在局部區(qū)域曲線和數(shù)據也存在較大的離散性，這也側面說明了本文所建立模型可以描述加速蠕變變形規(guī)律。最后，上述應力與蠕變參數(shù)之間的變化規(guī)律代入到蠕變模型方程中，也使得模型較好地考慮了應力對蠕變參數(shù)的影響作用。

同理，采用上述提出確定蠕變參數(shù)的方法對巖石徑向蠕變參數(shù)與應力的關系進行分析，得到徑向模型曲線與試驗數(shù)據的對比如圖12所示。

圖12 徑向模型曲線與試驗數(shù)據的對比Fig.12 Comparison between radial model curve and test data

由圖12可知，所建立的蠕變模型與衰減蠕變階段的試驗數(shù)據更加吻合，也說明了本文提出確定蠕變參數(shù)方法的合理性和正確性。

6 結 論

(1)基于改進伯格斯模型和經典的蠕變曲線特征，提出的蠕變參數(shù)的確定方法是基于理論研究和試驗方法的相結合，該方法為巖石蠕變力學的研究提供了一種思路。

(2)該方法確定的蠕變參數(shù)不僅可以反映應力對蠕變參數(shù)的影響，還可以有效反映應力狀態(tài)對蠕變變形規(guī)律的影響；同時，修正后的模型可以實現(xiàn)對加速蠕變變形規(guī)律的預測，所需的試驗次數(shù)大大減少，為實際應用提供了方便。

(3)建立的蠕變模型不僅準確反映了衰減和穩(wěn)定蠕變階段的蠕變特征，而且克服了傳統(tǒng)西原模型難以描述加速蠕變的缺點?？傮w而言，該模型具有更高的擬合度和適用性。