童新如，蔣海軍,2?，陳向勇

(1.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017；2.伊犁師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 伊寧 835000；3.臨沂大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，山東 臨沂 276005)

0 引言

謠言是指沒(méi)有相應(yīng)的事實(shí)依據(jù)而被捏造出來(lái)的一種言論.而網(wǎng)絡(luò)又是自由交流的平臺(tái),于是越來(lái)越多的網(wǎng)絡(luò)謠言出現(xiàn)在人們的生活里.在信息全球化時(shí)代,謠言不再受制于時(shí)間與空間,任意一條網(wǎng)絡(luò)謠言都可能在全世界范圍內(nèi)實(shí)時(shí)大量的傳播,從而擾亂正常的生活秩序,以至于帶來(lái)一系列的負(fù)面影響[1?2].例如一些人在網(wǎng)上散布謠言稱生活必需品的價(jià)格將大幅上漲,以至于一些市民搶購(gòu)生活用品從而造成市場(chǎng)混亂.類似的事件層出不窮,這些事實(shí)都告誡我們:由于網(wǎng)絡(luò)謠言越來(lái)越多且影響惡劣,因此研究網(wǎng)絡(luò)謠言的傳播機(jī)制進(jìn)而控制謠言具有重要意義.

謠言傳播與傳染病傳播有很多相似的地方.一直以來(lái),謠言傳播模型大多借鑒了傳染病模型的成果.最為經(jīng)典的謠言傳播動(dòng)力學(xué)可以追溯到1965年Daley和Kendall所提出的DK模型[3],以及Maki和Thompson所提出的MT模型[4].盡管DK模型和MT模型只適用于描述傳統(tǒng)口口相傳的小范圍謠言傳播過(guò)程,不能完全反映謠言傳播的現(xiàn)實(shí)特征,也沒(méi)有考慮到網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)謠言傳播的影響,但它們卻為后來(lái)研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的謠言傳播提供了研究框架和一定的理論基礎(chǔ).

近年來(lái),國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者利用數(shù)學(xué)模型對(duì)謠言傳播進(jìn)行了定性描述,并且給出了謠言消除或盛行的閾值條件.此外,關(guān)于謠言傳播的分析,學(xué)者們主要做了以下兩方面研究:一方面,隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的快速發(fā)展,越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始研究網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)謠言傳播的影響[5?7].值得注意的是,Zanette首次將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論引入到謠言傳播模型中,并建立了小世界網(wǎng)絡(luò)中的謠言傳播模型[8?9].研究表明,網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)謠言的傳播有顯著的影響.此后,越來(lái)越多的學(xué)者將謠言傳播的動(dòng)態(tài)行為與網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮卣髀?lián)系起來(lái),進(jìn)一步提出了基于不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的謠言傳播模型來(lái)闡明謠言在不同環(huán)境下的傳播過(guò)程[10?12].另一方面,為了進(jìn)一步地了解謠言在現(xiàn)實(shí)世界中的傳播動(dòng)態(tài),許多學(xué)者考慮了各種各樣的謠言傳播機(jī)制,如信任機(jī)制[13]、遺忘機(jī)制[14]、潛伏機(jī)制[15]、懷疑機(jī)制[16]等.不可否認(rèn),網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和各種各樣的傳播機(jī)制在謠言的傳播過(guò)程中發(fā)揮著重要作用.

值得指出的是,猶豫機(jī)制在謠言傳播過(guò)程中也起著重要作用.最近,為了研究猶豫機(jī)制對(duì)謠言傳播的影響,Liu等建立了具有猶豫機(jī)制的謠言傳播模型[17]，并指出個(gè)體在面對(duì)謠言時(shí)一般具有猶豫的心理.然而,在真實(shí)的謠言傳播過(guò)程中,人們面對(duì)謠言時(shí)往往不僅會(huì)猶豫,而且還會(huì)表現(xiàn)出不同的個(gè)體行為,即當(dāng)謠言易感個(gè)體聽(tīng)到謠言后,往往有三種不同的行為選擇:第一種選擇是相信并傳播謠言從而成為謠言傳播個(gè)體;第二種選擇是猶豫是否傳播謠言從而成為謠言猶豫個(gè)體;第三種選擇是對(duì)謠言不感興趣從而成為謠言恢復(fù)個(gè)體.因此,本文將在同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中考慮這三種不同的個(gè)體行為對(duì)謠言傳播的影響.

此外,由于謠言在傳播的過(guò)程中會(huì)有復(fù)發(fā)的可能性,Yao等建立了具有復(fù)發(fā)機(jī)制的謠言傳播模型[18].謠言的復(fù)發(fā)是指一些謠言傳播個(gè)體可能在當(dāng)下階段由于某些原因而停止傳播謠言,但在下一階段可能會(huì)因?yàn)橐恍┎豢深A(yù)見(jiàn)事情的發(fā)生又重新燃起了傳播謠言的興趣,從而選擇再次傳播謠言.顯然,將復(fù)發(fā)機(jī)制考慮到謠言傳播的過(guò)程中會(huì)更加接近謠言傳播的真實(shí)情況.另一方面,注意到上述研究并沒(méi)有考慮到網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及復(fù)發(fā)時(shí)滯對(duì)謠言傳播的影響,也沒(méi)有對(duì)謠言傳播平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性進(jìn)行嚴(yán)格的理論分析.事實(shí)上,這些因素對(duì)謠言傳播的建模分析來(lái)說(shuō)是至關(guān)重要的.于是,本文將建立同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中具有謠言復(fù)發(fā)和復(fù)發(fā)時(shí)滯的謠言傳播模型來(lái)更好地刻畫謠言,并且對(duì)謠言傳播平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性進(jìn)行嚴(yán)格證明.除此之外,Allport和Postman認(rèn)為,被討論的信息如果內(nèi)容越重要并且表達(dá)越模糊,那么謠言傳播的速度越快,進(jìn)而影響的范圍和程度就越大[19?20].因此,本文將內(nèi)容的重要性和模糊性統(tǒng)一看作謠言對(duì)個(gè)體的吸引性從而刻畫個(gè)體對(duì)謠言的感興趣程度,并且在建模過(guò)程中引入謠言吸引性參數(shù)m,從而建立了同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中具有時(shí)滯的SHILR謠言傳播模型.

1 模型建立

本節(jié)將利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論對(duì)謠言傳播過(guò)程進(jìn)行建模.其中,節(jié)點(diǎn)表示所有使用社交網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的個(gè)體,而兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的連邊則表示通過(guò)網(wǎng)絡(luò)連接的兩個(gè)體之間的聯(lián)系.因此,謠言可以通過(guò)這些節(jié)點(diǎn)之間的邊進(jìn)行傳播.假設(shè)網(wǎng)絡(luò)的平均度是〈k〉,并且將網(wǎng)絡(luò)中的用戶分為五類,分別表示t時(shí)刻的謠言易感個(gè)體S(t),謠言猶豫個(gè)體H(t),謠言傳播個(gè)體I(t),謠言潛伏個(gè)體L(t)以及謠言恢復(fù)個(gè)體R(t).謠言的傳播過(guò)程如圖1所示.

基于圖1中的謠言傳播規(guī)律,作如下解釋:假設(shè)系統(tǒng)的移入率是B,每個(gè)倉(cāng)室的移出率是μ.當(dāng)易感個(gè)體S通過(guò)與謠言傳播個(gè)體I進(jìn)行接觸,以α的概率聽(tīng)到謠言,易感個(gè)體就會(huì)有三種可能的選擇:第一種選擇是相信并傳播謠言,從而以θ1的概率成為謠言傳播個(gè)體;第二種選擇是猶豫是否要傳播謠言,從而以θ2的概率成為謠言猶豫個(gè)體H;第三種選擇是不相信也不傳播謠言,從而以(1?θ1?θ2)的概率成為謠言恢復(fù)個(gè)體R.在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的考慮之后,猶豫個(gè)體H會(huì)有兩種選擇:猶豫個(gè)體可能由于被謠言吸引從而以mβ的概率變成謠言傳播個(gè)體(m代表謠言的吸引性);也可能不被謠言吸引從而以(1?m)β的概率成為謠言恢復(fù)個(gè)體.而對(duì)于謠言傳播個(gè)體而言,當(dāng)謠言被驗(yàn)證是假消息時(shí),他們就會(huì)變成謠言潛伏狀態(tài).潛伏狀態(tài)的個(gè)體L可能完全失去了傳播謠言的興趣,從而以η的概率成為謠言恢復(fù)個(gè)體;也有可能以?的概率再次變成謠言傳播個(gè)體.

圖1 SHILR謠言傳播過(guò)程

綜上所述,基于平均場(chǎng)理論,建立如下同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中具有謠言復(fù)發(fā)、復(fù)發(fā)時(shí)滯以及個(gè)體行為的SHILR謠言傳播模型:

由于系統(tǒng)(1)的前四個(gè)方程獨(dú)立于恢復(fù)個(gè)體R,為了方便起見(jiàn),考慮如下等價(jià)系統(tǒng):

其中:B>0,μ>0,α>0,θ1∈(0,1),θ2∈(0,1),1?θ1?θ2∈(0,1),m>0,β>0,γ>0,?>0,η>0.記N(t)是t時(shí)刻用戶的總數(shù),則N(t)=S(t)+H(t)+I(t)+L(t)+R(t).此外,系統(tǒng)還滿足初始條件:S(t)=φ1(t)≥0,H(t)=φ2(t)≥0,I(t)=φ3(t)≥0,L(t)=φ4(t)≥0,t∈(?τ,0],其中φi(t)(i=1,2,3,4)是非負(fù)連續(xù)函數(shù).

2 平衡點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)分析

眾所周知,在傳染病學(xué)領(lǐng)域,基本再生數(shù)R0表示在發(fā)病初期,當(dāng)所有人均為易感者時(shí),一個(gè)病人在其平均患病期內(nèi)所傳染的人數(shù),它是判斷疾病是否傳播的重要閾值.類似的,在謠言傳播的研究中,定義R0來(lái)判斷謠言是否傳播,并分析平衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性.

定理1定義基本再生數(shù)

(i)若R0<1,則系統(tǒng)(2)存在唯一的無(wú)謠言平衡點(diǎn)E0=(Bμ,0,0,0).

(ii)若R0>1,則系統(tǒng)(2)存在唯一的謠言傳播平衡點(diǎn)

證明當(dāng)系統(tǒng)(2)達(dá)到平衡時(shí),各個(gè)倉(cāng)室用戶數(shù)量不再隨時(shí)間的改變而改變.于是,令系統(tǒng)(2)等號(hào)右邊為零,解如下方程:

由于當(dāng)謠言消失時(shí),有I(t)=0.于是,將I(t)=0帶入系統(tǒng)(2),可得S(t)=,H(t)=0,L(t)=0.因此,無(wú)謠言平衡點(diǎn)為E0=(,0,0,0).

此外,下面利用下一代矩陣法[21]求系統(tǒng)(2)的基本再生數(shù).注意到,表示感染的倉(cāng)室有H(t),I(t),L(t),對(duì)其進(jìn)行重新排序?yàn)?H(t),I(t),L(t)).具有新感染的非線性項(xiàng)和剩余項(xiàng)分別為F和V,則

通過(guò)求解(5),得到唯一的謠言盛行平衡點(diǎn)E?=(S?,H?,I?,L?)如下:

因此,若R0>1時(shí),則系統(tǒng)(2)存在唯一的謠言傳播平衡點(diǎn)E?=(S?,H?,I?,L?).

定理2若R0<1,則系統(tǒng)(2)中的無(wú)謠言平衡點(diǎn)E0=(,0,0,0)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明構(gòu)造如下Lyapunov泛函V1(t):

由此可見(jiàn),在(7)中,當(dāng)R0<1時(shí),有 V˙1(t)≤0.此外,當(dāng)且僅當(dāng)S(t)=,H(t)=0,I(t)=0,L(t)=0時(shí),有(t)=0.因此,根據(jù)LaSalle不變?cè)韀22]可知:當(dāng)R0<1時(shí),系統(tǒng)(2)的無(wú)謠言平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

定理3若R0>1,則謠言傳播平衡點(diǎn)E?=(S?,H?,I?,L?)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)V2(t):

其中,對(duì)于所有的n>0,有g(shù)(n)=n?1?ln n≥g(1)=0成立.令

3 數(shù)值模擬

本節(jié)通過(guò)數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性,并分析時(shí)滯對(duì)謠言傳播的影響．

3.1 無(wú)謠言平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

為了證明定理2的有效性,選取系統(tǒng)(2)中的一組參數(shù):n=200,B=0.02,α=0.2,β=0.1,γ=0.16,μ=0.02,θ1=0.15,θ2=0.2,η=0.2,?=0.1,m=0.02,τ=2.在這組參數(shù)的取值下,有R0=0.771 4<1.從圖2(a)中可以看到,如果R0<1,此時(shí)的謠言傳播個(gè)體的數(shù)量會(huì)隨著時(shí)間的流逝而最終消失.從圖2(b)中可以看到,當(dāng)R0<1時(shí),從不同初始值出發(fā)的解都會(huì)收斂到無(wú)謠言平衡點(diǎn)E0,從而無(wú)謠言平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

圖2 無(wú)謠言平衡點(diǎn)E0的穩(wěn)定性

3.2 謠言傳播平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

為了證明定理3的有效性,選取另一組參數(shù):n=200,B=0.02,α=0.35,β=0.1,γ=0.2,μ=0.02,θ1=0.3,θ2=0.2,η=0.2,?=0.1,m=0.4,τ=2.此時(shí),有R0=2.664 4>1.謠言傳播平衡點(diǎn)E?的穩(wěn)定性如圖3所示.圖3(a)表明,當(dāng)R0>1時(shí),謠言傳播者的密度變化比較復(fù)雜,先下降后上升再下降,但是謠言的最終傳播規(guī)模卻是收斂到一個(gè)固定的常數(shù).這就意味著謠言將繼續(xù)盛行,謠言傳播者的密度不為零.圖3(b)表明,當(dāng)R0>1時(shí),從不同初始值出發(fā)的解都會(huì)收斂到謠言傳播平衡點(diǎn)E?,從而謠言傳播平衡點(diǎn)E?是全局漸近穩(wěn)定的.

圖3 謠言傳播平衡點(diǎn)E?的穩(wěn)定性

3.3 時(shí)滯對(duì)謠言傳播的影響

為了討論復(fù)發(fā)時(shí)滯對(duì)謠言傳播的影響,分別取τ為0,5,10,15,20,而其它參數(shù)與R0>1時(shí)所選取的參數(shù)一致.如圖4所示,時(shí)滯的存在使得謠言的傳播過(guò)程更為復(fù)雜,但是并不影響謠言傳播的最終規(guī)模.

圖4 時(shí)滯τ對(duì)謠言傳播的影響

4 結(jié)論

本文綜合考慮了謠言復(fù)發(fā)、復(fù)發(fā)時(shí)滯以及個(gè)體行為因素,建立了同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中具有時(shí)滯的SHILR謠言傳播模型.首先,利用下一代矩陣法得到了基本再生數(shù)R0.其次,利用Lyapunov方法和LaSalle不變?cè)韀22]分析了模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.同時(shí),數(shù)值模擬結(jié)果有效地驗(yàn)證了理論的有效性,最后分析了時(shí)滯對(duì)謠言傳播的影響.結(jié)果表明,時(shí)滯的存在使得謠言傳播的過(guò)程更為復(fù)雜,但不影響謠言傳播的最終規(guī)模.此外,受到具有隨機(jī)噪聲[23]和分支現(xiàn)象[24]傳染病動(dòng)力學(xué)的啟發(fā),在同質(zhì)和異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上研究隨機(jī)擾動(dòng)下的謠言傳播以及研究具有分支現(xiàn)象的謠言傳播動(dòng)力學(xué)是今后有待研究和探討的問(wèn)題.