葉茂林,蔣海軍,2?

(1.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017；2.伊犁師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 伊寧 835000)

0 引言

數(shù)學(xué)模型可以用于研究謠言的傳播,對(duì)謠言的控制起著重要作用.在謠言傳播動(dòng)力學(xué)中,Daley和Kendall在1964年建立了SIR倉室模型[1].近年來,謠言傳播模型的動(dòng)力學(xué)分析成為研究的熱點(diǎn),Yu[2]等建立了在線社交網(wǎng)絡(luò)中的2I2SR謠言傳播模型,分析了模型的穩(wěn)定性并進(jìn)行了最優(yōu)控制,給出謠言傳播的控制策略.時(shí)滯在謠言傳播過程中具有重要影響,學(xué)者們開始以時(shí)滯為分岔參數(shù),研究具有時(shí)滯的謠言傳播模型的分岔行為[3?4].

分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的推廣,由于具有良好的記憶效應(yīng)和遺傳效應(yīng),廣泛應(yīng)用于生物數(shù)學(xué)、傳染病模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5?7].謠言的傳播過程是具有記憶效應(yīng)的過程[8?10].Singh在文獻(xiàn)[11]中基于Mittag-Leffler定律對(duì)分?jǐn)?shù)階SIR謠言傳播模型進(jìn)行分析,得出分?jǐn)?shù)階的階數(shù)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為具有一定的影響.Graef[12]等建立了類傳染病的分?jǐn)?shù)階SIR社交網(wǎng)絡(luò)模型來檢查用戶對(duì)線上社交網(wǎng)絡(luò)的采取與放棄,并利用真實(shí)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?Ren[13]等在異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中考慮具有隨機(jī)過程的分?jǐn)?shù)階SIR謠言傳播模型,并研究了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.因此,利用分?jǐn)?shù)階微分方程理論研究謠言的傳播過程具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義.

本文考慮了具有雙時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階SIQR謠言傳播模型,對(duì)模型進(jìn)行分析,得到以不同時(shí)滯為分岔參數(shù)的分岔點(diǎn)的位置和分岔?xiàng)l件.

1 模型建立及預(yù)備知識(shí)

考慮如下的分?jǐn)?shù)階(0<αi<1,i=1,2,3,4)時(shí)滯謠言傳播模型:

其中:S(t),I(t),Q(t),R(t)分別表示謠言易感者、傳播者、隔離者、恢復(fù)者的密度.模型其它參數(shù)及解釋如下:A表示謠言易感者的移入率,β表示謠言的接觸傳播率,b1表示抑制強(qiáng)度,d為因?qū)χ{言失去興趣而移出的概率,b2表示官方對(duì)謠言傳播者進(jìn)行教育的概率,c1和c2分別表示傳播者不再傳播謠言而轉(zhuǎn)變成恢復(fù)者的概率,τ1和τ2為謠言傳播過程中的時(shí)間延遲,〈k〉為社交網(wǎng)絡(luò)的平均度.

現(xiàn)在,給出Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及其相關(guān)性質(zhì).

定義1[14]Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

引理1[15]考慮n維多時(shí)滯的線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)

其中:qi∈(0,1)為分?jǐn)?shù)階求導(dǎo)的階數(shù),x(t)=(x1(t),x2(t),···,xn(t))為狀態(tài)向量,τij>0為時(shí)間延遲,xi=φ(t),?maxτij=?τmax≤t≤0,i,j=1,2,···,n為系統(tǒng)(2)的初始條件,A=[aij]n×n∈Rn×n為系統(tǒng)(2)的系數(shù)矩陣,可以得到系統(tǒng)(2)的特征矩陣為:

引理2[16]若特征方程det(?(s))=0的所有根均具有負(fù)實(shí)部,則系統(tǒng)(2)的零解是漸近穩(wěn)定的.

2 主要結(jié)果

2.1 以τ1為分岔參數(shù)

假設(shè)〈k〉βS??(b2+d+c1)>0.經(jīng)過簡單計(jì)算,可得到系統(tǒng)(1)的謠言盛行平衡點(diǎn)為P?(S?,I?,Q?,R?),其中

其中

系統(tǒng)(3)在(0,0)處的特征矩陣如下:

因此,系統(tǒng)(3)相應(yīng)的特征方程可以寫成如下形式:

其中:Re[ρ1(iω1)],Im[ρ1(iω1)],Re[υ1(iω1)],Im[υ1(iω1)]出現(xiàn)在等式(10)中.

引理3令λ(τ1)=ξ(τ1)+iω(τ1)是等式(4)在τ1=τ10附近的滿足ξ(τ10)=0,ω(τ10)=ω1的根,下面的結(jié)論成立:

定義分岔點(diǎn)為

定理1若假設(shè)(H1)滿足,如果則有

(1)當(dāng)τ1∈[0,τ10)時(shí),系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)P?是漸近穩(wěn)定的.

(2)當(dāng)τ1=τ10時(shí),系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)P?處發(fā)生Hopf分岔,而且在τ1=τ10周圍有一簇從P?分岔出的周期解.

2.2 以τ2為分岔參數(shù)

等式(4)有如下的等價(jià)形式:

引理4令λ(τ2)=ξ(τ2)+iω(τ2)是等式(16)在τ2=τ20附近滿足ξ(τ20)=0,ω(τ20)=ω2.那么,我們有如下結(jié)論成立:

對(duì)等式(25)兩邊同時(shí)平方得

定理2若假設(shè)(H2)滿足,如果則有

(1)當(dāng)τ2∈[0,τ20)時(shí),系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)P?是漸近穩(wěn)定的.

(2)當(dāng)τ2=τ20時(shí),系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)P?處發(fā)生Hopf分岔,而且在τ2=τ20周圍有一族從P?分岔出的周期解.

3 數(shù)值模擬

這部分給出兩個(gè)實(shí)例來驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性.我們選擇A=0.02,〈k〉=10,β=0.05,d=0.02,b1=0.15,b2=0.01,c1=0.05,c2=0.04,α1=0.98,α2=0.96,α3=0.94,α4=0.92.然后,系統(tǒng)(1)變成如下系統(tǒng):

經(jīng)計(jì)算,我們得到謠言盛行平衡點(diǎn)

例1τ1>0,τ2>0(τ2∈[0,))

經(jīng)計(jì)算,可以得到ˉω1=0.070 1,=23.58和ω1=0.074 7,τ10=1.50.我們分別選擇τ2=22<,τ1=1.3<τ10和τ2=22<,τ1=1.50=τ10,結(jié)果見圖1、圖2.

圖1 系統(tǒng)(28)的狀態(tài)軌跡,τ2=22<ˉτ20,τ1=1.3<τ10

圖2 系統(tǒng)(28)的相圖,τ2=22<,τ1=1.50=τ10

例2τ1>0,τ2>0(τ1∈[0,))

圖3 系統(tǒng)(28)的狀態(tài)軌跡,τ1=8<,τ2=9.1<τ20

圖4 系統(tǒng)(28)的相圖,τ1=8<,τ2=9.28=τ20

4 結(jié)論

本文利用分?jǐn)?shù)階微分方程理論對(duì)具有雙時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階SIQR謠言傳播模型的分岔進(jìn)行分析,得到了模型分別以不同的時(shí)滯為分岔參數(shù)而發(fā)生分岔的充分條件,為多時(shí)滯分?jǐn)?shù)階模型的分岔研究提供了思路.最后,給出兩個(gè)數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了結(jié)論的正確性.