臧紅巖，高長生，荊武興

(哈爾濱工業(yè)大學航天學院，哈爾濱 150001)

0 引 言

彈道導彈作為現(xiàn)代戰(zhàn)爭中的重要武器系統(tǒng)之一，其作戰(zhàn)反應能力能夠直接影響戰(zhàn)爭格局，但近年來隨著各國導彈防御系統(tǒng)的發(fā)展，彈道導彈的生存、打擊能力受到了嚴重威脅。傳統(tǒng)的單枚彈道導彈作戰(zhàn)模式已經無法滿足日益復雜的任務需求，而彈道導彈集群作戰(zhàn)能夠有效提升打擊精度，增強突防能力，彈道導彈集群作戰(zhàn)已經成為一種新趨勢。目前，導彈集群作戰(zhàn)的研究主要集中于導彈、無人機等強機動性飛行器的軌跡、制導、控制、協(xié)同打擊等方面，針對彈道導彈集群機動發(fā)射的相關研究較少[1-5]。而作為導彈體系作戰(zhàn)中最重要的一環(huán)，彈道導彈集群的發(fā)射對機動性、快速性提出了更高的要求，即需要在滿足打擊精度的條件下，在較短的反應時間內完成多枚彈道導彈的發(fā)射諸元裝訂。

導彈發(fā)射諸元裝訂包括諸元規(guī)劃和裝訂上彈兩部分工作[6]。其中諸元規(guī)劃過程對于彈道導彈作戰(zhàn)反應能力、射前生存能力有較大影響，與導彈型號、制導控制算法等有著緊密的聯(lián)系，目前已經有學者在發(fā)射諸元的選取、解算、規(guī)劃方法等方面展開了研究。導彈發(fā)射諸元規(guī)劃方法主要包括解析法、數(shù)值法以及智能算法。文獻[7-8]采用解析法，考慮導彈主動段飛行程序和彈道特性，通過多項式擬合建立發(fā)射諸元的解析模型，并將得到的諸元作為初值進行迭代求解，實現(xiàn)了發(fā)射諸元的快速規(guī)劃，但解析表達式求取困難，精度有待提升;而數(shù)值法計算精度高，但實時性較差。文獻[9-11]考慮飛行器助推段的各種約束作用，通過將直接法、間接法等優(yōu)化算法相結合，構造新的迭代算法求解得到發(fā)射諸元，但計算過程比較復雜，無法滿足機動發(fā)射需求。文獻[12]以助推滑翔飛行器為研究對象，將中心彈道諸元作為迭代初值，引入松弛因子，采取部分諸元迭代結算模式，在一定程度上降低了諸元規(guī)劃時間。隨著智能方法的發(fā)展，神經網絡為發(fā)射諸元快速規(guī)劃提供了新的解決方案，神經網絡具有較強的數(shù)據擬合能力，可以應用于學習復雜的映射關系。文獻[13]將神經網絡運用于對運載火箭剩余運載能力的估計，并對程序角進行了在線重構。文獻[14]針對潛地導彈，利用BP神經網路對導彈落點參數(shù)進行快速計算。文獻[15]基于神經網絡提出了一種基于監(jiān)督學習的在線預測方法，用于對彈道導彈中段突防中的攔截點坐標及攔截時間進行預測。文獻[16]基于神經網絡建立發(fā)射初始條件、飛行程序到關機點狀態(tài)信息的映射關系，結合優(yōu)化算法對助推滑翔飛行器諸元進行了快速規(guī)劃;但智能方法也存在一些缺陷，比如制備大量數(shù)據耗時長，過于依賴數(shù)據庫可能導致算法穩(wěn)定性差等。

綜上，本文以彈道導彈為研究對象，針對集群機動快速發(fā)射需求，將神經網絡與傳統(tǒng)優(yōu)化方法相結合開展工作。首先，分析了彈道導彈助推段飛行策略并選取發(fā)射諸元，基于BP神經網絡方法設計了雙隱藏層諸元預測網絡，并利用建立的樣本數(shù)據庫對網絡進行訓練，可快速給出一定范圍內任意發(fā)落點對應的發(fā)射諸元近似值。然后，將諸元預測網絡得到的發(fā)射諸元作為初值，將落點射程、橫程及高程偏差最小作為目標函數(shù)，采用最小二乘優(yōu)化方法對發(fā)射諸元進行迭代，得到諸元精確解。最后，建立了典型場景下的彈道導彈集群機動發(fā)射諸元快速規(guī)劃仿真。結果表明，本文的方法結合了智能方法和傳統(tǒng)優(yōu)化方法的優(yōu)點，彌補了智能方法依賴數(shù)據庫的缺陷，提高了算法穩(wěn)定性，同時減少了優(yōu)化迭代次數(shù)，能夠有效提升發(fā)射諸元規(guī)劃的速度和精度，能夠實現(xiàn)機動發(fā)射條件下彈道導彈集群的發(fā)射諸元快速規(guī)劃。

1 彈道導彈諸元規(guī)劃模型

1.1 數(shù)學模型

機動發(fā)射彈道導彈運動模型基于六自由度彈道仿真模型建立，考慮地球自轉，將地球視為標準橢球。導彈在助推段飛行過程中，主要受重力、發(fā)動機推力、空氣動力、控制力以及它們產生相應力矩作用，忽略級間分離帶來的干擾作用，其質心運動數(shù)學模型在發(fā)射系下可以表示為[17]：

(1)

式中：r為地心到導彈當前位置的矢量；m為導彈的當前質量；g為投影于發(fā)射坐標系中的引力加速度；Fe為地球自轉引起的牽連慣性力；Fc為地球自轉引起的科氏慣性力；v為導彈在發(fā)射坐標系下的速度矢量；Γ01為發(fā)射坐標系到彈體坐標系的轉換矩陣；Γ03為發(fā)射坐標系到速度坐標系的轉換矩陣；Isp為發(fā)動機比沖；R為投影于速度系中的空氣動力矢量；P為投影于彈體坐標系中的發(fā)動機推力矢量；P為發(fā)動機推力大小。

1.2 助推段飛行策略

多級彈道導彈助推段飛行模式可分為連續(xù)助推、連續(xù)助推+滑行(末段修正)、間隔助推，本文中選取連續(xù)助推模式。對于機動發(fā)射彈道導彈，在給定發(fā)射點位置、方位角信息以及俯仰角飛行程序后，便可得到一條唯一的彈道,控制導彈飛向目標。根據導彈助推段飛行特性，將彈道導彈助推段分為垂直上升段、轉彎段和瞄準段。實際工程中經常選取俯仰角特征參數(shù)作為控制量進行彈道設計，同時還會將方位角信息考慮在內。彈道導彈助推段俯仰角變化如圖1所示。

圖1 彈道導彈助推段俯仰角飛行程序Fig.1 Flight procedure of pitch angle in the boost phase of ballistic missile

本文中設定俯仰角飛行程序為：

(2)

式中：θ為彈道傾角，αm為瞄準段攻角，本文中取常值；α(t)為負攻角轉彎段攻角變化規(guī)律，負攻角轉彎段根據要求應在達到氣動力急劇變化的跨音速之前結束，以減少氣動載荷和氣動干擾。故可在馬赫數(shù)Ma=0.8～1.2時，使攻角收縮為零，變化規(guī)律如下：

(3)

式中：αx為亞音速段上攻角絕對值的最大值，稱為限制攻角；v為導彈當前速度大小；vf為攻角收縮為零時的速度(一般Ma為0.8～1.2)；v0為垂直轉彎結束時刻的速度；v1,v2為中間節(jié)點時刻速度，計算公式如下：

(4)

式中：c為常數(shù)，決定了攻角由0下降至-αx及由-αx上升至0的時間，本文中取為0.1。由式(3)所描述的攻角變化規(guī)律如圖2所示。

圖2 攻角變化規(guī)律曲線Fig.2 Variation of the angle of attack

圖中橫軸為時間，縱軸為攻角。

1.3 諸元規(guī)劃輸入參數(shù)分析

通過對于導彈質心運動模型的推導，確定彈道軌跡信息的參數(shù)主要有：(1)發(fā)落參數(shù)：包括發(fā)射點經度λF、緯度BF、高度HF和目標點經度λM、緯度BM、高度HM；(2)主動段飛行程序參數(shù)：包括發(fā)射方位角A0、垂直上升段飛行時間t1、負攻角轉彎段最大限制攻角αx、負攻角轉彎段結束時刻速度vf，重力轉彎段結束時刻t3以及瞄準段瞄準攻角αm。

在導彈發(fā)射之前，可以第一時間得到的信息是導彈的發(fā)落參數(shù)，因此將導彈的發(fā)落參數(shù)作為諸元規(guī)劃模型的輸入參數(shù)。主動段飛行程序參數(shù)中,垂直上升段飛行時間t1根據導彈型號不同而有所區(qū)別;負攻角轉彎段結束時刻速度vf本文中取Ma=0.8;重力轉彎段結束時刻t3取導彈燃料剩余60%的時刻，才可以保證后續(xù)瞄準段完成對于目標的瞄準。因此本文中對于彈道起主要作用的參數(shù)選取為發(fā)射方位角A0、負攻角轉彎段最大限制攻角αx以及瞄準段瞄準攻角αm。

1.4 諸元規(guī)劃模型

通過上述分析，導彈諸元規(guī)劃模型的輸入參數(shù)為：發(fā)射點經度λF、緯度BF、高度HF和目標點經度λM、緯度BM、高度HM共6個參數(shù)。模型的輸出值為發(fā)射方位角A0、負攻角轉彎段最大限制攻角αx以及瞄準段瞄準攻角αm，屬于六輸入三輸出模型。如圖3所示。

圖3 諸元規(guī)劃模型示意圖Fig.3 Schematic diagram of the data planning model

2 諸元快速規(guī)劃方法

2.1 諸元預測網絡結構

BP(back propagation)神經網絡又稱為誤差反向傳播神經網絡，是一種多層前饋網絡。BP神經網絡通過信號的前向傳播和誤差的反向傳播來實現(xiàn)對于輸入輸出之間的映射關系的學習，由輸入層、隱含層和輸出層組成，層與層之間采用全連接方式，同層之間不存在相互連接，可以包含多個隱含層[18]。

本文將隱藏層數(shù)量設計為兩層，如圖4所示，結構為輸入層-隱藏層1-隱藏層2-輸出層。輸入為發(fā)射點和目標點參數(shù)(λF,BF,HF,λM,BM,HM)，輸出為選定的發(fā)射諸元(A0,αx,αm)。在進行神經網絡的訓練時，神經網絡中的參數(shù)分為兩類，一類是可以通過學習的方式進行更新的參數(shù)，如神經元之間的權值ω以及神經元的偏置b；另一類是不能通過學習的方式進行更新的參數(shù)，稱之為超參數(shù)，如各層之間神經元節(jié)點數(shù)、隱藏層層數(shù)以及學習率等[13]。本文中超參數(shù)通過多次仿真確定，最后得到隱藏層1節(jié)點數(shù)為60，隱藏層2節(jié)點數(shù)為18。

圖4 諸元預測網絡結構圖Fig.4 Structure diagram of data prediction network

2.2 樣本集生成與處理

在進行神經網絡的訓練時，輸入輸出之間的關系越復雜，所需要的樣本數(shù)據就越多，同時還要保證樣本數(shù)據的隨機性與均衡性。本文選取不同發(fā)射點和目標點情況下的最優(yōu)彈道，作為樣本彈道。以某型機動發(fā)射的洲際彈道導彈作為研究對象，導彈的發(fā)射點和目標點采用均勻分布隨機生成，發(fā)射點經度范圍為東經73°至東經135°，緯度范圍為北緯3°至北緯53°，高度范圍為0～1000 m，目標點經度范圍為西經70°至西經130°，緯度范圍為北緯25°至北緯49°，高度范圍為0～1000 m。同時考慮到該型號導彈的實際戰(zhàn)術技術指標，將射程控制在5000～12000 km范圍內，通過求解彈道微分方程規(guī)劃發(fā)射諸元，得到共計10000個樣本，選取70%作為訓練集，15%作為測試集，15%作為驗證集。

根據樣本數(shù)據的特點，為保證對于損失函數(shù)和梯度下降的計算，通常需要對其進行過歸一化處理，將數(shù)據映射到[-1, 1]區(qū)間上，計算公式如下：

(5)

2.3 神經網絡訓練

在進行神經網絡訓練時，還需要確定損失函數(shù)、訓練算法和激活函數(shù)。

1)損失函數(shù)的確定

損失函數(shù)用來表示預測值與真實值之間的誤差，本文選取均方誤差(MSE)作為損失函數(shù)，計算公式如下：

(6)

2)訓練算法的確定

標準BP神經網絡采用梯度下降算法，通過反向傳播算法計算梯度，但由于其自身存在一些不足，樣本數(shù)量較大時訓練速度也有所下降，以及易于局部最小值時收斂等。本文采用LM(Levenberg-Marquardt)算法進行神經網絡的訓練。當誤差性能函數(shù)具有平方和誤差的形式時，Hessian矩陣可以近似表示為

H=JTJ

(7)

此時梯度的計算公式為

g=JTe

(8)

式中：J是雅可比矩陣，其元素由神經網絡誤差對權值和閾值的一階導數(shù)組成；e是網絡的誤差向量。LM算法對上述近似Hessian矩陣按照下式進行修正：

x(k+1)=x(k)-[JTJ+μI]-1JTe

(9)

在神經網絡訓練過程中，當網絡的誤差減小時，減小μ值，當網絡的誤差增大時，增大μ值，保證網絡性能函數(shù)始終減小。

3)激活函數(shù)的確定

激活函數(shù)是BP神經網絡的重要組成部分。本文中隱藏層采用Tan-Sigmoid傳輸函數(shù)，也稱為雙曲正切S型函數(shù)，計算公式為

(10)

其曲線如圖5所示。

圖5 雙曲正切S型函數(shù)曲線Fig.5 Hyperbolic tangent S-type function

輸出層采用線性激活函數(shù)。最大訓練次數(shù)由網絡規(guī)模，樣本數(shù)量確定，經仿真驗證，設定最大訓練次數(shù)為1000，網絡訓練要求的精度設置為1e-3。

2.4 神經網絡訓練結果

圖6～圖7分別展示了諸元預測神經網絡的訓練過程和線性回歸結果。圖7中回歸值R=0.99961。將測試數(shù)據集的輸入參數(shù)代入神經網絡，對比神經網絡模型的預測輸出結果與實際數(shù)據，得到方位角、限制攻角與瞄準攻角的殘差如圖8～圖10所示。

圖6 網絡誤差性能曲線Fig.6 Network error performance

圖7 線性回歸結果Fig.7 Linear regression results

圖8 方位角預測殘差圖Fig.8 Azimuth prediction residual diagram

圖9 限制攻角預測殘差圖Fig.9 Limited angle of attack prediction residual diagram

圖10 瞄準攻角預測殘差圖Fig.10 Aiming angle of attack prediction residual diagram

從訓練過程及殘差圖可以看出，訓練的神經網絡能夠適應發(fā)落點經緯度及高度的變化，模型誤差較小，較好地擬合了諸元規(guī)劃過程。對于瞄準攻角，由于訓練數(shù)據存在不平衡的特性，導致訓練結果存在一定偏差,將采用下一節(jié)的方法對諸元進行修正。

3 諸元修正

本文采用最小二乘優(yōu)化方法對雙隱藏層神經網絡得到的諸元初值進行修正，具體算法如下：當發(fā)射點為O(λF,BF,HF)，目標點為T(λM,BM,HM)，可以計算得到目標點的卯酉半徑N：

(11)

式中：e=0.006694379990141為地球偏心率；Ra為地球赤道半徑，則目標點在地固系下坐標為

(12)

發(fā)射點在地固系下坐標為

(13)

可得到地固系下發(fā)射點到目標點的矢徑和橫程距離為

(14)

運用訓練好的神經網絡可以得到一組諸元初值(A0,αx0,αm0)，將其代入動力學方程進行積分，得到落點射程lT，落點在發(fā)射系的坐標(XT,YT,ZT)。選取參數(shù)X=(A0,αx,αm)為自變量，目標函數(shù)為使下式的值最?。?/p>

J=GT(X)G(X)

(15)

式中：G(X)為差值函數(shù)，表示為

(16)

式中：Δl=lT-l0為射程偏差；ΔZ=ZT-ZM為橫程偏差；ΔH=YT-HM為落點高度偏差。問題轉換為尋找X變量值，使得式(15)性能指標最小，即：

(17)

由于G(X)具有很強的非線性，將其在X0處進行泰勒級數(shù)展開：

(18)

式中：°(X)是高階項。由上兩式可以得到新的初值

X=X0-A-1B

(19)

式中：X0,A,B分別滿足

(20)

將兩式改寫成迭代形式為：

(21)

式中：A,B滿足

(22)

為了計算速度，不會讓差值G(X0)減到零，假設控制精度ε，當滿足如下條件時停止迭代

(23)

圖11 諸元規(guī)劃流程Fig.11 Flow chart of the data planning

4 仿真結果及分析

4.1 諸元快速規(guī)劃仿真校驗

選取某型機動發(fā)射的洲際彈道導彈模型，對前述諸元快速規(guī)劃算法進行仿真驗證。機動發(fā)射區(qū)域選取為將東經73°至東經135°，北緯3°至53°，將西經140°至170°，北緯25°至49°的區(qū)域作為打擊目標范圍。為驗證本文提出的方法在所選取發(fā)落點范圍內的有效性、快速性，在所選取的發(fā)落點范圍內隨機生成1000組發(fā)落點數(shù)據，分別采用基于BP神經網絡的諸元規(guī)劃快速方法、基于傳統(tǒng)射表迭代以及基于解析-迭代優(yōu)化的方法[8]求解發(fā)射諸元，來對比諸元快速規(guī)劃結果。

通過對于1000組發(fā)落點數(shù)據進行諸元規(guī)劃得到相應彈道數(shù)據，采用上述三種方法得到的仿真結果如表1所示：

表1 不同諸元規(guī)劃方法仿真結果比較Table 1 Comparison of simulation results of different data planning methods

由上表可知，在精度一致時，相比于傳統(tǒng)射表迭代求解諸元的方法，本文所提出的基于神經網絡預測模型的彈道導彈發(fā)射諸元快速規(guī)劃方法迭代次數(shù)有所減少，計算速度得到了顯著提升。而解析-迭代優(yōu)化求解諸元的方法雖然迭代次數(shù)更少，但由于計算復雜，迭代初值選取困難，導致其耗時更長。因此，本文提出的方法具有良好的工程應用價值，下面將進行彈道導彈集群機動快速發(fā)射的仿真校驗。

4.2 彈道導彈集群機動快速發(fā)射仿真校驗

為驗證本文提出的方法對于彈道導彈集群機動發(fā)射條件下的適用性，在所選取的發(fā)落點范圍內，進行彈道導彈集群機動發(fā)射仿真，仿真流程如圖12所示，其中初始參數(shù)包括發(fā)射點機動范圍、打擊目標范圍、導彈集群數(shù)量以及導彈參數(shù)等。

圖12 機動條件下彈道導彈集群發(fā)射流程圖Fig.12 Flow chart of ballistic missile cluster launch under maneuvering conditions

進一步縮小機動發(fā)射區(qū)域為將東經73°至東經83°，北緯3°至13°，打擊目標范圍縮小為西經160°至170°，北緯25°至35°，導彈集群數(shù)量選取為10枚，采用本文提出的基于BP神經網絡的諸元快速規(guī)劃方法對導彈集群發(fā)射諸元進行規(guī)劃，仿真結果如圖13～圖16所示。

圖13 導彈集群發(fā)射三維彈道Fig.13 Three-dimensional trajectory of the missile cluster

圖14 導彈集群發(fā)射經緯度變化曲線Fig.14 Longitude and latitude changes of the missile cluster

圖15 導彈集群發(fā)射射程-高度曲線Fig.15 Variation of range versus altitude of the the missile cluster

圖16 導彈集群發(fā)射速度變化曲線Fig.16 Launch speed variation of the missile cluster

仿真結果表明，利用本文所提出的方法，能夠滿足彈道導彈集群在大范圍機動條件下快速發(fā)射的需求，并且彈道在空間中分布范圍較大，提高了相應突防效能，在戰(zhàn)場實戰(zhàn)環(huán)境下具有重大的應用價值。

5 結 論

本文針對彈道導彈集群機動快速發(fā)射的諸元規(guī)劃問題，在飛行程序參數(shù)化的基礎上，基于神經網絡預測模型構建了發(fā)落點信息與發(fā)射諸元的非線性映射關系；針對訓練樣本數(shù)據不平衡導致的訓練結果偏差，將雙隱藏層神經網絡與最小二乘優(yōu)化算法相結合設計了一種發(fā)射諸元快速規(guī)劃算法，實現(xiàn)了機動發(fā)射條件下的彈道導彈集群發(fā)射諸元快速規(guī)劃。結果表明，BP神經網絡諸元預測模型能夠得到諸元近似解，并且在與最小二乘優(yōu)化方法結合后效果較好，彌補了智能算法依賴訓練樣本數(shù)據的缺陷，對發(fā)落點經緯高變化適應性強，規(guī)劃結果滿足要求，并且在計算速度上得到了顯著提升。同時，本文中提出的方法具有通用性，經擴展后能夠滿足多種型號、多種射程彈道導彈集群快速機動發(fā)射需求。