查正桃，張謙述

(1.西華師范大學(xué) 物理與天文學(xué)院，四川 南充 637009;2.西華師范大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，四川 南充 637009)

1 引 言

向列相液晶的大雙折射[1]和易被低電壓調(diào)節(jié)[2]特性，有助于改善光波導(dǎo)的光學(xué)性能。因此，近年來向列相液晶光波導(dǎo)的研究引起了國內(nèi)外研究人員的興趣。例如，向列相液晶光波導(dǎo)在光開關(guān)[3-5]、光衰減器[6]、光學(xué)濾波器[7]、可調(diào)光分束器[8]、偏振旋轉(zhuǎn)器[9-10]等器件中的應(yīng)用研究被廣泛開展。

在以上研究中，液晶光波導(dǎo)的模場(chǎng)分析是最基本、最重要的步驟。自20世紀(jì)80年代以來，大量數(shù)值方法被相繼提出，主要包括變分法[11-12]、有限差分法[13]、矢量偽譜法[14]、有限元法[15-16]等，但這些數(shù)值方法僅適用于均勻各向異性光波導(dǎo)。然而，一般情況下液晶光波導(dǎo)都具有錨定層，根據(jù)Freedericksz轉(zhuǎn)變[17]，當(dāng)外加電壓使液晶分子指向矢旋轉(zhuǎn)時(shí)，其旋轉(zhuǎn)角是沿外加電場(chǎng)方向漸變的，因此并不能通過上述數(shù)值方法分析液晶光波導(dǎo)的模場(chǎng)分布。至今，橫向各向異性液晶光波導(dǎo)中的場(chǎng)分量間關(guān)系仍不清晰。此外，參考文獻(xiàn)[14]推測(cè)出液晶光波導(dǎo)中本征模場(chǎng)的模內(nèi)場(chǎng)分量間存在相關(guān)性，但并未給出相應(yīng)的定量關(guān)系。因此，為了得到液晶光波導(dǎo)中的模內(nèi)場(chǎng)分量間的定量關(guān)系，本文首先從麥克斯韋方程組推導(dǎo)出向列相液晶的各向異性電磁場(chǎng)耦合方程，并得出非尋常光本征模式的場(chǎng)分量間比值與指向矢旋轉(zhuǎn)角間的定量變化規(guī)律?？紤]到液晶指向矢旋轉(zhuǎn)角由外加電壓確定，因此，可進(jìn)一步得出本征模內(nèi)場(chǎng)分量之間的振幅、相位的定量關(guān)系受外加電壓調(diào)控的規(guī)律，并使用光學(xué)軟件OptiBPM13.1進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證。

2 模內(nèi)場(chǎng)分量間關(guān)系的理論分析

圖1 (a)液晶光波導(dǎo)橫截面示意圖；(b)液晶分子旋轉(zhuǎn)示意圖。

(1)

(2)

式中，

(3)

其中：ε‖、ε⊥分別表示光學(xué)頻率下平行和垂直液晶分子長(zhǎng)軸的相對(duì)介電常數(shù)。聯(lián)合式(1)～(3)即可得到任意外加電壓下的液晶介電張量分布。

另一方面，根據(jù)麥克斯韋方程組，非磁各向異性電介質(zhì)的磁場(chǎng)矢量波動(dòng)方程為[21]

(4)

(5)

(6)

將式(6)乘tanα(y)后與式(5)相加并整理可得：

(7)

根據(jù)本征模場(chǎng)理論[22]可將式(7)改寫為：

(8)

(9)

成立。將式(9)代入式(8)可得:

Hxe=-tanα(y)Hye，

(10)

式(10)表明在液晶光波導(dǎo)的芯區(qū)，非尋常光波所激勵(lì)的本征模場(chǎng)的橫向磁場(chǎng)分量之間存在如下關(guān)系：

(1)模場(chǎng)振幅的比值為當(dāng)前液晶分子旋轉(zhuǎn)角的正切函數(shù)；

(2)當(dāng)液晶分子旋轉(zhuǎn)角的正切函數(shù)不恒等于零時(shí)，模場(chǎng)之間的相位差恒為π。

而根據(jù)式(1)可知，液晶分子旋轉(zhuǎn)角由外加電壓確定，因此，非尋常光波本征模式的橫向磁場(chǎng)分量的場(chǎng)間關(guān)系可被外加電壓定量調(diào)控。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

以液晶5CB(4′-n-pentyl-4-cyano-biphenyl)為例，真空波長(zhǎng)λ0設(shè)為1.5 μm，在室溫25.1 ℃下5CB為單軸、正性液晶，其Frank彈性常數(shù)K11、K33分別為6.4 pN、10 pN[17]，根據(jù)雙系數(shù)柯西模型[17]可知，液晶分子的主軸介電常數(shù)為ε‖=2.829 1,ε⊥=2.309 2，包層折射率選擇nc=1.48，液晶芯區(qū)的尺寸w、h均為6 μm。根據(jù)式(1)可得不同外加電壓下液晶分子旋轉(zhuǎn)角漸變曲線如圖2所示。

圖2 液晶分子旋轉(zhuǎn)角在不同外加電壓下的分布曲線

從圖2可見，當(dāng)外加電壓超過閾值以后，液晶分子指向矢的旋轉(zhuǎn)在y方向是漸變的，為了能夠使用軟件OptiBPM13.1中適用于均勻各向異性光波導(dǎo)的算法進(jìn)行求解，將漸變的液晶芯區(qū)用多層均勻的液晶層近似代替，等效模型如圖3所示。

圖3中，第i層均勻液晶層的位置yi由式(11)確定。

圖3 液晶芯區(qū)的多層近似模型示意圖

yi=-h/2+(2i-1)Δh/2,i=1,2,…N，

(11)

式中，Δh=h/N為每一層的厚度，N為層數(shù)?？紤]到對(duì)稱性，N應(yīng)為奇數(shù)。顯然，N取值越大，這種等效模型的準(zhǔn)確度越高。只要液晶芯區(qū)的厚度和層數(shù)確定，即可通過式(11)和上述各式得到每一層液晶分子的介電張量。這里選擇液晶層數(shù)N=301，計(jì)算窗口為9 μm的正方形區(qū)域。當(dāng)外加電壓分別為閾值電壓的1.2倍和2倍時(shí)，波導(dǎo)橫截面的介電張量分布如圖4所示。

從圖4(a)～(c)和圖4(e)～(g)可見，液晶介電張量在y方向是漸變的，但在x方向卻是均勻的。對(duì)于正性液晶，非尋常光所激勵(lì)的本征模式為低階模式，利用OptiBPM13.1軟件求解這兩個(gè)外加電壓下液晶光波導(dǎo)中的本征模場(chǎng)，圖5和圖6展示了外加電壓分別為閾值電壓的1.2倍和2倍時(shí)，非尋常光波所激勵(lì)的前4個(gè)模式的Hx,tanα(y)Hy的振幅以及橫向磁場(chǎng)分量的相位在液晶光波導(dǎo)芯區(qū)的分布情況。

圖4 (a)～(d)外加電壓為1.2倍閾值時(shí)液晶介電張量的橫截面分布；(e)～(h)外加電壓為2倍閾值時(shí)液晶介電張量的橫截面分布。

圖5 外加電壓為1.2倍閾值時(shí)，前4個(gè)模式橫向磁場(chǎng)分量在液晶光波導(dǎo)芯區(qū)的分布情況。(a)～(h)振幅分布；(i)～(p)相位分布。

圖6 外加電壓為2倍閾值時(shí)，前4個(gè)模式橫向磁場(chǎng)分量在液晶光波導(dǎo)芯區(qū)的分布情況。(a)～(h)振幅分布；(i)～(p)相位分布。

從圖5(a)～(h)和圖6(a)～(h)可以看到，對(duì)于非尋常光波所激勵(lì)本征模場(chǎng)，|Hx|與|tanα(y)Hy|的圖案形狀幾乎是完全相同的，而且根據(jù)彩色條注的數(shù)值可以看到它們的數(shù)值也非常接近，考慮到數(shù)值算法以及液晶芯的多層劃分存在一定的誤差，因此二者并不是完美地相等。而且從圖5(i)～(p)和圖6(i)～(p)可見，各階模式的橫向磁場(chǎng)分量在整個(gè)波導(dǎo)芯區(qū)上的任意一個(gè)位置上相位差幾乎都為π。因此，式(10)所表征的橫向磁場(chǎng)分量場(chǎng)間關(guān)系受液晶分子旋轉(zhuǎn)角(或外加電壓)調(diào)控的定量關(guān)系式是成立的。應(yīng)當(dāng)指出的是，盡管這里僅展示了前4個(gè)模式，但根據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，非尋常光波所激勵(lì)的更高階模仍然滿足該規(guī)律。通過改變波導(dǎo)的寬厚比、入射波長(zhǎng)以及材料的折射率等參數(shù)進(jìn)行多次仿真實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)非尋常光波激勵(lì)的本征模場(chǎng)的模內(nèi)橫向磁場(chǎng)分量之間仍然滿足式(10)。

此外，將圖5(a),(c),(e),(g)和圖6中與之對(duì)應(yīng)的子圖進(jìn)行比較還可以看到當(dāng)外加電壓更大時(shí)，Hx的振幅也更大。這是因?yàn)殡S著外加電壓增加，液晶分子的旋轉(zhuǎn)角也增加(圖2)，根據(jù)式(10)可知Hx相對(duì)于Hy的振幅也隨之增加。當(dāng)外加電壓非常接近于閾值電壓或者更小的情況，Hx相對(duì)于Hy的振幅非常小，此時(shí)非尋常光波所激勵(lì)的本征模非常接近準(zhǔn)橫電(Transverse Electric, TE)模；隨著外加電壓的增加，Hx相對(duì)于Hy的振幅逐漸增加，非尋常光波所激勵(lì)的本征模式逐漸接近于準(zhǔn)橫磁(Transverse Magnetic, TM)模。因此，可以通過改變外加電壓來實(shí)現(xiàn)非尋常光波所激勵(lì)的偏振模式的轉(zhuǎn)換，即根據(jù)式(10)所示的調(diào)控規(guī)律能夠?qū)崿F(xiàn)基于液晶光波導(dǎo)的電控偏振旋轉(zhuǎn)器以及模式轉(zhuǎn)換器。

從式(10)還可以看到當(dāng)外加電壓超過閾值以后，非尋常光波所激勵(lì)的橫向磁場(chǎng)分量之間的比值不僅與當(dāng)前外加電壓有關(guān)，而且該比值與空間變量y也有關(guān)系，這將導(dǎo)致橫向磁場(chǎng)分量在y方向上的模場(chǎng)直徑并不相等。這一現(xiàn)象與文獻(xiàn)[14]中橫向磁場(chǎng)分量間模場(chǎng)直徑相等的結(jié)論有所不同，這是因?yàn)槲墨I(xiàn)[14]中是假設(shè)所有液晶分子的場(chǎng)致重新取向是一致的，即并未考慮液晶指向矢的旋轉(zhuǎn)是一維漸變的(本文中漸變方向?yàn)閥方向)。

總之，在外加電壓下，液晶指向矢的漸變旋轉(zhuǎn)對(duì)液晶光波導(dǎo)的模場(chǎng)分布有較大的影響，適用于常規(guī)均勻各向異性光波導(dǎo)的數(shù)值算法并不能直接有效地分析液晶光波導(dǎo)中的模場(chǎng)分布和場(chǎng)間關(guān)系。

4 結(jié) 論

針對(duì)橫向各向異性液晶光波導(dǎo)中模內(nèi)場(chǎng)間關(guān)系并不清晰以及傳統(tǒng)數(shù)值算法并不能直接分析具有錨定層的液晶光波導(dǎo)模場(chǎng)的情況，本文從解析上根據(jù)麥克斯韋方程組推導(dǎo)出液晶各向異性磁場(chǎng)耦合本征方程，并得出非尋常光的本征模場(chǎng)分量間關(guān)系受外加電壓調(diào)控的定量關(guān)系式,并使用光學(xué)軟件OptiBPM13.1進(jìn)行仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明，本文得出的可通過改變外加電壓來定量調(diào)控液晶光波導(dǎo)中非尋常光波激勵(lì)的偏振模式的物理規(guī)律是有效的，這一規(guī)律有助于推動(dòng)基于液晶光波導(dǎo)的偏振旋轉(zhuǎn)器和模式轉(zhuǎn)換器的研究。