姜人偉，楊樹濤，趙佳敏，李道奎，馬維力

(1. 國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院， 湖南 長沙 410073； 2. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院 北京宇航系統(tǒng)工程研究所， 北京 100076；3. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院， 湖南 長沙 410075)

薄板作為工程中應(yīng)用最廣泛的結(jié)構(gòu)之一，其理論誕生以來就一直受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注。由于薄板的靜、動力學(xué)控制方程均為高階偏微分方程[1]，因此國內(nèi)外大量學(xué)者都致力于研究其求解方法，例如Ritz法[2-3]、Navier法、Galerkin法及廣義變分原理法[4]等，這些方法大多具有一定的局限性，僅能求解特定的問題，不具有普適性，直到有限元方法的產(chǎn)生[5]，才徹底解決復(fù)雜薄板問題的求解方法。

隨著學(xué)者們的研究不斷深入，研究對象也已經(jīng)從宏觀領(lǐng)域拓展到納米領(lǐng)域，例如碳納米管[6]和石墨烯板[7]。該類對象的研究手段主要有三種途徑：實(shí)驗(yàn)方法、分子動力學(xué)方法和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方法。實(shí)驗(yàn)方法是能夠獲得結(jié)構(gòu)力學(xué)特性最直接、最有效的方法，類如Jena等[8]、Xu等[9]皆通過實(shí)驗(yàn)方法獲得了石墨烯的剪切特性、彈性模量、屈服強(qiáng)度等參數(shù)，但實(shí)驗(yàn)方法投入大、成本高，經(jīng)濟(jì)性較差。分子動力學(xué)方法是一種理論數(shù)值仿真手段，其能夠較好地獲得納米結(jié)構(gòu)原子運(yùn)動軌跡的微觀細(xì)節(jié)，進(jìn)而得到想要獲得的特性參數(shù)[10]，但其缺點(diǎn)也較明顯，即計算量大，即使是在計算機(jī)技術(shù)已經(jīng)非常先進(jìn)的今天，也仍難以對其進(jìn)行快速的計算。相比于上述兩種方法，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方法具有計算效率高、計算結(jié)果相對較準(zhǔn)確等優(yōu)點(diǎn)，因此其被廣泛應(yīng)用于納米結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為分析中。

學(xué)者們研究發(fā)現(xiàn)，適用于宏觀尺度的經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方法，由于納米尺度材料的尺度效應(yīng)，往往得不到理想的結(jié)果[11]。此時，Eringen提出了應(yīng)力梯度非局部連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論[12]，該理論認(rèn)為，物體中任一點(diǎn)的應(yīng)力不僅與該點(diǎn)的應(yīng)變有關(guān)，而且與其鄰域內(nèi)所有點(diǎn)的應(yīng)變皆有關(guān)，因此其能夠很好地考慮尺度效應(yīng)?；谠摾碚?，學(xué)者們對納米結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為做出了大量研究[13-16]。但同時，由于非局部理論中非局部應(yīng)力梯度項的引入，導(dǎo)致系統(tǒng)的能量泛函難以給出顯示表達(dá)式，給控制方程的求解帶來了一定的困難。

廣義有限積分變換方法為求解線性偏微分方程的重要方法[17]，鐘陽等[18-19]將其引入了彈性矩形薄板問題的求解中，并得到了理想的效果。該方法直接從控制方程出發(fā)，通過廣義有限積分變換將高階偏微分方程變換為線性方程組，進(jìn)而得到待求解問題的精確解。因此，廣義有限積分變換方法對求解非局部問題具有較好的適應(yīng)性。

本文旨在推導(dǎo)基于應(yīng)力梯度非局部薄板振動特性分析的廣義有限積分變換方法，并將計算結(jié)果與有限元法及已有文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文推導(dǎo)的正確性。在此基礎(chǔ)上，又研究了非局部參數(shù)、薄板的尺度對系統(tǒng)固有頻率的影響。

1 非局部薄板動力學(xué)控制方程

與傳統(tǒng)彈性理論不同，非局部彈性理論認(rèn)為物體中任一點(diǎn)的應(yīng)力不僅與該點(diǎn)的應(yīng)變有關(guān)，而且與其鄰域內(nèi)所有點(diǎn)的應(yīng)變皆有關(guān)。因此，在非局部彈性理論中，薄板的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以表示為

(1)

基于式(1)，考慮一個長為a，寬為b，厚度為h的矩形薄板，其動力學(xué)控制方程可以寫成

(2)

其中：ρ為薄板的材料密度；D=Eh3/12×(1-ν2)為薄板的彎曲剛度，E為薄板的彈性模量，ν為薄板的泊松比。

對于四邊固支邊界條件，可以表示為

(3)

2 廣義有限積分變換求解方法

為了求解式(2)與式(3)，定義二維廣義積分變換對

(4)

其中，Xm(x)和Yn(y)為適應(yīng)邊界條件式(3)的積分核函數(shù)，即

(5)

為滿足式(5)，Xm(x)和Yn(y)可取

(6)

其中，αm和βn分別需要滿足

(7)

cm和cn分別定義為

(8)

此時，積分核函數(shù)Xm(x)和Yn(y)具有以下性質(zhì)

(9)

對于控制方程(2)，設(shè)其解為

w(x,y,t)=W(x,y)sin(ωt+φ)

(10)

因此，控制方程(2)可改寫成

(11)

對式(11)中的每一項做廣義積分變換，并進(jìn)行分部積分并化簡，可得

(12)

其中，Imr、Ins、Jmr及Jns的表達(dá)式為

(13)

將廣義積分變換后的結(jié)果式(12)代入控制方程(11)，可以得到

(14)

整理式(14)，并改寫成矩陣形式，可得

(15)

其中

(16)

(17)

由于式(15)中W11、W12、…、Wtt不可能同時為零，因此式(15)成立的前提需要滿足行列式

(18)

式(18)中僅含有未知變量ω，通過求解該式，即可得到薄板的固有頻率。令非局部參數(shù)μ=0，上述求解過程即簡化為宏觀尺度下經(jīng)典彈性薄板理論的廣義有限積分變換求解方法。

3 結(jié)果分析

3.1 正確性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文推導(dǎo)的正確性，將本文計算方法結(jié)果與有限元法或已有文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對比。首先，令非局部參數(shù)μ=0，將廣義有限積分變換法的計算結(jié)果與有限元方法計算結(jié)果進(jìn)行對比，計算過程中取薄板的幾何參數(shù)及材料參數(shù)如下：邊長a=b=1 m，厚度h=0.005 m，密度ρ=2 700 kg/m3，彈性模量E=7.2×1010Pa，泊松比ν=0.33。計算結(jié)果對比見表1，計算中廣義有限積分變換法所取截斷項數(shù)為4，即t=4，可見本文所采用的廣義有限積分變換法的計算結(jié)果介于10×10單元和50×50單元的有限元法之間，這說明截斷項數(shù)為4的廣義有限積分變換法的計算精度要高于10×10單元的有限元法，同時這也驗(yàn)證了本文方法計算的正確性。

考慮納米尺度的非局部薄板，其幾何尺寸為：a=15 nm，a/b=1.5，厚度h=0.34 nm，密度ρ=2.25 g/cm3，彈性模量E=1.06 TPa，泊松比ν=0.25。在本算例中，固有頻率ωk將通過式(19)無量綱化。

(19)

將計算結(jié)果與文獻(xiàn)[14]中的算例結(jié)果進(jìn)行對比，如表2所示。由表2可知，在取不同的非局部參數(shù)μ時，本文方法與已有文獻(xiàn)中的結(jié)果吻合良好，進(jìn)而也驗(yàn)證了本文計算方法的正確性。

表2 不同非局部參數(shù)下固有頻率計算結(jié)果對比

3.2 參數(shù)影響分析

3.2.1 非局部參數(shù)對固有頻率的影響

圖1 固有頻率隨非局部參數(shù)變化規(guī)律Fig.1 Nonlocal parameter effects on the nature frequency

3.2.2 薄板尺度對固有頻率的影響

圖2與圖3分別給出了不同非局部參數(shù)下固有頻率比隨板的邊長變化規(guī)律和不同階模態(tài)隨板邊長的變化規(guī)律。在該算例中采用方形板，即a/b=1，厚度、密度及彈性模量等參數(shù)與之前算例相同。固有頻率比的定義如下：

(20)

圖2 不同非局部參數(shù)下固有頻率比隨板的邊長變化規(guī)律Fig.2 Dimension effects on the nature frequency for different nonlocal parameters

圖3 不同階固有頻率比隨板的邊長變化規(guī)律(μ=2 nm2)Fig.3 Dimension effects on the nature frequency for different mode (μ=2 nm2)

從圖2中可以看出，隨著薄板邊長的增大，非局部理論結(jié)果逐漸靠近經(jīng)典薄板理論計算結(jié)果，這也從側(cè)面說明了非局部理論在納米尺度下對薄板的固有頻率影響較大，但到了宏觀尺度下則可以不考慮非局部效應(yīng)，采用經(jīng)典的彈性薄板理論對結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析即可。從圖3中可以看出，高階模態(tài)的固有頻率比要小于低階模態(tài)的固有頻率比，該結(jié)論與文獻(xiàn)[20-21]中的結(jié)論相同，這也從另一個角度驗(yàn)證了計算的正確性。

4 結(jié)論

針對應(yīng)力梯度非局部薄板理論模型，推導(dǎo)了非局部薄板動力學(xué)特性求解的廣義有限積分變換方法，得到了非局部薄板的固有頻率，并將計算結(jié)果與有限元法及已有文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文方法的正確性。在此基礎(chǔ)上，研究了非局部參數(shù)、薄板的尺度對系統(tǒng)固有頻率的影響。主要結(jié)論如下：

1)廣義有限積分變換方法直接對非局部理論控制方程進(jìn)行積分變換，進(jìn)而對控制方程進(jìn)行求解，該方法可為難以寫出能量泛函的高階偏微分方程提供新的求解思路。

2)非局部參數(shù)的增大，薄板的固有頻率會減小，隨著模態(tài)階次的增高，其受非局部參數(shù)的影響也逐漸增大。

3)在納米尺度結(jié)構(gòu)分析時需要考慮非局部效應(yīng)，在宏觀尺度下則無須考慮。