劉西樂，趙名彥*，李如意，劉子輝，趙亞鋒，孫杰

?灌溉水源與輸配水系統(tǒng)?

標(biāo)準(zhǔn)I、II型馬蹄形斷面臨界水深直接計(jì)算式

劉西樂1，趙名彥1*，李如意1，劉子輝1，趙亞鋒1，孫杰2

（1.河北省水利科學(xué)研究院，石家莊 050051；2.河套學(xué)院，內(nèi)蒙古 巴彥淖爾 015000）

【】針對(duì)馬蹄形斷面幾何形式復(fù)雜，其臨界水深為高次超越方程，難以直接求解，現(xiàn)有公式多為分段函數(shù)且存在誤差大、適用范圍小等問題，提出一種方便實(shí)用且具有較高精度的臨界水深直接算法。通過對(duì)明渠臨界流方程進(jìn)行恒等變換，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)I、II型馬蹄形斷面臨界水深計(jì)算方程，基于數(shù)學(xué)理論構(gòu)造替代函數(shù)模型，并通過帶粒子釋放的優(yōu)化PSO算法對(duì)研究范圍內(nèi)的真值按照預(yù)設(shè)函數(shù)模型進(jìn)行逼近。建立了標(biāo)準(zhǔn)I、II型馬蹄形斷面臨界水深直接計(jì)算式。通過對(duì)現(xiàn)有公式的歸納比選、誤差分析及實(shí)例計(jì)算表明，該式形式簡(jiǎn)單不分段、計(jì)算方便快捷且物理概念明確，在工程實(shí)用范圍內(nèi)計(jì)算相對(duì)誤差絕對(duì)值最大分別為0.37%和0.40%，具有較高的計(jì)算精度。建立的馬蹄形斷面臨界水深直接計(jì)算式在簡(jiǎn)捷性、適用范圍、精度等方面綜合評(píng)價(jià)較好，實(shí)用推廣性強(qiáng)。

水力學(xué)；臨界水深；馬蹄形斷面；PSO算法

0 引 言

【研究意義】臨界水深是明渠流態(tài)判別的重要參數(shù)[1]，是明渠水工斷面設(shè)計(jì)和水力計(jì)算不可避免的要素，具有廣泛的應(yīng)用和較高的精度要求[2]?！狙芯窟M(jìn)展】由于臨界水深的求解無直接解析式，因此眾多學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，目前對(duì)于斷面形式較為簡(jiǎn)單的渠道，如梯形[3-5]、圓形[6-7]、城門洞[8-10]及懸鏈線形[10-11]等，其臨界水深計(jì)算研究已取得了不少成果，為實(shí)際工程問題的解決提供了很大便利。馬蹄形斷面適用于地質(zhì)條件差或洞軸線與巖層夾角較小的情況[12]，優(yōu)越的受力及過流條件使其在無壓輸水隧洞中的應(yīng)用越來越廣泛。馬蹄形斷面臨界水深常用求解方法有圖表法[13]、迭代法[14]、函數(shù)替代法[15-20]等。文獻(xiàn)[15-18]給出了馬蹄形斷面臨界水深的函數(shù)替代式，三者形式較為簡(jiǎn)單，但為分段函數(shù)，使用不便；文獻(xiàn)[19]引入特征參數(shù)，給出了馬蹄形斷面臨界水深計(jì)算通用式，公式同樣為分段函數(shù)；文獻(xiàn)[20]依據(jù)優(yōu)化擬合原理，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)，提出一種無須分段的簡(jiǎn)化計(jì)算方法，該式只適用于側(cè)拱段和部分頂拱段?！厩腥朦c(diǎn)】圖表法和迭代法存在計(jì)算精度低、計(jì)算煩瑣、收斂速度慢、使用不便等缺點(diǎn)，難以滿足工程實(shí)用要求。函數(shù)替代法使用方便應(yīng)用性強(qiáng)，但現(xiàn)有函數(shù)式多為分段函數(shù)，適用范圍小，且精度均在0.5%以上。【擬解決的關(guān)鍵問題】為此，本文對(duì)馬蹄形斷面臨界流水深計(jì)算方程組進(jìn)行恒等變換，將臨界水深求解問題轉(zhuǎn)化為求解非線性約束優(yōu)化問題，并構(gòu)造反函數(shù)模型。采用MATLAB軟件編程實(shí)現(xiàn)帶粒子釋放的優(yōu)化PSO算法，對(duì)預(yù)設(shè)模型進(jìn)行逼近擬合，以期提出一套形式簡(jiǎn)捷、物理概念明確、適用范圍較廣、精度較高的標(biāo)準(zhǔn)馬蹄形斷面臨界水深直接計(jì)算式。

1 臨界水深的基本計(jì)算方程

臨界水深是斷面單位能量最小的水深，可用于判別明渠水流流態(tài)[14]，其基本計(jì)算方程為：

式中：為流量（m3/s）；g為重力加速度（m/s2）；為流速分布不均勻系數(shù)，通常取1.0；為過水?dāng)嗝婷娣e（m2）；為水面寬度（m）。

1.1 標(biāo)準(zhǔn)馬蹄形隧洞斷面構(gòu)成

標(biāo)準(zhǔn)馬蹄形斷面是由2個(gè)不同半徑的4段圓拱組成，分別為1個(gè)半徑為的底拱、2個(gè)半徑為的側(cè)拱以及1個(gè)半徑為的頂拱，并根據(jù)的不同，又分為標(biāo)準(zhǔn)I型（=3）和標(biāo)準(zhǔn)II型（=2）。如圖1、圖2所示。

由圖1、圖2可知，標(biāo)準(zhǔn)I、II型馬蹄形過水?dāng)嗝嬗?種工況，即水面位于底拱段（0≤≤）、水面位于側(cè)拱段（＜≤）和水面位于頂拱段（＜≤）。不同工況下過水?dāng)嗝鎸?duì)應(yīng)的水深（m）；為底拱對(duì)應(yīng)的圓心半角或兩側(cè)拱對(duì)應(yīng)的圓心角（rad）；為水深處于底拱段時(shí)過水?dāng)嗝鎸拰?duì)應(yīng)的圓心半角（rad）；為側(cè)拱未臨水段對(duì)應(yīng)的圓心角（rad）；為水深處于頂拱段時(shí)過水?dāng)嗝鎸拰?duì)應(yīng)的圓心角（rad）；為底拱高（m）。

1.2 標(biāo)準(zhǔn)馬蹄形隧洞斷面水力要素

為統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)馬蹄形過水?dāng)嗝嫠σ兀腩愋蛥?shù)=/[19]，=3時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)I型馬蹄形斷面，=2時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)II型馬蹄形斷面（表1、表2）。

圖1標(biāo)準(zhǔn)I型馬蹄形過水?dāng)嗝?/p>

圖2 標(biāo)準(zhǔn)II型馬蹄形過水?dāng)嗝?/p>

表1 斷面相關(guān)參數(shù)

其水力要素如表2所示。

表2 標(biāo)準(zhǔn)馬蹄形斷面水力要素

1.3 標(biāo)準(zhǔn)I、II型馬蹄形斷面臨界流方程

由臨界水深基本計(jì)算方程和水力要素方程可知，標(biāo)準(zhǔn)I、II型馬蹄形斷面臨界流方程為高次隱函數(shù)，為簡(jiǎn)化計(jì)算過程，引入過水?dāng)嗝鏌o量綱參數(shù)=(Α2/g5)1/3以及無量綱臨界水深=/。則3種工況下的未知圓心角可用無量綱臨界水深表示：

無量綱水深界限參數(shù)取決于，由表1可知，=3時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)I型馬蹄形斷面，x取值約為0.129 173。=2時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)II型馬蹄形斷面，x取值約為0.177 124。將水力要素、過水?dāng)嗝嫣卣鲄?shù)以及3種工況下的未知圓心角（、和）代入式（1）中，可得標(biāo)準(zhǔn)馬蹄形過水?dāng)嗝媾R界水深隱函數(shù)表達(dá)式：

2 臨界水深的直接計(jì)算式

由式（3）可以看出，無量綱參數(shù)與無量綱臨界水深關(guān)系在數(shù)學(xué)角度上可理解為求解一個(gè)非線性高次連續(xù)分段方程的根，馬蹄形斷面臨界水深的計(jì)算實(shí)質(zhì)為求解函數(shù)=()（∈[0,2]）的反函數(shù)，即值域?yàn)閇0，2]的函數(shù)=-1()。由圖3可知，標(biāo)準(zhǔn)I、II型馬蹄形斷面定義域分別為[0，11.122]和[0，10.888]，當(dāng)其他物理量已知時(shí)，臨界水深的計(jì)算也就轉(zhuǎn)化為求解定義域內(nèi)的唯一正實(shí)根。由=0.001開始，以0.005步長(zhǎng)代入式（3），求得共806組精確數(shù)值，繪制成圖3。

圖3 無量綱臨界水深x與無量綱參數(shù)k函數(shù)關(guān)系

觀察圖3并分析無量綱臨界水深與無量綱參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，構(gòu)造反函數(shù)模型：

由圖3可以看出，無量綱臨界水深的取值范圍理論上為[0，2]。在實(shí)際工程中，臨界水深很小的工況極為少見，臨界水深很小時(shí)計(jì)算實(shí)際意義不大，因此標(biāo)準(zhǔn)I、II型斷面模型擬合范圍下限分別定為0.120和0.165，水深范圍包含了部分底拱段。為避免隧洞輸水過程中產(chǎn)生明滿流交替的水流現(xiàn)象，無壓隧洞水面以上的空間一般不小于隧洞斷面的15%，頂部?jī)艨崭叨炔恍∮?0cm[12]，不同于正常水深，臨界流是一種對(duì)應(yīng)明渠水流斷面比能最小的水流現(xiàn)象，既可以產(chǎn)生于某一渠段內(nèi)，也可產(chǎn)生在某一過水?dāng)嗝嫔?，因此考慮到實(shí)際可能存在的情況，文中I、II型斷面無量綱臨界水深上限均取為2，遠(yuǎn)滿足工程要求。因此無量綱臨界水深的取值范圍分別為[0.120，2]和[0.165，2]，相應(yīng)的無量綱參數(shù)為[0.114，11.122]和[0.151，10.888]。通過MATLAB編程實(shí)現(xiàn)帶粒子釋放的優(yōu)化PSO算法對(duì)研究范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)按照預(yù)設(shè)函數(shù)模型進(jìn)行逼近，經(jīng)對(duì)公式簡(jiǎn)化后得出以下標(biāo)準(zhǔn)馬蹄形斷面臨界水深直接計(jì)算式：

標(biāo)準(zhǔn)I型（=3）：

標(biāo)準(zhǔn)II型（=2）：

3 精度分析

為驗(yàn)證式（5）和式（6）的準(zhǔn)確性，在給定的研究范圍內(nèi)選取一系列的值，代入標(biāo)準(zhǔn)I、II型馬蹄形斷面臨界流方程組求得相對(duì)應(yīng)的無量綱參數(shù)值，再將值代入式（5）和式（6）求得無量綱臨界水深的近似值*，并由式（7）求解相對(duì)誤差：

式中：x為無量綱臨界水深初擬值；為無量綱參數(shù)；為無量綱臨界水深近似計(jì)算值；Δ為相對(duì)誤差。計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)如表3和表4所示。

由表3和表4擬合精度比較可知，本文直接計(jì)算式精度較高，其中標(biāo)準(zhǔn)I、II型馬蹄形斷面在分析范圍內(nèi)最大誤差絕對(duì)值分別為0.37%和0.40%，誤差絕對(duì)值平均分別為0.218%和0.219%，本文提出的函數(shù)模型形式經(jīng)逼近后所得式（5）和式（6）具有較高的替代性，公式精度完全滿足工程實(shí)踐的需求。

4 分析與評(píng)價(jià)

馬蹄形斷面由于受力特性和水力條件好而被廣泛應(yīng)用于各種輸水工程中，在無壓輸水隧洞中較為常見。因此眾學(xué)者在探尋標(biāo)準(zhǔn)馬蹄形斷面臨界水深的簡(jiǎn)便計(jì)算方法方面進(jìn)行了較多研究。傳統(tǒng)的圖表法存在人為誤差較大、迭代法存在計(jì)算繁瑣且收斂速度慢等問題[16]，因此函數(shù)替代法逐漸被有關(guān)學(xué)者所采用，以王正中[15]、LIU Jiliang[9]、張寬地[16]、趙延風(fēng)[19]以及吳國(guó)慶[17]等為典型代表。但這些方程組為分段函數(shù)，使用前需進(jìn)行臨界流量的判別，且計(jì)算誤差較大。鄭博[20]提出了一種冪指函數(shù)形式計(jì)算公式，無須分段直接計(jì)算。但該公式計(jì)算精度偏低、適用范圍較小、函數(shù)關(guān)系復(fù)雜，不便于工程界推廣。表5歸納了現(xiàn)有計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)馬蹄形斷面臨界水深精度在1%及以下的計(jì)算公式和筆者提出的公式，并繪制出了文獻(xiàn)[20]公式和下文公式的誤差分布圖（見圖4和圖5）。

表3 式（5）誤差分析

表4 式（6）誤差分析

圖4 標(biāo)準(zhǔn)I型相對(duì)誤差分布圖

圖5 標(biāo)準(zhǔn)II型相對(duì)誤差分布圖

表5列出了函數(shù)替代法較為典型的11套公式，對(duì)這些公式從簡(jiǎn)捷性、適用范圍、精度方面進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。從公式簡(jiǎn)捷性來看，LIU Jiliang公式、趙延風(fēng)公式、張寬地公式以及吳國(guó)慶公式均為分段函數(shù)，使用時(shí)需進(jìn)行適用條件判斷，較為不便。鄭博公式和作者公式不分段，實(shí)際工作中僅需借助具有計(jì)算器功能的工具即可快速求解，方便廣大基層工程技術(shù)人員應(yīng)用；從公式適用范圍來看，各公式均涵蓋了工程常用范圍，LIU Jiliang公式、趙延風(fēng)公式、張寬地公式以及吳國(guó)慶公式包含了小流量工況，適用性更強(qiáng)，本文公式次之，范圍涉及部分底拱段、側(cè)拱段和頂拱段。鄭博公式范圍最小，為側(cè)拱段和部分頂拱段。就公式精度而言，LIU Jiliang公式和吳國(guó)慶公式誤差最大，最大誤差在1%及以上。趙延風(fēng)公式、張寬地公式和鄭博公式最大誤差在0.5%～1%之間，本文公式最大誤差為0.40%，是目前精度最高的計(jì)算公式。

為驗(yàn)證無須分段的直接計(jì)算式的有效性及誤差全程分布情況，繪制文獻(xiàn)[20]公式及式（5）、式（6）誤差分布曲線，如圖4、圖5所示。從圖4和圖5同樣可以看出，式（5）和式（6）計(jì)算精度完全滿足工程需求，誤差分布曲線成一定周期性擺動(dòng)，無明顯的凹凸點(diǎn)，具有一定的可延展性。標(biāo)準(zhǔn)I型誤差范圍為[-0.32%，0.37%]，標(biāo)準(zhǔn)II型誤差范圍為[-0.39%，0.4%]。綜合來看，本文公式形式較為簡(jiǎn)捷、適用范圍較廣、精度最高，是目前計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)I、II型馬蹄形斷面臨界水深的綜合性能較優(yōu)公式。

表5 標(biāo)準(zhǔn)馬蹄形斷面臨界水深公式替代法統(tǒng)計(jì)表

5 應(yīng)用算例

滇中引水工程從金沙江虎跳峽以上河段引水，以解決滇中地區(qū)嚴(yán)重缺水問題。其中大理II段獅子山隧洞，全長(zhǎng)29482m，采用無壓引水方式，設(shè)計(jì)流量135m3/s，斷面形式采用標(biāo)準(zhǔn)II型馬蹄形斷面，圓拱半徑=4.65m，以此實(shí)例驗(yàn)證本文公式精度及適用性。

解：根據(jù)算例中已知參數(shù)計(jì)算無量綱參數(shù)：

將無量綱參數(shù)代入式（6）中得：

=0.04+(0.009+11-6.43)-0.142 7=0.716 8 。

經(jīng)迭代試算的精確解為0.7187，相對(duì)誤差為=0.26%，求解結(jié)果的精度滿足工程設(shè)計(jì)要求。

6 結(jié) 論

1）本文所建公式形式簡(jiǎn)單，物理概念清晰，計(jì)算方便快捷，易于推廣。公式采用復(fù)合冪函數(shù)形式，無須進(jìn)行分段判別可直接進(jìn)行計(jì)算。適用范圍包含了部分底拱段、側(cè)拱段和頂拱段，滿足工程常用范圍需求。在實(shí)際應(yīng)用中只需借助計(jì)算器即可計(jì)算，克服了查圖、查表法的煩瑣和迭代計(jì)算收斂慢的問題，減輕了基層工程技術(shù)人員工作量。

2）通過精度比較和實(shí)例計(jì)算，在適用范圍內(nèi)計(jì)算相對(duì)誤差絕對(duì)值最大分別為0.37%和0.40%，具有較高的計(jì)算精度。并從簡(jiǎn)捷性、適用范圍、精度三方面對(duì)現(xiàn)有的替代公式進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，本文公式綜合性能較好，可為灌區(qū)引水工程和水利水電輸水隧洞工程馬蹄形斷面設(shè)計(jì)及運(yùn)行管理提供有益參考。

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Formulae for Calculating the Critical Water Depth in Standard I and II Horseshoe-shaped Open Channels

LIU Xile1, ZHAO Mingyan1*, LI Ruyi, LIU Zihui, ZHAO Yafeng, SUN Jie2

(1. Hebei Provincial Academy of Water Resources, Shijiazhuang 050051, China;2. Hetao University, Bayannur 015000, China)

【】Critical water depth is an important design parameter of open channels. Since standard horseshoe-shaped open channel does not have strict requirements on geological environment and is convenient to construct, it has been widely used in water conveyance projects in both irrigation and other areas. However, the horseshoe-shape is geometrically complex and the calculation of its critical water depth is more difficult than other types of channels. The objective of this paper is to propose an alternative method to overcome this shortcoming.【】We first transformed the critical water depth problem to a nonlinear constrained optimization problem via the identity- transformation of the open channel critical flow equation. We then constructed an inverse function model with the optimization solved by the PSO algorithm with particle release. The results calculated in the practical range was approximated by a pre-set function, from which we derive a formula to calculate the critical water depth for standard I and II horseshoe-shaped channels.【】①Comparison with existing formulas showed that the proposed formula is simple and does not need segmentation; it is thus more efficient and physically sound as it comprises compounded power functions only. The formula can be used to design the bottom arch section, side arch section and top arch section of the open channels, it is thus practically useful for practitioners because its ease for use. ②Comparison with experimental data showed the maximum relative error of the proposed formula for standard I and II channel was 0.37% and 0.40%, respectively, which is comparable to, if not lower than, the existing formulae.【】The formula we proposed for calculating the critical water depth in horseshoe-shaped open channels is accurate and efficient. It can be used by researchers and practitioners to design water-conveyance channels in irrigation projects and other areas.

Hydraulics; critical water depth; horseshoe-shaped open channel; PSO algorithm

劉西樂, 趙名彥, 李如意, 等. 標(biāo)準(zhǔn)I、II型馬蹄形斷面臨界水深直接計(jì)算式[J]. 灌溉排水學(xué)報(bào), 2021, 40(12): 142-148.

LIU Xile, ZHAO Mingyan, LI Ruyi, et al. Formulae for Calculating the Critical Water Depth in Standard I and II Horseshoe-shaped Open Channels[J]. Journal of Irrigation and Drainage, 2021, 40(12): 142-148.

TV131.4

A

10.13522/j.cnki.ggps.2021005

1672 - 3317（2021）12 - 0142 - 07

2021-01-05

河北省水利科研與推廣計(jì)劃項(xiàng)目（2018-9）；拋物線型混凝土襯砌渠道在河套灌區(qū)的應(yīng)用研究（NJZY17386）

劉西樂（1993-），河北石家莊人。碩士研究生，主要從事水力學(xué)及河流動(dòng)力學(xué)方面的研究。E-mail：liuxile0126@163.com

趙名彥（1982-），女。高級(jí)工程師，主要從事水工水力學(xué)及水土保持方面的研究。

責(zé)任編輯：趙宇龍