張寧寧

（1.河北省水利規(guī)劃設計研究院有限公司，石家莊 050021；2.西北農(nóng)林科技大學水利與建筑工程學院，陜西咸陽 712100）

平面應變狀態(tài)是目前工程中廣泛存在的一種應力狀態(tài)，這種應力狀態(tài)只在平面內(nèi)有應變，而與該平面垂直方向上應變可以忽略，但存在一定的壓應力。具有這種特性的物體其一個方向的尺寸（通常沿軸線方向）比另外兩個方向的尺寸大很多，且沿軸線方向的橫截面形狀和大小無變化，如重力壩、堤防及條形基礎等。 分析土體處于平面應變狀態(tài)下的強度與變形是工程中經(jīng)常遇到的一個問題， 但在平常工作中卻忽略了這種特殊應力狀態(tài)， 常以常規(guī)三軸壓縮試驗得到的強度指標（c、φ）來代替平面應變狀態(tài)下的強度指標，這種代替顯然不符合實際情況；三軸試驗的三向應變均不為零， 而當土體處于平面應變狀態(tài)時，其中主應力σ2方向（通常沿軸線方向）的應變dε2=0， 這就對土體在dε2方向的變形發(fā)展得到了限制，進而使得中主應力σ2變的更大，這種應力狀態(tài)不僅對土體的強度有一定增強作用， 而且還隨著土體的有效內(nèi)摩擦角的增大而增大， 即采用常規(guī)三軸試驗的強度指標用于平面應變狀態(tài)下是偏于保守的，這種強度指標只能作為參考使用，并不能代替，但兩者又有一定聯(lián)系。因此，建立兩種應力狀態(tài)下的強度參數(shù)之間的關系式有重要意義。

諸多研究者對于平面應變狀態(tài)下土體的內(nèi)摩擦角φps值和三軸壓縮狀態(tài)下土體的內(nèi)摩擦角φtc值兩者之間提出了各種關系式。 朱思哲［1］通過試驗證明在平面應變狀態(tài)下， 土體的強度和變形特性與三軸試驗的結果有明顯不同，對于同樣的砂，平面應變下的φps值約比三軸壓縮下的φtc值高出4°～7°，并且提議在選取土體強度參數(shù)φ時，取平面應變的φps值比三軸壓縮下的φtc值要經(jīng)濟合理。 姚仰平等［2-3］將本構模型與SMP準則相結合考慮了應變增量方向與應力方向的非共軸性，并給出了擴展SMP準則。

本文基于擴展的SMP準則和佐武的平面應變狀態(tài)， 推導建立了適合各種應力狀態(tài)下的一般黏性土體的平面應變強度公式， 并且通過試驗驗證了該公式的合理性。

1 一般黏性土的破壞準則

1.1 漬ps與漬tc之間關系推導

對于各項同性的無黏性土， 三軸壓縮狀態(tài)下對應明確的應力條件（滓1＞滓2=滓3）和應變條件（dε1＞dε2=dε3）； 而土體在平面應變狀態(tài)下只對應著明確的應變條件（dε2=0），應力條件不確定。 因此，通過理論建立平面應變狀態(tài)下的應力條件， 對于研究其強度公式是非常必要的。 Satake［4］推導出了平面應變狀態(tài)下的應力條件：

圖1顯示， 在子～滓空間上兩個應力摩爾圓的公切線恰好通過坐標原點， 這表明由應力比控制的摩擦性材料， 在平面應變狀態(tài)下兩個小摩爾圓具有相等的貢獻。

圖1 摩擦性材料的Mohr圓

式（2）中建立滓1、滓2及滓3之間的關系，可以繪制圖2所示的摩爾圓， 兩個小摩爾圓的公切線為水平直線，這表明對于由剪應力控制的金屬（黏著性）材料，在平面應變狀態(tài)下兩個小摩爾圓具有相等的貢獻。

圖2 金屬材料的Mohr圓

由式（1）與（2）知，材料的特性不同，平面應變狀態(tài)下中主應力與其他兩個主應力滓1、滓3的關系也不同。

對于完全摩擦性的無黏土， 由上文可知應力摩爾圓的公切線均會通過坐標原點， 但在實際中土體并非完全摩擦性材料， 強度破壞包線一般不通過原點，與子軸有一定截距。 假設強度破壞包線總是通過一個公共點O0，如圖3。

圖3 擴展的SMP準則

式（13）就是根據(jù)擴展的SMP破壞準則和Satake的平面應變狀態(tài)下的應力條件式得出的平面應變下一般黏性土體的破壞條件。 若把平面應變狀態(tài)下土體的內(nèi)摩擦角用φps表示，則按照內(nèi)摩擦角的定義：

式（15）為平面應變狀態(tài)下內(nèi)摩擦角φps與三軸壓縮條件下內(nèi)摩擦角φtc之間的函數(shù)關系， 繪制φps與φtc之間的關系曲線如圖4。

圖4 φPS與φtc之間的關系曲線

由圖4可看出， 當內(nèi)摩擦角在0°＜φtc＜90°范圍內(nèi)時，φps＞φtc。 所以平面應變狀態(tài)下的內(nèi)摩擦角大于三軸壓縮條件下的內(nèi)摩擦角， 但目前的實際工程平面應變的分析中采用三軸壓縮試驗得到的抗剪強度參數(shù)φ是偏于保守的。 由圖還可看出，φps與φtc有良好的相關關系，φps可用φtc來表示，其關系式為：

且相關系數(shù)高達R2=0.9998。

1.2 cps與ctc之間關系推導

在平面應變下一般材料的Mohr-Coulomb破壞準則為：

圖5 kps與φtc之間的關系曲線

2 試驗值與預測值比較

本文采用涇陽、楊凌、子洲、北楊村及蘭州5個不同地區(qū)的黃土分別進行平面應變試驗及三軸壓縮試驗，來驗證公式的合理性［7］。 圖6為φps的試驗值與預測值結果比較； 圖7為cps的試驗值與預測值結果比較。 由圖6知，不同地區(qū)的黃土在平面應變狀態(tài)下的內(nèi)摩擦角φps預測值與實測值相接近，說明式（15）理論推導的正確性及合理性。 由圖7可知，不同地區(qū)的黃土在平面應變狀態(tài)下的黏聚力cps實測值均落到預測值區(qū)域范圍內(nèi)，說明式（2）～式（23）理論推導的正確性及合理性。

圖6 φps的試驗值與預測值結果比較

圖7 cps的試驗值與預測值結果比較

3 結語