盧正超，蘆綺玲，王 雪，劉學強

（1.流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國家重點實驗室，北京 100038；2.中國水利水電科學研究院 水電中心，北京 100038；3.山西省水利發(fā)展中心，山西 太原 030002；4.邵東市邵水管理所，湖南 邵陽 422800）

1 研究背景

高混凝土壩的應力問題一直是大家關注的重點［1-2］。根據(jù)我國現(xiàn)行的混凝土壩監(jiān)測技術規(guī)范，對于1級混凝土大壩來說，混凝土應力應變觀測為必設項目。混凝土應力應變觀測的目的是了解壩體的實際應力分布，尋找最大應力（拉、壓應力和剪應力）的位置、大小和方向，評價大壩的強度安全程度，為大壩的運行和加固維修提供依據(jù)。我國新建的高混凝土壩，特別是拱壩，布置了數(shù)量眾多的應變計組。如：二灘拱壩［3］（H=240 m）布置了41組應變計組（6向29組，3向6組，2向35組），小灣拱壩［4］（H=294.5 m）布置了148組（9向57組，7向73組，5向18組），溪洛渡拱壩［5］（H=284.5 m）布置了145組（6向69組，5向66組，3向10組），烏東德大壩［6］（H=270 m）布置了68組（9向24組，7向38組，2向6組）。

應變計（組）觀測混凝土應力應變本身具有很多干擾因素，導致觀測成果的精度長期以來存在較大爭議。利用應變計組測值計算混凝土應力的基本假定是，同組的應變計（及無應力計）應符合點溫度條件和點應力條件。點溫度條件指的是，同組的應變計（及無應力計）同測時溫度測值的極差應在誤差范圍之內(nèi)，工程上一般按1℃控制。點應力條件指的是，同組各應變計同測時的應變測值應滿足彈性力學第一應變不變量原理，即某點互相垂直的三向正應變之和，不因選擇的方向改變而改變。所謂的應變不平衡量，從數(shù)學上來說是多余觀測帶來的不滿足第一應變不變量原理的量；從物理上來說，應變不平衡量產(chǎn)生的原因很多，不只是觀測誤差引起的，還有諸如應變計組的各支應變計并不真正在一個“點”上，埋設時不能保證應變計的軸線在空間上兩兩垂直等因素。因此，應變計組應力計算中很重要的一個步驟是應變不平衡量的檢查和處理。不平衡量調(diào)整的目的，主要為了合理地分配誤差，得到應變的最或是值，提高觀測精度。經(jīng)驗表明，應變計組的應變不平衡量，由于各種原因最大可能達到20 με～30 με左右，這相對于大壩混凝土最大100 με左右的拉應變來說是很可觀的，不合適的處理可能引入不必要的系統(tǒng)性偏差。但從此前流行甚廣的專業(yè)書籍［7-8］和近年發(fā)表的一系列期刊文章或?qū)W位論文［9-17］來看，應變不平衡量處理存在一些不盡合理甚至錯誤的做法：

（1）儲海寧［7］給出了4向和9向應變計組應變不平衡量調(diào)整的公式，朱趙輝［9］等針對7向應變計組給出了類似的公式，但二者均未給出理論依據(jù)，基本是按照一個平面內(nèi)的四支應變計平分其不平衡量，7向、9向應變計組的不平衡量調(diào)整公式不滿足各支應變計應變不平衡量調(diào)整（或稱改正數(shù)）平方和最小的原則。文獻［7，10-12］等采用了與此相同的公式。

（2）郭晨［13］利用最小二乘法給出了7向應變計組應變不平衡量調(diào)整的公式。但在構造最小二乘函數(shù)時，實際上將共用的應變計重復計算了一次。鑒于7向應變計組這一測量體系只有同精度的7支儀器，共用的應變計只是因其位置特殊，其測值用于兩個平面的計算，重復計算相當于提高了其精度指標，于理無據(jù)，因此其給出的改正數(shù)公式不能認為是正確無誤的。此公式被文獻［14-15］直接或間接引用。

（3）黃浩［16］利用最優(yōu)化平衡法進行應變計組平衡，某種程度上將問題復雜化了，在數(shù)學上實際上和文獻［13］的最小二乘方法一樣。文獻［17］的五向應變計組不平衡量修正公式有誤。

本文利用條件平差的有關算法，來統(tǒng)一處理各向應變計組的不平衡量調(diào)整問題。

2 應變計組的常見結構型式

國內(nèi)混凝土大壩工程中常用的應變計組的結構型式有4向、5向、7向和9向，如圖1所示。多向應變計組一般安裝在如圖2（a）所示的球形組合安裝支架上，錦屏一級大壩則采用了一種新型的如圖2（b）所示金字塔形支架［11］，支架由6 mm直徑鋼筋焊接而成，改進了前者易受到施工破壞且方向難于保證的問題，值得推廣應用，其5向和9向應變計組布置見圖3（拓撲結構實際上和圖1（b）、圖1（d）等價）。二灘大壩采用了2向、3向、6向應變計組，分別用于壩體上、下游面和內(nèi)部應力監(jiān)測。

圖1 應變計組常見結構型式

圖2 9向變計組安裝支架

圖3 錦屏一級大壩應變計組埋設示意圖

3 應變計組應變不平衡量調(diào)整的傳統(tǒng)方法

混凝土內(nèi)部任一點的空間應變?yōu)槎A張量，具有6個獨立的應變分量，而同一平面內(nèi)獨立的應變分量有3個。對于前述4向（或5向）、7向和9向應變計組，分別有1個、2個和3個平面內(nèi)布置了有4支應變計（平面內(nèi)間隔成45°角），存在多余觀測。按第一應變不變量原理，理論上同一平面內(nèi)兩兩軸線互相垂直的4支應變計（s1與s2互相垂直，s3與s4互相垂直，參見圖1（a）或圖1（b））的應變值應滿足下述條件：

實際上，由于混凝土并非理想的均勻連續(xù)介質(zhì)以及觀測誤差的存在，上式往往不能成立，而存在不平衡量Δ1。

應變計s1～s4的改正數(shù)δ1～δ4如下式（3）：

對于圖1（c）中的7應變計組，不平衡量為公式（4），其中Δ1、Δ2為不平衡量，應變計s1～s7的改正數(shù)δ1～δ7如下式（5）：

對于圖1（d）中的9應變計組，不平衡量為式（6），其中Δ1、Δ2、Δ3為不平衡量，應變計s1～s4的改正數(shù)δ1～δ9為式（7）：

上面的式（3）、式（7）與文獻［7］一致，式（5）與文獻［9］一致。

4 基于條件平差算法的不平衡量調(diào)整

4.1 條件平差算法 在測繪學中，利用基于最小二乘原理的條件平差法對多余觀測帶來的閉合差進行檢查和處理，其主要目的是消除觀測值中的矛盾，合理分配誤差，求出觀測值或其函數(shù)的最或是值，提高觀測精度［18］。應該明確指出，應變計組的不平衡量調(diào)整問題，數(shù)學上與條件平差問題是完全等價的。下面采用條件平差算法對各向應變計組的不平衡量調(diào)整進行統(tǒng)一的處理。采用以下符號：

設有n個應變測值為：s1，s2，…，sn

調(diào)整以后的應變值（最或是值）為：ε1，ε1，…，εn

各測值的權為：P1，P2，…，Pn

各測值的改正數(shù)為：δ1，δ2，…，δn

r個條件方程的應變不平衡量（或稱改正數(shù)，相當于測繪學中的閉合差）為：Δ1，Δ2，…，Δr

設A為條件方程的系數(shù)矩陣，D為改正數(shù)矩陣，E為不平衡量矩陣，S為應變測值矩陣，即：

根據(jù)第一應變不變量原理，得到r個條件方程：

r個不平衡量滿足下式：

從而得到r個條件方程的矩陣形式：

鑒于n＞r，式（10）的解不唯一。我們需要的是改正數(shù)平方和[pdd]=min（最?。┑奈ㄒ灰唤M改正數(shù)：δ1，δ2，…，δn。根據(jù)求條件極值的原理，設函數(shù)

為求函數(shù)Φ的極值，對上式（12）的變量D求一階偏導，并令其為零，求解得到：

將式（13）代入式（10），并設過渡矩陣

得到聯(lián)系數(shù)矩陣：

將式（15）帶入式（13），注意到N為對稱矩陣，即可求解得到改正數(shù)矩陣：

對上述推導細節(jié)感興趣的讀者，可參閱文獻［18］。

4.2 九向應變計組應變不平衡量改正數(shù) 假定各應變計等精度，權矩陣P為單位矩陣。考慮圖1（d）中的九向應變計組，根據(jù)其不平衡量方程（6）得到系數(shù)矩陣A：

將式（17）帶入式（14）得到過渡矩陣N，進而得到：

改成工程上常用的形式即：

得到調(diào)整后的應變值：εi=si+δi，i=1，…，9。

4.3 七向應變計組應變不平衡量改正數(shù) 同樣假定各應變計等精度，權矩陣P為單位矩陣可略去。采用與上述相同的方式進行演算，考慮圖1（c）的七向應變計組，利用其不平衡量方程（4）得到系數(shù)矩陣A：

將式（20）帶入式（14）得到過渡矩陣N，進而得到：

改成工程上常用的形式即：

得到調(diào)整后的應變值：εi=si+δi，i=1，…，7。

4.5 幾點討論 根據(jù)上面的演算結果，討論如下：

（1）傳統(tǒng)的應變不平衡量調(diào)整式（5）和式（7）的基本思路是按照一個平面內(nèi)的四支應變計平分所在平面內(nèi)的不平衡量，沒有明確的數(shù)學基礎，不滿足應變不平衡量改正數(shù)平方和最小的原則，對于不完全相同的兩個平面共用的應變計，其改正數(shù)（如公式（5）和（7）中的δ1、δ2和δ3）屬強令相等取平均，沒有顧及應變計組中各應變計的空間相對位置關系，其他各支也同樣存在數(shù)學處理與物理意義不符問題。

（3）從一般意義上來說，式（19）和式（22）中代數(shù)表達式的結構清楚地表明，改正數(shù)與應變計組中各應變計的空間相對位置關系有關：對于兩個平面共用的應變計，其改正數(shù)關于兩個平面的不平衡量對稱；僅在一個平面內(nèi)的應變計，其改正數(shù)關于另外兩個平面的不平衡量對稱，顯然具有清晰的物理意義。

（4）鑒于式（19）和式（22）中各應變計的改正數(shù)與應變計的空間相對位置關系有關，對于編號與圖1中編號順序不同的應變計組來說，需要調(diào)整編號順序。為避免混淆或符號錯誤，基于物理概念，可采用下述方法（利用前述算法數(shù)學上可嚴格證明，因篇幅所限，此處略去）：對9向應變計組，以圖3所示錦屏一級大壩的九向應變計組為例，首先寫出不平衡方程：

（5）若應變計組中的某支或某幾支存在測值異常，不可直接套用式（19）和式（22），而應該根據(jù)具體退化后剩余的不變量個數(shù)的情形而定，選擇7向或5向的調(diào)整式（以及下述8向或6向調(diào)整公式）或不進行調(diào)整。比如，圖1（d）中所示九向應變計組的s8或s9損壞數(shù)據(jù)不可用，則式（6）中第3式無意義，s8和s9不能進行平差調(diào)整，其他各支按7向的公式進行調(diào)整；圖1（d）中所示九向應變計組兩平面共用的s1損壞數(shù)據(jù)不可用時，平差調(diào)整按下式進行（可視為8向應變計組平差調(diào)整）：

其中，s1可以通過平面內(nèi)插補得到。其他各支損壞的公式可類推。對于圖1（c）中所示七向應變計組的s3損壞數(shù)據(jù)不可用時，平差調(diào)整按下式進行（可視為6向應變計組平差調(diào)整）：

其中，s3可以通過平面內(nèi)插補得到。圖1（c）中所示七向應變計組的損壞s3以外的1支，按5向的公式進行調(diào)整。其他各支損壞的公式可類推。

（6）對于前述2向、3向、6向應變計組，因為沒有多余觀測，不存在不平衡，自然也就沒有不平衡量調(diào)整的問題。

5 結論

本文利用條件平差的有關算法處理多向應變計組的不平衡量調(diào)整問題，得到如下結果：

（1）應變計組的不平衡量調(diào)整與測繪學的條件平差問題在數(shù)學上完全等價，利用其算法得到的9向、7向應變計組的應變不平衡量調(diào)整公式，與目前習用的公式相比，具有更嚴格的數(shù)學基礎和更明確合理的物理意義，有助于提高混凝土應變監(jiān)測的數(shù)據(jù)質(zhì)量。

（2）首次得到9向、7向應變計組因無效及故障失效退化后的8向、6向應變計組的應變不平衡量調(diào)整公式。

（3）該方法也可用于研究不等精度測量問題。

（4）在應變不平衡量調(diào)整改正數(shù)計算前，應檢查同組的應變計是否滿足點溫度和點應力條件。對不滿足點應力條件的應變計組，應檢查各支應變計是否異?；虼嬖谙到y(tǒng)誤差；存在系統(tǒng)誤差的應變計，視為無效儀器。根據(jù)應變計組退化情況（排除無效及故障失效儀器），具備平差條件時，應用本文給出的相關公式對剩余的正常工作的應變計進行應變不平衡調(diào)整計算。