張彥斌 王科明 蘆風(fēng)林 魏雪敏 王科峰

1.河南科技大學(xué)機電工程學(xué)院，洛陽，4710032.機械裝備先進(jìn)制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，洛陽，471003

0 引言

在醫(yī)療康復(fù)、航空航天等應(yīng)用領(lǐng)域，含有兩個轉(zhuǎn)動自由度(2R型)的機構(gòu)常作為執(zhí)行機構(gòu)用于姿態(tài)調(diào)整。并聯(lián)機構(gòu)具有精度高、結(jié)構(gòu)緊湊、響應(yīng)快等優(yōu)點，故2R型并聯(lián)機構(gòu)適合作為姿態(tài)調(diào)整裝置的本體結(jié)構(gòu)[1-4]。國內(nèi)外學(xué)者對兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行了諸多研究和分析。侯雨雷等[5]提出一種新型RU-RPR兩轉(zhuǎn)動解耦并聯(lián)機構(gòu)，討論了機構(gòu)的位置正反解和奇異性。CARRICATO[6]設(shè)計出一類分支含有等速比關(guān)節(jié)的2R和3R型的解耦并聯(lián)機構(gòu)。范彩霞等[7]提出了一種完全解耦的二自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)，并進(jìn)行了運動學(xué)和奇異性分析。張彥斌等[8]設(shè)計出一種適用于踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人的2R型RR-RURU并聯(lián)機構(gòu)，并對其運動學(xué)和完全各向同性條件進(jìn)行了分析。GOGU[9]基于線性變換理論提出了一種完全各向同性的過約束2R型并聯(lián)機構(gòu)綜合方法。XU等[10]通過分析施加到動平臺上的分支約束力的空間排列關(guān)系，設(shè)計出一類具有2個連續(xù)轉(zhuǎn)軸的2R并聯(lián)機構(gòu)。ZENG等[11]基于約束螺旋理論，建立一種轉(zhuǎn)動解耦并聯(lián)機構(gòu)的綜合方法，并得到一類兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)。SYRSELOUDIS等[12]提出一種可作為人體踝關(guān)節(jié)康復(fù)裝置的新型混聯(lián)二自由度轉(zhuǎn)動機構(gòu)，并對其進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化和傳遞性能分析。

目前，普通并聯(lián)機構(gòu)的分支運動鏈數(shù)等于其自由度數(shù)，主動副平均分配在各條分支中，即每一條分支運動鏈均為主動分支[13-15]。某些分支運動鏈數(shù)大于機構(gòu)自由度數(shù)的并聯(lián)機構(gòu)至少有一個分支不含主動副，該類分支僅向機構(gòu)動平臺提供約束而不提供驅(qū)動力，稱其為純約束分支。純約束分支末端構(gòu)件的運動輸出特性與機構(gòu)動平臺的運動輸出特性完全相同時，該約束分支稱為恰約束分支[16-17]。文獻(xiàn)[18-19]指出，與不含恰約束分支的并聯(lián)機構(gòu)相比，恰約束分支可對并聯(lián)機構(gòu)的靜剛度產(chǎn)生顯著影響，提高整機的穩(wěn)定性與承載能力。不僅如此，恰約束分支還能提高并聯(lián)機構(gòu)的精度、控制不可控誤差[20]。KONG[21]設(shè)計出一種可作為仿生機器人腕關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié)的兩自由度球面RR-RRR-RRR并聯(lián)機構(gòu)，其中的RR分支運動鏈為恰約束分支。

本文基于驅(qū)動力螺旋理論提出一種含有恰約束分支的無耦合兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型綜合方法，并利用該方法完成機構(gòu)的型綜合，進(jìn)而得到多種新型并聯(lián)機構(gòu)。

1 無耦合兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)輸出運動解耦性與分支驅(qū)動力之間的關(guān)系

本文所提出的兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)包含2條主動分支和1條恰約束分支，2條主動分支分別向機構(gòu)動平臺提供一個驅(qū)動力，恰約束分支僅提供約束。并聯(lián)機構(gòu)的運動輸出特性包括自由度的數(shù)目和類型，且由所有機構(gòu)分支運動鏈的結(jié)構(gòu)形式與配置方位共同決定。無耦合并聯(lián)機構(gòu)的輸出運動特性不僅與上述因素有關(guān)，還與主動分支施加到動平臺的驅(qū)動力類型及其相互耦合關(guān)系有關(guān)。

對于含有恰約束分支的無耦合兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)，假定恰約束分支由軸線垂直相交的2個轉(zhuǎn)動副R1和R2構(gòu)成，轉(zhuǎn)動副R1固定在靜平臺上，轉(zhuǎn)動副R2與動平臺直接相連，如圖1所示。若第一、第二主動分支分別獨立控制動平臺繞R1和R2軸線的轉(zhuǎn)動自由度，那么2條主動分支對動平臺提供的驅(qū)動力螺旋與動平臺的2個運動螺旋應(yīng)滿足如下關(guān)系：

(1)

e,i,j=1,2且i=e;i≠j

式中，$ai為第i條主動分支向動平臺提供的驅(qū)動力螺旋；$e、$j分別為動平臺的第e和第j個轉(zhuǎn)動螺旋，即恰約束分支中第e和第j轉(zhuǎn)動副對應(yīng)的運動螺旋；“°”為旋量互易積符號。

式(1)表明，為使機構(gòu)具有無耦合運動輸出特性，2條主動分支的驅(qū)動力螺旋分別對動平臺的1個運動螺旋做功，對另一個運動螺旋不做功。

圖1 含有恰約束分支的兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)Fig.1 Two-rotational parallel mechanism with onepure constraint branch

表1 分支驅(qū)動力螺旋與動平臺運動螺旋之間的關(guān)系

因此，為使機構(gòu)具有無耦合的運動特性，分支驅(qū)動力螺旋應(yīng)滿足如下條件：①第一條主動分支的驅(qū)動力螺旋為線力矢時，它需與運動螺旋$1異面且同時與運動螺旋$2軸的間距為定值(間距為0時，恰好與$2相交)；②第一條主動分支的驅(qū)動力為偶力矢時，它應(yīng)與運動螺旋$2垂直，且不能垂直于運動螺旋$1；③第二條主動分支的驅(qū)動力螺旋只能為線力矢，它與運動螺旋$2異面且平行于運動螺旋$1。機構(gòu)2條分支驅(qū)動力螺旋的作用形式如圖2所示。

(a)$a1、$a2為線力矢 (b)$a1為偶力矢、$a2為線力矢圖2 分支驅(qū)動力螺旋的作用形式Fig.2 Action forms of branch wrench force screws

2 機構(gòu)輸入與輸出運動之間的映射關(guān)系

并聯(lián)機構(gòu)動平臺的運動由各個分支的末端運動共同決定，且每條分支的末端運動可用該分支的運動螺旋系的線性組合表示：

(2)

$ji=(sji;s0ji)sji=(Lji,Mji,Nji)

s0ji=(Pji,Qji,Rji)

為推導(dǎo)出機構(gòu)輸入-輸出運動之間的關(guān)系，可將第i條分支的驅(qū)動力螺旋$ai與式(2)等號兩邊作互易積，然后整理成矢量方程，得

(3)

$ai=(sai;s0ai)sai=(Lai,Mai,Nai)

s0ai=(Pai,Qai,Rai)

本文提出的含有恰約束無耦合兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)僅有2條主動分支(n=2)，為降低機構(gòu)的運動慣性，假定所有主動副均為直接安裝于靜平臺上，即主動分支中的第一個運動副為主動副，那么根據(jù)式(3)可得機構(gòu)的速度方程：

(4)

機構(gòu)僅具有2個轉(zhuǎn)動自由度，故其線速度為零，即v=0。假定機構(gòu)動平臺具有分別繞Z軸(轉(zhuǎn)動副R1的軸線)和X軸(轉(zhuǎn)動副R2的軸線)的轉(zhuǎn)動自由度，那么繞Y軸的角速度為0。在圖2所示的坐標(biāo)系OXYZ下，動平臺第一運動螺旋$1的單位方向矢量記為S1=(0,0,1)，第二運動螺旋$2的單位方向矢量為S2=(l,m,0)。將式(4)中動平臺輸出速度分量為零的元素以及驅(qū)動力螺旋中與之相對應(yīng)的元素消去后，式(4)可改寫成如下形式：

(5)

第一條主動分支施加到動平臺的驅(qū)動力螺旋$a1為線力矢時，令gi=$ai°$1i，若gi≠0，則式(5)可改寫為

(6)

Bai=Pail+Qaim

當(dāng)?shù)谝粭l主動分支的驅(qū)動力螺旋為偶力矢時，式(5)則改寫為

(7)

Ka1=La1l+Ma1m

對于無耦合的兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)，因其輸入-輸出速度之間具有一一對應(yīng)的線性映射關(guān)系，故機構(gòu)的速度雅可比矩陣必為對角陣。因此，根據(jù)式(6)、式(7)可寫出機構(gòu)輸入-輸出運動之間的統(tǒng)一表達(dá)式：

(8)

其中，元素ζ1有2個值，ζ1=Ra1/g1對應(yīng)驅(qū)動力螺旋$a1為線力矢，ζ1=Na1/g1對應(yīng)驅(qū)動力螺旋$a1為偶力矢；元素ζ2=Ba2/g2。

3 主動分支的構(gòu)型綜合

3.1 第一條主動分支的構(gòu)型綜合

3.1.1驅(qū)動力螺旋$a1為線力矢

根據(jù)式(6)、式(8)，當(dāng)機構(gòu)具有無耦合運動傳遞特性時，必滿足條件ζ1≠0，Ba1=0和g1≠0。由ζ1=Ra1/g1≠0可得Ra1≠0;由Ba1=0可得Pa1l+Qa1m=0。機構(gòu)處于一般位形時，元素l和m均不為零，所以必有Pa1=Qa1=0。

根據(jù)表1中條件①，只要驅(qū)動力螺旋$a1垂直于R1軸線(Z軸)，就能實現(xiàn)驅(qū)動力$a1對機構(gòu)繞R1軸線轉(zhuǎn)動的控制，即滿足方程$a1°$1≠0。因此，可取La1=1，Ma1=0。此時驅(qū)動力螺旋$a1的形式為

(9)

圖3 分支驅(qū)動力螺旋與主動運動螺旋Fig.3 Actuation wrench screws and actuation twistscrews of mechanism branches

g1≠0時，有

g1=$a1°$11≠0

(10)

其中，$11為第一條主動分支的主動螺旋，它可能為無窮大節(jié)距螺旋$11=(0,0,0;L11,M11,N11)或零節(jié)距螺旋$11=(L11,M11,N11;P11,Q11,R11)。

g1=L11

(11)

即g1僅與主動螺旋$11的方向矢量在X軸的分量L11有關(guān)，而與另外兩坐標(biāo)軸的分量無關(guān)，故可取L11=1，M11=N11=0。因此，第一條主動分支的主動螺旋的形式可為

(12)

所以第一條主動分支的主動螺旋為平行于X軸的無窮大節(jié)距螺旋，即該分支的主動副可選為沿X軸方向的移動副，如圖3所示。

(2)$11為零節(jié)距螺旋時，將$a1和$11代入式(10)，得

g1=P11-N11ya1

(13)

即g1取決于$11的方向矢量的Z軸分量N11和其對偶量的Y軸分量P11，而與$11的其他分量無關(guān)，故可取L11=M11=Q11=R11=0。因坐標(biāo)參數(shù)ya1為變量，為避免出現(xiàn)g1=0的情況，只能取N11=1，P11=0。從而確定出主動螺旋$11的另一種形式：

(14)

式(14)表明，主動螺旋$11也可為平行于Z軸的零節(jié)距螺旋，即該分支主動副可為軸線平行于Z軸的轉(zhuǎn)動副，如圖3所示。

3.1.2驅(qū)動力螺旋$a1為偶力矢

令$a1=(0,0,0;La1,Ma1,Na1)，由于式(7)中的速度雅可比矩陣必為對角陣，因此可得Na1≠0，La1=Ma1=0，從而確定$a1的第二種形式:

(15)

可知該驅(qū)動力螺旋為平行于Z軸的無窮大節(jié)距螺旋，如圖3所示。

g1=$a1°$11=N11

(16)

由式(16)可知，g1僅與主動螺旋$11的方向矢量在Z軸方向分量N11相關(guān)，而與其他元素?zé)o關(guān)，故可取N11=1，L11=M11=0。$11直接與靜平臺相連，可令其軸線通過定坐標(biāo)系原點，即有P11=Q11=R11=0，從而確定出該分支主動螺旋的第三種形式

(17)

分支驅(qū)動力螺旋和主動螺旋確定后，根據(jù)分支驅(qū)動力螺旋與同一分支中除主動螺旋外的所有非主動運動螺旋互易積為零的特性，以及運動螺旋間的線性相關(guān)性，可確定出所有非主動螺旋的可能類型和數(shù)量，具體如下：

類型Ⅰ$a1、$11分別為零節(jié)距螺旋和無窮大節(jié)距螺旋

Ⅰ-1 軸線平行于X軸的零節(jié)距螺旋最多有3個，當(dāng)其數(shù)量為2或3時，該類螺旋所組成的螺旋系中不能再插入其他零節(jié)距螺旋。

Ⅰ-2 軸線平行于Y軸的零節(jié)距螺旋(惰性螺旋)最多有1個。

Ⅰ-3 軸線垂直于X軸的無窮大節(jié)距螺旋最多有2個，且當(dāng)其數(shù)量為2時，2個螺旋的軸線不能平行。

Ⅰ-4 軸線平行于Z軸的零節(jié)距螺旋有且僅有1個，該螺旋與驅(qū)動力螺旋$a1相交，直接與動平臺相連。

類型Ⅱ$a1和$11均為零節(jié)距螺旋

Ⅱ-1 軸線平行于X軸的零節(jié)距螺旋最多有3個。

Ⅱ-2 軸線平行于Z軸的零節(jié)距螺旋有且僅有1個，并直接與主動運動螺旋相連。

Ⅱ-3 軸線垂直于X軸的無窮大節(jié)距螺旋最多有2個，且當(dāng)其數(shù)量為2時，2個螺旋的軸線不能平行。

Ⅱ-4 軸線與驅(qū)動力螺旋$a1相交且平行于Y軸的零節(jié)距螺旋(惰性螺旋)最多有1個。

類型Ⅲ$a1和$11分別為無窮大節(jié)距螺旋和零節(jié)距螺旋

Ⅲ-1 軸線平行于X軸的零節(jié)距螺旋最多有3個。

Ⅲ-2 軸線平行于Y軸的零節(jié)距螺旋最多有3個。

Ⅲ-3 軸線垂直于Z軸的無窮大節(jié)距螺旋最多有2個，且當(dāng)其數(shù)量為2時，2個螺旋不能相互平行。

至此，得到了第一條主動分支所有可能的主動螺旋形式，以及與之對應(yīng)的可行非主動螺旋的形式。然后，根據(jù)分支運動鏈連接度的不同，組合主動螺旋與非主動螺旋，可得到第一條主動分支的可行結(jié)構(gòu)類型，其中基本運動鏈類型有9種，如2P1R、2P3R、2P4R、1P5R和6R等。利用多自由度運動副替換基本運動鏈中的單自由度運動副，可得到含有C副、U副和S副的多自由度運動副分支運動鏈。表2分別、表3分別給出了不同驅(qū)動力螺旋形式下第一條主動分支的結(jié)構(gòu)形式，運動副字母下標(biāo)x、y和z表示機構(gòu)初始位形時運動副的軸線方向。運動鏈中，下標(biāo)兩相鄰大寫字母相同表示兩個運動副軸線平行，否則表示運動副軸線垂直。分支的連接度較小會造成機構(gòu)的約束增多，從而增大機構(gòu)的裝配難度，因此，可在連接度較小的結(jié)構(gòu)中增加1個或2個轉(zhuǎn)動副作為惰性副，分別用B和B來表示(B代表運動副U、S、C)。下標(biāo)為n的P副的軸線垂直于相鄰兩轉(zhuǎn)動副軸線。若分支的第一個運動副為C副，則C的上標(biāo)r和t分別表示選擇C副的主動輸入為轉(zhuǎn)動或移動；若第一個運動副為U副，則U的上標(biāo)x和y分別表示選擇U副的主動輸入為沿X軸和Y軸的轉(zhuǎn)動。

表2 $a1為線力矢時第一條主動分支的結(jié)構(gòu)形式

表3 $a1為偶力矢時第一條主動分支的結(jié)構(gòu)形式

3.2 第二條主動分支構(gòu)型綜合

根據(jù)前述分析可知，第二條主動分支對動平臺施加的驅(qū)動力螺旋$a2應(yīng)始終與Z軸平行。根據(jù)式(8)中速度雅可比矩陣對角線上第二個元素ζ2≠0的條件，可確定出該分支驅(qū)動力螺旋的形式：

$a2=(0,0,1;Pa2,Qa2,0)

(18)

$a2為平行于Z軸的零節(jié)距螺旋，且必過平面PUV上的點B(xa2,ya2,0)，故可得Pa1=ya1，Qa1=-xa1，且xa2和ya2不能同時為零。

若式(8)中的速度雅可比矩陣不降秩，則必滿足條件g2≠0，且有

g2=$a2°$21=R21+L21ya2-M21xa2

(19)

式中，$21為第二條主動分支的主動螺旋。

類似于第一條分支主動螺旋$11的確定方法，在滿足g2≠0的條件下，求出第二條分支主動螺旋$21：

(20)

由式(20)可知，第二條主動分支的主動螺旋$21有兩種，即平行于Z軸的無窮大節(jié)距螺旋和平行于Y軸的零節(jié)距螺旋，如圖3所示。

同理，根據(jù)主動螺旋與驅(qū)動力螺旋的形式，可確定出該分支中所有可行非主動螺旋的具體類型和數(shù)目。

類型Ⅰ$21為無窮大節(jié)距螺旋

Ⅰ-1 軸線平行于X軸的零節(jié)距螺旋有且僅有1個，可直接或通過移動副與動平臺相連。

Ⅰ-2 軸線平行于Z軸的零節(jié)距螺旋最多有3個，此類螺旋中間不能插入其他形式的零節(jié)距螺旋。

Ⅰ-3 軸線垂直于Z軸的無窮大節(jié)距螺旋最多有2個。

Ⅰ-4 軸線平行于Y軸的零節(jié)距螺旋(惰性螺旋)最多有1個。

類型Ⅱ$21為零節(jié)距螺旋

Ⅱ-1 軸線平行于Z軸的零節(jié)距螺旋最多有3個。

Ⅱ-2 軸線平行于X軸的零節(jié)距螺旋有且僅有1個。

Ⅱ-3 軸線垂直于Z軸的無窮大節(jié)距螺旋最多有2個。

Ⅱ-4 存在軸線平行于Y軸的零節(jié)距螺旋(有且僅有1個)，該螺旋必須直接或通過同向無窮大節(jié)距螺旋與主動運動螺旋相連。

同樣，按照分支連接度的不同綜合出第二條主動分支的所有結(jié)構(gòu)形式，如表4所示。

表4 第二條主動分支的結(jié)構(gòu)形式

4 并聯(lián)機構(gòu)型綜合

2條主動分支運動鏈構(gòu)型綜合完成后，可從表2或表3中任選1條運動鏈作為第一主動分支，然后從表4中選取1條運動鏈作為第二主動分支，再加上恰約束分支、動平臺和靜平臺，即可構(gòu)造出含有恰約束分支的兩轉(zhuǎn)動無耦合并聯(lián)機構(gòu)。為使機構(gòu)具有無耦合運動特性，2條主動分支須滿足一定的裝配要求。其中，主動副的方向由對應(yīng)運動鏈中第一個運動副的配置方位確定，表2分支中的末端非惰性轉(zhuǎn)動副軸線必須與恰約束分支的第一個轉(zhuǎn)動副R1的軸線平行，表4分支中的末端非惰性副轉(zhuǎn)動軸線必須平行于恰約束分支的第二個轉(zhuǎn)動副R2的軸線。

值得注意的是，第一條支鏈的驅(qū)動力螺旋為線力矢(表2中的支鏈形式)時，支鏈末端的運動副不能與動平臺直接相連，而只能與恰約束分支的連桿相連，否則無法保證驅(qū)動力螺旋與運動螺旋$2的距離為定值。第一條支鏈的驅(qū)動力螺旋為偶力矢(表3中的支鏈形式)時，支鏈末端運動副既可與恰約束分支的連桿相連，又可與機構(gòu)動平臺相連，但選擇與動平臺相連時，分支的連接度不能小于5。

例如，分別從表2、表4中選取結(jié)構(gòu)形式均為CRRR的運動鏈作為機構(gòu)的2條主動分支，可得新型2-CRRR/RR兩轉(zhuǎn)動無耦合并聯(lián)機構(gòu)，如圖4所示。同理，通過不同運動鏈結(jié)構(gòu)形式的主動分支運動鏈與恰約束分支組合可得到其他新型機構(gòu)，如圖5、圖6所示。

圖4 無耦合2-CRRR/RR并聯(lián)機構(gòu)Fig.4 Uncoupled 2-CRRR/RR parallel mechanism

圖5 無耦合RURU-CRU/RR并聯(lián)機構(gòu)Fig.5 Uncoupled RURU-CRU/RR parallel mechanism

圖6 無耦合2-RURU/RR并聯(lián)機構(gòu)Fig.6 Uncoupled 2-RURU/RR parallel mechanism

5 結(jié)論

(1)本文基于分支驅(qū)動力螺旋理論，提出了含有恰約束分支的無耦合兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)型綜合方法，并基于該方法綜合出多種新的機構(gòu)類型。

(2)綜合出的機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單、運動解耦性好、控制容易等特點。

所提出的并聯(lián)機構(gòu)型綜合方法可應(yīng)用于其他自由度類型無耦合并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型綜合。