徐慧嫻,田洋川,陳明舉,2*，熊興中

(1.四川輕化工大學(xué) 人工智能四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 宜賓 644000；2.四川輕化工大學(xué) 企業(yè)信息化與物聯(lián)網(wǎng)測控技術(shù)四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 宜賓644000)

0 引言

圖像在獲取、傳輸和存儲(chǔ)過程中不可避免地會(huì)受到不利因素的影響，造成質(zhì)量退化。后期應(yīng)用中往往需要高質(zhì)量的清晰圖像，這就要求圖像復(fù)原技術(shù)盡可能地恢復(fù)出真實(shí)的原始圖像[1]。圖像復(fù)原問題是一個(gè)病態(tài)問題，通過求解Tikhonov正則化[2]，對(duì)原始函數(shù)的估計(jì)正則化函數(shù)采用全變分模型可以較好地去除圖像的模糊，復(fù)原圖像的真實(shí)信息[3]。近年來，產(chǎn)生了許多經(jīng)典的基于變分技術(shù)的圖像復(fù)原模型，如異向全變分模型[4]、高階變分模型[5]以及非局部變分模型[6]等。通常，變分模型都是基于整數(shù)階微分梯度，整數(shù)階梯度不能有效地區(qū)分圖像高頻信息與干擾噪聲，在圖像復(fù)原過程中，部分噪聲被當(dāng)作圖像高頻信息進(jìn)行增強(qiáng)處理，產(chǎn)生階梯現(xiàn)象，造成圖像模糊。

為抑制階梯效應(yīng)并更好地復(fù)原圖像紋理信息，相關(guān)研究發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分具有“弱導(dǎo)數(shù)”的性質(zhì)，對(duì)不同頻域成分采用不同的處理策略，在增強(qiáng)圖像高頻信息的同時(shí)，能夠較好地保留圖像中的低頻信息[7-8]。將分?jǐn)?shù)階微分引入變分模型中，勢必提高變分技術(shù)圖像增強(qiáng)的性能。Chowdhury等[9]根據(jù)圖像的特性，建立去除泊松噪聲的分?jǐn)?shù)階變分模型，有效地克服了階梯現(xiàn)象。王迎美等[10]將分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階變分(Integer and Fractional Order Total Variation,IFOTV)相結(jié)合，分別極小化分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階的梯度，實(shí)現(xiàn)噪聲的消除，有效地克服了階梯現(xiàn)象。Fairag等[11]通過分?jǐn)?shù)階代替圖像復(fù)原變分模型的變分項(xiàng)，建立分?jǐn)?shù)階的圖像復(fù)原變分模型(Fractional Order Total Variation,FOTV)，以獲得更好的圖像去模糊性能。

利用分?jǐn)?shù)階變分非線性特性，可以有效識(shí)別圖像的不同頻域成分信息，實(shí)現(xiàn)圖像細(xì)節(jié)與紋理的高效復(fù)原，從而獲得更好的圖像處理效果。但分?jǐn)?shù)階變分技術(shù)在圖像復(fù)原處理中仍存在一定的不足，未充分考慮圖像局部特性[12]，在不同特性的區(qū)域采用恒定的圖像修復(fù)策略，欠缺對(duì)退化函數(shù)先驗(yàn)知識(shí)的有效利用與優(yōu)化求解困難等[13-14]。

針對(duì)上述問題，本文在分?jǐn)?shù)階圖像復(fù)原模型的基礎(chǔ)上，提出了一種充分利用退化函數(shù)先驗(yàn)信息的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階圖像復(fù)原模型。該模型首先引入圖像梯度算子控制模型的分?jǐn)?shù)階變分項(xiàng)，以實(shí)現(xiàn)在圖像不同特征區(qū)域采用不同的分?jǐn)?shù)階變分策略和變分階數(shù)的自適應(yīng)；通過極小化退化函數(shù)分?jǐn)?shù)階范數(shù)，實(shí)現(xiàn)退化函數(shù)的平滑先驗(yàn)知識(shí)的有效利用。然后，將對(duì)偶算法引入交替極小化算法中[15]，實(shí)現(xiàn)模型的優(yōu)化求解，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)原始圖像的準(zhǔn)確估計(jì)。最后，通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)證明，建立的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階圖像復(fù)原模型可以更好地復(fù)原圖像的結(jié)構(gòu)與紋理信息，圖像復(fù)原性能更優(yōu)。

1 相關(guān)理論

1.1 分?jǐn)?shù)階變分模型

Wei等[16]將整數(shù)n階擴(kuò)展到整個(gè)實(shí)數(shù)空間，引入伽馬函數(shù)Γ(n)，得出連續(xù)函數(shù)f(t)任意階次α的分?jǐn)?shù)階:

(1)

式中,α為任意實(shí)數(shù)階次；h為微分步長；[]為取整符號(hào)；Γ(n)為伽馬函數(shù)；t和a分別表示m的取值范圍。在圖像全變分模型中將分?jǐn)?shù)階微分算子代替整數(shù)階微分算子，可得分?jǐn)?shù)階變分模型：

(2)

(3)

(4)

將分?jǐn)?shù)階代入正則化模型，得到圖像復(fù)原的分?jǐn)?shù)階變分模型FOTV:

(5)

1.2 Bregman迭代與對(duì)偶算法

直接通過極小化圖像梯度的能量泛函通常存在不穩(wěn)定現(xiàn)象，Bregman迭代與對(duì)偶算法能有效地消除變分求解過程中的不穩(wěn)定現(xiàn)象，從而快速迭代實(shí)現(xiàn)收斂。本文采用分裂Bregman迭代交替極小化的思路[17]，將對(duì)偶算法引入交替極小化算法，實(shí)現(xiàn)模型的優(yōu)化求解。

Bregman迭代引入次梯度算法，并通過極小化圖像的Bregman距離實(shí)現(xiàn)圖像能量泛函的求解。令：

J(u)=‖αu‖1。

(6)

圖像u與un的分?jǐn)?shù)階Bregman距離定義為：

(7)

通過FOTV極小化問題轉(zhuǎn)化為極小化Bregman距離:

(8)

另一方面，對(duì)偶算法(Primal Dual,PD)可以消除圖像的鞍點(diǎn)[18]，有利于變分求解的穩(wěn)定。定義分?jǐn)?shù)階對(duì)偶算子為：

(9)

式中，

(10)

FOTV模型采用對(duì)偶算法的極小最大值法轉(zhuǎn)化為：

(11)

2 自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階變分復(fù)原模型

2.1 自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階變分復(fù)原模型的建立

由式(5)可以看出，分?jǐn)?shù)階變分模型在圖像的不同區(qū)域都采用權(quán)重恒定的分?jǐn)?shù)階變分項(xiàng)，未能根據(jù)圖像的局部特性進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整。另外，分?jǐn)?shù)階變分模型未充分利用退化函數(shù)的特性，若充分利用退化函數(shù)的先驗(yàn)知識(shí)，其復(fù)原性能將進(jìn)一步提高[19]。

基于上述思想，采用l1范數(shù)對(duì)退化函數(shù)的分?jǐn)?shù)階梯度進(jìn)行表示，并通過梯度大小控制分?jǐn)?shù)階變分項(xiàng)的階數(shù)，構(gòu)建圖像復(fù)原的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階變分 (Adaptive Fraction-Order Total Variation,AFOTV)模型：

(12)

式中，g(u)為權(quán)值，大小由圖像局部梯度確定：

(13)

由式(13)可知，g(u)大小由圖像的梯度決定。在圖像平滑區(qū)域，其值較大，著重于模糊的去除；在圖像邊界區(qū)域，其值較小，著重于圖像信息的保持，從而實(shí)現(xiàn)在圖像的不同特性區(qū)域采用不同的分?jǐn)?shù)階策略，可以更好地復(fù)原圖像的真實(shí)信息。另外，式(13)中加入對(duì)退化函數(shù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階描述，對(duì)于常見的退化函數(shù)，如濾波卷積、運(yùn)動(dòng)模糊以及大氣湍流等，其梯度泛函值較小，增加了對(duì)退化函數(shù)k的分?jǐn)?shù)階先驗(yàn)知識(shí)的利用，可以進(jìn)一步提高復(fù)原圖像的質(zhì)量。

2.2 模型的求解

為了實(shí)現(xiàn)AFOTV模型的穩(wěn)定迭代求解，采用分裂迭代(Split Bregman,SB)交替極小化思想，引入輔助變量ω，AFOTV模型極小化問題可轉(zhuǎn)化為：

(14)

(15)

ωn+1=ωn+f-kωn+1。

(16)

引入對(duì)偶算子的思想u與k的極小化問題可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為：

(17)

(18)

利用對(duì)偶算子分別求解式(17)和式(18)，可得：

(19)

un+1=un-τ1[λ1(α)Tpn+1+(kn)T(knun-f-ωn)]，

(20)

(21)

(22)

kn+1=kn-τ2[λ1(α)Tqn+1+(un+1)T*(knun+1-f-ωn)]，

(23)

式(19)和式(20)中∏X(z)，∏Y(z)表達(dá)式分別為：

(24)

(25)

綜上分析，AFOTV模型的PD+SB迭代求解流程如下：

3 結(jié)果與討論

為了證明AFOTV模型的性能，將AFOTV圖像復(fù)原的結(jié)果與FOTV，IFOTV進(jìn)行對(duì)比分析實(shí)驗(yàn)，采用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)和結(jié)構(gòu)相似性(Structural Similarity Index,SSIM)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。

為了使分?jǐn)?shù)階α的取值最優(yōu)，首先在常見的退化環(huán)境下(高斯模糊、均值模糊以及移動(dòng)模糊)對(duì)α取不同的值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，選擇最優(yōu)α進(jìn)行下一步對(duì)比分析，結(jié)果如圖1所示。由圖1可以看出，對(duì)于高斯模糊、均值模糊以及移動(dòng)模糊α取值為1.6，1.8，1.6時(shí)，獲得最大的PSNR值。

圖1 分?jǐn)?shù)階α取不同值時(shí)對(duì)cameraman圖像復(fù)原性能的影響Fig.1 Influence of the fractional orders α on the restoration performance of a cameraman image

為了進(jìn)一步說明AFOTV模型具有更好的圖像復(fù)原性能，圖2～圖4給出了cameraman，woman以及boat圖像在高斯、均值以及運(yùn)動(dòng)退化環(huán)境下采用3種模型復(fù)原后的結(jié)果，并在各圖的右下角給出紅色區(qū)域的局部放大圖。

(a) 原圖

由圖2可以看出，在高斯退化環(huán)境下，經(jīng)過FOTV復(fù)原的圖片存在一定程度的失真現(xiàn)象，細(xì)節(jié)信息也存在一定的模糊。IFOTV對(duì)邊緣信息的損失嚴(yán)重，人臉、相機(jī)及衣角的邊緣模糊。而本文的AFOTV模型不存在圖像失真現(xiàn)象，并且能更好地復(fù)原圖像的細(xì)節(jié)紋理信息，人臉、相機(jī)及衣角的輪廓都更為清晰，視覺質(zhì)量最佳。由圖3可以看出，在均值退化環(huán)境下，F(xiàn)OTV及IFOTV復(fù)原后的圖片中，眼窩、鼻梁及頭發(fā)陰影部分的失真較大，并且邊緣存在一定程度的模糊，而AFOTV對(duì)眉毛以及眼睛輪廓的復(fù)原效果最好。由圖4可以看出，在運(yùn)動(dòng)退化環(huán)境下，AFOTV可以更好地復(fù)原圖像的細(xì)節(jié)紋理信息，文字更加清晰，邊界輪廓也處理得更好。綜上分析可知，在3種退化環(huán)境下，AFOTV模型在采用分?jǐn)?shù)變分描述退化函數(shù)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像分?jǐn)?shù)階變分的自適應(yīng)，更準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的描述，獲得了更好的圖像復(fù)原性能。

表1給出了圖2～圖4中復(fù)原前后各圖片的PSNR與SSIM。由表1可以看出，F(xiàn)OTV復(fù)原后的圖像的PSNR和SSIM最低，AFOTV模型圖像復(fù)原后的PSNR和SSIM最高，其PSNR和SSIM分別高于IFOTV 0.5 dB和0.01 dB。由客觀指標(biāo)可以看出，AFOTV模型在對(duì)退化函數(shù)分?jǐn)?shù)階變分描述的同時(shí)通過圖像梯度實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階變分，有效利用圖像的先驗(yàn)知識(shí)，獲得更好的圖像復(fù)原性能。

表1 不同退化圖片采用3種模型復(fù)原后性能比較

4 結(jié)束語

本文建立了一種自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階圖像復(fù)原模型，采用圖像梯度的算子對(duì)分?jǐn)?shù)階變分項(xiàng)進(jìn)行修正，以實(shí)現(xiàn)在圖像不同特性區(qū)域進(jìn)行不同程度的變分復(fù)原；對(duì)退化函數(shù)采用分?jǐn)?shù)階變分進(jìn)行描述，以更好地利用退化先驗(yàn)知識(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)原始圖像的估計(jì)。在模型的求解中，通過結(jié)合Bregman迭代與對(duì)偶極小化實(shí)現(xiàn)建立的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階圖像復(fù)原模型優(yōu)化求解，并通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)證明該模型具有更好的圖像復(fù)原性能，能更好地復(fù)原圖像的結(jié)構(gòu)與紋理信息。因此，自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階圖像復(fù)原模型具有很好的參考價(jià)值與應(yīng)用前景。

由于新模型的建立是假設(shè)退化函數(shù)梯度的泛函較小的前提，對(duì)于高斯模糊、均值模糊以及移動(dòng)模糊退化復(fù)合上述假設(shè)，對(duì)于其他退化環(huán)境，如大氣湍流退化、輻射退化以及多種復(fù)合退化場景，本模型的適用性還有待進(jìn)一步研究。另外，模型的求解采用Bregman迭代與對(duì)偶極小化實(shí)現(xiàn)，該方法涉及多個(gè)變量的極小化，迭代收斂時(shí)間較長，下一步將新的數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于模型的求解中，以縮短收斂時(shí)間。