劉志平 李洪娜 汪林根 仇春平

(1. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 江蘇省環(huán)境資源信息工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 徐州 221116; 2. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 環(huán)境與測(cè)繪學(xué)院, 江蘇 徐州 221116)

0 引言

《誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)》(簡(jiǎn)稱《經(jīng)典平差》)是測(cè)繪工程專業(yè)核心課程之一,在該專業(yè)本科教學(xué)體系中占有非常重要的地位,也為后續(xù)研究生階段的學(xué)習(xí)提供先修基礎(chǔ)[1-3]。由此,《經(jīng)典平差》課程教改研究一直受眾多同行關(guān)注,其中部分研究成果專注于教學(xué)模式、方法與形式革新[4-6]。然而,若按一流本科課程(“金課”)建設(shè)標(biāo)準(zhǔn),則亟須關(guān)注《經(jīng)典平差》教學(xué)內(nèi)容本身的創(chuàng)新研究[7]。也正因此,許多學(xué)者圍繞測(cè)量平差中矩陣算子作用[7]、多余觀測(cè)值剖析[8]、測(cè)量平差模型的完善[9-11]、虛擬觀測(cè)值的理解[12]、多維觀測(cè)值的平差方法[13-14]等進(jìn)行了有益的教學(xué)內(nèi)容改革嘗試。當(dāng)前,本專業(yè)在不斷吸收測(cè)繪新理論、新技術(shù)以適應(yīng)新時(shí)代發(fā)展和專業(yè)課程教學(xué)學(xué)時(shí)不斷壓縮的雙重背景下,《經(jīng)典平差》課程的重視程度在本專業(yè)相對(duì)下降[7],正成為該課程教學(xué)在將來面臨的主要挑戰(zhàn),即“存量更新、增量補(bǔ)充”問題。

作者認(rèn)為導(dǎo)致這種狀況的主要原因在于《經(jīng)典平差》課程教學(xué)案例陳舊、類型單一、可遷移性弱,同時(shí)在處理與后續(xù)專業(yè)課程關(guān)系時(shí)易陷入首鼠兩端。例如,水準(zhǔn)網(wǎng)、三角網(wǎng)和導(dǎo)線平差(對(duì)應(yīng)高差、角度和邊長(zhǎng)一維觀測(cè)值)等至今仍然是主要教學(xué)案例,然而大量照搬《大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)》《攝影測(cè)量原理》《GNSS測(cè)量原理》《工程測(cè)量學(xué)》《GIS原理》等核心專業(yè)課程中的測(cè)量平差問題又會(huì)產(chǎn)生重復(fù)教學(xué)矛盾。鑒于此,本文立足于測(cè)繪類專業(yè)的高精度、高可靠位置服務(wù)這一本質(zhì),牢牢抓住“坐標(biāo)觀測(cè)值”的測(cè)量平差問題作為測(cè)繪類核心專業(yè)課程的有機(jī)聯(lián)系,試圖圍繞點(diǎn)、線、面構(gòu)建二維平面、三維空間中的多種坐標(biāo)觀測(cè)值方程,既豐富了《經(jīng)典平差》教學(xué)案例的內(nèi)容類型、增強(qiáng)了可遷移性,又避免了與后續(xù)核心專業(yè)課程的重復(fù)教學(xué)矛盾。與此同時(shí),深入探討了坐標(biāo)觀測(cè)值平差模型屬性特點(diǎn),揭示了現(xiàn)有教材中關(guān)于多余觀測(cè)數(shù)計(jì)算存在的不足,為《經(jīng)典平差》教學(xué)內(nèi)容革新提供了新思考。

1 二維平面的坐標(biāo)觀測(cè)值方程

1.1 橢圓方程

在高斯平面坐標(biāo)系中,設(shè)橢圓上的坐標(biāo)觀測(cè)值為(x,y),橢圓圓心坐標(biāo)參數(shù)為(x0,y0),旋轉(zhuǎn)角參數(shù)θ,二維半軸參數(shù)為(rx,ry),則可寫出坐標(biāo)觀測(cè)值表示的二維平面橢圓方程

(1)

進(jìn)一步,對(duì)式(1)進(jìn)行整理化簡(jiǎn)可得橢圓的二元二次方程

Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0

(2)

特殊地,當(dāng)θ=0,rx=ry=r,則式(2)退化為二維平面的圓方程

x2+y2+D′x+E′y+F′=0

(3)

分析式(1)可知,確定平面橢圓位置、大小、形狀的必要參數(shù)為5個(gè)。式(2)中含6個(gè)參數(shù),表明參數(shù)之間相關(guān)且有1個(gè)非必要參數(shù)。一般可采用A=1,B=1或者A2+B2=1等的限制條件。分析式(3)可知,確定平面圓位置、大小的必要參數(shù)個(gè)數(shù)為3,與式(3)的參數(shù)個(gè)數(shù)相同,表明參數(shù)之間不相關(guān)。此外,當(dāng)有N個(gè)坐標(biāo)點(diǎn),則坐標(biāo)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為2N,一般條件方程個(gè)數(shù)為N。

1.2 共線方程

(4)

分析式(4)可知,若有N個(gè)二維坐標(biāo)點(diǎn)滿足同一共線條件,則坐標(biāo)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為2N,一般條件方程個(gè)數(shù)為N-2。進(jìn)一步分析可知,式(4)本質(zhì)上為平面坐標(biāo)共線的條件平差方法。若利用間接平差方法,平面直線擬合僅需要2個(gè)必要參數(shù)。

1.3 方位方程

設(shè)xi=(xi,yi),xj=(xj,yj)分別為高斯平面坐標(biāo)系下的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo),當(dāng)已知它們與某中心站點(diǎn)x0的已知夾角為αij,則可列立坐標(biāo)觀測(cè)值表示的已知夾角方程

(5)

分析可知,當(dāng)α=0°或α=180°,式(5)實(shí)際上表示xj、x0、xi滿足三點(diǎn)共線條件;當(dāng)α=90°,式(5)實(shí)際上表示直線(x0,xj)與直線(x0,xi)滿足正交條件。此外,當(dāng)直線(x0,xj)與坐標(biāo)縱軸平行,則式(5)實(shí)際上表示(x0,xi)的坐標(biāo)方位角。此時(shí),對(duì)于已知站點(diǎn)x0與N個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)可形成N個(gè)已知方位Ai,則坐標(biāo)觀測(cè)值表示的已知方位方程

(6)

分析式(6)可知,對(duì)于中心站點(diǎn)x0和N個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)xi,若已知相應(yīng)的N個(gè)已知方位Ai,不考慮中心站點(diǎn)坐標(biāo)誤差的情況下,則坐標(biāo)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為2N,一般條件方程個(gè)數(shù)為N。

1.4 平行四邊形方程

在高斯平面坐標(biāo)系中,設(shè)四邊形中按逆時(shí)針編號(hào)的4個(gè)角點(diǎn)坐標(biāo)分別為x1=(x1,y1),x2=(x2,y2),x3=(x3,y3),x4=(x4,y4),為了將該四邊形修正為平行四邊形,則需根據(jù)平行四邊形的任意一個(gè)判定條件:(1)對(duì)邊相等;(2)對(duì)角相等;(3)對(duì)邊平行條件;(4)中心對(duì)稱圖形。建立相應(yīng)的坐標(biāo)條件方程

(7)

(8)

(9)

x2+x4=x1+x3

(10)

式(7)～(10)分別為以距離表示的對(duì)邊相等方程、以角度余弦表示的對(duì)角相等方程、以零行列式表示的平行方程和以對(duì)角線中心重合表示的中心對(duì)稱方程。顯見,式(10)為線性方程,其余均為非線性方程,表明通過適當(dāng)?shù)膮?shù)選取方式可有效簡(jiǎn)化方程復(fù)雜性或者降低平差模型復(fù)雜性。進(jìn)一步,若需要獲得平行四邊形的中心坐標(biāo)參數(shù)xc,則可重新列立包括4個(gè)角點(diǎn)坐標(biāo)和1個(gè)中心坐標(biāo)在內(nèi)的一般條件方程

(11)

分析式(11)可知,對(duì)于4個(gè)角點(diǎn)的平行四邊形修正要求,在選取1個(gè)中心坐標(biāo)作為參數(shù)的情況下,則坐標(biāo)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為8,一般條件方程個(gè)數(shù)為4。

1.5 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

設(shè)xI=(xI,yI)T和xII=(xII,yII)T分別為兩個(gè)不同高斯平面坐標(biāo)系下的某公共點(diǎn)二維坐標(biāo),則它們存在如式(12)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系[14]

(12)

式中,k為尺度參數(shù);θ為旋轉(zhuǎn)角參數(shù);dx,dy表示平移參數(shù)。

分析式(12)可知,必要參數(shù)個(gè)數(shù)為4。若有N個(gè)公共坐標(biāo)點(diǎn),在僅假設(shè)源坐標(biāo)系下坐標(biāo)沒有誤差的情況下,則坐標(biāo)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為2N,一般條件方程個(gè)數(shù)為2N。

2 三維空間的坐標(biāo)觀測(cè)值方程

2.1 橢球方程

將二維平面拓展到三維空間,可以參考式(2)直接寫出三維橢球的三元二次方程

(13)

特殊地,若三維半軸相等時(shí),即rx=ry=rz=r,則三維橢球退化為三維圓球方程

x2+y2+z2+Gx+Hy+Iz+J=0

(14)

2.2 圓曲線方程

設(shè)平面上的某三維坐標(biāo)記為(x0,y0,z0),該平面法向量記為(a,b,c),則可建立該平面的點(diǎn)法式平面方程。同時(shí),結(jié)合三維空間的圓球方程式(14),則可以建立由平面與圓球在三維空間相交而成的三維圓曲線方程

(15)

式中,d=-ax0-by0-cz0。

分析式(15)可知,三維空間的平面式含有4個(gè)參數(shù),圓球式含有4個(gè)參數(shù)。其中,法向量為非零向量,能夠通過某種標(biāo)準(zhǔn)化施加1個(gè)限制條件,例如a=1,b=1,c=1或者a2+b2+c2=1等。由此表明,平面式僅含3個(gè)必要參數(shù),三維圓曲線包括7個(gè)必要參數(shù)。此外,當(dāng)有N個(gè)坐標(biāo)點(diǎn),則坐標(biāo)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為3N,一般條件方程個(gè)數(shù)為2N。

進(jìn)一步地,若式(15)中的平面穿過圓球的圓心,則需要再增加1個(gè)限制條件

a·G+b·H+c·I=2d

(16)

2.3 共面方程

[(xi+1-xi)×(xi+2-xi)](xi+3-xi)T=0

(17)

分析式(17)可知,若有N個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)滿足同一共面條件,則坐標(biāo)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為3N,一般條件方程個(gè)數(shù)為N-3。進(jìn)一步分析可知,式(17)本質(zhì)上為三維坐標(biāo)共面的條件平差方法。若利用間接平差方法,三維平面擬合僅需要3個(gè)必要參數(shù)。

2.4 直線方程

根據(jù)三維空間的平面方程式原理,當(dāng)兩個(gè)不同的平面在三維空間相交的交線則可以形成直線,則由坐標(biāo)觀測(cè)值表示的三維直線方程如下[15]

(18)

分析式(18)可知,根據(jù)平面法向量不為零向量,則需對(duì)兩個(gè)平面施加2個(gè)限制條件,具體限制條件可以參考2.2節(jié)。具體地,式(18)中8個(gè)參數(shù),包括6個(gè)必要參數(shù)、2個(gè)非必要參數(shù)。此外,當(dāng)有N個(gè)坐標(biāo)點(diǎn),則坐標(biāo)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為3N,一般條件方程個(gè)數(shù)為2N。

2.5 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

設(shè)XI=(xyz)T和XII=(XYZ)T分別為兩個(gè)不同空間直角坐標(biāo)系下的某公共點(diǎn)三維坐標(biāo),則它們存在如式(19)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系[16]:

XI=k·R·XII+T

(19)

分析式(19)可知,必要參數(shù)個(gè)數(shù)為7。若有N個(gè)公共坐標(biāo)點(diǎn),在不考慮源坐標(biāo)系下坐標(biāo)誤差的情況下,則坐標(biāo)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為3N,一般條件方程個(gè)數(shù)為3N。

3 坐標(biāo)觀測(cè)值平差模型屬性分析

基于第1和第2節(jié)的分析,若有N個(gè)坐標(biāo)點(diǎn),分別按二維橢圓方程式(2)、二維圓方程式(3)、二維共線方程式(4)、二維方位方程式(6)、平行四邊形方程式(11)、二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程式(12)和三維橢球方程式(13)、三維圓球方程式(14)、三維圓曲線方程式(15)、三維共面方程式(17)、三維直線方程式(18)、三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程式(19)。若將坐標(biāo)觀測(cè)值個(gè)數(shù)記為n、確定模型的必要參數(shù)個(gè)數(shù)記為t、選取參數(shù)個(gè)數(shù)記為u、一般條件方程個(gè)數(shù)記為c、限制條件方程個(gè)數(shù)記為s、模型自由度記為f、多余觀測(cè)數(shù)記為r,并建立相應(yīng)平差函數(shù)模型,則各平差模型的屬性數(shù)據(jù)如表1所示。

表1的建模方式表示利用坐標(biāo)數(shù)據(jù)建模的方式。從表1可看出,本文討論的二維平面、三維空間的坐標(biāo)觀測(cè)值平差模型較好地覆蓋了《誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)》的四種經(jīng)典平差方法。其中,(1)二維共線、二維方位和三維共面均屬于條件平差模型,所選參數(shù)個(gè)數(shù)u=0;(2)平行四邊形屬于具有參數(shù)的條件平差,所選參數(shù)獨(dú)立且個(gè)數(shù)ut,形成s=u-t個(gè)限制條件方程。需指出的是,限制條件個(gè)數(shù)公式s=max(u-t,0)更具有普適性。此外,通過表1加強(qiáng)認(rèn)識(shí)模型屬性數(shù)據(jù)的規(guī)律:即一般條件個(gè)數(shù)c與限制條件個(gè)數(shù)s之和等于參數(shù)個(gè)數(shù)u與多余觀測(cè)數(shù)r之和,即c+s=r+u。其中,多余觀測(cè)數(shù)r等價(jià)于平差模型自由度f,即r=f=c+s-u。同時(shí),根據(jù)限制條件數(shù)s=max(u-t,0),可得更具普適性的多余觀測(cè)數(shù)公式r=c-min(u,t)。

表1 N個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的平差模型屬性數(shù)據(jù)

進(jìn)一步分析表1中二維坐標(biāo)觀測(cè)值的平差情形可得:(1)對(duì)于二維共線的條件平差模型,多余觀測(cè)數(shù)r=c-min(u,t)=N-2,然而按照現(xiàn)有教材的多余觀測(cè)計(jì)算式,多余觀測(cè)數(shù)r=n-t=2N-2,顯然不正確;(2)對(duì)于平行四邊形的具有參數(shù)條件平差模型,多余觀測(cè)數(shù)r=c-min(u,t)=2,與現(xiàn)有教材r=n-t=2結(jié)果一致;(3)對(duì)于二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的間接平差模型,多余觀測(cè)數(shù)r=c-min(u,t)=2N-4,即N>2,與現(xiàn)有教材r=n-t=2N-4結(jié)果一致;(4)對(duì)于二維橢圓的概括平差模型,多余觀測(cè)數(shù)r=c-min(u,t)=N-5,即N>5,然而按照現(xiàn)有教材的多余觀測(cè)計(jì)算式,則多余觀測(cè)數(shù)r=n-t=2N-5顯然不正確。由此顯見,當(dāng)且僅當(dāng)采用坐標(biāo)分量建模方式,由于一般條件方程個(gè)數(shù)與坐標(biāo)維數(shù)成正比,現(xiàn)有教材的多余觀測(cè)數(shù)計(jì)算式正確;而當(dāng)利用非坐標(biāo)分量建模方式,由于一般條件方程個(gè)數(shù)與坐標(biāo)維數(shù)沒有確定性關(guān)系,導(dǎo)致現(xiàn)有教材的多余觀測(cè)計(jì)算式錯(cuò)誤。因此,本文多余觀測(cè)值計(jì)算式,同時(shí)適用于坐標(biāo)分量和非坐標(biāo)分量建模方式。同理,該結(jié)論也適用于三維觀測(cè)值的平差模型,限于篇幅要求不再贅述。綜上,本文通過探討進(jìn)一步明確了坐標(biāo)觀測(cè)值平差模型中多余觀測(cè)值的內(nèi)涵,建議將多余觀測(cè)值計(jì)算式改為r=c-min(u,t),其中c表示一般條件方程個(gè)數(shù),t表示必要參數(shù)個(gè)數(shù),u表示所選參數(shù)個(gè)數(shù)。

4 結(jié)束語

作者通過《經(jīng)典平差》多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),隨著專業(yè)課程專業(yè)學(xué)時(shí)減少和測(cè)繪新技術(shù)快速發(fā)展,該課程近年來面臨比較嚴(yán)峻的課程體系“存量更新、增量補(bǔ)充”問題。鑒于此,本文緊緊抓住測(cè)繪類專業(yè)的位置服務(wù)本質(zhì),通過構(gòu)建以二維、三維坐標(biāo)觀測(cè)值為研究對(duì)象的“點(diǎn)線面”測(cè)量平差問題,既拓廣了高差、邊長(zhǎng)和角度一維觀測(cè)值的傳統(tǒng)課程案例邊界,又加強(qiáng)了與《大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)》《攝影測(cè)量原理》《GNSS測(cè)量原理》《GIS原理》等后續(xù)核心專業(yè)課程的通用性聯(lián)系。與此同時(shí),通過5類二維和5類三維坐標(biāo)觀測(cè)值平差模型的屬性數(shù)據(jù)分析,指出了現(xiàn)有教材多余觀測(cè)數(shù)計(jì)算式存在的不足，并給出了坐標(biāo)分量和非坐標(biāo)分量建模方式的多余觀測(cè)數(shù)通用計(jì)算式?？傊?本文依據(jù)“內(nèi)容為王、通用呈現(xiàn)”的坐標(biāo)觀測(cè)值測(cè)量平差教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)思路,為持續(xù)增強(qiáng)學(xué)生在誤差理論方面的遷移學(xué)習(xí)能力提供借鑒。