張業(yè)雙， 徐 潤

(①山東省平度市第一中學(xué)，266700，平度市; ②曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,273165,山東省曲阜市)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微分方程在經(jīng)濟(jì)、工程及現(xiàn)代科學(xué)中起到重要的作用,例如在化學(xué)、生物學(xué)、電磁學(xué)、機器人研究等很多實際問題中有大量的應(yīng)用模型.許多研究者致力于分?jǐn)?shù)階微分方程的研究,特別的,在分?jǐn)?shù)階微分方程解的性質(zhì)研究方面取得了一系列成果.解的存在唯一性也是其中的熱點之一.另外,許多學(xué)者考慮了多項分?jǐn)?shù)階系統(tǒng),并給出了相應(yīng)的應(yīng)用.具有兩個阻尼項的動力系統(tǒng)解的存在性和唯一性比以往所考慮的一個阻尼項更為廣泛.基于以上工作,考慮以下具有2個阻尼項的分?jǐn)?shù)階微分方程

(E)

其中0<γ≤1<β≤2<α≤3,0

Sheng在文獻(xiàn)[2]中討論了下面方程的解的存在性和唯一性

其中0<β≤1<α≤2,0

其中cDq是0

本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,研究初值問題(E)解的存在唯一性.先給出本文需要用到的定義.

定義[3]函數(shù)x:[0,∞)→的α階Riemann-Liouville積分定義和Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)以及Caputo導(dǎo)數(shù)的定義為

下面給出證明結(jié)論需要用到的引理和一些典型結(jié)果.

設(shè)J=[0,T],定義從J到n的所有連續(xù)泛函組成的空間C(J,n)是巴拿赫空間,?x(t)∈n,定義上確界范數(shù)‖x‖c=sup{|x(t)|:t∈J},其中|x(t)|(·)是任一向量范數(shù)(比如1范數(shù),2范數(shù),∞范數(shù)),‖(·)‖是由向量范數(shù)導(dǎo)出的矩陣范數(shù). 例如,若向量范數(shù)定義為1范數(shù),即向量x=(x1,x2,…,xN)的向量范數(shù)為那么矩陣范數(shù)為矩陣1范數(shù),即矩陣A=(aij)n×n的范數(shù)為

由Riemann-Liouville積分和Caputo導(dǎo)數(shù)的定義,可得下面的復(fù)合運算結(jié)果.

其中t>0,α>0和n-1<α≤n.

函數(shù)δ(t)的Lp范數(shù)定義為

x(t)≤a(t)Eγ[g(t)(Γ(α)tα+Γ(β)tβ)],

1 主要結(jié)果

首先給出下面3個條件

(Ⅰ)函數(shù)f:J×n→n是連續(xù)的.

|f(t,x1)-f(t,x2)|≤l2(t)|x1-x2|.

為了方便,我們給出下邊的記號

定理假定條件(Ⅰ)-(Ⅲ)成立. 如果

那么方程 (E) 有唯一解.

(1)

由(1)式以及條件(Ⅰ),可知G是明確定義的.

(2)

根據(jù)引理2,可得

(3)

將(3)式帶入(2)式,可得

‖x1-x2‖cK≤‖x1-x2‖c.

可知G是一個壓縮映射.