張珍珍，賀興時(shí)，于青林，楊新社

1.西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安 710600

2.湯普森大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)系，哥倫比亞 甘露 V2C0C8

3.密德薩斯大學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，倫敦 NW4 4BT

隨著科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展，優(yōu)化問題在人們生活中發(fā)揮了越來越重要的作用，對(duì)于優(yōu)化問題的解決方法要求也逐漸提高。傳統(tǒng)的計(jì)算方法來解決這些復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)，會(huì)出現(xiàn)求解精度低，收斂速度慢且耗時(shí)長(zhǎng)、成本高等方面的缺點(diǎn)。針對(duì)傳統(tǒng)算法解決復(fù)雜問題時(shí)出現(xiàn)的局限性，為了復(fù)雜的優(yōu)化問題能夠得到解決，找到更為合理和滿意的近似解。眾多學(xué)者開始設(shè)計(jì)了元啟發(fā)式算法，并在過去的二三十年中得到迅速發(fā)展，成為當(dāng)前最活躍的算法研究領(lǐng)域之一。常用的元啟發(fā)式算法包括螢火蟲算法[1]（firefly algorithm，F(xiàn)A）、飛蛾撲火算法[2]（moth-flame optimization algorithm，MFO）、粒子群優(yōu)化算法[3]（particle swarm optimization，PSO）、花粉算法[4]（flower pollination algorithm，F(xiàn)PA）、樽海鞘算法[5]（salp swarm algorithm，SSA）等算法。這些算法都具有簡(jiǎn)單易行、參數(shù)少、運(yùn)行時(shí)間短等特點(diǎn)，因此解決了眾多非線性和多模態(tài)的現(xiàn)實(shí)尋優(yōu)問題。

劍橋大學(xué)的Yang 和Deb[6]于2009 年通過模擬布谷鳥尋窩產(chǎn)卵的行為提出了一種新的搜索算法，并命名為布谷鳥搜索算法（cuckoo search，CS）。布谷鳥搜索算法因其通用性強(qiáng)，單高效、控制參數(shù)少、易于實(shí)現(xiàn)，而被廣泛研究與應(yīng)用于圖像處理[7]、臨床醫(yī)學(xué)[8]、旅行商問題[9]、PID控制器調(diào)整[10]、工程優(yōu)化[11]、信號(hào)處理[12]等諸多領(lǐng)域，并表現(xiàn)出良好的尋優(yōu)性能。但布谷鳥算法同其他生物啟發(fā)式算法一樣都存在易限于局部最優(yōu)，后期收斂速度偏慢，求解精度不高等問題，在處理一些多維復(fù)雜函數(shù)時(shí)，難以找到最優(yōu)解，因此，需要改進(jìn)布谷鳥優(yōu)化算法來克服它的這些不足，使其能更好地應(yīng)用于更多問題。針對(duì)以上問題，Gherboudj 等[13]提出了一種離散二進(jìn)制布谷鳥搜索（binary cuckoo search，BCS）算法來處理二進(jìn)制優(yōu)化問題。Kanagaraj 等[14]將遺傳算子嵌入到CS 算法中以平衡局部搜索和全局優(yōu)，提出了CS-GA 算法。王凡等[15]通過分析鳥窩位的群體狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程加入了Markov 鏈，提高算法全局搜索能力。宋慶慶等[16]將混沌序列引入到布谷鳥算法中初始化鳥窩位置。陳程等[17]提出了動(dòng)態(tài)權(quán)重改變自適應(yīng)概率的雙重搜索布谷鳥算法（DECS）。針對(duì)布谷鳥算法在處理復(fù)雜函數(shù)時(shí)，求解精度不高，易陷入局部最優(yōu)等缺陷，本文提出了基于多階段動(dòng)態(tài)擾動(dòng)和動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重的布谷鳥算法（MACS），通過將多階段動(dòng)態(tài)擾動(dòng)策略引入到布谷鳥算法的全局位置，對(duì)最優(yōu)鳥巢位置進(jìn)行根據(jù)方差可調(diào)的正太隨機(jī)分布擾動(dòng)，增加了種群的多樣性和鳥窩的靈活性，提高全局搜索能力。并在局部位置處引入動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重，更大程度提高了鳥窩的開發(fā)與探索能力，使得算法有效克服易陷入局部最優(yōu)的缺陷，提高局部尋優(yōu)搜索能力。最后，引入了動(dòng)態(tài)切換概率p代替固定概率，可以動(dòng)態(tài)平衡全局搜索和局部搜索。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，MACS 算法提高了求解精度，加快收斂速度，具有更好的優(yōu)化性能。

1 基本布谷鳥算法

在大自然中，布谷鳥具有特殊的尋窩產(chǎn)卵行為，不自己筑巢，而將自己的卵悄悄的產(chǎn)在其他宿主鳥的巢穴中，由其他鳥幫它來卵化下一代。但是當(dāng)宿主鳥一旦發(fā)現(xiàn)有外來鳥蛋，宿主鳥就會(huì)拋棄這些外來的鳥蛋或者重新筑巢，為了模擬布谷鳥特殊的尋窩和繁衍后代的行為。Yang和Deb假設(shè)了以下3個(gè)理想規(guī)則[18]：

（1）布谷鳥一次只產(chǎn)一個(gè)蛋，并隨機(jī)選擇鳥窩孵化；

（2）在隨機(jī)選擇的鳥窩中，最好的鳥窩將被保留到下一代；

（3）可選擇的鳥窩數(shù)量N是固定的，宿主鳥發(fā)現(xiàn)外來布谷鳥蛋的概率為pa∈[0,1] 。

基于以上的3 個(gè)理想狀態(tài)，采用下列式（1）對(duì)下一代鳥窩位置x(t+1)進(jìn)行位置更新：

由式（2）可知，布谷鳥在尋窩過程中的飛行路徑變化是帶有重尾的概率分布，使得布谷鳥的飛行路徑表現(xiàn)出levy飛行的性質(zhì)，即在尋優(yōu)路徑中頻繁的短步長(zhǎng)偶爾會(huì)出現(xiàn)長(zhǎng)步長(zhǎng)，這種性質(zhì)使得CS 算法擁有更強(qiáng)大的全局搜索能力，也有效使布谷鳥算法避免陷入局部最優(yōu)。

文獻(xiàn)[18]采用式（3）計(jì)算萊維隨機(jī)數(shù)：

為了便于對(duì)萊維飛行的計(jì)算，采用文獻(xiàn)[18]步長(zhǎng)因子：

其中α0為常數(shù)，一般取0.01，xbest為當(dāng)前最優(yōu)解。

結(jié)合公式（1）～（4），CS 算法采用式（5）來更新新的鳥窩位置：

2 多階段動(dòng)態(tài)擾動(dòng)和動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重的布谷鳥優(yōu)化算法

2.1 多階段動(dòng)態(tài)擾動(dòng)策略

在布谷鳥算法的全局搜索階段，所有鳥窩位置都朝著同一全局最優(yōu)位置靠近，致使布谷鳥算法很容易陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致算法在處理復(fù)雜多峰函數(shù)時(shí)，收斂精度低，收斂過早等缺點(diǎn)表現(xiàn)得尤為明顯。針對(duì)這個(gè)問題，本文提出了一種多階段動(dòng)態(tài)擾動(dòng)策略，對(duì)布谷鳥算法的最優(yōu)鳥窩位置進(jìn)行分階段的動(dòng)態(tài)擾動(dòng)，更新最優(yōu)鳥窩位置。即對(duì)全局最優(yōu)鳥窩位置根據(jù)方差可調(diào)的正態(tài)隨機(jī)分布進(jìn)行擾動(dòng)，從而得到新的全局最優(yōu)鳥窩位置XNewbest，更新公式如（7）所示：

其中，σ表示相對(duì)于Xbest的不確定度，是關(guān)于迭代次數(shù)t的非增函數(shù)，其更新公式如下：

其中，σ表示對(duì)原最優(yōu)鳥窩位置正態(tài)擾動(dòng)的半徑參數(shù)且σ1<σ2，本文取σ1=0.9，σ2.=0.000 001，α1、α2是半徑變化的控制參數(shù)，且α1<α2，本文取α1=0.4，α2=0.7，t是當(dāng)前迭代次數(shù)，T是最大迭代次數(shù)。其擾動(dòng)半徑變化圖如圖1所示。

圖1 擾動(dòng)半徑σ 變化圖Fig.1 Variation diagram of perturbation radius σ

由圖1可以看出，擾動(dòng)半徑σ是一個(gè)分為三階段的動(dòng)態(tài)變化數(shù)值。本文在算法的迭代前期以固定較大的半徑對(duì)布谷鳥算法的全局最優(yōu)鳥窩位置進(jìn)行擾動(dòng)，得到新的變化較大的最優(yōu)鳥窩位置，使全體鳥窩在朝著新的最優(yōu)鳥窩位置靠近時(shí)，更具有廣泛性和多樣性，幫助算法在迭代前期更大范圍內(nèi)的去尋找全局最優(yōu)，避免算法朝著固定最優(yōu)鳥窩位置靠近，而在迭代前期就陷入局部最優(yōu)的情況。當(dāng)在迭代中期，算法在逐步縮小范圍尋找全局最優(yōu)時(shí)，本文也以線性遞減的方式逐步降低對(duì)最優(yōu)鳥窩位置的擾動(dòng)半徑，使全體鳥窩位置逐步穩(wěn)定的向全局最優(yōu)靠近。而在最后迭代后期，算法已經(jīng)非?？拷鼘で蟪鋈肿顑?yōu)解時(shí)，本文以固定非常微小的擾動(dòng)半徑對(duì)當(dāng)前最優(yōu)鳥窩位置進(jìn)行擾動(dòng)，不再大范圍波動(dòng)當(dāng)前最優(yōu)位置，使算法小范圍內(nèi)精細(xì)搜索出全局最優(yōu)解。本文基于上述根據(jù)迭代過程而變化的多階段擾動(dòng)策略，充分靈活發(fā)揮了當(dāng)前最優(yōu)鳥窩位置的作用，有效避免算法易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)，提高了算法的全局搜索能力和尋優(yōu)性能。

2.2 動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重

在布谷鳥算法的偏好隨機(jī)游動(dòng)環(huán)節(jié)中，如式（6）所示，采用的是固定上一代鳥窩位置的更新方式，容易造成算法在迭代后期陷入局部最優(yōu)值。而慣性權(quán)重因子是布谷鳥算法中的重要影響參數(shù)，當(dāng)慣性權(quán)重較大時(shí)，有利于擴(kuò)大搜索范圍，增加全局搜索能力提高搜索速度。當(dāng)慣性權(quán)重較小時(shí)，有利于幫助布谷鳥算法進(jìn)行后期的精細(xì)搜索，提高搜索精度。所以動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重改進(jìn)策略是一種能夠動(dòng)態(tài)平衡全局搜索和局部搜索的改進(jìn)機(jī)制，能夠提高算法的搜索速度和收斂精度。本文在上一代鳥窩位置處引入自適應(yīng)動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重[19]對(duì)布谷鳥算法的偏好隨機(jī)游動(dòng)環(huán)節(jié)進(jìn)行改進(jìn)。

改進(jìn)后的布谷鳥偏好隨機(jī)游動(dòng)環(huán)節(jié)式（6）如式（9）所示：

其中動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重?公式如（10）所示：

式中，t是當(dāng)前迭代次數(shù)，tmax是最大迭代次數(shù)，?變化如圖2所示。

圖2 動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重? 變化圖Fig.2 Variation diagram of dynamic inertial weight ?

通過圖2 可以看出，?為（0，1）之間隨迭代次數(shù)非線性遞減的動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重，隨著迭代過程的進(jìn)行，慣性權(quán)重?逐步減小。在標(biāo)準(zhǔn)布谷鳥偏好隨機(jī)游動(dòng)環(huán)節(jié)中，新的鳥窩位置的更新是采用固定上一代鳥窩位置的方式，而本文通過在上一代鳥窩位置處引入如圖所示的動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)，靈活地將上一代鳥窩位置與迭代過程動(dòng)態(tài)聯(lián)系起來。在迭代前期，給上一代鳥窩位置賦予相對(duì)大的系數(shù)，使上一代鳥窩具有更大的作用能力與范圍，幫助布谷鳥算法在前期擴(kuò)大搜索空間，廣泛尋找全局最優(yōu)解。隨著算法迭代過程的進(jìn)行，慣性權(quán)重系數(shù)逐漸減小，直至到迭代后期，算法接近最優(yōu)解時(shí)，對(duì)上一代鳥窩位置采用相對(duì)較小的慣性權(quán)重系數(shù)，有效的削弱了上一代鳥窩的保留信息，幫助布谷鳥算法有效跳出局部最優(yōu)，使布谷鳥個(gè)體具有更好的局部尋優(yōu)能力。本文通過動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)的引入，靈活處理上一代鳥窩的位置信息，提高了算法的局部尋優(yōu)能力。

2.3 自適應(yīng)切換概率

在基本布谷鳥算法中，用固定的切換概率p=0.25來控制全局搜索和偏好隨機(jī)游走，不利于動(dòng)態(tài)平衡算法的全局探索和局部開發(fā)能力。自適應(yīng)概率p是布谷鳥算法的重要參數(shù)，當(dāng)p較小時(shí)，增加了全局的多樣性，提高全局搜索能力，當(dāng)p較大時(shí)，增加局部搜索能力，提高了算法精度和效率。所以動(dòng)態(tài)概率p是一種綜合提高算法性能的優(yōu)化改進(jìn)策略。本文引入了動(dòng)態(tài)切換概率p來隨著迭代次數(shù)自適應(yīng)地平衡全局和局部搜索能力，來更好地實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)能力，本文提出的動(dòng)態(tài)概率公式如式（11）所示：

式中，t是當(dāng)前迭代次數(shù)，tmax是最大迭代次數(shù)，p的變化如圖3所示。

圖3 自適應(yīng)切換概率變化圖Fig.3 Adaptive switching probability graph

由圖3可以看出，本文提出的概率p是一個(gè)隨迭代過程進(jìn)行而自適應(yīng)增大的動(dòng)態(tài)切換概率。在算法迭代前期，以較小的概率p來控制全局搜索和局部搜索的切換，在這個(gè)階段由于概率p較小，所以幫助算法在迭代前期多進(jìn)行全局搜索，大范圍尋找全局最優(yōu)解，增加了算法的全局多樣性，提高了算法的全局搜索能力。隨著迭代過程的進(jìn)行，概率p不斷增大，直至在迭代后期，概率p相對(duì)較大，幫助算法在迭代后期已經(jīng)靠近全局最優(yōu)解時(shí)，多進(jìn)行局部精細(xì)搜索，提高算法的運(yùn)算精度和搜索效率。通過將布谷鳥算法的固定概率替換成自適應(yīng)切換概率，將概率p與迭代過程動(dòng)態(tài)聯(lián)系在一起，幫助算法靈活平衡了全局搜索能力和局部搜索能力，提高算法性能。

2.4 MACS算法分析

2.4.1 MACS算法的理論客觀分析

多階段動(dòng)態(tài)擾動(dòng)和動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重的布谷鳥算法（MACS）著眼于對(duì)布谷鳥算法的整體優(yōu)化，充分協(xié)調(diào)利用多階段動(dòng)態(tài)擾動(dòng)策略、動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重?和自適應(yīng)切換概率p三者之間的關(guān)系。MACS 算法前期全局搜索階段利用三階段的動(dòng)態(tài)可調(diào)方差σ靈活控制最優(yōu)鳥窩位置的擾動(dòng)半徑范圍，擾動(dòng)半徑變化范圍從0.000 001到0.9，在保證算法穩(wěn)定性的前提下，最大程度上增加了前期鳥窩的多樣性，保證算法充分勘探搜索種群。與此同時(shí)，對(duì)偏好隨機(jī)游動(dòng)環(huán)節(jié)結(jié)合變化范圍在[0，1]的非線性遞減動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重?進(jìn)行補(bǔ)充，幫助進(jìn)行算法后期精細(xì)搜索，提高算法尋找最優(yōu)解的效率，并通過引入自適應(yīng)切換概率p，確保p在整個(gè)算法迭代階段保持一個(gè)在[0.15，0.25]間動(dòng)態(tài)變化的狀態(tài)，來動(dòng)態(tài)平衡MACS算法的全局搜索和局部搜索階段，使算法更具有靈活性。通過3個(gè)策略間的相互作用、相互聯(lián)系，MACS算法對(duì)布谷鳥算法進(jìn)行了整體優(yōu)化，充分開發(fā)算法搜索性能。

2.4.2 MACS算法流程

MACS具體執(zhí)行步驟如下：

步驟6 判斷算法的終止條件，若滿足，就輸出當(dāng)前最優(yōu)值fmin；若不滿足，就重復(fù)步驟2～6。

詳細(xì)算法流程圖，如圖4所示。

圖4 MACS算法流程圖Fig.4 MACS algorithm flow chart

2.4.3 MACS算法的計(jì)算復(fù)雜度分析

在標(biāo)準(zhǔn)布谷鳥算法CS 中，假設(shè)種群大小為N，解空間維數(shù)為n，最大迭代次數(shù)為tmax，那么原布谷鳥算法CS的計(jì)算復(fù)雜度可以用Ο(N×n×tmax)表示。

該方程的推導(dǎo)基于算法初始化大小為N的種群，維數(shù)因子n決定了算法的復(fù)雜性，對(duì)于每個(gè)布谷鳥種群中的個(gè)體，都需要執(zhí)行Ο(n)次操作，導(dǎo)致復(fù)雜度為Ο(N×n)。這是針對(duì)單次迭代的復(fù)雜性，但是一般來說，布谷鳥算法運(yùn)行需要許多次迭代，所以算法總計(jì)算復(fù)雜度取決于算法的最大迭代次數(shù)，這個(gè)過程給出了原布谷鳥算法的總復(fù)雜度為Ο(N×n×tmax)。

與原布谷鳥算法CS 相比，MACS 算法在原算法的基礎(chǔ)上添加了多階段動(dòng)態(tài)擾動(dòng)策略更新最優(yōu)鳥窩位置，動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重和自適應(yīng)切換概率的改進(jìn)。原則上，所提出的新改進(jìn)都沒有額外的計(jì)算負(fù)擔(dān)，從第3章的比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果也可以明顯看出，對(duì)于變化的種群大小，MACS算法的結(jié)果隨著CS 算法的變化而變化，維數(shù)大小的影響也保持一致，因此MACS算法的計(jì)算復(fù)雜度相較于原CS算法并沒有提升，仍為Ο(N×n×tmax)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 測(cè)試函數(shù)

為了證明MACS 算法的尋優(yōu)性能，本文選取了11個(gè)不同難度的函數(shù)，其中涵蓋簡(jiǎn)單低峰函數(shù)和復(fù)雜多峰函數(shù)，高維函數(shù)和低維函數(shù)，函數(shù)設(shè)置見表1。分別對(duì)MACS 算法的收斂速度，收斂精度進(jìn)行測(cè)試。同時(shí)與ASCSA算法、CS算法、FPA算法、BA算法，進(jìn)行對(duì)比分析。

表1 測(cè)試函數(shù)Table 1 Test functions

3.2 測(cè)試環(huán)境及算法參數(shù)

實(shí)驗(yàn)環(huán)境如下：CPU為i5-4288U 2.60 GHz，運(yùn)行內(nèi)存4 GB，操作系統(tǒng)Windows10，編程環(huán)境Matlabr2020a。CS算法、FPA算法、BA算法、ASCSA算法設(shè)置參數(shù)如表2所示。

表2 算法參數(shù)設(shè)置Table 2 Algorithm parameters setting

3.3 算法求解精度比較分析

表3～11 分別給出了5 種算法對(duì)測(cè)試函數(shù)f1～f9，在維數(shù)n=10、n=50、n=100 下的方差、最優(yōu)值、平均值、最差值結(jié)果。表12 和表13 分別給出了5 種算法對(duì)低維測(cè)試函數(shù)f10、f11在維數(shù)n=2 下的方差、最優(yōu)值、平均值、最差值結(jié)果。

表3 f1( x )Rastrigin函數(shù)仿真結(jié)果Table 3 Simulation resutls of f1( x )Rastrigin function

表4 f2( x )Schaffer函數(shù)仿真結(jié)果Table 4 Simulation resutls of f2( x )Schaffer function

表5 f3( x )Zakharov函數(shù)仿真結(jié)果Table 5 Simulation resutls of f3( x )Zakharow function

表中，f1(x)函數(shù)是典型的非線性多模態(tài)函數(shù)，局部最小值個(gè)數(shù)與維數(shù)成正比且起伏不定，從表3中可以看出，MACS表現(xiàn)出良好的性能，取到全局最優(yōu)值，而其他4 種算法后期都陷入了局部最優(yōu)。f2～f5為復(fù)雜多峰函數(shù)，MACS 算法在不同維度下均表現(xiàn)出良好的尋優(yōu)能力，而其他算法都無法獲得全局最優(yōu)解。

f6～f8為單峰函數(shù)，在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，MACS 也仍能取到全局最優(yōu)解，表現(xiàn)出良好的尋優(yōu)性能。從表格中可以看出，對(duì)測(cè)試函數(shù)f1～f8中的不管是單峰函數(shù)還是復(fù)雜多峰函數(shù)，MACS算法均取到了全局最優(yōu)值。并且隨著維度的增加，仍能保持取到最優(yōu)結(jié)果，表現(xiàn)出良好的尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性，而其他4 個(gè)算法在迭代后期都陷入了局部最優(yōu)，并隨著維度的提高，求解精度逐漸下降。對(duì)測(cè)試函數(shù)f9，MACS 算法雖然也陷入了局部最優(yōu)8.881 8E-16，但相較于其他4個(gè)算法仍不同程度上的提高了收斂精度，并隨著維度的提高，當(dāng)其他4個(gè)算法求解精度都在明顯下降時(shí)，MACS仍能表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性。

對(duì)于低維函數(shù)f10～f11，由表12 和表13 可以看出，MACS 算法仍能收斂到全局最優(yōu)，證明了MACS 算法在低維測(cè)試函數(shù)條件下也仍具有良好性能，具有普適性。

表6 f4( x )Griewank函數(shù)仿真結(jié)果Table 6 Simulation resutls of f4( x )Griewank function

表12 f 10( x )Bohachevsky函數(shù)仿真結(jié)果Table 12 Simulation results of f10( x )Bohachevsky function

表13 f11( x )Mytyas函數(shù)仿真結(jié)果Table 13 Simulation results of f11( x )Mytyas function

表7 f5( x )Alpine函數(shù)仿真結(jié)果Table 7 Simulation resutls of f5( x )Alpine function

表8 f6( x )Sphere函數(shù)仿真結(jié)果Table 8 Simulation resutls of f6( x )Sphere function

表9 f7( x )Sum square函數(shù)仿真結(jié)果Table 9 Simulation resutls of f7( x )Sum square function

表10 f8( x )Schwefel’s 2.2函數(shù)仿真結(jié)果Table 10 Simulation resutls of f8( x )Schwefel’s 2.2 function

表11 f9( x )Ackley函數(shù)仿真結(jié)果Table 11 Simulation resutls of f9( x )Ackley function

3.4 算法收斂曲線分析

圖5～15 分別是11 種函數(shù)的收斂曲線圖，直觀地反映出了5 種算法的收斂速度和收斂精度。f1～f5為多峰函數(shù)，在定義域內(nèi)存在多個(gè)極值點(diǎn)，可以考察算法的尋優(yōu)能力，是否能跳出局部最優(yōu)。

由圖5、圖6、圖9 可以看出，其他4 個(gè)算法都在迭代后期都陷入了局部最優(yōu)，而MACS 成功跳出局部最優(yōu)，取得全局最優(yōu)值。由圖7 和圖8 可以看出，CS 算法和BA 算法都陷入了局部最優(yōu)，F(xiàn)PA 算法和ASCSA 算法在300 次后取得最優(yōu)值，而MACS 算法在50 次迭代后就達(dá)到了全局收斂，取得最優(yōu)值。f6～f8為單峰函數(shù)，在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，可以測(cè)試算法的收斂速度。

圖5 Rastrigin函數(shù)收斂曲線圖Fig.5 Convergence curve of Rastrigin function

圖6 Schaffer函數(shù)收斂曲線圖Fig.6 Convergence curve of Schaffer function

圖7 Zakharov函數(shù)收斂曲線圖Fig.7 Convergence curve of Zakharov function

圖8 Griewank函數(shù)收斂曲線圖Fig.8 Convergence curve of Griewank function

圖9 Alpine函數(shù)收斂曲線圖Fig.9 Convergence curve of Alpine function

由圖10～12 可以看出，MACS 算法均在50 次迭代就取得全局最優(yōu)解，相較于其他4 個(gè)算法明顯有更高的收斂速度。f10～f11為低維函數(shù)，由圖14 和圖15 可以看出，MACS 算法也都在50 次迭代左右就達(dá)到全局最優(yōu)。

圖10 Sphere函數(shù)收斂曲線圖Fig.10 Convergence curve of Sphere function

圖11 Sum square函數(shù)收斂曲線圖Fig.11 Convergence curve of Sum square function

圖12 Schwefel’s 2.2函數(shù)收斂曲線圖Fig.12 Convergence curve of Schwefel’s 2.2 function

圖13 Ackley函數(shù)收斂曲線圖Fig.13 Convergence curve of Ackley function

圖14 Bohachevsky函數(shù)收斂曲線圖Fig.14 Convergence curve of Bohachevsky function

圖15 Mytyas函數(shù)收斂曲線圖Fig.15 Convergence curve of Mytyas function

綜上所述，經(jīng)過對(duì)這5種算法的收斂曲線進(jìn)行比較分析，可以看出，無論是單峰函數(shù)還是復(fù)雜多峰函數(shù)，無論是高維函數(shù)還是低維函數(shù)，無論是尋優(yōu)能力還是尋優(yōu)精度上，MACS 算法的尋優(yōu)表現(xiàn)都優(yōu)于其他四個(gè)算法，表現(xiàn)出良好的性能。

4 結(jié)束語

針對(duì)布谷鳥仿生智能優(yōu)化算法存在著的易陷入局部最優(yōu)、求解精度低以及收斂速度慢等問題，本文提出了基于多階段動(dòng)態(tài)擾動(dòng)策略和動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重的布谷鳥搜索算法（MACS）。在布谷鳥全局搜索階段，引入多階段動(dòng)態(tài)擾動(dòng)策略對(duì)布谷鳥算法的全局位置的最優(yōu)鳥巢位置根據(jù)方差可調(diào)的正態(tài)隨機(jī)分布進(jìn)行擾動(dòng)；引入動(dòng)態(tài)方差概念，根據(jù)迭代次數(shù)，靈活調(diào)整擾動(dòng)半徑，增加種群的多樣性和鳥窩位置的靈活性，提高算法的全局搜索能力。在布谷鳥局部搜索階段，在上一代鳥窩位置處引入動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重?，使得算法有效克服易陷入局部最優(yōu)的缺陷，提高算法局部尋優(yōu)搜索能力。最后，引入了動(dòng)態(tài)切換概率p代替原有的固定概率，可以動(dòng)態(tài)平衡全局搜索和局部搜索。通過與4 種算法相比和11 個(gè)測(cè)試函數(shù)的仿真結(jié)果表明：改進(jìn)布谷鳥算法（MACS）的尋優(yōu)性能明顯提高，收斂速度更快，求解精度更高，具有更強(qiáng)的全局搜索能力和跳出局部最優(yōu)能力。