郝玉福，李正浩，趙凱羽，董 健

(中車青島四方車輛研究所有限公司，山東 青島 266031)

1 引言

工業(yè)機(jī)器人獨(dú)立關(guān)節(jié)系統(tǒng)作為一個(gè)較為復(fù)雜的非線性時(shí)變系統(tǒng)，是影響工業(yè)機(jī)器人末端運(yùn)動控制精確性的首要因素。其系統(tǒng)內(nèi)存在大量非線性因素及未知干擾，包括機(jī)械傳動摩擦、齒輪間隙、外部負(fù)載擾動和其它關(guān)節(jié)耦合擾動等。因此實(shí)現(xiàn)工業(yè)機(jī)器人獨(dú)立關(guān)節(jié)精確位置跟蹤控制同樣是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的工作。

目前，在深入研究工業(yè)機(jī)器人獨(dú)立關(guān)節(jié)模型之外，越來越多的學(xué)者著眼于研究其控制策略，以便在上述參數(shù)不確定性和非線性情況下獲得較為精確的關(guān)節(jié)位置跟蹤性能。但是考慮系統(tǒng)參數(shù)的變化不確定及外界干擾，傳統(tǒng)PID控制器的控制性能無法滿足系統(tǒng)要求[1-2]。為了解決模型不確定，提高獨(dú)立關(guān)節(jié)系統(tǒng)的跟蹤精度，自適應(yīng)控制策略被引入以更好地處理系統(tǒng)問題魯棒性[3-5]。

由于滑模(SM)控制具有較強(qiáng)的魯棒性和設(shè)計(jì)的簡單性，可進(jìn)一步提高了對非線性系統(tǒng)控制的魯棒性，因此也被成功地引入到了機(jī)器人獨(dú)立關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)中[6-10]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(NN)對于任意非線性函數(shù)有良好逼近性能，因此基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制策略也被用于機(jī)器人關(guān)節(jié)系統(tǒng)控制[11-17]。

但是，由于機(jī)器人執(zhí)行器系統(tǒng)非線性較強(qiáng)，系統(tǒng)參數(shù)不確定性較高，同時(shí)須在力矩在運(yùn)行過程中波動較大，上述的控制策略無法在計(jì)算資源耗費(fèi)較低的情況下實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的快速跟蹤性。

為了進(jìn)一步提高系統(tǒng)閉環(huán)收斂性能，降低集總不確定性界需求，本文提出了一種快速非奇異終端滑?？刂破?FNTSM)來控制機(jī)器人獨(dú)立關(guān)節(jié)系統(tǒng)，其中集總不確定性界將由極限學(xué)習(xí)機(jī)(ELM)估計(jì)。本文的主要創(chuàng)新點(diǎn)在于：①設(shè)計(jì)的ELM自適應(yīng)估計(jì)策略，從系統(tǒng)全局穩(wěn)定性出發(fā)，利用Lyapunov自適應(yīng)律對ELM的輸出權(quán)重進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，從而完成對集總不確定性界的自適應(yīng)估計(jì)。不僅避免了節(jié)點(diǎn)參數(shù)訓(xùn)練，而且還可以自適應(yīng)地調(diào)節(jié)集總不確定性界，從而實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。②提出的FNTSM-ELM控制策略滿足有限時(shí)間收斂特性和不確定性邊界信息未知的要求，可以很好地實(shí)現(xiàn)機(jī)器人關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)的魯棒性。

2 系統(tǒng)模型

機(jī)器人執(zhí)行器系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 機(jī)器人獨(dú)立關(guān)節(jié)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

機(jī)器人運(yùn)動系統(tǒng)逆運(yùn)動學(xué)求解出關(guān)節(jié)所需轉(zhuǎn)動角度θd，關(guān)節(jié)電機(jī)編碼器測量實(shí)際的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角度θt，同時(shí)發(fā)送至電機(jī)控制系統(tǒng)中的MCU，求得電機(jī)的控制量u。通過驅(qū)動器控制電機(jī)旋轉(zhuǎn)。同時(shí)，通過減速機(jī)齒輪組使得關(guān)節(jié)輸出扭矩滿足設(shè)計(jì)扭矩?？紤]電機(jī)電樞電感值較小，電樞電流動力學(xué)可以忽略不計(jì)，因此獨(dú)立關(guān)節(jié)和直流電機(jī)的系統(tǒng)動力學(xué)可以得到

(1)

其中，Jeq和Beq分別為系統(tǒng)模型的等效慣性系數(shù)和等效阻尼系數(shù)，τf為摩擦轉(zhuǎn)矩，b為等效轉(zhuǎn)矩系數(shù)，τD為廣義有界干擾矩，被分別定義為

Jeq=N2Jm+Jt

(2)

(3)

(4)

τD=d(τm)-τL-τN

(5)

由于，系統(tǒng)參數(shù)無法被準(zhǔn)確測得且存在微小的變化，因此系統(tǒng)參數(shù)不確定性界為

(6)

(7)

(8)

(9)

-(τf0+△τf)+τD]

(10)

為了簡化控制器設(shè)計(jì)，系統(tǒng)模型被調(diào)整為系統(tǒng)標(biāo)稱模型和系統(tǒng)集總不確定性模型

(11)

其中，系統(tǒng)集總不確定性τlum為

-△bu-τD)

(12)

由文獻(xiàn)[18]可知，式(12)的集總不確定性的有界性可以被確定為

(13)

(14)

其中，Di，(i=0，1，2)為正常數(shù)。

3 FNTSM-ELM控制策略

理論上而言，通過選擇適當(dāng)?shù)腄i，(i=0，1，2)可以確定系統(tǒng)不確定性界，但是由于外界干擾和系統(tǒng)的不確定性，很難選擇滿足系統(tǒng)要求的Di，(i=0，1，2)。為了降低FNTSM對于系統(tǒng)不確定性界的需求，引入ELM對系統(tǒng)集總不確定性界進(jìn)行估計(jì)[19]。

‖H(x，γ，α)β-T‖=‖ε(x)‖<ε1

(15)

為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)魯棒性和位置跟蹤的快速性，本節(jié)將設(shè)計(jì)FNTSM控制策略，如圖2所示為機(jī)器人獨(dú)立關(guān)節(jié)控制邏輯圖，其集總不確定性將通過ELM實(shí)現(xiàn)在線自適應(yīng)估計(jì)。

圖2 機(jī)器人獨(dú)立關(guān)節(jié)系控制邏輯圖

首先，機(jī)器人獨(dú)立關(guān)節(jié)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動位置誤差為

e=θt-θd

(16)

結(jié)合系統(tǒng)動力學(xué)模型(11)，系統(tǒng)的二階誤差動力學(xué)模型為

(17)

FNSTM面被定義為[20]

(18)

其中，k1，k2>0，1<ζ1<2，ζ2>ζ1，且ζ1=q/p，q，p均為正奇數(shù)。

為了保證控制系統(tǒng)的快速性，同時(shí)減小抖振，本文的滑模趨近率選擇為

(19)

其中，μ1，μ2是滑模到達(dá)常數(shù)，在控制器設(shè)計(jì)中，當(dāng)增加μ2時(shí)，應(yīng)減小μ1。

系統(tǒng)的集中不確定性界為

(20)

(21)

其中，為了便于閱讀，H(θ，γ，α)被H來代替使用，為β*的估計(jì)值。此外，為了便于ELM自適應(yīng)誤差估計(jì)器的設(shè)計(jì)，設(shè)定

(22)

論點(diǎn)：若滑模平面選擇如(19)所示，控制器設(shè)計(jì)如下

u=u0+u1+u2

(23)

其中

(24)

(25)

(26)

(27)

其中，自適應(yīng)增益η>0。

則式(17)中的系統(tǒng)閉環(huán)誤差動力學(xué)可在有限時(shí)間內(nèi)將達(dá)到滑動模態(tài)s=0。并且可在此后的有限時(shí)間內(nèi)，可以保證系統(tǒng)閉環(huán)誤差動力學(xué)收斂到s=0的滑模面。

證明：選擇Lyapunov函數(shù)：

(28)

(29)

其中，ε3<ε2-ε1，為正常數(shù)。

(30)

將(30)帶入(17)得

(31)

對于s>0時(shí)，(31)可寫為

(32)

證明結(jié)束。

4 仿真結(jié)果及分析

本節(jié)將對所提控制策略進(jìn)行仿真，通過仿真結(jié)果評價(jià)所提控制策略的控制性能。同時(shí)，與非奇異終端滑模(NTSM)、傳統(tǒng)的自適應(yīng)終端滑模(ASM)及PID控制器的仿真結(jié)果進(jìn)行對比并分析，可進(jìn)一步評價(jià)本文所提控制策略的性能。

系統(tǒng)模型參數(shù)和控制器參數(shù)分別如表1和表2所示。此外，本文將通過兩組模擬工況的給定信號的仿真，來驗(yàn)證控制策略性能。

表1 機(jī)器人獨(dú)立關(guān)節(jié)系統(tǒng)標(biāo)稱模型參數(shù)

表2 FNTSM-ELM控制器參數(shù)

模擬工況1：參考信號是從0到1.5 rad的大幅度變動的階躍信號，然后為1.5 rad到0的連續(xù)階梯信號，其中間隔為0.5 rad。本例模擬機(jī)器人關(guān)節(jié)大幅度和連續(xù)小幅轉(zhuǎn)動下的工作模式。

模擬工況2：參考信號為正弦參考信號，θd=0.5+0.3sin(2πt)和θd=0.5+0.3sin(4πt)。本例模擬關(guān)節(jié)連續(xù)正弦轉(zhuǎn)動的工作模式。

此外，為了評估所提出控制控制策略的魯棒性，在上述模擬工況中，增加了正弦型集總不確定性τlum=sin(2πt)+0.5sin(200πt)，用以評估高頻測量噪聲對其影響。

圖3-6展示了在模擬工況1中四個(gè)控制器的轉(zhuǎn)動位置跟蹤的仿真結(jié)果?？梢钥吹剑岢龅目刂破髟诖蠓绒D(zhuǎn)動的工作模式下獲得了最好的跟蹤精度。如圖所示，F(xiàn)NTSM-ELM的均方根誤差為0.15rad，NTSM的均方根誤差為0.28rad，ASM的均方根誤差為0.20rad，PID控制器的均方根誤差為0.17rad。此外，F(xiàn)NTSM-ELM控制器響應(yīng)速度為0.43s，比NTSMC的0.77s響應(yīng)速度快一倍，ASMC和PID的響應(yīng)時(shí)間分別為0.81s和0.8s。三種SM控制器滑動變量雖然具有類似的收斂形式，但是FNTSM-ELM控制器具有更快的收斂速度和更好的平滑性。。綜上所述，本文提出的控制方法收斂速度快，控制精度高，魯棒性強(qiáng)，能夠很好地跟蹤大幅轉(zhuǎn)動和連續(xù)小幅轉(zhuǎn)動的參考信號。

圖3 FNTSM-ELM控制器在模擬工況1中的控制性能

圖4 NTSM控制器在模擬工況1中的控制性能

圖5 ASM控制器在模擬工況1中的控制性能

圖6 PID控制器在模擬工況1中的控制性能

如圖7-10所示為模擬工況2下四個(gè)控制器的轉(zhuǎn)動位置跟蹤的仿真結(jié)果。與其它三種控制器相比，本文所提出的控制器同樣具有最佳跟蹤性能。FNTSM-ELM的均方根誤差僅為0.29rad，最大誤差也相對較小，僅為0.0035rad。然而，由于PID控制器對于正弦信號的跟蹤能力較差，且魯棒性弱的限制，如圖10所示的跟蹤性能很差，并且存在較大的時(shí)滯和穩(wěn)態(tài)誤差。

圖7 FNTSM-ELM控制器在模擬工況2中的控制性能

圖8 NTSM控制器在模擬工況2中的控制性能

圖9 ASM控制器在模擬工況2中的控制性能

圖10 PID控制器在模擬工況2中的控制性能

本文所提的FNTSM-ELM的優(yōu)勢主要在于：①ASM的線性滑動模式限制了收斂速度，NTSM中使用的終端滑模面在遠(yuǎn)離滑模平面時(shí)收斂速度相對較慢，本文所提的FNTSM在遠(yuǎn)離滑模平面時(shí)具有更快的收斂速度，因此穩(wěn)態(tài)時(shí)間更快。②此外，由于NTSMC采用恒定的切換項(xiàng)增益來解決集總不確定性的影響，在干擾未知的情況下不可避免地會降低系統(tǒng)的魯棒性。然而，對于所提出的控制器，利用Lyapunov穩(wěn)定性定理，從全局穩(wěn)定性的角度通過ELM自適應(yīng)地調(diào)整系統(tǒng)集中不確定性界。相比于ASM，其自適應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間和收斂速度相對更好。

最后，為了評估輸入權(quán)重γi和隱層偏差αi對閉環(huán)的影響控制性能方面，我們將不同的隨機(jī)輸入范圍應(yīng)用于模擬工況2。表3所示為不同隨機(jī)參數(shù)范圍區(qū)間下的系統(tǒng)均方根誤差?？梢钥闯?，對于不同的隨機(jī)輸入間隔，系統(tǒng)均方根誤差幾乎沒有差別。因此，本文所提出的控制器不受任意輸入權(quán)重和隱層偏差的影響。

表3 不同ELM參數(shù)隨機(jī)范圍下的系統(tǒng)均方根誤差

5 結(jié)論

提出了機(jī)器人執(zhí)行器位置控制的FNTSM控制策略，通過ELM實(shí)現(xiàn)在線自適應(yīng)集總不確定性界估計(jì)。①該控制策略不僅能使跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)，而且系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性。②系統(tǒng)通過ELM估計(jì)，可以有效減少對系統(tǒng)動力學(xué)的依賴，提高閉環(huán)系統(tǒng)的抗干擾能力，同時(shí)可以顯著的降低計(jì)算時(shí)間提高系統(tǒng)響應(yīng)速度。③仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制方案的有效性和優(yōu)越性。同時(shí)證明了，本文所提出的控制策略可以有效的被應(yīng)用到各種復(fù)雜非線性且動力學(xué)參數(shù)未知系統(tǒng)的機(jī)電系統(tǒng)。

附錄 對比控制器設(shè)計(jì)

1)NTSM面選取及控制器設(shè)計(jì)為[9]

其中，sN為NTSM變量，k3，ζ3為為正常數(shù)，ζN為切換項(xiàng)增益。

2)ASM面選取及控制器設(shè)計(jì)為：

其中，sA為ASM變量變量，kA為為正常數(shù)，ηA1，ηA2，ηA3為自適應(yīng)增益。