崔洪波

摘要：通過漸開線直齒輪齒廓方程在MATLAB中構建出漸開線直齒輪的點云模型生成精確地齒廓，將點云數(shù)據(jù)導入到SolidWorks中構建出齒廓精確的漸開線直齒輪副的三維模型;然后對漸開線直齒輪副進行理論接觸應力計算，并對聯(lián)合建模的齒輪副與參數(shù)化建模的齒輪副進行接觸應力的有限元仿真分析和動力學仿真分析結果進行對比。結果表明：聯(lián)合建模所得三維模型滿足漸開線齒輪副的接觸特性研究需求，且較參數(shù)化建模方法，聯(lián)合建模的齒廓更加精確，有限元仿真的接觸應力更加精確。

Abstract： Based on the involute spur gear tooth profile equation， the point cloud model of involute spur gear was built in MATLAB to generate accurate tooth profile. The point cloud data was imported into SolidWorks to build a three-dimensional model of involute spur gear pair with accurate tooth profile. Then the theoretical contact stress of involute spur gear pair is calculated， and the finite element simulation and dynamic simulation analysis results of contact stress between the joint modeling gear pair and the parametric modeling gear pair are compared. The results show that the 3d model obtained by joint modeling meets the research requirements of contact characteristics of involute gears， and the tooth profile obtained by joint modeling is more accurate than that of parametric modeling method， and the contact stress obtained by finite element simulation is more accurate.

關鍵詞：聯(lián)合建模;漸開線直齒輪;接觸應力;有限元仿真分析;動力學仿真分析

Key words： joint modeling;involute spur gear;contact stress;finite element simulation analysis;dynamic simulation analysis

中圖分類號：TP242 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-957X（2022）04-0063-04

0 ?引言

在齒輪傳動中，漸開線直齒圓柱齒輪是一種常見的齒輪，其具有齒形易于加工、傳動比較高、安裝誤差不敏感、壽命長等優(yōu)點，被廣泛應用于機械傳動中[5]，但對與齒輪的三維建模大多是根據(jù)齒廓方程進行參數(shù)化建模，這種建模的齒廓精度雖可以滿足實際的機械傳動需求，但對于齒輪副的接觸特性的研究來說，一般的參數(shù)化建模的對研究結果的影響較大，所產生的誤差也較大。

目前，關于齒輪建模的方法和文章很多[4]。大多對漸開線齒形通過編程進行精確繪圖，但對齒根過渡曲線段主要采用近似繪制的方法。雖然齒根過渡曲線對齒嚙合過程沒有貢獻，但對齒輪的強度，尤其是齒輪的彎曲強度有重要的影響，故在分析時也必須對齒根過渡曲線進行精確繪制，但在一般的齒輪參數(shù)化建模中并沒有對過渡曲線進行建模，只是用一段圓弧或者漸開線延長線進行代替，這樣對于齒輪接觸特性的研究造成較大的誤差。

通過利用漸開線方程與齒根圓過渡曲線方程以及齒廓的其他參數(shù)，在MATLAB中編程繪制齒廓草圖的點云模型，然后將點云數(shù)據(jù)導入到SolidWorks中進行聯(lián)合建模。通過將聯(lián)合建模與一般的參數(shù)化建模的三維模型的理論計算值與靜、動力學仿真值做對比。通過靜力學仿真與動力學的仿真與理論計算對比來驗證聯(lián)合建模的三維模型的精確度對于齒輪接觸特性的研究是滿足的。

1 ?MATLAB構建漸開線直齒輪齒廓曲線與SolidWorks構建三維模型

1.1 漸開線直齒輪的齒廓組成及構成原理

構建的精確漸開線直齒輪的齒廓由四部分組成，如圖1所示;分別是：齒頂圓部分、漸開線部分、過渡曲線部分、齒根圓部分。其中齒輪副嚙合的接觸部分主要在漸開線部分，漸開線部分對于齒輪副的接觸特性的研究尤為重要;過渡曲線部分對于探究齒輪的彎曲應力影響較大。總之，精確的齒廓對于探究齒輪副的疲勞強度、應力特性等都有較大意義。

1.2 齒廓方程與MATLAB齒廓點云模型

由《機械原理》所述齒輪齒廓多為滾齒刀所加工的，根據(jù)繪制齒廓的需要，所需的齒輪副齒廓的基本參數(shù)公式，如下式[1]：

?式（3）中ρ為刀頂圓角半徑;a1為刀頂圓角圓心距中線的距離;α′公法線nn與刀具加工節(jié)線間的夾角;Φ=（a1/tanα′+b1）/r，b1刀頂圓角圓心距刀具齒槽中心線的距離。

根據(jù)上述式（1）～（3），在MATLAB中編寫齒廓方程曲線的程序，構建齒廓曲線的點云模型，根據(jù)齒輪副的參數(shù)得到主從動輪齒廓的點云數(shù)據(jù)，然后將點云數(shù)據(jù)以TXT格式導出，得到主從動輪的漸開線和齒根過渡曲線的點云數(shù)據(jù)，如圖3所示。

1.3 SolidWorks生成精確齒廓的漸開線直齒輪

將由MATLAB導出的點云數(shù)據(jù)導入到SolidWorks中，通過繪制曲線-通過XYZ點的曲線將點云數(shù)據(jù)轉換成齒廓草圖，然后通過拉伸生成精確齒廓的三維模型。如圖4所示，圖中左圖為聯(lián)合建模的三維齒廓圖，右圖為參數(shù)化建模的三維齒廓圖，在建模過程中，兩種建模的齒輪基本算例參數(shù)相同。

2 ?漸開線直齒輪的接觸應力計算

2.1 接觸應力計算公式

國內以赫茲理論為基礎將修正后的赫茲應力計算接觸應力[3]。國際標準化組織（ISO）、德國（DIV）以及美國齒輪制造協(xié)會（AGMA）都將Hertz公式作為齒輪接觸強度的計算依據(jù)。本文以Hertz公式來計算漸開線直齒輪的接觸應力，Hertz公式及相關參數(shù)的公式如下：

?式（4）中F為輪齒的法向載荷，F(xiàn)=2T/（dcosα），T為輸入轉矩;B為接觸線長度;b為齒輪寬度，εα為齒輪副的重合度，重合度的計算在文獻[1]中有所講述，本文就不在介紹其計算公式;ρ為綜合曲率半徑;μ為齒輪材料的泊松比;E為材料的彈性模量。

2.2 漸開線直齒輪副的參數(shù)及Hertz接觸應力

漸開線直齒輪副的算例參數(shù)如表1所示，根據(jù)齒輪副的算例參數(shù)可根據(jù)赫茲接觸計算公式計算得到漸開線直齒輪副的接觸應力，通常選取嚙合節(jié)點位置處的接觸應力作為計算和分析的參考依據(jù);為了對直齒圓柱齒輪的齒面接觸應力的計算公式進行簡化，使用一對軸線相互平行的圓柱體模擬其傳動;這與齒輪副輪齒的接觸如出一轍。

根據(jù)表1齒輪的設計參數(shù)數(shù)據(jù)與式（4）計算得到漸開線齒輪副的接觸應力大小為σH=374.935MPa，接觸線長度為B=12.346mm。法向載荷F=501.215N。

3 ?有限元仿真分析與動力學仿真分析

3.1 有限元仿真設置

對兩種建模方式所得到的漸開線直齒輪副進行有限元靜態(tài)仿真分析，兩種建模方式所得齒輪副的有限元靜態(tài)仿真分析的參數(shù)設置均相同。首先在SolidWorks中裝配好齒輪副模型，并調整齒輪嚙合做到配合三維模型均無干涉，然后將模型導入到Workbench中，并根據(jù)表1的算例參數(shù)進行參數(shù)設置。為了做到無側隙配合在Workbench中調整漸開線齒輪副的嚙合幾何間隙為0;由于齒輪接觸為非對稱行為，則在有限元接觸分析的計算算法中選擇廣義拉格朗日法;根據(jù)網格精度定性判定指標，網格大小設置為0.1mm，為了提高仿真計算精度，對接觸齒面的網格進行加密處理。對主動輪設置大小為8948.777N·mm的轉矩，從動輪固定;齒輪副在嚙合過程的齒面摩擦系數(shù)為0.1。網格劃分圖與兩種建模方式的有限元仿真結果圖，如圖5所示。網格劃分圖中所標識處為齒面加密部分。

3.2 齒輪副動力學仿真結果分析

將兩種建模方式得到的漸開線直齒輪副的裝備體分別導入到Adams View中進行動力學仿真分析，對兩種齒輪副進行同樣的操作與參數(shù)設置，兩種建模得到的直齒輪副算例的接觸仿真的時長設置為5秒，步數(shù)設置為500，對兩種建模方式得到的漸開線直齒輪副進行動力學仿真分析。分析得到的仿真結果如圖6所示，左圖為聯(lián)合建模漸開線直齒輪副的動力學仿真結果圖，右圖為參數(shù)化建模直齒輪副的動力學仿真結果圖。

3.3 有限元仿真結果與動力學仿真結果分析

兩種建模方式靜、動力學的仿真結果如表2所示。

根據(jù)表2可知，兩種建模方式得到的漸開線直齒輪的有限元仿真接觸應力值分別為：

①聯(lián)合建模的齒輪副有限元仿真接觸應力值大小為370.31MPa。

②參數(shù)化建模的齒輪副有限元仿真接觸應力值大小為423.05MPa。聯(lián)合建模的齒輪副有限元仿真接觸應力與理論計算的接觸應力的誤差為1.17%，而參數(shù)化建模的齒輪副的有限元仿真接觸應力與理論計算的接觸應力的誤差為12.97%。

由動力學仿真結果圖可得：

①聯(lián)合建模的漸開線直齒輪副動力學仿真的結果為493.4952N與理論值的誤差為：1.54%。

②參數(shù)化建模的漸開線直齒輪副動力學仿真的結果為480.4726N，與理論值的誤差為：4.12%。從仿真的結果圖（圖6）可以看出兩種建模方式得到的齒輪副嚙合傳動過程中，聯(lián)合建模所得到的漸開線直齒輪副的載荷波動相對于參數(shù)化建模的漸開線直齒輪較少，說明齒廓在傳動過程中較平穩(wěn)。

由此可見通過聯(lián)合建模得到的漸開線直齒輪的齒輪齒廓對于齒輪的接觸特性研究所得到結果與理論計算最為接近，這在很大程度上有利于漸開線直齒輪的接觸特性研究。

4 ?結論

通過聯(lián)合建模所得的漸開線直齒輪齒輪副的三維模型較參數(shù)化建模所得到三維模型的齒廓精確度較高;靜、動力學仿真結果都與理論計算值最為接近，誤差較參數(shù)化建模的齒輪較小;經過對比分析發(fā)現(xiàn)通過聯(lián)合建模所得到的漸開線直齒輪可以滿足漸開線直齒輪的接觸特性的研究需求。

參考文獻：

[1]孫恒.機械原理[M].高等教育出版社，2013：202-203.

[2]郭忠.基于APDL的漸開線直齒圓柱齒輪參數(shù)化精確建模[J].機械制造與自動化，2010，40（03）：41-44.

[3]中華人民共和國國家標準.GB/T 3480-1997，漸開線圓柱齒輪承載能力計算方法[S].

[4]萬蘇文，王貴成，舒希勇.漸開線圓柱齒輪PRO/E參數(shù)化造型系統(tǒng)設計[J].煤礦機械，2006（12）：88-91.

[5]孫方遒，苗德忠.機械設計基礎[M].北京：北京理工大學出版社，2015.