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        電信號在離散系統(tǒng)中的時域與z域分析

        2022-01-20 06:56:04
        通信電源技術 2021年15期
        關鍵詞:離散系統(tǒng)零點時域

        林 琳

        (湖南城市學院 信息與電子工程學院,湖南 益陽 413000)

        0 引 言

        在信號與系統(tǒng)的分析中,離散系統(tǒng)的分析方法可分為時域解法和變換域解法。對于連續(xù)系統(tǒng)可以采用s域分析法進行分析,而對于線性離散系統(tǒng)可以采用z域變換法進行分析。z變換對于描述系統(tǒng)的差分方程轉變?yōu)榇鷶?shù)方程起到關鍵性作用,且代數(shù)方程中包括了系統(tǒng)的初始狀態(tài),進而可以求得系統(tǒng)的零輸入響應、零狀態(tài)響應以及全響應[1]。

        1 離散系統(tǒng)的時域分析

        線性時不變(Linear Time Invariant,LTI)離散時間系統(tǒng)用常系數(shù)線性差分方程進行描述,即:

        式中,f[k]和y[k]分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出。

        在已知差分方程的初始狀態(tài)以及輸入的條件下,可以通過編程迭代算出系統(tǒng)輸出的公式為:

        系統(tǒng)的零狀態(tài)響應就是在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零條件下求微分方程的解。在零初始狀態(tài)下,MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供了一個Filter函數(shù),可以計算差分方程描述系統(tǒng)的響應[2]。

        離散系統(tǒng)的沖激響應、階躍響應分別是輸入信號為δ(k)和u(k)所對應的零狀態(tài)響應。MATLAB控制系統(tǒng)工具箱專門提供了兩個函數(shù)求解離散系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應。

        卷積是信號與系統(tǒng)中一個最基本也是最重要的概念之一。在時域中,對于LTI連續(xù)時間系統(tǒng),其零狀態(tài)響應等于輸入信號與系統(tǒng)沖激響應的卷積。而利用卷積定理,這種關系又對應頻域中的乘積。MATLAB信號處理工具箱提供了一個計算兩個離散序列卷積和的函數(shù)conv。

        2 離散系統(tǒng)的z變換

        如有序列f[(k](k=0,±1,±2,…),z為復變量,其雙邊z變換為:

        如果式(3)的求和只在k的非負值域進行,則稱為序列的單邊z變換[3]。

        線性時不變離散系統(tǒng)可用其z域的系統(tǒng)函數(shù)H(z)表示,通常具有的有理分式的形式為:

        為了能從系統(tǒng)的z域表示方便地得到其時域表示式,可將H(z)展開為部分分式和的形式,再對其求逆z變換[4]。MATLAB的信號處理工具箱提供了對H(z)進行部分分式展開的函數(shù)residuez,其調用形式為:

        式中,B和A分別為H(z)的分子多項式和分母多項式的系數(shù)向量,r為部分分式的系數(shù)向量,p為極點向量,k為多項式的系數(shù)向量。

        由此借助于residuez函數(shù)將上述有理函數(shù)H(z)分解為:

        進一步通過上面介紹的求逆z變換的方法求出系統(tǒng)的單位序列響應。通過系統(tǒng)函數(shù)的表達式,可以方便地求出系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點。系統(tǒng)函數(shù)零點和極點的位置對于系統(tǒng)的時域特性和頻域特性有重要影響。位于z平面的單位圓上和單位圓外的極點將使得系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)函數(shù)的零點將使得系統(tǒng)的幅頻響應在該頻率點附近出現(xiàn)極小值,而其對應的極點將使得系統(tǒng)的幅頻響應在該頻率點附近出現(xiàn)極大值[5-7]。

        在系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布問題上,可以借助函數(shù)TF2ZP來直接得到系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點的值,并通過函數(shù)zplane來顯示其零點和極點的分布[8]。利用MATLAB中的impz函數(shù)和freqz函數(shù)可以求得系統(tǒng)的單位序列響應和頻率響應。假定系統(tǒng)函數(shù)H(z)的有理分式形式為:

        TF2ZP函數(shù)的調用形式為:

        式中,b和a分別表示H(z)中的分子多項式和分母多項式的系數(shù)向量,z為求出的零點,p為求出的極點,k為增益。

        該函數(shù)的作用是將H(z)轉換為用零點、極點以及增益常數(shù)組成的表示式,即:

        zplane函數(shù)的調用形式為zplane(b,a),該函數(shù)的作用是在z平面畫出單位圓以及系統(tǒng)的零點和極點[9]。

        3 在離散系統(tǒng)時域分析中對信號進行滑動平均濾波

        滑動平均濾波法又稱遞推平均濾波法,對于離散系統(tǒng)而言,其實現(xiàn)方法為連續(xù)取N個采樣值看成一個循環(huán)隊列,隊列的長度固定為N,每次采樣到一個新數(shù)據(jù)放入隊尾,并扔掉原來隊首的一個數(shù)據(jù),即遵循先進先出的原則。濾波器每次輸出的數(shù)據(jù)總是當前隊列中的N個數(shù)據(jù)的算術平均值。其優(yōu)點在于對周期性干擾有良好的抑制作用,平滑度高,適用于高頻振蕩的系統(tǒng)。而缺點就是靈敏度低,對偶然出現(xiàn)的脈沖性干擾的抑制作用較差,不易消除由于脈沖干擾引起的采樣值偏差,不適用于脈沖干擾比較嚴重的場合,比較占用RAM資源。

        滑動平均濾波算法的基本思想是設定一個寬度固定的滑動窗口,該窗口沿著時間序列滑動,同時取窗內數(shù)據(jù)的算術平均值作為輸出值。而由輸出值組成另一個數(shù)字序列,也就是濾波后的序列。設2k+1為滑動窗口的寬度,輸入輸出分別為x(n)和y(n),則:

        在MATLAB中可以采用filter函數(shù)實現(xiàn)滑動平均濾波,設原始數(shù)據(jù)為x,平均窗口設為a(a為正整數(shù)),那么無權重滑動平均后的數(shù)據(jù)y為:

        設一個離散系統(tǒng)其輸入信號為f[k]=s[k]+d[k],其中s[k]=(2k)×0.9k是有用信號,d[k]是噪聲信號。利用MATLAB分別繪制出受干擾信號f(k)(有用信號和噪聲信號的疊加信號),有用信號s[k]和噪聲信號d[k],如圖1中所示為濾波前的3個信號。利用MATLAB中的filter函數(shù)對受干擾信號f(k)進行滑動平均濾波,圖2中y[k]為經(jīng)過濾波以后的去噪信號,s[k]為原始的有用信號。對比圖2中s[k]和y[k]可以發(fā)現(xiàn)在離散系統(tǒng)時域分析中引入滑動平均濾波可以有效抑制噪聲,基本還原了原始有用信號,實現(xiàn)了去噪處理。

        圖1 有噪聲信號

        圖2 去噪后信號

        4 離散系統(tǒng)中利用z域分析確定零極點

        z變換可將離散時間序列變換為在復頻域的表達式。離散時間信號的z變換是分析線性時不變離散時間系統(tǒng)問題的重要工具,在數(shù)字信號處理和計算機控制系統(tǒng)等領域有著廣泛應用。

        z變換域沒有物理意義,只是一種數(shù)學手段,之所以在離散系統(tǒng)分析中引入z變換的概念就是為了簡化分析方法和過程,為系統(tǒng)分析研究提供一條新的路徑。這種方法的數(shù)學描述為z變換及其逆z變換,被稱為離散系統(tǒng)的z域分析法[10]。

        在z域下,系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點分布完全決定了系統(tǒng)的特性,若系統(tǒng)函數(shù)的零極點已知,則系統(tǒng)函數(shù)便可確定下來。系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布對離散系統(tǒng)特性的分析具有非常重要的意義。

        零極點在z平面上的分布如圖3所示,該系統(tǒng)的所有極點位于z平面單位圓內,故系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。

        圖3 零極點在z平面上的分布

        5 結 論

        離散系統(tǒng)的時域分析和z域分析對離散信號的分析具有非常重要的意義,是對離散信號進行分析的重要數(shù)學工具。其中z域分析可以簡化分析過程,為離散系統(tǒng)的分析提供另一條路徑,在數(shù)字信號處理和計算機控制系統(tǒng)等領域得到廣泛應用。

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