王竹清,王 偉

(青島科技大學(xué) 橡塑材料與工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山東 青島 266042)

一般,優(yōu)化分為拓?fù)鋬?yōu)化和參數(shù)優(yōu)化,兩種優(yōu)化方式既可以同時(shí)應(yīng)用于某一零件,也可單獨(dú)用于產(chǎn)品設(shè)計(jì)。拓?fù)鋬?yōu)化常用于剛度較大的金屬零件及混凝土結(jié)構(gòu)等,如胡海明等[1]對(duì)輪胎模具弓形座進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化,李東斌等[2]基于應(yīng)變能對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。由于含有橡膠材料的數(shù)學(xué)模型有著復(fù)雜的非線性行為,很難通過解析求解的方法進(jìn)行優(yōu)化。因此,橡膠制品常需借助有限元方法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化,如黃祖宇[3]和孫蓓蓓等[4]以剛度曲線為目標(biāo)函數(shù)分別對(duì)橡膠減震器和橡膠懸架進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。但同時(shí)對(duì)橡膠制品的尺寸和材料屬性進(jìn)行優(yōu)化的相關(guān)文獻(xiàn)較少,本研究通過在Isight平臺(tái)上集成Abaqus和Data Matching模塊,在僅知道橡膠本構(gòu)模型參數(shù)范圍和制品規(guī)定尺寸范圍的情況下,同時(shí)對(duì)某車用橡膠減震器的本構(gòu)模型參數(shù)和尺寸進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化,使橡膠減震器的載荷－位移曲線符合目標(biāo)剛度曲線。

1 橡膠減震器有限元建模

1.1 幾何模型和有限元模型

本研究采用的橡膠減震器結(jié)構(gòu)如圖1所示。該橡膠減震器安裝在汽車前橋和車架之間,在汽車行駛過程中,起到維持行駛高度和緩沖減震的作用。上下兩部分為金屬框架,用于連接汽車前橋和車架,嵌在金屬架內(nèi)的為橡膠結(jié)構(gòu),起到支撐和緩沖的作用。

圖1 橡膠減震器的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of rubber damper

由于該橡膠減震器是上下對(duì)稱的軸對(duì)稱結(jié)構(gòu),因此僅需要提取其中一個(gè)四分之一截面,建立軸對(duì)稱分析模型,網(wǎng)格模型如圖2所示。橡膠屬于不可壓縮材料,故網(wǎng)格類型選用雜交單元CGAX4H。上下金屬套簡(jiǎn)化為剛體。

圖2 橡膠減震器的有限元模型Fig.2 Finite element model of rubber damper

1.2 橡膠本構(gòu)模型

橡膠是一種超彈性材料,具有應(yīng)變大非線性強(qiáng)的特征。目前,用來描述橡膠材料最常用的本構(gòu)模型是基于唯象理論的Yeoh模型和Ogden三階模型。其中Yeoh模型是廣義Mooney-Rivlin多項(xiàng)式的一種特殊形式,如式(1)所示:

式(1)中:C10、C20、C30為材料常數(shù),它們分別反映橡膠的模量、橡膠形變過程中的軟化現(xiàn)象、橡膠的硬化現(xiàn)象,I1為第一Green應(yīng)變不變量。

Ogden模型是采用主拉伸作為基準(zhǔn)變量的本構(gòu)模型,如式(2)所示:

式(2)中:N為模型的階數(shù),J為彈性體積比,λ1、λ2、λ3為應(yīng)變張量3個(gè)方向上的主伸長(zhǎng)率,μi、αi為材料常數(shù),Dk為反映橡膠不可壓縮的參數(shù)。

要準(zhǔn)確擬合上述兩個(gè)本構(gòu)模型,需要通過試驗(yàn)得到橡膠材料的拉伸、剪切和壓縮狀態(tài)下的力學(xué)性能。這些性能分別通過單軸拉伸試驗(yàn)、剪切試驗(yàn)和壓縮試驗(yàn)獲得,但在壓縮試驗(yàn)中,橡膠試件表面摩擦力無法消除,側(cè)面無法實(shí)現(xiàn)自由膨脹,誤差較大,故常用等軸拉伸試驗(yàn)代替壓縮試驗(yàn)。等軸拉伸試驗(yàn)通過一定數(shù)量等間距的夾子對(duì)橡膠試樣進(jìn)行多個(gè)方向等軸拉伸,可消除摩擦力帶來的剪應(yīng)變影響。由于能同時(shí)完成上述試驗(yàn)的國(guó)內(nèi)單位很少,且測(cè)試價(jià)格昂貴。因此,若能根據(jù)橡膠制品的性能要求,反推出橡膠本構(gòu)模型的參數(shù),則具有非常重要的工程應(yīng)用價(jià)值。由式(2)可知,Ogden三階模型共有6個(gè)參數(shù),會(huì)極大地增加反演計(jì)算難度,且Ogden模型在計(jì)算大應(yīng)變時(shí),易出現(xiàn)不收斂的情況[5]。由式(1)知,Yeoh模型僅含有3個(gè)參數(shù)C10、C20和C30,且其在大應(yīng)變下收斂性好,計(jì)算效率高,故本研究采用Yeoh模型來描述橡膠減震器中的橡膠材料的非線性力學(xué)行為。

2 優(yōu)化過程

2.1 優(yōu)化三要素

優(yōu)化在數(shù)學(xué)上被定義為:滿足限定條件,求得最優(yōu)解。求解優(yōu)化問題有3大要素,分別為設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束限制。在優(yōu)化過程中允許改變的參數(shù),被稱為設(shè)計(jì)變量。目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)變量的函數(shù),它是設(shè)計(jì)目的的具體體現(xiàn)。在優(yōu)化過程中,設(shè)計(jì)變量的改變不是隨意的,它必須符合數(shù)學(xué)邏輯以及一些工程規(guī)定。因此需要對(duì)設(shè)計(jì)變量施加約束條件,這些條件被稱為約束限制。優(yōu)化問題可以用式(3)簡(jiǎn)單描述如下:

式(3)中,x為設(shè)計(jì)變量,f(x)為目標(biāo)函數(shù),gi(x)和hj(x)為約束限制。

在本研究中,橡膠本構(gòu)參數(shù)和橡膠減震器關(guān)鍵尺寸為設(shè)計(jì)變量,評(píng)價(jià)橡膠減震器的剛度曲線與目標(biāo)剛度曲線的差距為目標(biāo)函數(shù),橡膠本構(gòu)參數(shù)和橡膠減震器關(guān)鍵尺寸的優(yōu)化范圍即為約束限制。

2.2 優(yōu)化方法

在Isight中有3類優(yōu)化方法,分別為梯度法、直接法和全局法。梯度法適用于線性函數(shù)求解,而含有橡膠材料的數(shù)學(xué)模型常具有非線性,故梯度法不適用于求解橡膠制品。全局法理論上能求得全局最優(yōu)解,但隨著參數(shù)數(shù)量增加,其計(jì)算時(shí)間成本大幅度增加,且易出現(xiàn)失敗解[6]。直接法計(jì)算效率高,求解步長(zhǎng)大,可用來求解非線性問題。因此,直接法在工程中得到廣泛應(yīng)用,但其缺點(diǎn)是計(jì)算結(jié)果一定程度上仰賴初值[7]。優(yōu)化算法對(duì)初值的選擇十分敏感,一個(gè)好的初值選取可在很大程度上降低優(yōu)化計(jì)算量,增加計(jì)算精度?？赏ㄟ^DOE(design of experiments)試驗(yàn)方法,較方便地為直接法尋找一個(gè)合適的初值。

在Isight中直接法共有兩種算法,分別為Downhill Simplex算法和Hooke-Jeeves算法,其中Downhill Simplex算法使用單純形(simplex)的概念,通過改變單純形的尺寸及頂點(diǎn)位置以探索設(shè)計(jì)空間,該方法求解跳躍性較大,而橡膠材料的參數(shù)優(yōu)化不能進(jìn)行很大的尺寸變動(dòng),這會(huì)產(chǎn)生較多失敗解,影響計(jì)算精度。Hooke-Jeeves算法是通過一個(gè)罰函數(shù)值來探索設(shè)計(jì)空間,求解過程較為穩(wěn)定,故本研究采用的直接法是Hooke-Jeeves算法[8],其最優(yōu)解的求解步驟如下:

步驟1:給定初始點(diǎn)、初始步長(zhǎng)和坐標(biāo)向量分別為x(1)、t和e1,e2,…,en,令加速因子α≥1,縮減率0＜β＜1,使k＝i＝1,y(1)＝x(1);

步驟2:若f(y(i)＋tei)＜f(y(i)),正方向離散步探索成功,令

轉(zhuǎn)步驟4;若f(y(i)＋tei)≥f(y(i)),正方向離散步探索失敗,轉(zhuǎn)步驟3;

步驟3:若f(y(i)－tei)＜f(y(i)),令

轉(zhuǎn)步驟4;

步驟4:若i＜n,令i＝i＋1,返回步驟2;否則i＝n,若f(y(n＋1))≥f(x(k)),轉(zhuǎn) 步 驟6;若f(y(n＋1))＜f(x(k)),則轉(zhuǎn)步驟5;

步驟5:使x(k＋1)＝y(tǒng)(n＋1),令

使k＝k＋1,i＝1,返回步驟2;

步驟6:若t≤β,則迭代停止,得點(diǎn)xk;否則,令

使k＝k＋1,i＝1,返回步驟2。

2.3 本構(gòu)模型的參數(shù)范圍

在Yeoh模型中,C10反映橡膠的模量,C20反映橡膠形變過程中的軟化現(xiàn)象,C30反映橡膠的硬化現(xiàn)象。根據(jù)常規(guī)橡膠的力學(xué)性能,給出這3個(gè)參數(shù)大致范圍[9],如表1所示。

表1 本構(gòu)模型參數(shù)的優(yōu)化范圍Table 1 Optimization range of constitutive model parameters

2.4 橡膠減震器的尺寸范圍

對(duì)橡膠減震器的空腔高度H、空腔半徑L以及橡膠體與下截面的外傾角R3個(gè)關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,各尺寸參數(shù)位置如圖3所示。本研究參照文獻(xiàn)[3]中給定的尺寸設(shè)計(jì)范圍,如表2所示。

圖3 橡膠減震器待優(yōu)化尺寸Fig.3 Size of rubber damper to be optimized

表2 橡膠減震器尺寸參數(shù)的優(yōu)化范圍Table 2 Optimization range of size parameters of rubber damper

2.5 正交試驗(yàn)預(yù)估初始值

由于設(shè)計(jì)變量有6個(gè)參數(shù),它們包含橡膠減震器本構(gòu)模型參數(shù)3個(gè)和尺寸參數(shù)3個(gè)。這會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化的計(jì)算量極其龐大,且不易找到全局最優(yōu)解。因此,若能找到一個(gè)逼近全局解的初始值,會(huì)大大提高計(jì)算效率,增加求解準(zhǔn)確度。通過DOE試驗(yàn)的方法可以快速地確定初始值,本研究采用正交數(shù)組方法(Orthogonal Arrays)安排這6個(gè)設(shè)計(jì)變量之間的試驗(yàn)組合[10],如表3所示。正交表格中共設(shè)計(jì)16組試驗(yàn),其中C10、R、H和L參數(shù)采用4因子水平,C20和C30采用2因子水平。

表3 L 16(44×22)設(shè)計(jì)變量正交表Table 3 L 16(44×22)Orthogonal table of design variables

經(jīng)過16組試驗(yàn)后,確定第6組試驗(yàn)組合求得的剛度曲線與目標(biāo)剛度曲線最接近,故將第6組試驗(yàn)參數(shù)作為初值。此時(shí)橡膠減震器的初始剛度曲線與目標(biāo)剛度曲線如圖4所示。

圖4 橡膠減震器初始剛度曲線與目標(biāo)剛度曲線Fig.4 Initial stiffness curve and objective stiffness curve of rubber damper

3 目標(biāo)函數(shù)及優(yōu)化結(jié)果分析

在橡膠減震器的優(yōu)化過程中,優(yōu)化目標(biāo)是縮小橡膠減震器的剛度曲線與目標(biāo)剛度曲線之間的差距。本研究采用橡膠減震器剛度曲線與目標(biāo)剛度曲線的面積差絕對(duì)值之和(sum of the absolute area difference)來衡量二者之間的差距,初始面積差絕對(duì)值之和為260.5。

利用Hooke-Jeeves算法進(jìn)行優(yōu)化迭代,共迭代101次,并在第95次迭代獲得最優(yōu)解,此時(shí)面積差絕對(duì)值之和為33.9。橡膠減震器剛度曲線與目標(biāo)剛度曲線間的面積差絕對(duì)值之和在迭代過程中的變化如圖5所示。

圖5 橡膠減震器剛度曲線與目標(biāo)剛度曲線間的面積差絕對(duì)值之和在迭代過程中的變化Fig.5 Variation of the absolute area differences between the rubber damper stiffness curve and the objective stiffness curve during iteration

在第95次迭代時(shí),仿真剛度曲線與目標(biāo)剛度曲線間的面積差絕對(duì)值之和的值最小,即為最優(yōu)解,此時(shí)橡膠減震器的本構(gòu)模型參數(shù)和尺寸參數(shù)見表4。利用經(jīng)驗(yàn)公式E＝6C10和HA＝(100E－15.75)/(2.15＋E)可知[11],當(dāng)C10為0.542 MPa時(shí),楊氏模量E為3.252 MPa,邵A硬度HA為57.284(初步估計(jì)橡膠的邵A硬度在60左右),從而可以指導(dǎo)進(jìn)行橡膠配方設(shè)計(jì),給出滿足橡膠減震器剛度性能要求的合理配方,這樣會(huì)大幅度降低進(jìn)行配方試驗(yàn)和力學(xué)性能測(cè)試的次數(shù),縮短開發(fā)周期。

表4 橡膠減震器的最優(yōu)本構(gòu)模型參數(shù)和尺寸參數(shù)Table 4 Optimal constitutive model parameters and dimension parameters of rubber damper

當(dāng)橡膠減震器的本構(gòu)模型參數(shù)和尺寸參數(shù)均采用最優(yōu)解時(shí),橡膠減震器的仿真剛度曲線與目標(biāo)剛度曲線如圖6所示,此時(shí)兩條曲線的相對(duì)誤差為4.9%。

圖6 優(yōu)化后橡膠減震器剛度曲線與目標(biāo)剛度曲線對(duì)比圖Fig.6 Comparison of optimized rubber damper stiffness curve and objective stiffness curve

對(duì)比橡膠減震器優(yōu)化后的剛度曲線與目標(biāo)剛度曲線,可以看到二者盡管不能完全一致,但無論是在高壓縮量還是低壓縮量范圍內(nèi),與目標(biāo)剛度曲線的誤差均較小。

4 結(jié) 論

1)通過Isight平臺(tái)集成Abaqus和Data Matching模塊,對(duì)橡膠減震器的本構(gòu)模型參數(shù)和關(guān)鍵尺寸參數(shù)進(jìn)行了多參數(shù)優(yōu)化;

2)采用正交試驗(yàn)方法,確定多參數(shù)優(yōu)化初值,大大提高了優(yōu)化效率和準(zhǔn)確度;

3)在正交試驗(yàn)的優(yōu)化初值下,采用Hooke-Jeeves算法進(jìn)行優(yōu)化迭代,并得到了一組符合橡膠減震器目標(biāo)剛度曲線的最優(yōu)解。

通過對(duì)橡膠減震器的剛度曲線優(yōu)化分析,本研究提出了一種可同時(shí)優(yōu)化橡膠本構(gòu)模型參數(shù)和橡膠制品結(jié)構(gòu)參數(shù),進(jìn)而滿足制品性能為目標(biāo)函數(shù)的新方法,借助優(yōu)化預(yù)測(cè)的本構(gòu)模型參數(shù)可以反推橡膠的模量和硬度,為橡膠配方設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。