周暢，段耀勇

（1.西安郵電大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710121；2.中國人民警察大學(xué) 智慧警務(wù)學(xué)院，河北 廊坊 065000）

開方術(shù)的產(chǎn)生起源于一元高次方程的求解問題?！毒耪滤阈g(shù)》中已有相對完整的開方術(shù)程序，開平方和開立方都有一個帶從開方的例子。之后經(jīng)劉徽等人改進的開方術(shù)一直沿用到唐朝。宋元時期，先后出現(xiàn)了賈憲立成釋鎖開方和賈憲増乘開方，然后經(jīng)歷了立成釋鎖和增乘開方短暫并存的時期，后發(fā)展為秦九韶的正負(fù)開方術(shù),而又趨于完善為朱世杰的正負(fù)開方。到明朝和清朝初期，中算家的開方是現(xiàn)在算盤上使用立成釋鎖方法完成的，正負(fù)開方術(shù)已無人會用。直到汪萊、李銳時代，中算家才重拾宋元的正負(fù)開方術(shù)著手研究了高次方程的求解問題，并得到了一些諸如笛卡兒符號法則、韋達定理等方程論方面的結(jié)論。[1]

1 中國開方術(shù)的發(fā)展階段

為了更清楚地描述“益積”和“翻法”的身世，我們按歷史時間順序以開方算法自身的特點將中國的開方術(shù)分為五個階段，即前劉益“九章”開方、劉益開方、秦九韶-朱世杰開方、明朝珠算立成釋鎖開方以及焦循-李銳開方。

1.1 前劉益“九章”開方

前劉益“九章”開方具有四個特點：一是沿襲九章的開方法可以稱為前立成釋鎖開方法，開方所用如“1-2-1”和“1-3-3-1”的二項式定理的系數(shù)還是規(guī)定的；二是首項系數(shù)為“1”；三是開方中“實”為正，即方程的常數(shù)項寫在方程右邊，這具有強烈的現(xiàn)實和幾何意義，因為“實”可能為面積或者體積；四是減根的最后一步經(jīng)劉徽改進為“減實”。對應(yīng)的方程為x2=N(N>0)，x3=N(N>0)和x2+Bx=A(A>0,B>0)，時稱開帶從方。后來，祖沖之提出了“開差冪”和“開差立”屬于“開帶從平方”和“開帶從立方”的內(nèi)容，可惜沒有文獻傳世。唐朝的王孝通在《緝古算經(jīng)》中記載了許多如x3+Bx2+Cx=A(A>0，B>0,C>0)用開帶從立方求得一個正根的題目，書中還有一個x4+px2=N的方程是用兩次開平方得到結(jié)果的。

1.2 劉益開方

在宋朝已出現(xiàn)“立成釋鎖”和“增乘開方”兩種開任意高次方的方法。劉益開方稍后于賈憲，他的“減從術(shù)”和“翻積術(shù)”開方運算說明他熟悉增乘開方，其開方對應(yīng)的方程為xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x=an，ai>0,i=1,2,3,…,n，即方程的首項系數(shù)為“1”且所有系數(shù)均為正數(shù)，無論是立成釋鎖還是增乘開方，減根的最后一步都是“減實”。當(dāng)然，劉益在中國古代數(shù)學(xué)史上最先引入系數(shù)可為負(fù)數(shù)的方程,并突破了方程首項系數(shù)必須為1的限制，這種根本性的改變對原來的算法會帶來災(zāi)難和沖擊。[2]劉益開方方程的改變會對原來的開方框架產(chǎn)生沖擊，或者說原來的開方結(jié)構(gòu)已無法解釋新情況，因無法被接納所以需要新的解釋正名。

1.3 秦九韶-朱世杰開方

“增乘開方”由賈憲所創(chuàng)，經(jīng)楊輝等人的推廣和傳播，到13世紀(jì)已成系統(tǒng)，即以“增乘開方法”為主導(dǎo)的求高次方程正根的方法已經(jīng)發(fā)展得十分完備。秦九韶的“正負(fù)開方術(shù)”在中國數(shù)學(xué)史上首次提出“以方約實”的估根方法。秦九韶、李冶、朱世杰等在開方過程中遇“換骨”“投胎”則繼續(xù)開方，遇到系數(shù)是無理數(shù)的情況，則進行了有理化處理。對方程的最高次項系數(shù)出現(xiàn)不為“1”的情況，李冶、朱世杰等便創(chuàng)造了通過變量代換化最高次項系數(shù)為“1”的方法來處理得“之分術(shù)”，又稱為“連枝同體術(shù)”。

此時方程的各個系數(shù)基本上已無限制，只是秦九韶的増乘開方要求“實常為負(fù)”，如果實為正，則方程各項都乘以-1，同解化為“實常為負(fù)”。他這樣做，一是可以將開方減根最后一步“減實”變?yōu)榧臃?，使開方程序高度統(tǒng)一起來；二是可以保證開方的實與九章開方相同，原來的正統(tǒng)一變成了負(fù)。這是秦九韶繼續(xù)解釋劉益的“益積”和“翻法”的原因，他只是把開方的“實”移到了方程的左邊，減根的最后一步已從“減實”變成“加實”。

李冶和朱世杰的開方已無“實常為負(fù)”的限制，至此，増乘開方法中各系數(shù)（包括常數(shù)）全程都帶符號參與嚴(yán)格的、徹底的“邊乘邊加”運算。

1.4 明朝珠算立成釋鎖開方

元朝仍然以籌算為主，明初開始逐漸以珠算為主，最遲在明正德嘉靖年間珠算完全取代了籌算，清初數(shù)學(xué)家已經(jīng)完全不懂籌算了。由于開方術(shù)比較復(fù)雜，在珠算用于加減乘除法之后，才用于開方。由于明朝時期“增乘開方法”失傳，珠算開方在中國算學(xué)史乃至世界數(shù)學(xué)史上也是很有特色的。此時在算盤上利用立成釋鎖方法開方，這種方法較增乘開方復(fù)雜，但是方程的系數(shù)（包括常數(shù)）已經(jīng)沒有任何限制，所以“益積”和“翻法”問題會變得更加復(fù)雜。關(guān)于2次、3次 和4次方程，則需要提到吳敬、顧應(yīng)祥、周述學(xué)和孔廣森四位數(shù)學(xué)家。[3]顧應(yīng)祥對各種開帶從方的論述最為全面，在《測圓海鏡分類釋術(shù)》中有六十多個開帶從方的程序說明，包括2次、3次和4次方程，涉及“益積”“減從”和“翻積”等各種不同的題型類別。

此時的開方特點，系數(shù)不帶符號參與運算，減根最后一步“減實”。

1.5 焦循-李銳開方

清中葉之后，人們重新發(fā)現(xiàn)“增乘開方法”，幾乎所有著名的數(shù)學(xué)家都投入到對秦九韶等開方術(shù)的研究。“談天三友”汪萊、李銳、焦循互相切磋辯詰，討論了方程的分類及根與系數(shù)的關(guān)系。這里，焦循使用的是秦九韶的開方法，而李銳用的則是朱世杰的方法，所以焦循會繼續(xù)深化、完備劉益和秦九韶的“益積”和“翻法”問題。李銳和朱世杰一樣認(rèn)為開方只是一個單純的計算程序，無需討論計算細節(jié)中的問題。而且李銳的開方較朱世杰更進一步，開方可以開得負(fù)商，所以商也帶符號參與開方運算。

2 “翻法”和“益積術(shù)”的產(chǎn)生

劉益前的開方因為所有系數(shù)都是正數(shù)，“實”也是正數(shù)，所以開方過程就是通過不斷“減實”使其變?yōu)?，此時開盡；或者逐漸變小，此時開方不盡，帶奇零。而劉益的“益積術(shù)”“減從”“翻積”“益隅”，都是因為開方中系數(shù)出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，所以開方過程中“減實”與以往的經(jīng)驗相比會發(fā)生異變，可能出現(xiàn)“實”越來越大或者干脆變號的情況。如此情況下，“益積”和“翻積”出現(xiàn)了。下面以兩個例題說明這兩種方法，為了敘述方便將籌碼改為阿拉伯?dāng)?shù)字。

與之前的方程不同，x2-12x=864出現(xiàn)了“負(fù)從”（-12），為此劉益提出“益積術(shù)”與“減從術(shù)”解決這個問題。圖1為“益積術(shù)”，使用的是九章開方法。[4]

按照《九章算術(shù)》的開方程序，首次估根為30，那么應(yīng)該用30×(30-12)減根，但是因為這有悖既有的開方程序的語法，所以對于30×(30-12)=900-360，先 將-360益 積為864+360=1224，然后再歸結(jié)為合乎《九章算術(shù)》開方語法的程序進行減實。同理，倍根為60，用他估得方程的第二位根是6，按照《九章算術(shù)》的減根應(yīng)為((60+6)+(-12))×6=324，這同樣也不符合既有的語法，所以對于((60+6)+(-12))×6=324，將72益積為72+324=396，然后減實，盡。

劉益的“翻法”，其中負(fù)隅的符號不是單獨考慮的，與九章算術(shù)開方不同，864-900出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，這與原來開方中“實”會減至0，或越來越小不同，因此，此處稱之為“翻積”，“實”發(fā)生了質(zhì)的改變。可以說脫胎換骨了，如錢寶琮在《增乘開方法的歷史發(fā)展》中指出的“投胎”“換骨”本來是神仙家的術(shù)語……在某些條件下減根后的方程必須“投胎”“換骨”……目的是在指導(dǎo)開方的人放心地開下去，不要因為“實”數(shù)有不尋常的轉(zhuǎn)變而縮手縮腳，不敢繼續(xù)開方。后來秦九韶稱“翻積”（翻法）為“換骨”，這里的開方算法是増乘開方。

-x2+60x=864出現(xiàn)了“益隅”（-1），為此劉益提出“翻積術(shù)”解決這個問題。圖2為“翻積術(shù)”，使用的是增乘方法。[4]64

圖2 翻積術(shù)

在中算家那里,解方程與開方是同義語,其方法有著鮮明的幾何背景。由于負(fù)系數(shù)的引入,使得釋鎖開方的幾何意義在某些情形下掩而不顯。劉益關(guān)于翻法的討論亦為秦九韶等繼承并發(fā)揚光大。引入負(fù)系數(shù)之后,方程根的個數(shù)、議商的方法問題等都較以前復(fù)雜得多,劉益討論了“翻積”“翻從”等,同時也留下了許多問題未及討論。

綜上，無論是“益積”“減從”還是“益隅”，都不過是因為開方時系數(shù)出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，也就是說方程中有的負(fù)系數(shù)，這是不符合《九章算術(shù)》開方的語法的，所以劉益通過將負(fù)數(shù)部分產(chǎn)生“減實”的數(shù)值，事先加到“實”（被開方數(shù)）上的方式來處理。此時，開方式已合乎系數(shù)都為正的情況，然后再按《九章算術(shù)》開方程序處理即可。這里如果古人不拘于《九章算術(shù)》系數(shù)為正的開方術(shù)的限制，直接負(fù)數(shù)帶著符號進行原有的程序計算的話，一種先進的開方法“增乘開方”便呼之欲出。如果考慮符號開方，無論是“益積”“益隅”還是“減縱”，開方的操作程序?qū)蟠蠛喕@正是“增乘開方”的優(yōu)越性所在。

3 易名“換骨”“投胎”及其完備與消亡

關(guān)于易名“換骨”和“投胎”，清阮元《疇人傳》（卷二二·宋四·秦九韶）：“……其遙度圓城術(shù)，以開九乘方得數(shù)，運算尤為繁賾。略諸術(shù)所載開方圖，正負(fù)、加減、益積、翻法、說之尤詳。凡開平、開立及開三乘以上方，通一為道，有投胎、換骨、玲瓏、連枝諸目?！睆那懊娴恼撌鰜砜矗瑒⒁娴摹耙娣e”和“翻積”都是由開方過程中系數(shù)出現(xiàn)了負(fù)號所致。秦九韶等繼承并發(fā)揚光大了劉益的“益積”和“翻積”方法。秦九韶的増乘開方要求“實常為負(fù)”，開方減根最后一步變?yōu)椤凹訉崱薄Ｇ鼐派氐恼?fù)開方運算中符號沒有“直接”參與運算程序，而是采用了標(biāo)注的方式完成，清朝的焦循采用了秦九韶的開方法繼續(xù)研究了“益積”和“翻法”，并完備了這個問題。

關(guān)于“益積”和“翻法”的完備，清朝數(shù)學(xué)家焦循在《開方通釋》中總結(jié)了“投胎”和“換骨”的方法，并給出了“益積”和“翻法”條件：“秦氏于商兩次者，有投胎、換骨二法。投胎即益積，方與實同名相加也。換骨即翻積，方與實異名相消也。大約和在隅，乃有益積，和在方乃有翻積。和在隅，益方大于初商，則益積。初商大于益方，則不益積。和在方，較數(shù)小于初商，則翻積。初商小于較數(shù)，則不翻積。皆隨數(shù)目之多寡，而自然得之，非有成法也。”也就是說開方時，根據(jù)具體情況來定是“投胎”（益積）還是“換骨”（翻積），沒有事先給定判斷方法。

這兩個例題分別是解方程-x2+27x-72=0（圖3）和-x2+54x-720=0（圖4），都開得24的例子，從結(jié)果上來看,這兩個題目似乎也是焦循構(gòu)造出來的。[5]第一個方程開方翻積，第二個不翻積。這里需要指出，焦循與秦九韶相同正負(fù)開方正負(fù)號標(biāo)注，帶符號的加法只需“同加異減”即可，使用的是劉徽正負(fù)數(shù)的運算法則：“同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之。”

圖3 例題-x2+27x-72=0

圖4 例題-x2+54x-720=0

這里焦循構(gòu)造x2-21x-72=0（圖5）和x2-19x-120=0（圖6），都是開得24的例子。[5]1463-14644第一個開方因為“方實同名”而“益積”，第二個因為“方實異名”而“不益積”。

圖5 例題x2-21x-72=0

圖6 例題x2-19x-120=0

從劉益和秦九韶處理的一種情況的兩種變體來看，“實”無論是正還是負(fù)都可能存在“益積”（投胎）和“翻積”（換骨）的問題，只是李冶稱秦九韶的“換骨”為“翻法”或者“倒積”，不限于此，如果開方導(dǎo)致一次項符號改變也稱“翻法”，比如-1.75x2+108x-1449=0，開方中常數(shù)項和一次項系數(shù)都變號了，李冶稱之為“倒積倒從開平方”，實際上推廣了“翻法”，此題即翻積又翻從。其益積開方與秦九韶相同，朱世杰對此就更不太關(guān)注了，比如他在《算學(xué)啟蒙》“開方釋鎖”有7個題目說是用“翻法”，但是實際情況是其中一個題目符號都沒改變，其余6題只是一次項或二次項符號改變，常數(shù)項未變號。另外《四元玉鑒》“端匹互隱”門第一問和“兩儀合轍”門第11問開方都需要“倒積”（翻法/換骨），但是朱世杰沒提此事，此時開方已是計算程序，無需再討論開方中“實”或“系數(shù)符號”的變號問題。[6]

而李銳和朱世杰所采用的增乘開方，方程的系數(shù)帶著符號進行“邊乘邊加”運算，亦無“實常為負(fù)”的要求（這個要求和九章開方運算一致，只是從秦九韶開始把九章的“正實”寫成了他在方程中為負(fù)的形式）。劉益時，“實”寫作“正”，當(dāng)“隅”或“從”出現(xiàn)負(fù)號時，“減實”為0或者越來越小的慣例可能會被打破，如前所述，當(dāng)“正實”變大或者變號時就是所謂的“益積”和“翻積”。秦九韶則將“實”按照方程的常數(shù)項系數(shù)寫出來，增乘開方時減根最后一步由“減實”變成“加實”，完備統(tǒng)一了開方程序。同樣，當(dāng)這個“負(fù)實”在開方運算中絕對值變大即為“投胎”，稱謂也容易理解；當(dāng)他由負(fù)變正時就是“換骨”。朱世杰和李銳（商可以為負(fù)）的增乘開方，其方程的系數(shù)、常數(shù)項和商都帶符號參與開方運算，算式中系數(shù)帶符號。對于可能會出現(xiàn)的“益積”或“翻積”的情況，也變得無需討論了，此時已沒有必要關(guān)注開方中的常數(shù)項是否變號或者絕對值變大，或者方程的其他系數(shù)符號發(fā)生改變的情況，正負(fù)開方只是單純求得一元高次方程的一個根的程序。

圖7是一個李銳求得方程負(fù)根的例子。[9]其中，在標(biāo)注方程各系數(shù)（包括常數(shù)項）的符號外，其符號也在系數(shù)中標(biāo)注出來，這一點與李冶和朱世杰相同。這里的正負(fù)開方只需要按程序計算就行，系數(shù)帶符號，常數(shù)項帶符號，商也可以帶符號。之前的開方中，商是不帶位值參與計算，乘后數(shù)值大小由開方各系數(shù)的位置決定。[7]所以朱世杰只是有了舍棄“益積”和“翻法”的傾向，李銳才是徹底放棄這些說法的踐行者。對李銳的開方來說，“常數(shù)項的變號”（系數(shù)的變號）或者實絕對值變大都沒有意義，隨后的相關(guān)討論也是無源之水了。

圖7 李銳求得負(fù)根的例子

盡管李銳之后無需討論“益積”和“翻法”，但是這些問題在明朝的珠算開方中卻異常豐富，這與珠算開方的過程密切相關(guān)。

4 在珠算開方中的繁榮發(fā)展

如蒙語中馬身體的各部位都有特定名稱和因紐特語中有諸多關(guān)于白色的詞匯一樣，在開方算法中也有與計算細節(jié)相關(guān)的各種稱謂?！胺ā焙汀耙娣e”就是這樣的例子。從劉益的“益積術(shù)”和道古“正負(fù)開方”中“脫胎”“換骨”“玲瓏”法開始，經(jīng)吳敬、顧應(yīng)祥和周述學(xué)分別對二次方程歸為13、15和18類；再到孔廣森對3次方程和4次方程的歸納分類；最后到汪萊基于方程“可知”的概念對高次方程重新分類而完備。明朝珠算開方方程仍然“實常為負(fù)”，自然存在“翻法”和“益積”的問題，所以，在明朝的開方運算過程中出現(xiàn)了以“益積”和“翻法”為核心詞匯的開方算法的分類，實際上這是根據(jù)其開方過程某一步驟的特點而取的名稱。

4.1 顧應(yīng)祥對方程的分類

顧應(yīng)祥所著的《測圓海鏡分類釋術(shù)》研究并且注釋了《測圓海鏡》，于1550年成書。他將《測圓海鏡》的全部問題重新加以分類，厘為十卷，仍得170問，每問之后有釋，釋后有術(shù)，對問題解答的演算過程詳加推導(dǎo)，并對其中的開方、開帶從方過程一一寫明（表1,表2）。

表1 吳敬分類

表2 顧應(yīng)祥分類

顧應(yīng)祥在吳敬二次方程分類的基礎(chǔ)上，使得這部分內(nèi)容更加豐富和全面,[3]118-123顧應(yīng)祥算書中載有不同系數(shù)符號的一元二次方程的解法，如對一元二次方程Ax2+Bx=C(A≠0)來說，顧應(yīng)祥一般稱二次項系數(shù)A為隅，一次項系數(shù)B為從，C一般被稱為實數(shù)且為正。當(dāng)A=1,B>0,C>0時，他稱用帶從開平方法求解，這和吳敬《九章比類》相同，而楊輝、王文素、程大位等稱之為“益從開平方”；當(dāng)A>1,B=0,C>0時，用負(fù)隅開平方法求解，等等。相較于顧應(yīng)祥的其他算書，其《測圓海鏡分類釋術(shù)》中介紹的帶從開方法最為全面。另外，顧應(yīng)祥還對3次方程和4次方程[3]118-141進行了分類，分別對應(yīng)著17種和7種形式。

4.2 周述學(xué)對方程的分類

周述學(xué)是明代后期（約16世紀(jì)）著名的科學(xué)家。他所著的數(shù)學(xué)著作《神道大編歷宗算會》簡稱《歷宗算會》，全書十五卷。他在《歷宗算會》中繼續(xù)研究二次方程的分類問題，分為18類情況。[3]118-127表3是周述學(xué)《歷宗算會》開帶從平方法分類。

表3 周述學(xué)《歷宗算會》開帶從平方法分類

這里，不難發(fā)現(xiàn)以開方算法中的特點對方程的歸類已成傳統(tǒng)，其中出現(xiàn)的所有的名稱都與“帶從”“益積”（倒積）、“翻法”“益隅”“減實”“減從”等進行組合得到，原因很簡單，珠算開方用“立成釋鎖”逐漸發(fā)展為“珠算開方”，這里運算各系數(shù)都不帶符號運算，需要對方程的各系數(shù)（包括常數(shù)）“是否變號”和“實”的絕對值是否會出現(xiàn)增大的情況、開方的各系數(shù)是否為負(fù)都需要作為開方過程中的異變標(biāo)注出來，也就出現(xiàn)上述豐富的開方分類內(nèi)容，但是實際上更多的開方運算細節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)，并非嚴(yán)格意義上的方程分類。