譚維佳 ，魏云杰 ，王俊豪 ，高敬軒

（1.長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，陜西 西安 710054；2.中國(guó)地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測(cè)院，北京 100081）

非飽和土是一種固液氣三相體系土，其力學(xué)性能明顯復(fù)雜于固液二相體系飽和土[1-2]，基質(zhì)吸力是研究非飽和土力學(xué)特性的重要參數(shù)，將基質(zhì)吸力有機(jī)地納入非飽和土變形過(guò)程模擬預(yù)測(cè)是非飽和土力學(xué)的重難點(diǎn)[3-4]。

目前國(guó)內(nèi)外考慮基質(zhì)吸力的非飽和土力學(xué)特性研究結(jié)果較為豐碩。Liu等[5]分析了基質(zhì)吸力對(duì)非飽和土抗剪強(qiáng)度的影響。孫德安[6]研究了飽和度對(duì)非飽和土對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和強(qiáng)度的影響。宋友建等[7]探索不同吸力路徑下非飽和土的強(qiáng)度變化規(guī)律。劉文化[8]研究了干濕循環(huán)作用下非飽和土的力學(xué)性能。楊慶[9]開(kāi)展了初始狀態(tài)對(duì)非飽和土宏觀力學(xué)特性的影響研究。張慶海[10]以?xún)鋈诟蓾褡鳛樵囼?yàn)因素，探討對(duì)非飽和土力學(xué)特性的影響。以上工作豐富了不同試驗(yàn)條件下非飽和土力學(xué)特性的研究，非飽和土力學(xué)特性研究還應(yīng)與本構(gòu)模型相結(jié)合。趙成剛等[11]將非飽和土本構(gòu)模型歸納為彈塑性模型、廣義吸力模型、損傷模型以及基于熱力學(xué)的混合物理論模型。魏建柄等[12]基于粉質(zhì)黏土的非飽和蠕變?cè)囼?yàn),嘗試改進(jìn)Mesri模型和Log-Modified模型，改進(jìn)后的2個(gè)模型為應(yīng)力-基質(zhì)吸力-應(yīng)變-時(shí)間模型。Farouk等[13]通過(guò)數(shù)值模擬建立了預(yù)測(cè)非飽和土體含水量和基質(zhì)吸力的模型。李順群等[14]通過(guò)Brooks和Corey所建基質(zhì)吸力與飽和度的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，引入到Fredlund模型之中，構(gòu)建一種考慮基質(zhì)吸力變化的非飽和土本構(gòu)模型。Hamid等[15]提出一種基質(zhì)吸力、凈正應(yīng)力雙變量的非飽和土界面本構(gòu)模型。秦冰等[16]推導(dǎo)了基于混合物理論同時(shí)考慮熱-水-力的本構(gòu)模型。楊明輝等[17]采用擴(kuò)展Mohr-Coulomb準(zhǔn)則模擬非飽和土微單元的承載能力，考慮外部荷載和基質(zhì)吸力對(duì)非飽和土變形的影響，建立考慮基質(zhì)吸力的統(tǒng)計(jì)損傷模型。章志榮[18]將三剪統(tǒng)一準(zhǔn)則應(yīng)用于非飽和土，建立考慮基質(zhì)吸力的修正劍橋模型。上述工作豐富了非飽和土本構(gòu)模型研究，所建本構(gòu)模型盡管能考慮基質(zhì)吸力的變化，但多數(shù)模型未考慮土體內(nèi)部損傷的累積。

鄧肯-張模型是一種雙曲線形態(tài)的彈性本構(gòu)模型，在基礎(chǔ)工程、邊坡工程中應(yīng)用廣泛。本文開(kāi)展非飽和土三軸固結(jié)排水試驗(yàn)，根據(jù)非飽和土變形特性及工程特點(diǎn)，在傳統(tǒng)鄧肯-張模型的基礎(chǔ)上，引入統(tǒng)計(jì)損傷理論，將非飽和土力學(xué)性態(tài)的變化簡(jiǎn)化為損傷累積擴(kuò)展的過(guò)程，構(gòu)建鄧肯-張統(tǒng)計(jì)損傷模型。通過(guò)搭建初始切線模量與基質(zhì)吸力的聯(lián)系，建立一種新的考慮基質(zhì)吸力的非飽和土鄧肯-張統(tǒng)計(jì)損傷模型。給出參數(shù)解析方法，得到概率密度分布參數(shù)經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式，從而修正模型。分析損傷累積過(guò)程，辨識(shí)驗(yàn)證模型可行性和合理性。研究成果為非飽和土的力學(xué)特性研究及辨識(shí)模擬提供一定參考。

1 非飽和土固結(jié)排水三軸壓縮試驗(yàn)

試驗(yàn)土樣取自重慶某基坑工地現(xiàn)場(chǎng)，土樣物理力學(xué)指標(biāo)為：平均濕密度2.13 g/cm3，干密度1.54 g/cm3，孔隙比1.6，含水率16.7%，液限28.7%，塑限16.9%，塑性指數(shù)為11.8，為粉質(zhì)黏土，黏聚力54.9 kPa，內(nèi)摩擦角31.3°。在實(shí)驗(yàn)室先風(fēng)干土樣，待自然風(fēng)干后將其碾碎過(guò)2 mm篩，通過(guò)擊實(shí)法制備直徑60 mm、高120 mm的圓柱體重塑試樣。擊實(shí)后以干密度1.54 g/cm3稱(chēng)取所需質(zhì)量的土樣分4層裝入飽和容器，分層擊實(shí)直至最后一層，干密度誤差控制在0.02 g/cm3以?xún)?nèi)，然后抽氣飽和，保鮮膜密封靜置1 d，使水分均勻擴(kuò)散。

采用FSR-6型非飽和土三軸蠕變儀開(kāi)展基質(zhì)吸力控制下的非飽和土固結(jié)排水三軸壓縮試驗(yàn)，將圍壓設(shè)置為100 kPa。參照已有研究結(jié)果[7，17-18]，100～400 kPa是一般非飽和土的基質(zhì)吸力常見(jiàn)范圍，故將本文試驗(yàn)中基質(zhì)吸力分別設(shè)為100，200，300，400 kPa，不同基質(zhì)吸力下的試驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。

由圖1可看出，本次試驗(yàn)非飽和土的偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線形態(tài)近似雙曲線，基質(zhì)吸力對(duì)土體力學(xué)行為影響十分明顯，基質(zhì)吸力越大，土體偏應(yīng)力越高。在應(yīng)變值小于1%時(shí)，土體偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線近似表現(xiàn)為線彈性，隨著土體的持續(xù)受壓，曲線斜率逐漸遞減，逐漸向非線彈性轉(zhuǎn)變。在應(yīng)力作用下，非飽和土力學(xué)性態(tài)發(fā)生改變，土體內(nèi)部微缺陷、微裂隙不斷發(fā)育延展，內(nèi)部損傷不斷累積擴(kuò)展。傳統(tǒng)鄧肯-張模型是雙曲線形態(tài)的本構(gòu)模型，盡管在土力學(xué)和基礎(chǔ)工程中廣泛應(yīng)用，但未考慮土體力學(xué)性態(tài)在應(yīng)力作用下的改變，統(tǒng)計(jì)損傷理論可將這種力學(xué)性態(tài)改變的過(guò)程簡(jiǎn)化為損傷累積擴(kuò)展，由此在鄧肯-張雙曲線模型的基礎(chǔ)上，引入統(tǒng)計(jì)損傷理論，同時(shí)考慮基質(zhì)吸力的變化，以期建立較為全面的非飽和土鄧肯-張統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型。

圖1 非飽和土偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.1 Deviatoric stress-strain curves of unsaturated soil

2 考慮基質(zhì)吸力的非飽和土鄧肯-張統(tǒng)計(jì)損傷模型

2.1 鄧肯-張模型及損傷變量

根據(jù)Lemaitre應(yīng)變等效性假說(shuō)[19]，宏觀應(yīng)力σ作用導(dǎo)致材料受損部分發(fā)生的應(yīng)變?chǔ)排c有效應(yīng)力σ′作用導(dǎo)致材料未受損部分發(fā)生的應(yīng)變?chǔ)拧湎嗟?，于是有?/p>

式中：D——損傷變量；

Nt——土體受損單元數(shù)；

N——土體微單元總數(shù)，其中Nt≤N，故D∈[0，1]。

考慮到非飽和土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的雙曲線形態(tài)，傳統(tǒng)鄧肯-張模型是一種雙曲線非線性模型，故引用傳統(tǒng)鄧肯-張模型作為本文非飽和土的基礎(chǔ)模型，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表示為：

式中：a、b——可通過(guò)試驗(yàn)成果確定的相關(guān)參數(shù)；

σ1、σ3——最大和最小主應(yīng)力；

ε1——軸向應(yīng)變；

利用式（2）對(duì)式（4）進(jìn)行損傷演化可得：

實(shí)際上，若通過(guò)式（3）描述損傷發(fā)展具有操作難度，土體材料受損微單元數(shù)目難以測(cè)定，故從土體微元強(qiáng)度的隨機(jī)性出發(fā)，假設(shè)非飽和土微元強(qiáng)度F服從某一類(lèi)概率分布函數(shù)Q（F），于是將D定義為：

式中：F——非飽和土微元強(qiáng)度。

F與有效應(yīng)力σ′可表示為如下關(guān)系：

2.2 鄧肯-張統(tǒng)計(jì)損傷模型

統(tǒng)計(jì)分布主要有Weibull分布、冪函數(shù)分布、正態(tài)分布等[20]，Weibull分布因形式簡(jiǎn)練、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單得到廣泛應(yīng)用，Weibull概率密度函數(shù)為：

式中：m、F0——Weibull分布參數(shù)。

將式（8）代入式（7）有：

參考文獻(xiàn)[21]，結(jié)合非飽和土變形破壞特征，引入Mises屈服準(zhǔn)則，于是將F表示為：

式中：J2——應(yīng)力偏量第二不變量；

σ2——中間主應(yīng)力。

在土體三軸壓縮試驗(yàn)中有σ2=σ3，則式（11）可寫(xiě)為：

將式（9）代入式（5）可得：

式（13）即本文所建未考慮基質(zhì)吸力的鄧肯-張統(tǒng)計(jì)損傷模型。

2.3 考慮基質(zhì)吸力的鄧肯-張統(tǒng)計(jì)損傷模型

根據(jù)Hooke定律確定初始切線模量Eu，由于本文對(duì)傳統(tǒng)鄧肯-張模型進(jìn)行了損傷演化，故Eu為：

土體三軸壓縮試驗(yàn)剛開(kāi)始時(shí)，認(rèn)為此時(shí)土體材料內(nèi)部未受損，對(duì)應(yīng)D=0，于是變形式（14）可得：

將式（15）代入式（13）有：

非飽和土是固液氣三項(xiàng)體系土，其力學(xué)行為受基質(zhì)吸力s影響尤為明顯，由此應(yīng)建立應(yīng)力-基質(zhì)吸力-應(yīng)變力學(xué)模型，將s作為獨(dú)立變量體現(xiàn)在本構(gòu)模型中。Janbu[22]研究發(fā)現(xiàn)初始切線模量Eu與σ3在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中線性相關(guān)，即Eu是σ3的冪函數(shù)，文獻(xiàn)[23]認(rèn)為Eu與s之間亦同樣存在冪函數(shù)關(guān)系，于是將本文及相關(guān)文獻(xiàn)[23][24]中土體的Eu和s進(jìn)行擬合，得到擬合曲線如圖2所示。

圖2 Eu和s擬合曲線Fig.2 Fitting curves between Eu and s

由圖2可看出，本文及文獻(xiàn)[23][24]中土體的Eu和s之間冪次擬合關(guān)系良好，故將Eu與s之間采用如下冪函數(shù)關(guān)系表達(dá)式[22-23]：

式中：pa——大氣壓（101.33 kPa）；

T、c——與基質(zhì)吸力s有關(guān)的常數(shù)。

將式（17）代入式（16）可得：

式（18）即為本文所建考慮基質(zhì)吸力的鄧肯-張統(tǒng)計(jì)損傷模型。

3 模型參數(shù)求解

本文所建模型參數(shù)有b、c、T、m和F0，其中b為鄧肯-張模型參數(shù)，c和T為與基質(zhì)吸力s有關(guān)的常數(shù)，m和F0為Weibull分布參數(shù)。

3.1 參數(shù)b、c和T

依照鄧肯-張模型中求取參數(shù)b的方法，取圖1中偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線的極限偏差應(yīng)力（σ1-σ3）ult為：

土體三軸壓縮試驗(yàn)中，一般以15%應(yīng)變值為標(biāo)準(zhǔn)求取土體強(qiáng)度，盡管土體實(shí)際應(yīng)變值能達(dá)到15%以上，但永遠(yuǎn)不可能從物理意義上滿(mǎn)足ε1→∞的條件，故（σ1-σ3）ult的取值范圍為：

根據(jù)分?jǐn)?shù)極限求導(dǎo)的數(shù)學(xué)計(jì)算方法，化簡(jiǎn)式（20）可得：

鑒于極限偏差應(yīng)力的極限性，同時(shí)考慮到模型計(jì)算可行性，?。é?-σ3）ult的最大值，于是有：

由式（22）可看出，參數(shù)b為（σ1-σ3）ult的倒數(shù)，參數(shù)c、T與Eu緊密關(guān)聯(lián)，而（σ1-σ3）ult和Eu皆可通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果確定，求解示意圖如圖3所示。Eu取偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線的初始切線，b取偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線的極限偏差應(yīng)力（σ1-σ3）ult的倒數(shù)，Eu和b如表1所示。

表1 Eu和b值Table 1 Eu and b values

圖3 （σ1-σ3）ult和Eu求解示意圖Fig.3 Schematic diagram of solving (σ1-σ3)ult and Eu

本文模型基于式（17）搭建了初始切線模量Eu和基質(zhì)吸力s之間的聯(lián)系，在式（17）中Eu表現(xiàn)出與參數(shù)T和c之間的冪次關(guān)系，因此模型改進(jìn)后，仍可用式（17）求解參數(shù)T和c。采用式（17）擬合不同s/pa值下的Eu值，繪制擬合曲線，如圖4所示。由圖4可看出，Eu與參數(shù)T和c之間的冪次關(guān)系擬合良好，R2達(dá)到0.988 9，采用本文所建考慮基質(zhì)吸力的鄧肯-張統(tǒng)計(jì)損傷模型進(jìn)行曲線辨識(shí)時(shí)，不同基質(zhì)吸力條件下的參數(shù)T取為16.076，c取為0.632 4。

圖4 Eu和s/pa之間的擬合曲線Fig.4 Fitting curves between Eu and s/pa

3.2 參數(shù)m、F0

式（18）可變形為：

在式（23）等號(hào)兩側(cè)同時(shí)取對(duì)數(shù)，有：

對(duì)式（24）等號(hào)兩側(cè)再次取對(duì)數(shù)，有：

式（25）實(shí)際是一個(gè)線性方程，將式（25）變形為：

首先求取參數(shù)b、c和T，代入式（26）后通過(guò)線性擬合的方法，可得到參數(shù)m、F0，線性擬合結(jié)果如表2所列。

表2 參數(shù)m和F0值Table 2 Values of parameters m and F0

3.3 模型修正

表2中給出了不同基質(zhì)吸力下的m、F0值，分別擬合回歸m、F0與s之間的關(guān)系，擬合曲線分別如圖5、圖6所示，擬合回歸得到的修正后經(jīng)驗(yàn)公式為：

從圖5、圖6可看出，m與s線性相關(guān)，R2為0.990 2，F(xiàn)0與s表現(xiàn)為冪次關(guān)系，R2為0.978 2。將式（27）代入式（18），在本文所建模型中添入m、F0的修正后經(jīng)驗(yàn)公式，便能得到修正后的鄧肯-張統(tǒng)計(jì)損傷模型的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式，此時(shí)經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式未知參數(shù)僅有b、c和T，b、c和T通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果確定，與偏應(yīng)力和應(yīng)變緊密關(guān)聯(lián)，便于在工程實(shí)踐中應(yīng)用。

圖5 m與s的擬合關(guān)系曲線Fig.5 Fitting relationship between m and s

圖6 F0與s的擬合關(guān)系曲線Fig.6 Relationship between F0 and s

4 損傷分析及模型驗(yàn)證

將已確定的模型參數(shù)代入式（9），繪制損傷變量累積曲線，如圖7所示。

圖7 損傷變量累積曲線Fig.7 Cumulative curves of damage variables

由圖7可看出，隨著應(yīng)變的增加，土體損傷變量逐漸遞增。在1%應(yīng)變值以前，損傷變量急劇累積，應(yīng)變值1%以后損傷變量累積速度逐漸放緩，當(dāng)應(yīng)變達(dá)到15%時(shí)，損傷變量已趨于收斂。同一應(yīng)變值時(shí)，較高基質(zhì)吸力的損傷變量總是大于較低基質(zhì)吸力，這說(shuō)明基質(zhì)吸力對(duì)非飽和土的損傷累積起促進(jìn)作用，工程實(shí)踐中應(yīng)引起重視。

為驗(yàn)證所建模型的可行性和合理性，通過(guò)所建模型和傳統(tǒng)鄧肯-張模型對(duì)本文非飽和土偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行辨識(shí)，得到計(jì)算值和試驗(yàn)值對(duì)比曲線，如圖8所示。

圖8 本文非飽和黏土計(jì)算值與試驗(yàn)值對(duì)比曲線Fig.8 Comparison curves between the calculated values and experimental values of the unsaturated soil of this paper

由圖8可看出，本文所建模型的辨識(shí)能力較強(qiáng)，平均R2為0.979 8，能較好地描述非飽和土偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線，傳統(tǒng)鄧肯-張模型辨識(shí)非飽和土偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線時(shí)存在較大偏差，平均R2為0.942 6，其計(jì)算值在應(yīng)變10%以后略低于試驗(yàn)值?？傮w上，本文所建模型擬合效果較好，精度較高，能較為準(zhǔn)確地描述非飽和土的變形破壞全過(guò)程。

本文試驗(yàn)土樣為非飽和粉質(zhì)黏土，為進(jìn)一步驗(yàn)證所建模型的適用性，引用文獻(xiàn)[24]中的非飽和粉質(zhì)黏土在圍壓200 kPa下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)本文模型和鄧肯-張模型進(jìn)行辨識(shí)，得到計(jì)算值和試驗(yàn)值對(duì)比曲線，如圖9所示。

圖9 文獻(xiàn)[24]非飽和黏土數(shù)據(jù)的計(jì)算值與試驗(yàn)值對(duì)比曲線Fig.9 Comparison curves between calculated value and experimental value of the unsaturated soil with the data from reference [24]

由圖9可看出，所建模型對(duì)不同基質(zhì)吸力下的非飽和土偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線的擬合能力較強(qiáng)，計(jì)算值與試驗(yàn)值吻合較好，平均R2為0.983 4，傳統(tǒng)鄧肯-張模型存在較大偏差，平均R2為0.939 5。

總體上，所建模型能較好地反映不同基質(zhì)吸力下的非飽和土變形破壞過(guò)程，由此驗(yàn)證了所建模型描述不同類(lèi)型非飽和粉質(zhì)黏土的適用性。由于本文試驗(yàn)及驗(yàn)證對(duì)象為非飽和粉質(zhì)黏土，今后還應(yīng)探討研究本文m、F0與s之間的經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)不同類(lèi)型非飽和土的適用情況、模型適用范圍以及在實(shí)際工程中的應(yīng)用。

5 結(jié) 論

（1）非飽和粉質(zhì)黏土偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線近似雙曲線，基質(zhì)吸力越大，土體偏應(yīng)力越高。結(jié)合應(yīng)力-應(yīng)變曲線形態(tài)，選擇鄧肯-張雙曲線模型作為非飽和土基礎(chǔ)模型。假設(shè)非飽和土微元強(qiáng)度服從Weibull概率密度分布，將非飽和土力學(xué)性態(tài)的變化簡(jiǎn)化為損傷累積擴(kuò)展的過(guò)程，從而建立鄧肯-張統(tǒng)計(jì)損傷模型。

（2）在鄧肯-張統(tǒng)計(jì)損傷模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)搭建初始切線模量與基質(zhì)吸力的聯(lián)系，建立考慮基質(zhì)吸力的非飽和土鄧肯-張統(tǒng)計(jì)損傷模型。給出參數(shù)解析方法，擬合m、F0與基質(zhì)吸力之間的關(guān)系，從而修正模型，得到未知參數(shù)僅有b、c和T的模型經(jīng)驗(yàn)公式，參數(shù)b、c和T通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果可確定，便于實(shí)際應(yīng)用。

（3）非飽和土在應(yīng)力加載作用下，損傷變量先急劇累積，再逐漸趨于平緩，基質(zhì)吸力促進(jìn)損傷累積。本文所建損傷模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，參數(shù)較少，便于計(jì)算和應(yīng)用，利用該模型對(duì)比辨識(shí)本文以及相關(guān)文獻(xiàn)中非飽和粉質(zhì)黏土試驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證所建模型的合理性和適用性。