魏廣宇 陳凝飛 仇志勇2)?

1)(浙江大學(xué)物理學(xué)系，聚變理論與模擬中心，杭州 310027)

2)(Center for Nonlinear Plasma Science and ENEA C.R.Frascati，F(xiàn)rascati，Italy)

基于包含驅(qū)動(dòng)和阻尼的三波非線性相互作用模型,構(gòu)建了一個(gè)描述高能量粒子測地聲模(EGAM)與Dimits 區(qū)漂移波湍流相互作用的系統(tǒng),并在系統(tǒng)的線性增長及非線性振蕩階段分別進(jìn)行了解析和數(shù)值研究.更進(jìn)一步的數(shù)值結(jié)果表明,在忽略EGAM 的貢獻(xiàn)時(shí),該系統(tǒng)具有隨著線性驅(qū)動(dòng)/阻尼率等參數(shù)的變化,從極限環(huán)振蕩經(jīng)歷倍周期分岔最終進(jìn)入混沌的行為特征.在此基礎(chǔ)上,形式上構(gòu)建了本系統(tǒng)的非線性飽和Dimits區(qū),并研究了EGAM 對Dimits 區(qū)漂移波的影響.結(jié)果表明,對于不同幅度和頻率的EGAM,被調(diào)制后的漂移波將表現(xiàn)出受到激發(fā)或抑制的效果.對此,采用相空間分析的方法給出了相應(yīng)的解釋.

1 引言

漂移波湍流是磁約束等離子體中廣泛存在的一種微觀不穩(wěn)定性[1,2],可以從等離子體不均勻性,如托卡馬克裝置中堆芯到邊緣的溫度梯度、密度梯度,獲得自由能并引發(fā)不穩(wěn)定性,進(jìn)而導(dǎo)致帶電粒子橫越磁場的反常輸運(yùn)[3],降低裝置的約束水平.因此,研究漂移波的激發(fā)、非線性演化及飽和過程,對于理解進(jìn)而改善托卡馬克等磁約束裝置的約束性能具有重要意義.大規(guī)模的回旋動(dòng)理學(xué)模擬表明,帶狀流的存在將使漂移波不穩(wěn)定性的閾值上升,即著名的Dimits 上移[4].原因可能是帶狀流本身自發(fā)地被漂移波激發(fā)并反過來抑制漂移波湍流的強(qiáng)度[5-7].帶狀流是指環(huán)形等離子體中由徑向擾動(dòng)電場引起的E×B極向剪切流,其模結(jié)構(gòu)特征是環(huán)向?qū)?稱(n=0),極向近 似對稱(m≈0)[8,5].其中,n和m分別是環(huán)向模數(shù)和極向模數(shù),E為擾動(dòng)電場,B為平衡磁場.帶狀流包含頻率接近零的零頻帶狀流(zero-frequency zonal flow,ZFZF)[8],和有限頻率的測地聲模(geodesic acoustic mode,GAM)[9,10].由于模結(jié)構(gòu)在環(huán)向和極向的對稱性,帶狀流不能從等離子體徑向不均勻性中獲得自由能而被激發(fā),因而是線性穩(wěn)定的,只能被湍流非線性激發(fā)①注:由于歷史原因,一般在講帶狀流“線性穩(wěn)定”時(shí),是忽略下面討論的高能量粒子測地聲模的..而GAM 則因?yàn)槠溆邢揞l率,可以與高能量粒子共振,并被其相空間各向異性所攜帶的自由能激發(fā),產(chǎn)生高能量粒子測地聲模(energetic particle induced GAM,EGAM)[11-14].考慮到帶狀流對漂移波湍流的抑制作用,通過外部入射的高能量粒子束在漂移波不穩(wěn)定區(qū)域激發(fā)EGAM 被認(rèn)為是主動(dòng)控制漂移波湍流的可行方案[15].然而,Zarzoso 等[16]在離子溫度梯度漂移波的非線性模擬中卻發(fā)現(xiàn),當(dāng)引入高能量粒子激發(fā)EGAM 后,湍流不僅沒有受到抑制,反而有所增強(qiáng),這與一般的理論預(yù)測相反.對此的一個(gè)猜測是,在耦合的EGAM-漂移波湍流系統(tǒng)中,當(dāng)EGAM 被高能量粒子驅(qū)動(dòng)達(dá)到較高幅度時(shí),能量將從EGAM 流向漂移波湍流.陳凝飛等[17]通過解析理論研究了有限幅度的帶狀流徑向電場對漂移波局域穩(wěn)定性和模結(jié)構(gòu)的影響,發(fā)現(xiàn)帶狀流對漂移波湍流總是起抑制作用,無法解釋相關(guān)模擬結(jié)果.因此,關(guān)于EGAM促進(jìn)漂移波湍流的機(jī)制還有待進(jìn)一步研究.

漂移波湍流與帶狀流的自洽非線性相互作用,可以通過參量衰變不穩(wěn)定性(對于GAM 與漂移波湍流相互作用[10,18])或者調(diào)制不穩(wěn)定性(對于ZFZF與漂移波湍流相互作用[6,19])進(jìn)行描述,其物理圖像是漂移波湍流通過有質(zhì)動(dòng)力激發(fā)帶狀流結(jié)構(gòu),而帶狀流將漂移波湍流散射到線性更穩(wěn)定的徑向短波長區(qū)間;描述耦合的漂移波-帶狀流系統(tǒng)非線性演化的方程可以從非線性回旋動(dòng)理學(xué)方程進(jìn)行推導(dǎo),詳細(xì)的推導(dǎo)過程在參考文獻(xiàn)[19](其中的方程組(12)和文獻(xiàn)[10](其中的方程(29)—(31))中給出.描述ZFZF 和GAM 與漂移波湍流相互作用的模型不同,是由于ZFZF 具有有限的徑向波數(shù)而頻率接近為零,其與漂移波泵浦波的耦合產(chǎn)生的上下邊帶模均不滿足漂移波的線性色散關(guān)系,具有一個(gè)小的“頻率失配”,因此必須采用同時(shí)包含上下邊帶模的“四波”調(diào)制不穩(wěn)定性模型來研究ZFZF 的激發(fā);而GAM 與漂移波泵浦波耦合產(chǎn)生的下邊帶模有可能滿足漂移波的線性色散關(guān)系,激發(fā)閾值明顯低于上邊帶模,因此可以忽略上邊帶模的貢獻(xiàn).然而,從參考文獻(xiàn)[10]和[20]可以看出,當(dāng)考慮漂移波-ZFZF 耦合系統(tǒng)的慢時(shí)間尺度演化時(shí),描述上下邊帶模的方程是對稱的,可以合并為同一個(gè)方程.因此,盡管本工作涉及到漂移波湍流與ZFZF的相互作用,我們依然采用耦合的三波方程來描述其非線性演化.

漂移波湍流具有線性的群速度,因此非線性耦合系統(tǒng)除了具有時(shí)間演化外,還具有空間上的傳播特性,如參考文獻(xiàn)[18]中的方程(9)和(11)所示.對此,可以對漂移波方程做平移變換,消去方程中的空間偏導(dǎo),得到的系統(tǒng)僅對時(shí)間有依賴關(guān)系.考慮線性不穩(wěn)定的漂移波泵浦波的線性驅(qū)動(dòng),及漂移波邊帶模和ZFZF 的線性阻尼率后,就得到描述漂移波和ZFZF 時(shí)間演化的三波非線性耦合模型;從這一模型出發(fā)來研究ZFZF 與漂移波相互作用的相關(guān)物理,形式上構(gòu)建Dimits 區(qū)的漂移波湍流.最后,作為本工作最重要的結(jié)果,在模型中引入EGAM,來研究EGAM 與Dimits 區(qū)漂移波的相互作用.利用解析和數(shù)值的手段,從不同角度探究了這兩個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征.首先在三波非線性耦合模型中,可以看到依賴于參數(shù)變化,系統(tǒng)從極限環(huán)振蕩經(jīng)歷倍周期分岔最終進(jìn)入混沌的行為[21].考慮了EGAM 的影響之后,發(fā)現(xiàn)由于EGAM 的幅度和頻率的不同,被調(diào)制的漂移波將表現(xiàn)出受到激發(fā)或抑制的不同趨勢.相空間結(jié)構(gòu)的分析表明,漂移波被激發(fā)或抑制的現(xiàn)象最終可以歸結(jié)為相空間軌道被不同尺度的不動(dòng)點(diǎn)或極限環(huán)所捕獲的結(jié)果.本文的結(jié)構(gòu)安排如下:第2 節(jié)引入理論模型;第3 節(jié)分析了包含源和匯的耦合漂移-ZFZF 系統(tǒng)的非線性演化;第4 節(jié)研究了EGAM 對Dimits區(qū)漂移波的影響;第5 節(jié)給出簡單的總結(jié)和討論.

2 基本模型

為了研究Dimits 區(qū)漂移波的行為,采用三波耦合的物理圖像來描述漂移波和帶狀流的相互作用[18,22].在此過程中,一支漂移波泵浦波Ω0(ω0,k0)衰變?yōu)閮芍ё硬?漂移波邊帶模Ω1(ω1,k1)和ZFZFΩZ(ωZ,kZ).考慮子波的耦合對泵浦波的反饋及每支波的線性激發(fā)和阻尼,并忽略調(diào)制不穩(wěn)定性伴隨的小的頻率失配,三支波的振幅隨時(shí)間的演化滿足如下方程組:

其中?0,?1,?Z分別代表泵浦波、邊帶模和ZFZF 的振幅,即Ωj=?je-iωjt(j=0,1,Z) ;?E代表EGAM的幅度,ωE代表EGAM 的頻率①注:如果考慮zonal flow 與漂移波的非線性相互作用引起的有限頻率,我們可以將EGAM 頻率與該頻率之差重新定義為 ωE ,從而方程(1)的形式保持不變.;γ0代表泵浦波的線性驅(qū)動(dòng),γ1和γZ代表漂移波邊帶模和ZFZF的線性阻尼,α0,1,Z代表非線性項(xiàng)的耦合系數(shù).為不失一般性,規(guī)定γ0,1,Z＞0,α0,1,Z＞0.

在忽略EGAM 的影響(?Ecos(ωEt))時(shí),方程(1)描述了漂移波和ZFZF 的相互作用.其中考慮到漂移波上下邊帶模方程形式上的對稱性[19],我們已經(jīng)將“四波”調(diào)制不穩(wěn)定性過程歸結(jié)為方程(1)所示的三波相互作用.此外,本文暫時(shí)不考慮調(diào)制不穩(wěn)定伴隨的頻率失配效應(yīng),這在非線性耦合引起的增長/衰減的時(shí)間尺度短于頻率失配時(shí)是自然成立的.實(shí)際上,由(1)式描述的三波非線性耦合模型的應(yīng)用非常廣泛,除了用來解釋等離子體中波的相互作用,它與光學(xué)中的參量振蕩器[23],流體力學(xué)中剪切流和重力波的相互作用[24]等很多物理過程都有密切聯(lián)系.注意到如果方程組(1)中?0,?1和?Z的初值都設(shè)置為實(shí)數(shù),那么這3 個(gè)物理量將始終在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化,從而方程中的共軛符號(hào)可以忽略.后面如果不做特殊說明,都只在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)考慮該系統(tǒng)的行為.

EGAM 對耦合的漂移波湍流-ZFZF 系統(tǒng)的調(diào)制作用體現(xiàn)在方程(1)中第2 個(gè)方程右側(cè)的?Ecos(ωEt)這一項(xiàng)上.由于EGAM 由高能量粒子所激發(fā),可以忽略漂移波-ZFZF 系統(tǒng)的影響,而重點(diǎn)研究EGAM 對漂移波的調(diào)制,因此在漂移波和帶狀流的演化過程中?E和ωE的大小都保持不變.從方程(1)可以看出,加入EGAM 相當(dāng)于在方程組中引入了一個(gè)強(qiáng)度和符號(hào)都隨時(shí)間周期性變化的參數(shù).當(dāng)EGAM 與?Z符號(hào)相同時(shí),關(guān)于漂移波邊帶模?1的方程右邊的耦合項(xiàng)被增強(qiáng),EGAM 將增強(qiáng)ZFZF 對漂移波的調(diào)制;而當(dāng)EGAM 與?Z符號(hào)相反時(shí),?1方程右邊的耦合項(xiàng)則被減弱,甚至整個(gè)耦合項(xiàng)的正負(fù)性可能會(huì)被改變.因此,EGAM的引入將對原系統(tǒng)起到很明顯的調(diào)節(jié)作用.第4 節(jié)將以上述模型為基礎(chǔ)詳細(xì)地討論EGAM對Dimits區(qū)漂移波的影響.這里需要指出,在?Z后面加入?Ecos(ωEt)項(xiàng)來研究EGAM 的作用效果是基于對漂移波-帶狀流相互作用的物理機(jī)理的理解,突出其對漂移波邊帶模的調(diào)制,并沒有從第一性原理出發(fā)嚴(yán)格推導(dǎo).基于第一性原理系統(tǒng)地描述漂移波、GAM 和高能量粒子的非線性演化的方程由參考文獻(xiàn)[15]給出 (其中的方程(38)、(79)和(80)).而自洽描述ZFZF 和漂移波相互作用的方程由文獻(xiàn)[19]中的(9)式和(10)式給出.可以看到,GAM和ZFZF 對漂移波調(diào)制的非線性項(xiàng)在結(jié)構(gòu)上是完全一樣的,因此,對漂移波的相互作用可以認(rèn)為是線性疊加,將EGAM 與?Z合并來表示帶狀流整體對漂移波的調(diào)制效果被增強(qiáng)或抑制應(yīng)該是一個(gè)比較自然的想法.

3 漂移波-帶狀流系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為

本節(jié)從耦合方程組(1)出發(fā),忽略EGAM 的影響,研究漂移波和ZFZF 的相互作用,并構(gòu)建該系統(tǒng)下的Dimits 區(qū).從方程組(1)等號(hào)右側(cè)的耦合項(xiàng)可以看出,子波受到的非線性激勵(lì)正比于泵浦波與另一支子波的耦合強(qiáng)度;同時(shí),泵浦波將受到來自兩支子波非線性耦合的負(fù)反饋.當(dāng)子波的幅度很小時(shí),其對泵浦波的反饋可以忽略,子波在泵浦波的激勵(lì)下不斷增長;而當(dāng)兩個(gè)子波增長到一定程度時(shí),子波的負(fù)反饋將可能超過泵浦波的線性驅(qū)動(dòng),從而使得泵浦波強(qiáng)度減小,相應(yīng)的子波受到的激勵(lì)也隨之減小.直觀來看,3 支波可能會(huì)在某一時(shí)刻達(dá)到“收支平衡”,或者說系統(tǒng)趨向于一個(gè)靜止的穩(wěn)態(tài)解,即不動(dòng)點(diǎn)解.然而,根據(jù)Anderson 等[25]的相關(guān)研究,該系統(tǒng)在一般情況下并不存在穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)解.實(shí)際上,3 支波最終將呈現(xiàn)出此消彼長的振蕩行為.下面詳細(xì)來看子波線性增長和三波非線性振蕩這兩個(gè)行為.

對于子波剛開始從擾動(dòng)水平增長的階段,子波的耦合對泵浦波的反饋效果可以忽略.從而?0的演化方程與?1和?Z解耦,方程組(1)變成一個(gè)線性的常微分方程組,可以直接求解.為了使方程的解更加直觀,同時(shí)忽略泵浦波的線性驅(qū)動(dòng),從而方程組(1)退化為

這是一個(gè)典型的參量不穩(wěn)定性問題.子波?1和?Z的增長率γ由非線性色散關(guān)系 (γ+γ1)(γ+γZ)=決定,從而得到參量不穩(wěn)定性的增長率為

由此可以給出系統(tǒng)關(guān)于 |?0|2的穩(wěn)定性閾值|?0|2=γ1γZ/(α1αZ).也就是說,當(dāng)泵浦波的強(qiáng)度大于該閾值的時(shí)候,邊帶模和ZFZF 將被激發(fā)起來,呈指數(shù)增長.當(dāng)泵浦波的幅度遠(yuǎn)大于閾值時(shí),可以忽略子波阻尼率的影響,增長率與泵浦波的幅度成正比,即γ∝|?0|.

當(dāng)兩個(gè)子波增長到和泵浦波相同量級(jí)的時(shí)候,他們對泵浦波?0的反饋不能忽略,需要完整地求解方程組(1).對3 個(gè)波的幅度做如下歸一化:

原方程組變?yōu)?/p>

3 個(gè)方程分別乘以?0,?1和?Z,再相互加或減以消去右邊的耦合項(xiàng),得到如下3 個(gè)恒等式:

這組守恒式被稱為Manley—Rowe 關(guān)系[26],給出了參量衰變過程中所滿足的粒子數(shù)量守恒關(guān)系.方程組(6)是Manley-Rowe關(guān)系推廣到包含線性驅(qū)動(dòng)/阻尼下的一般形式.結(jié)合方程(7)給出的3 個(gè)守恒量和(5)式的第一個(gè)方程,可以得到描述n0演化的方程為

其解由橢圓函數(shù)給出,即

其中sn 是橢圓正弦函數(shù).方程(9)給出了忽略3 支耦合波的線性增長/阻尼率時(shí),泵浦漂移波的時(shí)間演化行為.在求解過程中,假定了ZFZF 的初始強(qiáng)度大于漂移波邊帶模,即m1＜m2,否則方程(9)中m1和m2的位置要相互交換.另外兩支波的解可從守恒條件(7)得出.根據(jù)這3 個(gè)解在圖1 中給出了3 支波的演化曲線,可以看到波的強(qiáng)度隨時(shí)間周期性變化,且泵浦波和兩個(gè)子波的強(qiáng)度此消彼長,表現(xiàn)出典型的捕食者-獵物模型的行為特征.值得注意的是,大部分描述帶狀流激發(fā)的參量/調(diào)制不穩(wěn)定性模型,只關(guān)注了圖1 中的早期階段,從而只從原理上論證了帶狀流激發(fā)的機(jī)制,并未系統(tǒng)研究其對漂移波湍流非線性演化和飽和的貢獻(xiàn)[20,27].

圖1 忽略3 支波的線性增長/阻尼時(shí),3 支波強(qiáng)度隨時(shí)間的演化.紅色實(shí)線、藍(lán)色虛線和黑色點(diǎn)線分別代表泵浦波、邊帶模和ZFZF 的演化曲線Fig.1.Evolution of the strength of the three waves with time when the linear growth/damping of the three waves is ignored.Red solid line,blue dashed line and black dotted line represent the evolution curve of pump wave,sideband and ZFZF,respectively.

回到包含線性驅(qū)動(dòng)和阻尼的方程組(5),再對3 個(gè)波的幅度和時(shí)間做歸一化:?0,1,Z→γ0?0,1,Z和t→t/γ0,可以得到

因此,要研究系統(tǒng)的演化特征與方程組參數(shù)的關(guān)系,只需要改變兩個(gè)相對阻尼系數(shù)γ1/γ0和γZ/γ0.下面通過數(shù)值離散的方法求解方程組(10),計(jì)算的差分格式采用四階龍格庫塔方法,編程語言采用MATLAB.通過在0.0—5.0 范圍內(nèi)掃描參數(shù)γ1/γ0和γZ/γ0的值發(fā)現(xiàn),當(dāng)γ1/γ0和γZ/γ0的值在圖2(a)的黃色區(qū)域時(shí),波的幅度隨時(shí)間增加而無限增長,如圖2(b)所示;而當(dāng)取值在圖2(a)的藍(lán)色區(qū)域時(shí),波的幅度最終穩(wěn)定在有限范圍內(nèi),如圖2(c)所示.對于圖2(a),黃色區(qū)域主要集中在γ1+γZ＜γ0的范圍內(nèi)以及對角線γ1=γZ附近.其中γ1+γZ＜γ0這一參數(shù)區(qū)間直觀上是容易理解的,此時(shí)三維相空間(空間坐標(biāo)為?0,?1和?Z)內(nèi)體積 的增長 率γ=γ0-γ1-γZ＞0,即相空間體積是膨脹的.因此有限體積內(nèi)的相點(diǎn)最終將擴(kuò)散到無窮大范圍去,從而系統(tǒng)表現(xiàn)出無限增長的趨勢.然而,系統(tǒng)在γ1=γZ附近的增長行為直觀上無法簡單地解釋,但由于這個(gè)參數(shù)范圍(γ1≈γZ?γ0)并不是本問題的重點(diǎn)關(guān)注區(qū)間,我們將在之后的工作中再深入討論.對于圖2(c),需要指出,當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后(表現(xiàn)為曲線的周期性振蕩),曲線振蕩的周期和幅度僅依賴于方程中的參數(shù)γ1/γ0和γZ/γ0,而和初值的選取無關(guān),它代表了該非線性系統(tǒng)在參數(shù)確定的情況下必然的演化趨勢.在非線性動(dòng)力學(xué)中,這種周期性振蕩也被稱為極限環(huán).如果在相空間內(nèi)畫出相點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,將得到一個(gè)封閉的環(huán)形軌道.由于附近的相軌道隨時(shí)間增加都無限逼近于該極限環(huán),我們稱該極限環(huán)是穩(wěn)定的(或吸引的).

圖2 (a) γ1/γ0 和 γZ/γ0 的參數(shù)空間內(nèi),當(dāng)參數(shù)取值在黃色區(qū)域(標(biāo)記為U)時(shí),系統(tǒng)無限增長,當(dāng)參數(shù)取值在藍(lán)色區(qū)域(標(biāo)記為S)時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定在有限范圍內(nèi);(b),(c)兩種情形下3 個(gè)波的時(shí)間演化曲線Fig.2.(a)In the parameter space of γ1/γ0 and γZ/γ0,when the parameter value is set in the yellow region (marked by U),the system grows infinitely,while in the blue region (marked by S),a stable state of the system is obtained;(b),(c)time evolution curves of the three waves in these two cases.

事實(shí)上,圖2(c)并不是系統(tǒng)穩(wěn)定在有限范圍后所表現(xiàn)出的唯一的振蕩模式.固定γ1/γ0=5.0,而從5.01 開始逐漸增加γZ/γ0.試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)剛開始收斂到圖2(c)所示的極限環(huán)上;隨著γZ/γ0的增加,系統(tǒng)出現(xiàn)如圖3(a)所示的周期倍增現(xiàn)象;經(jīng)歷多次倍周期分岔后,最終系統(tǒng)進(jìn)入到非周期振蕩的混沌,如圖3(b)所示.此時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)對初值具有極端敏感的依賴性,初值的任意微小差異都會(huì)使系統(tǒng)在確定時(shí)刻的狀態(tài)有很大不同.但同時(shí)混沌依然保持有穩(wěn)定性,它使得系統(tǒng)最終收斂到一個(gè)有限的范圍內(nèi).因此由數(shù)值計(jì)算得到的圖3(b)只能反映系統(tǒng)收斂到的大致范圍,而不能給出在某一時(shí)刻系統(tǒng)的確切狀態(tài).圖3(c)用zn=max{|?0(t)|}隨γZ/γ0變化的散點(diǎn)圖形象地展示了系統(tǒng)從極限環(huán)振蕩經(jīng)歷倍周期分岔到達(dá)混沌的這一過程.需要指出的是,觀測到系統(tǒng)這一動(dòng)力學(xué)特征的參數(shù)采樣點(diǎn)并不限于上述給定的取值范圍.數(shù)值試驗(yàn)的結(jié)果表明,在圖2(a)的藍(lán)色區(qū)域內(nèi),從黃藍(lán)區(qū)域的邊界線附近出發(fā)沿直線遠(yuǎn)離該邊界線,在這樣的參數(shù)采樣下總能觀察到類似圖3(c)的結(jié)果.

圖3 (a) γ1/γ0=5.0 ,γZ/γ0=5.5 時(shí)泵浦 波 |?0|隨時(shí)間 的演化;(b) γ1/γ0=5.0 ,γZ/γ0=5.8 時(shí)泵浦 波 |?0|隨時(shí)間 的演化;(c) z n=max{|?0(t)|} 隨 γZ/γ0 變化的散點(diǎn)圖Fig.3.(a)Time evolution curves of pump wave |?0|when γ1/γ0=5.0 ,γZ/γ0=5.5 ;(b)time evolution curves of pump wave|?0|when γ1/γ0=5.0 ,γZ/γ0=5.8 ;(c)scatter plot of z n=max{|?0(t)|} varying with γZ/γ0.

通過本節(jié)的研究可以看到,由上述三波模型所描述的非線性耦合漂移波-帶狀流系統(tǒng),由于ZFZF的激發(fā)主要有3 種行為:不穩(wěn)定的振蕩(無限增長);穩(wěn)定的周期性振蕩(極限環(huán));穩(wěn)定的非周期性振蕩(混沌).這些曲線整體的變化可以非常復(fù)雜,振蕩的周期和幅度有各有不同,但仔細(xì)觀察圖2(b)和圖2(c)可以看出,在一個(gè)小的時(shí)間窗口內(nèi),3 支波的振蕩行為和圖1 所示的捕食者-獵物模型是類似的.因此,考慮非零的線性增長率和阻尼率后,最直觀的影響是對圖1 所示的三波振蕩產(chǎn)生了周期和幅度上的調(diào)制.

由于Dimits 區(qū)對應(yīng)于漂移波湍流非線性穩(wěn)定區(qū)域,將圖2(c)所示的周期振蕩行為定義為本非線性耦合模型的Dimits 區(qū),并研究外加有限頻率的EGAM 對其的影響.需要注意的是,本工作的出發(fā)點(diǎn)是研究周期性振蕩的EGAM 對Dimits區(qū)湍流的影響,但本文的主導(dǎo)方程組(1),并不限于EGAM.實(shí)際上,對于任何周期性的磁面對稱的電場振蕩對漂移波湍流的影響,均可用此模型進(jìn)行研究,如外加的靜電偏壓,以及由其他湍流(如阿爾芬不穩(wěn)定性)所激發(fā)的GAM/ZFZF 等.

4 EGAM 對Dimits 區(qū)漂移波的影響

根據(jù)上一節(jié)的研究,可以構(gòu)建一個(gè)穩(wěn)定的描述Dimits 區(qū)漂移波的系統(tǒng).取方程組(1)中的γ0=1.0,γ1=3.0,γZ=3.1,此時(shí)加入EGAM 之前的漂移波-ZFZF 系統(tǒng)處于圖4(a)所示的周期振蕩的穩(wěn)態(tài)解上.本節(jié)將探究有限頻率的EGAM 對原系統(tǒng)的影響.為了盡可能減少數(shù)值不穩(wěn)定性,在引入EGAM 的時(shí)刻用一段平滑增強(qiáng)的過程來過渡,如圖4(b)所示.

4.1 緩變EGAM 對Dimits 區(qū)漂移波湍流的影響

首先考慮一個(gè)“緩變”的EGAM,對應(yīng)于頻率遠(yuǎn)小于圖4(a)中周期振蕩頻率的情形.因此在很長一段時(shí)間內(nèi),EGAM 相對于漂移波-帶狀流而言近似是一個(gè)常數(shù)?E,從而可以忽略EGAM 的周期振蕩,將方程組(1)寫為

圖4 (a)加入EGAM 之前系統(tǒng)的周期性振蕩.藍(lán)色實(shí)線、藍(lán)色虛線和藍(lán)色點(diǎn)線分別代表泵浦波、邊帶模和ZFZF 和的時(shí)間演化曲線.(b)周期振蕩的EGAM 曲線,初始階段逐步增強(qiáng)以實(shí)現(xiàn)平滑過渡Fig.4.(a)Periodicoscillation of the system before EGAM is introduced.The blue solid line,blue dashed line and blue dotted line represent the evolution curve of pump wave,sideband and ZFZF,respectively.(b)Periodically oscillating EGAM.The initial phase is progressively enhanced to achieve a smooth transition.

對于該方程組,先研究其不動(dòng)點(diǎn)解的穩(wěn)定性.令方程中的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為0,得到如下5 個(gè)不動(dòng)點(diǎn)解:

圖5 (a)5 個(gè)不動(dòng)點(diǎn)在相空間的相對分布;(b)不動(dòng)點(diǎn) P1 和 P3,(c)不動(dòng)點(diǎn) P2 和 P4 處Jacobi 矩陣的3 個(gè)本征值的實(shí)部隨 ?E 的變化.此處 γ0=1.0 ,γ1=3.0 ,γZ=3.1Fig.5.(a)Relative distribution of five fixed points in phase space.Dependence of the real part of the three eigenvalues of Jacobi matrix at fixed points (b) P1/ P3 and (c) P2/ P4.Here,γ0=1.0 ,γ1=3.0 ,γZ=3.1.

不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性可以通過計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)處的Jacobi 矩陣得到,對應(yīng)于在不動(dòng)點(diǎn)附近做線性化后得到的線性微分方程組的系數(shù)矩陣:

其本征值可解得:

不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性由本征值γ(j)的實(shí)部,即Re(γ(j))決 定,R e(γ(j))可以簡單理解為不動(dòng)點(diǎn)附近的擾動(dòng)的增長率.如果 R e(γ(j))＜0,則不動(dòng)點(diǎn)是穩(wěn)定的;反之是不穩(wěn)定的.將不動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)和參數(shù)γ0,1,Z的值代入γ(j)的表達(dá)式,將得到本征值與?E的依賴關(guān)系.圖5(b)和圖5(c)分別給出了P1(或P3)和P2(或P4)處Jacobi 矩陣的三個(gè)本征值的實(shí)部隨?E的變化.可以看出,當(dāng)?E＜-1.48 時(shí),不動(dòng)點(diǎn)P1和P3是穩(wěn)定的;當(dāng)?E＞1.48 時(shí),不動(dòng)點(diǎn)P2和P4是穩(wěn)定的;當(dāng)-1.48＜?E＜1.48時(shí),不存在穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn).注意到不動(dòng)點(diǎn)P0一定是不穩(wěn)定的,因?yàn)?11)式的第一個(gè)方程在P0處線性化后必將得到指數(shù)增長的?0.而當(dāng)?E=0時(shí)退化到原來的三波耦合情形,不存在穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn),這與第3 節(jié)提到的Anderson和Bondeson[25]的研究結(jié)果相符合.后面將只考慮?E＞0 的情況,因?yàn)閷τ?E＜0的情況,只需要將?1和?Z反號(hào)就等價(jià)為?E＞0時(shí)的方程組.

試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),當(dāng)參數(shù)?E在不同的區(qū)間內(nèi)取值時(shí),系統(tǒng)在相空間內(nèi)的不動(dòng)點(diǎn)和極限環(huán)會(huì)表現(xiàn)出不同的性質(zhì):

1) 當(dāng)?E＞1.48時(shí),相空間內(nèi)除了有兩個(gè)穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)P2,P4(圖5(a)),還有兩個(gè)穩(wěn)定的大極限環(huán),如圖6(a)的藍(lán)色曲線所示,大小(通過 max{|?0|}表征)與?E呈正相關(guān),而形狀基本保持不變.在此情形下,根據(jù)初值選取的不同,系統(tǒng)最終將收斂到大極限環(huán)或不動(dòng)點(diǎn)P2,P4上.

2) 當(dāng) 0.88＜?E＜1.48時(shí),大極限環(huán)仍然存在,不動(dòng)點(diǎn)P2,P4失去穩(wěn)定性,但附近出現(xiàn)兩個(gè)穩(wěn)定的小極限環(huán),如圖6(b)的藍(lán)色曲線所示.在此情形下,根據(jù)初值選取的不同,系統(tǒng)最終將收斂到大極限環(huán)或小極限環(huán)上.

圖6 (a) ?E=2.0 時(shí)的大極限環(huán);(b) ?E=1.0 時(shí)的小極限環(huán);(c) ?E=0.6 時(shí)的中等尺寸極限環(huán);(d) ?E 從1.4 減小到0.6,兩個(gè)小極限環(huán)合并為中等尺寸極限環(huán)的過程Fig.6.(a)Big limit cycle when ?E=2.0 ;(b)small limit cycle when ?E=1.0 ;(c)medium size limit cycle when ?E=0.6 ;(d)two small limit cycles combine into one medium size limit cycle with ?E decreasing from 1.4 to 0.6.

3) 當(dāng) 0.37＜?E＜0.88時(shí),大極限環(huán)仍然存在,沒有穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn).P2,P4附近的小極限環(huán)合并為一個(gè)中等尺寸的極限環(huán),如圖6(c)的藍(lán)色曲線所示.圖6(d)用?0-?1平面內(nèi)的投影展示了?E從1.4 減小到0.6,兩個(gè)小極限環(huán)合并為中等尺寸極限環(huán)的過程.在此情形下,根據(jù)初值選取的不同,系統(tǒng)最終將收斂到大極限環(huán)或中等尺寸極限環(huán)上.

4) 當(dāng)?E＜0.37時(shí),大極限環(huán)仍然存在,中等尺寸極限環(huán)消失,沒有穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn),逐漸回歸到?jīng)]有EGAM 的情形.在此情形下,系統(tǒng)只可能收斂到大極限環(huán)上.

經(jīng)過上面的試驗(yàn),實(shí)際上給出了系統(tǒng)所有可能存在的穩(wěn)態(tài)解.其中極限環(huán)對應(yīng)的是周期變化的穩(wěn)態(tài)解,穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)對應(yīng)的是常數(shù)穩(wěn)態(tài)解.在方程的初值和參數(shù)?E給定的情況下,足夠長時(shí)間后,系統(tǒng)必然會(huì)演化到相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)解上.需要指出的是,這里的區(qū)間范圍是在其他參數(shù)(γ0,1,Z)給定的情況下通過數(shù)值計(jì)算得到的,如果其他參數(shù)改變,上面給出的區(qū)間范圍也要做相應(yīng)的修改.注意到大極限環(huán)對應(yīng)的漂移波和帶狀流的幅度均遠(yuǎn)大于其初始值(如圖4(a)所示),因此在本文中方程組(1)所描述的EGAM 與Dimits 區(qū)湍流耦合系統(tǒng),只有收斂到不動(dòng)點(diǎn)和小極限環(huán)的情況才對應(yīng)于緩變的EGAM對Dimits 區(qū)漂移波湍流的進(jìn)一步抑制;而不穩(wěn)定解和大極限環(huán)情形,對應(yīng)于EGAM 對Dimits 區(qū)漂移波的激發(fā).注意到此處假定了EGAM 的頻率小于原耦合漂移波-ZFZF 系統(tǒng)的振蕩頻率,因此本節(jié)的結(jié)論是否可以直接應(yīng)用于理解參考文獻(xiàn)[16]的模擬結(jié)果,需要進(jìn)一步分析.

4.2 周期振蕩的EGAM 對Dimits 區(qū)漂移波的影響

回到方程組(1),下面考察不同幅度(?E)和頻率(ωE)的EGAM 對Dimits 區(qū)漂移波的影響.模擬發(fā)現(xiàn),由于EGAM 的幅度和頻率的不同,被調(diào)制后的漂移波有可能表現(xiàn)出被激發(fā)或抑制這兩種截然相反的效果.圖7(a)、圖7(c)和圖7(e)給出有限幅度的EGAM 引起的3 種典型變化,參數(shù)設(shè)置分別為1)?E=1.4,ωE=0.02π ;2)?E=2.8,ωE=0.02π ;3)?E=1.4,ωE=0.04π.圖 7(b)、圖 7(d)和圖7(f)是對應(yīng)的相空間軌跡.

分析發(fā)現(xiàn),圖7(a)、圖7(c)和圖7(e)中曲線的形成都與圖6 所列出的忽略EGAM 的振蕩時(shí)的各類極限環(huán)和不動(dòng)點(diǎn)密切相關(guān).下面逐個(gè)進(jìn)行分析.

1) 對于圖7(a)和圖7(b),相軌道始終被大極限環(huán)所捕獲,表現(xiàn)出大幅的振蕩行為.由于大極限環(huán)的尺寸與EGAM 的實(shí)時(shí)幅度近似成正比,圖7(a)中曲線振蕩的包絡(luò)形狀由所調(diào)制.

圖7 (a) ?E=1.4 ,ωE=0.02π 時(shí)泵浦波 |?0|隨 時(shí)間的演化及(b)相應(yīng)的相空間軌跡.(c) ?E=2.8,ωE=0.02π 時(shí)三波隨時(shí)間的演化及(d)相應(yīng)的相空間軌跡.(e) ?E=1.4 ,ωE=0.04π 時(shí)三波隨時(shí)間的演化及(f)相應(yīng)的相空間軌跡Fig.7.(a)Time evolution of pump wave |?0|when ?E=1.4 ,ωE=0.02π and (b)corresponding trajectory in phase space.(c)Time evolution of three waves when ?E=2.8 ,ωE=0.02π and (d)corresponding trajectory in phase space.(e)Time evolution of three waves when ?E=1.4,ωE=0.04π and (f)corresponding trajectory in phase space.

綜上,這三種曲線都可以看作是相軌道被不同的極限環(huán)或穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)捕獲的結(jié)果.由于EGAM 的幅度隨時(shí)間變化,不同時(shí)刻極限環(huán)的類型和大小、不動(dòng)點(diǎn)的位置和穩(wěn)定性都有所不同,這才導(dǎo)致了曲線振蕩模式的多樣性.而曲線波動(dòng)的快慢則影響了曲線在不同模式間的轉(zhuǎn)換.

可以注意到,只有系統(tǒng)演化如圖7(a)和圖7(b)所示,相軌道被大極限環(huán)所捕獲時(shí),漂移波 |?0|才是被激發(fā)的(圖7(a)),從而表現(xiàn)出類似于參考文獻(xiàn)[16]所觀測到的EGAM“激發(fā)”漂移波湍流的過程.而相軌道被大極限環(huán)所捕獲的關(guān)鍵則是大極限環(huán)隨變化的速度要小于此刻大極限環(huán)“吸引”附近相軌道的速度,否則相軌道很容易就會(huì)離開大極限環(huán)的捕獲范圍,轉(zhuǎn)而被不動(dòng)點(diǎn)或小/中極限環(huán)所捕獲,進(jìn)而表現(xiàn)出漂移波被抑制的效果,正如圖7(c)和圖7(e)所示.然而,極限環(huán)對附近相軌道的“吸引”速度難以精確衡量,且目前還不能給出極限環(huán)的解析表達(dá)式,所以要定量給出激發(fā)漂移波對EGAM的具體要求還十分困難.但根據(jù)已有的數(shù)值結(jié)果,仍然可以給出一些簡單的定性的描述:給定EGAM 的幅度,EGAM 的頻率越低,漂移波越容易被激發(fā);給定EGAM 的頻率,當(dāng)EGAM 的幅度小于某一臨界值時(shí),漂移波將被激發(fā),且被激發(fā)的程度近似正比于EGAM 的幅度,而當(dāng)EGAM 的幅度超過該臨界值時(shí),漂移波將被抑制.

5 總結(jié)

在本文的工作中,為了理解參考文獻(xiàn)[16]中觀測到的EGAM 對漂移波湍流的“激發(fā)”,使用一個(gè)簡化的三波非線性耦合的模型研究了漂移波-ZFZF 系統(tǒng)的時(shí)間演化特征,以及EGAM 對Dimits區(qū)漂移波湍流的作用.當(dāng)忽略EGAM 的影響時(shí),在非線性過程的初始階段,漂移波邊帶模和ZFZF 將因?yàn)閰⒘坎环€(wěn)定性而被激發(fā),激發(fā)的閾值由子波的阻尼率所決定.而當(dāng)子波對泵浦波強(qiáng)烈反饋時(shí),如果不考慮驅(qū)動(dòng)和阻尼,方程組的解由一組橢圓函數(shù)給出,三個(gè)波的強(qiáng)度表現(xiàn)出類似捕食者-獵物模型的周期性振蕩行為;當(dāng)考慮驅(qū)動(dòng)和阻尼時(shí),上述振蕩的周期和幅度將受到調(diào)制,并且在相對阻尼系數(shù)的不同取值下,系統(tǒng)可能表現(xiàn)出不穩(wěn)定增長、極限環(huán)和混沌這三種不同的行為.本文也推導(dǎo)了包含線性驅(qū)動(dòng)和阻尼時(shí)非線性系統(tǒng)的守恒量.在此基礎(chǔ)上,構(gòu)建了此系統(tǒng)的Dimits 區(qū),并基于方程組(1)所示的模型來研究EGAM 對原系統(tǒng)的影響.在不考慮EGAM 振蕩的情況下,通過相空間分析的方法,給出了系統(tǒng)所有可能存在的穩(wěn)態(tài)解(穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)和極限環(huán))對EGAM 的幅度的依賴關(guān)系.當(dāng)考慮EGAM 振蕩后,基于實(shí)時(shí)的EGAM 幅度,和EGAM 的振蕩頻率與漂移波-ZFZF 系統(tǒng)演化到“大極限環(huán)”的周期振蕩態(tài)的時(shí)間尺度之比,解釋了相空間具有不同振蕩模式的原因,并定性地給出此模型下漂移波被EGAM 驅(qū)動(dòng)或抑制的條件.

感謝浙江大學(xué)陳騮教授分享的一些原始想法.