劉小濤，劉海龍

(上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200030)

近年來(lái)，伴隨著資本市場(chǎng)供給側(cè)改革的持續(xù)進(jìn)行，監(jiān)管層開(kāi)始不斷鼓勵(lì)保險(xiǎn)資金投資權(quán)益資產(chǎn)。證監(jiān)會(huì)指出要大力推動(dòng)長(zhǎng)期資金入市，充沛直接融資源頭活水。銀保監(jiān)會(huì)發(fā)布《關(guān)于優(yōu)化保險(xiǎn)公司權(quán)益類(lèi)資產(chǎn)配置監(jiān)管有關(guān)事項(xiàng)的通知》，通知指出根據(jù)保險(xiǎn)公司各項(xiàng)營(yíng)運(yùn)指標(biāo)，明確八檔權(quán)益類(lèi)資產(chǎn)監(jiān)管比例，最高可到占上季末總資產(chǎn)的45%。截至2020年3季度末，保險(xiǎn)資金投資A股已達(dá)總市值的3.44%。

和一般的投資組合不同，由于在運(yùn)作過(guò)程中存在保費(fèi)收入和賠付支出，保險(xiǎn)組合與生俱來(lái)面臨盈余風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)涉足權(quán)益資產(chǎn)投資時(shí)，組合還必然面臨著市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。特別地，當(dāng)保險(xiǎn)組合持有那些與其承保業(yè)務(wù)密切相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，組合將進(jìn)一步面臨盈余資金流和市場(chǎng)波動(dòng)的相關(guān)性風(fēng)險(xiǎn)。例如保險(xiǎn)公司在給上市公司提供保單服務(wù)的同時(shí)可能投資該公司的股票，所以投資端和保險(xiǎn)端都會(huì)暴露該上市公司的風(fēng)險(xiǎn)，即投資業(yè)務(wù)和保險(xiǎn)業(yè)務(wù)存在風(fēng)險(xiǎn)關(guān)聯(lián)。一旦有風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生，就可能同時(shí)引起賠付端和資產(chǎn)端的波動(dòng)，從而對(duì)組合產(chǎn)生不利影響。此外，由于保險(xiǎn)資金運(yùn)作時(shí)間一般較長(zhǎng)，在組合管理過(guò)程中，市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)收益特征也可能隨時(shí)間發(fā)生變化，于是組合還面臨市場(chǎng)時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)。如何在綜合考慮這些因素的前提下求解保險(xiǎn)組合的投資策略，是保險(xiǎn)資產(chǎn)管理實(shí)務(wù)和學(xué)術(shù)研究關(guān)心的重點(diǎn)話題之一。

不變彈性方差(CEV)過(guò)程是一個(gè)隨機(jī)波動(dòng)率模型，近年來(lái)被廣泛應(yīng)用于保險(xiǎn)組合選擇問(wèn)題。如假定盈余過(guò)程是帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)，榮喜民等[1]分別在CRRA和CARA效用下研究了保險(xiǎn)人的最優(yōu)投資問(wèn)題。Gu等[2]分別在CRRA和CARA效用下研究了保險(xiǎn)人的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題。Gu等[3]在CARA效用下分別考慮了保險(xiǎn)人的最優(yōu)投資和超額損失再保險(xiǎn)及投資問(wèn)題，并在正彈性方差系數(shù)假設(shè)下嚴(yán)格證明了解的相關(guān)驗(yàn)證定理。Li等[4-5]同時(shí)研究了CARA型保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)問(wèn)題。Li等[6]在均值方差準(zhǔn)則下研究了保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的時(shí)間一致投資策略。Wu等[7]利用勒讓德對(duì)偶變換技巧研究了對(duì)數(shù)效用下的最優(yōu)再保險(xiǎn)及投資問(wèn)題。李冰等[8]研究了CARA型保險(xiǎn)人的最優(yōu)魯棒超額損失再保險(xiǎn)和投資策略。聶高琴[9]在HARA效用下研究了再保險(xiǎn)與投資策略。假定盈余過(guò)程為經(jīng)典的Cramér-Lundberg模型，李啟才等[10]進(jìn)一步研究了CARA型保險(xiǎn)人的比率合約與超額損失混合再保險(xiǎn)和最優(yōu)投資問(wèn)題。假定盈余過(guò)程是帶跳過(guò)程和漂移項(xiàng)的布朗運(yùn)動(dòng)，Xiang等[11]、Liang等[12]以及曾敏等[13]研究了CARA型保險(xiǎn)投資人的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題。Zheng等[14]考慮了保險(xiǎn)人的魯棒最優(yōu)再保險(xiǎn)投資策略。Wang等[15]同時(shí)研究了CARA型保險(xiǎn)投資人和再保險(xiǎn)投資人的最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)問(wèn)題。Zhou等[16]進(jìn)一步考慮了與歷史業(yè)績(jī)相關(guān)的資金流，研究了相應(yīng)的超額損失再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題。在均值方差準(zhǔn)則下，Shen等[17]研究了一類(lèi)包括但不限于CEV模型下的預(yù)先承諾再保險(xiǎn)投資策略。Lin等[18]求解了最優(yōu)時(shí)間一致再保險(xiǎn)投資策略。

盡管目前已有大量文獻(xiàn)基于CEV模型研究了保險(xiǎn)組合選擇問(wèn)題，但是仍然存在不足之處。首先，大量文獻(xiàn)[2-9，11-14，16-18]均假設(shè)驅(qū)動(dòng)保險(xiǎn)盈余過(guò)程的布朗運(yùn)動(dòng)與驅(qū)動(dòng)CEV模型的布朗運(yùn)動(dòng)完全不相關(guān)，從而忽視了保險(xiǎn)市場(chǎng)和金融市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性，并最終得到了和普通投資組合完全相同的投資策略，因而無(wú)法體現(xiàn)出保險(xiǎn)組合管理業(yè)務(wù)的獨(dú)特性。其次，少數(shù)文獻(xiàn)則走向了另一個(gè)極端，文獻(xiàn)[1，15]中假設(shè)盈余風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程和CEV過(guò)程中的布朗運(yùn)動(dòng)完全相關(guān)，即保險(xiǎn)市場(chǎng)和金融市場(chǎng)背后完全由同一風(fēng)險(xiǎn)驅(qū)動(dòng)，從而忽視了保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的特異性風(fēng)險(xiǎn)。事實(shí)上，一方面，因?yàn)槭芟到y(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的影響，盈余過(guò)程和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)存在一定的風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性。特別地，如果保險(xiǎn)組合還投資其承保上市公司的股票，將進(jìn)一步強(qiáng)化這種風(fēng)險(xiǎn)。另一方面，盈余與自身的業(yè)務(wù)屬性密切相關(guān)，但并非完全相關(guān)。因此，一個(gè)較為合理的假設(shè)便是部分相關(guān)。其實(shí)早在基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型的保險(xiǎn)資產(chǎn)配置的奠基文獻(xiàn)[19]中就已經(jīng)考慮到這點(diǎn)，只是隨后在時(shí)變投資環(huán)境中眾多學(xué)者卻大多忽視了該因素。

為此，本文在綜合考慮隨機(jī)波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)以及保險(xiǎn)盈余和金融市場(chǎng)相關(guān)性風(fēng)險(xiǎn)的基礎(chǔ)上，求解保險(xiǎn)人在動(dòng)態(tài)均值方差準(zhǔn)則下的投資策略。假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程服從不變彈性方差(CEV)模型;保險(xiǎn)盈余過(guò)程滿(mǎn)足擴(kuò)散近似模型，并且驅(qū)動(dòng)盈余過(guò)程的布朗運(yùn)動(dòng)和驅(qū)動(dòng)CEV過(guò)程的布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程存在部分相關(guān)性。這種相關(guān)性刻畫(huà)了保險(xiǎn)市場(chǎng)和金融市場(chǎng)背后可能受相同風(fēng)險(xiǎn)因素的影響，同時(shí)也可能受自身獨(dú)有因素的影響。最后，假定投資者具有均值方差目標(biāo)，即管理人試圖在一定的風(fēng)險(xiǎn)水平下獲取盡可能多的收益，或者在保證獲取同等收益的前提下承擔(dān)盡可能小的風(fēng)險(xiǎn)。為了保證投資策略的穩(wěn)定性以及不同時(shí)刻進(jìn)入組合的盈余資金流被“公平對(duì)待”，本文旨在求解時(shí)間一致(納什均衡)投資策略。為了說(shuō)明保險(xiǎn)組合投資策略和一般投資組合投資策略的本質(zhì)區(qū)別，重點(diǎn)分析了其特例——最優(yōu)對(duì)沖問(wèn)題(最小方差組合)。

本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在3個(gè)方面:首先，在模型設(shè)定上同時(shí)考慮了CEV隨機(jī)波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)和保險(xiǎn)盈余與金融市場(chǎng)的相關(guān)性風(fēng)險(xiǎn)，相對(duì)于其他僅考慮單一風(fēng)險(xiǎn)的工作更加貼合實(shí)際;其次，在求解方法方面主要采用了Feynman-Kac公式求解擴(kuò)展HJB方程組化簡(jiǎn)得到的偏微分方程組，而其他文獻(xiàn)[1-18]主要采用了變量分離的方法，這些方法不能處理CEV模型下考慮風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性的保險(xiǎn)最優(yōu)投資問(wèn)題;最后，在結(jié)果上利用特殊函數(shù)給出了最優(yōu)時(shí)間一致投資策略的顯式解，并通過(guò)對(duì)投資策略的結(jié)構(gòu)分析，指出了保險(xiǎn)組合投資策略和普通組合投資策略的本質(zhì)不同，而其他文獻(xiàn)得到的保險(xiǎn)組合投資策略和普通組合投資策略完全相同。此外，本文還分析了由風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性引起的投資策略差異對(duì)投資者福利的影響。

1 問(wèn)題描述

本節(jié)首先給出一些基礎(chǔ)假設(shè)，然后基于此建立保險(xiǎn)組合在均值方差目標(biāo)下的時(shí)間一致投資問(wèn)題。

考慮一個(gè)定義在[t，T]時(shí)間段內(nèi)的連續(xù)時(shí)間馬爾科夫經(jīng)濟(jì)，所有不確定性由滿(mǎn)足通常條件的賦域空間刻畫(huà)。其中表示截止到s時(shí)刻經(jīng)濟(jì)體中的所有可用信息;Z1(s)，Z2(s)是定義在P測(cè)度上的兩個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)一維布朗運(yùn)動(dòng)，分別表示金融市場(chǎng)和保險(xiǎn)行業(yè)的獨(dú)立風(fēng)險(xiǎn)源。在后文中，不加顯式說(shuō)明的假設(shè)所有隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)變量均適應(yīng)于域流，以及本文涉及的所有隨機(jī)變量的矩是良好定義的。進(jìn)一步假定:

(1)資產(chǎn)可以無(wú)限拆分且交易在[t，T]內(nèi)連續(xù)進(jìn)行。

(2)沒(méi)有各種交易稅費(fèi)。

(3)沒(méi)有買(mǎi)空賣(mài)空交易限制且借貸利率相等。

不失一般性，假定組合可以投資于一只無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(銀行賬戶(hù))和一只風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程為

式中，r＞0表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程S(s)滿(mǎn)足CEV模型:

式中:μ＞r表示期望瞬時(shí)收益率;σ＞0是一個(gè)常數(shù);2α是方差彈性系數(shù);σS(s)α為s時(shí)刻的瞬時(shí)波動(dòng)率。由于當(dāng)α∈[-1/2，0)時(shí)，過(guò)程式(2)能以一定的正概率到達(dá)原點(diǎn)，即價(jià)格可能會(huì)觸及0。為了排除這種情況，假設(shè)α∈(-∞，-1/2)∪[0，+∞]。由于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格S(s)是隨機(jī)的，故風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的瞬時(shí)波動(dòng)率也是隨機(jī)的，因此，投資者面臨隨機(jī)時(shí)變的投資機(jī)會(huì)集。

參考文獻(xiàn)[1-3，19]，假定盈余過(guò)程為帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)，即擴(kuò)散近似模型:

式中:μm，σm均為常數(shù);ρ∈[-1，1]表示盈余風(fēng)險(xiǎn)和金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的相關(guān)性;W表示投資者在t時(shí)刻的初始稟賦。值得強(qiáng)調(diào)的是，在該假設(shè)下，如果ρ≠±1，因?yàn)槭袌?chǎng)上有兩個(gè)獨(dú)立的風(fēng)險(xiǎn)源，所以通過(guò)交易風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)始終無(wú)法對(duì)沖掉盈余過(guò)程的特異性風(fēng)險(xiǎn)，則此時(shí)考慮的市場(chǎng)模型是非完備的。除非當(dāng)ρ=±1時(shí)，市場(chǎng)是完備的。

令w s表示投資者在時(shí)刻s∈[t，T]投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S(s)的資金，則剩余資產(chǎn)投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)B(s)。于是在策略w s下，投資組合凈值的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程為

稱(chēng)投資策略w s是可容許的，如果?s∈[t，T]，則w s是可測(cè)的，并且有以及財(cái)富過(guò)程式(4)有唯一強(qiáng)解。令表示所有的可容許策略的集合。給定初始財(cái)富W(t)=W和即期價(jià)格S(t)=S，本文假設(shè)投資者具有如下目標(biāo):

式中，γ＞0是投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，Et[·]=E[·|W(t)=W，S(t)=S]。

由于包含了終端財(cái)富期望的非線性項(xiàng)，目標(biāo)式(5)具有時(shí)間不一致性，因而不能使用常規(guī)的貝爾曼最優(yōu)性原理以及建立在此基礎(chǔ)上的經(jīng)典哈密頓-雅克比-貝爾曼(HJB)方程來(lái)處理該問(wèn)題。早期的均值方差組合優(yōu)化文獻(xiàn)[20-21]考慮了預(yù)先承諾策略，即只保證初始時(shí)刻的財(cái)富經(jīng)過(guò)投資后達(dá)到全局最優(yōu)。然而，這種策略不具時(shí)間一致性，投資者在后續(xù)執(zhí)行投資策略時(shí)有一定的動(dòng)機(jī)去偏離初始時(shí)刻做出的承諾。文獻(xiàn)[22-25]中指出，時(shí)間一致性決策要求理性投資者在一個(gè)時(shí)刻制定的另一時(shí)刻的投資策略在其他時(shí)間看來(lái)也是最優(yōu)的，這種投資策略也稱(chēng)為納什均衡策略。對(duì)于非自融資組合，時(shí)間一致性還同時(shí)保證了不同時(shí)刻進(jìn)入的盈余資金流均能被“公平對(duì)待”。因此，本文主要研究組合選擇問(wèn)題式(5)的時(shí)間一致投資策略。

定義1(時(shí)間一致投資策略) 給定任何初始狀態(tài)(s，W，S)∈[t，T]×?×?+，考慮可容許策略w*(s)，并定義如下策略:

則稱(chēng)w*為時(shí)間一致或納什均衡策略。

注記1如果μm，σm=0，本文考慮的問(wèn)題與文獻(xiàn)[22]中考慮的CEV模型下的自融資均值方差組合選擇問(wèn)題相同。

注記2大量涉及保險(xiǎn)組合選擇問(wèn)題的文獻(xiàn)同時(shí)考慮了投資和再保險(xiǎn)策略。為了和普通組合的投資策略進(jìn)行對(duì)比，這里只考慮投資策略。此外，中國(guó)保險(xiǎn)行業(yè)2019年度的數(shù)據(jù)也顯示，再保險(xiǎn)資產(chǎn)總規(guī)模大概占原保險(xiǎn)資產(chǎn)總規(guī)模的3%不到，因此，在實(shí)踐中再保險(xiǎn)服務(wù)可能“求而不得”。

2 問(wèn)題求解

本節(jié)首先根據(jù)時(shí)間不一致隨機(jī)控制理論建立值函數(shù)所滿(mǎn)足的非線性偏微分方程組，然后根據(jù)猜測(cè)到的值函數(shù)形式將其化簡(jiǎn)為拋物型偏微分方程組，進(jìn)而利用隨機(jī)分析理論對(duì)其進(jìn)行求解，從而給出原始方程組的顯式解，并最終得到時(shí)間一致投資策略。

2.1 擴(kuò)展HJB方程組建立

對(duì)于最優(yōu)投資問(wèn)題式(4)、(5)，由于資產(chǎn)組合凈值的動(dòng)態(tài)過(guò)程中包含了W，S兩個(gè)狀態(tài)變量，故可以記值函數(shù)為:

式中，w*為時(shí)間一致最優(yōu)投資策略。值得注意的是，和效用函數(shù)目標(biāo)對(duì)應(yīng)的經(jīng)典隨機(jī)控制問(wèn)題不同，這里涉及兩個(gè)值函數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[23]中給出的連續(xù)時(shí)間不一致隨機(jī)控制理論，有如下結(jié)果:

定義2(擴(kuò)展HJB方程組) 對(duì)于約束于動(dòng)態(tài)預(yù)算過(guò)程式(4)的時(shí)間不一致隨機(jī)控制問(wèn)題式(5)，如果存在兩個(gè)函數(shù)J(t，W，S)和g(t，W，S)∈，則對(duì)應(yīng)的擴(kuò)展HJB方程組為:

為了簡(jiǎn)化符號(hào)，在全文中不加顯式說(shuō)明的根據(jù)需要省略函數(shù)的自變量部分，例如在式(13)中，f∶=f(t，W，S)。函數(shù)的偏微分也延續(xù)該做法，即f t∶=?f(t，W，S)/?t，其他函數(shù)及偏微分符號(hào)含義以此類(lèi)推。

2.2 擴(kuò)展HJB方程組化簡(jiǎn)

首先化簡(jiǎn)擴(kuò)展HJB方程組(8)～(12)。將式(13)分別代入式(8)、(11)，可得如下兩個(gè)方程:

由于方程項(xiàng)數(shù)較多，維度較高，偏微分方程組(14)、(15)較難求解，故首先通過(guò)移除可分離狀態(tài)變量來(lái)降維。參考文獻(xiàn)[22]，猜測(cè)J(t，W，S)，g(t，W，S)具有如下形式:

這樣就消去了財(cái)富狀態(tài)變量W。對(duì)方程式(18)取w的一階條件，可得

至此已經(jīng)將最優(yōu)時(shí)間一致投資組合選擇問(wèn)題化簡(jiǎn)為兩個(gè)低維度的偏微分方程。下面將求解式(21)及式(23)，然后將解代入式(20)即可得到最優(yōu)時(shí)間一致投資策略。

2.3 拋物型偏微分方程組求解

為了進(jìn)一步給出值函數(shù)的顯式表達(dá)，本節(jié)繼續(xù)求解拋物型偏微分方程式(21)、(23)。對(duì)于式(23)，有如下結(jié)論:

證明根據(jù)Feynman-Kac公式，可以將S)表示為如下條件期望:

式中，E[·|S(t)=S]表示原始概率測(cè)度P下的條件期望，且S(s)服從隨機(jī)過(guò)程式(2)。根據(jù)定理5，將E[S(s)-2α|S(t)=S]代入式(26)，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)即可得到式(24)。當(dāng)α=0時(shí)，有

2.4 擴(kuò)展HJB方程組的解和均衡投資策略

整理上述結(jié)果可以得到擴(kuò)展HJB組方程的解以及對(duì)應(yīng)的時(shí)間一致投資策略。

定理3擴(kuò)展HJB方程組(8)～(12)的解J(t，W，S)，g(t，W，S)如下。如果α≠0，則有:

這里Γ(·)是伽馬函數(shù)，1F1(a;b;z)表示合流超幾何函數(shù)，其定義為

當(dāng)α=0時(shí)，相應(yīng)的解簡(jiǎn)化為:

下面的定理給出了對(duì)應(yīng)的投資策略。

定理4對(duì)于動(dòng)態(tài)預(yù)算約束式(4)下的時(shí)間一致投資問(wèn)題式(5)，相應(yīng)的最優(yōu)時(shí)間一致投資策略為w*。當(dāng)α≠0時(shí)，有

證明將式(39)、(43)分別代入式(20)，化簡(jiǎn)后得到式(45)、(47)。這里使用了公式

注記3令μm，σm=0，本文給出的最優(yōu)時(shí)間一致投資策略式(45)退化為文獻(xiàn)[22]中推論1的結(jié)果。

注記4注意到最優(yōu)時(shí)間一致投資策略w*，即投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富數(shù)量和CARA效用下類(lèi)似，不依賴(lài)于財(cái)富規(guī)模本身W。

一旦得到了最優(yōu)時(shí)間一致投資策略，便可以得到最優(yōu)時(shí)間一致策略下投資組合凈值的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程以及終端財(cái)富分布:

推論1最優(yōu)時(shí)間一致投資組合在T時(shí)刻的財(cái)富為

其對(duì)應(yīng)的期望和方差分別:

進(jìn)一步可以通過(guò)聯(lián)立兩者消去γ得到有效前沿。

證明見(jiàn)附錄B。 證畢

3 結(jié)果分析

3.1 均衡投資策略結(jié)構(gòu)和值函數(shù)

本節(jié)將通過(guò)對(duì)最優(yōu)時(shí)間一致投資策略和值函數(shù)的結(jié)構(gòu)分析，詳細(xì)討論其經(jīng)濟(jì)含義。顯然，可以將投資策略w*分解為如下結(jié)構(gòu):

為了分析其最優(yōu)時(shí)間一致投資策略的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義，首先考慮當(dāng)盈余過(guò)程參數(shù)取特殊值時(shí)的結(jié)果。

注意到，當(dāng)μm=0，σm=0時(shí)，意味著模型不存在盈余資金流或者說(shuō)組合是自融資的。如果投資者的投資策略是買(mǎi)入并持有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券，則在T時(shí)刻的效用函數(shù)和均值函數(shù)均為:J(t，W，S)=Wexp((T-t)r)。然而，如果投資者是采用最優(yōu)時(shí)間一致投資策略，此時(shí)的均值函數(shù)多了一項(xiàng)則該項(xiàng)表示投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)獲得的期望增益，同時(shí)也可知為獲得這些收益所需要承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)，即:

式(57)給出的最優(yōu)時(shí)間一致投資策略由短視投資需求和動(dòng)態(tài)對(duì)沖需求兩部分組成。可以證明:

即說(shuō)明短視投資策略在s時(shí)刻只保證下一瞬間s+ds時(shí)刻的財(cái)富W(s+ds)在T時(shí)刻的終值對(duì)應(yīng)均值方差目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。短視策略遵循凱利公式，即其完全由瞬時(shí)夏普比率、瞬時(shí)波動(dòng)率和風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)決定。然而，由于隨機(jī)波動(dòng)率的存在，決策集在未來(lái)會(huì)發(fā)生變化，投資者在決策時(shí)必須考慮這種因素，因而導(dǎo)致了動(dòng)態(tài)對(duì)沖需求wdhedge(t)。

但是與文獻(xiàn)[22]中不同，因?yàn)楸疚目紤]了風(fēng)險(xiǎn)可部分對(duì)沖的盈余資金流，值函數(shù)中多出了一項(xiàng)

表示盈余資金流經(jīng)過(guò)投資之后的期望均值;而

表示接受盈余資金流需要承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)。于是

表示由盈余資金流導(dǎo)致的額外效用變化，亦即盈余資金流的無(wú)差異效用價(jià)格在T時(shí)刻的終值。從資產(chǎn)定價(jià)的角度看，盈余資金流是一系列不可交易的未來(lái)收益流，可以看作是一個(gè)實(shí)物期權(quán)，h(t，S)則表示其在T時(shí)刻的價(jià)值，即實(shí)物期權(quán)價(jià)格終值。注意到，式(32)中漂移項(xiàng)系數(shù)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，所以測(cè)度本質(zhì)上為風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度。當(dāng)ρ=±1時(shí)，因?yàn)橛囡L(fēng)險(xiǎn)可以完全對(duì)沖，所以對(duì)應(yīng)的市場(chǎng)是完備的，盈余資金流最終也不帶來(lái)額外的風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)物期權(quán)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性?xún)r(jià)格一致。

而此時(shí)的最優(yōu)時(shí)間一致投資策略中，除了短視和動(dòng)態(tài)投資需求之外，還出現(xiàn)了額外兩項(xiàng)wshedge(t)和wdeltahedge(t)，分別稱(chēng)其為靜態(tài)對(duì)沖需求和德?tīng)査?duì)沖需求。為了分析靜態(tài)對(duì)沖需求，假設(shè)投資者只采取靜態(tài)投資策略，即在s時(shí)刻投資wshedge(s)=-ρσmS(s)-α/σ數(shù)量的財(cái)富于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，則該組合的財(cái)富變化過(guò)程為

注意到，式(62)中只包含盈余過(guò)程中的不可對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)dZ2(s)，而可對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)dZ1(s)項(xiàng)則消失了。這說(shuō)明，wshedge完全對(duì)沖掉了盈余過(guò)程中的可對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。在完備市場(chǎng)情形下，即ρ=±1，相應(yīng)的不可對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)也消失了。

然而，除非α=0，由于式(62)中仍然含有S(s)，投資者靜態(tài)對(duì)沖過(guò)的組合財(cái)富仍然面臨一定的風(fēng)險(xiǎn)，這就導(dǎo)致了德?tīng)査?duì)沖需求的出現(xiàn)。注意到，wdeltahedge(t)=-Sh S，因此，可以從資產(chǎn)定價(jià)的視角來(lái)理解h(t，S)。由于h(t，S)是盈余過(guò)程的無(wú)差異效用價(jià)格，由伊藤引理，投資組合[h(t，S)，-Sh S(s，S(s))]的動(dòng)力學(xué)變化過(guò)程為

這意味著相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)被對(duì)沖掉了。因此，可以稱(chēng)wdeltahedge(t)為德?tīng)査?duì)沖需求。

推論3(不考慮風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性的保險(xiǎn)投資組合)如果ρσm=0，則對(duì)應(yīng)的時(shí)間一致投資策略簡(jiǎn)化為

一方面，如果ρ=0，即金融市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)和盈余過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)完全獨(dú)立，則交易風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)始終無(wú)法對(duì)沖掉任何的盈余風(fēng)險(xiǎn)，所以相應(yīng)的靜態(tài)對(duì)沖需求消失了。由于此時(shí)的保險(xiǎn)市場(chǎng)和金融市場(chǎng)是分離的，盈余過(guò)程的價(jià)格也就不依賴(lài)于金融市場(chǎng)，故德?tīng)査枨笠簿筒淮嬖诹?。另一方面，如果σm=0，盈余過(guò)程等價(jià)于繳費(fèi)為μm的連續(xù)時(shí)間年金，則

顯然為其終值。因?yàn)闆](méi)有風(fēng)險(xiǎn)需要對(duì)沖，所以對(duì)應(yīng)的靜態(tài)對(duì)沖需求和德?tīng)査?duì)沖需求也都消失了。

上述討論了盈余資金流參數(shù)對(duì)于時(shí)間一致投資策略的影響。下面將討論CEV模型的彈性方差系數(shù)α對(duì)投資策略的影響。

推論4(不考慮隨機(jī)波動(dòng)率的保險(xiǎn)投資組合)當(dāng)α=0時(shí)，相應(yīng)的最優(yōu)時(shí)間一致投資策略為

注意到，當(dāng)α=0時(shí)，由于自融資組合對(duì)應(yīng)的投資集是不變的，故動(dòng)態(tài)對(duì)沖需求消失了。此時(shí)式(62)給出的W c(s)簡(jiǎn)化為

顯然，靜態(tài)對(duì)沖后的盈余組合不依賴(lài)于市場(chǎng)狀態(tài)S(s)，因此也就無(wú)需進(jìn)一步進(jìn)行德?tīng)査?duì)沖。在明確投資策略結(jié)構(gòu)后，就可以得到各部分投資策略對(duì)于間接效用的貢獻(xiàn)。

注記5在g(t，W，S)的表達(dá)式(39)中:第1項(xiàng)表示初始稟賦W在T時(shí)刻的終值;第2項(xiàng)表示資金流的確定部分在T時(shí)刻的累積終值;第3項(xiàng)表示短視投資策略獲得的期望收益;第4項(xiàng)表示動(dòng)態(tài)對(duì)沖投資策略獲得的期望收益，對(duì)比式(43)可知當(dāng)α=0時(shí)，該項(xiàng)消失了，但是第3項(xiàng)仍然保留;最后一項(xiàng)表示可對(duì)沖部分隨機(jī)資金流在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的累積條件期望貼現(xiàn)在T時(shí)刻的終值。

注記6在的表達(dá)式(40)中:第1項(xiàng)表示不可對(duì)沖部分隨機(jī)資金流導(dǎo)致的風(fēng)險(xiǎn);第2項(xiàng)和第3項(xiàng)分別表示短視投資需求及動(dòng)態(tài)對(duì)沖需求所需要承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)。

注記7由于ex＞1+x，故由式(39)可知無(wú)論α正負(fù)，短視投資獲得的期望收益率總為正;同時(shí)，當(dāng)α＜-1/2或α＞0時(shí)，動(dòng)態(tài)對(duì)沖需求獲得的期望收益也為正。

3.2 最優(yōu)對(duì)沖保險(xiǎn)組合

為了進(jìn)一步揭示由風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性導(dǎo)致的額外投資需求，本節(jié)考慮均值方差組合的特殊情形——最小化方差組合。

推論5當(dāng)γ→∞時(shí)，有

推論5表明，對(duì)于極度風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者，其自融資策略會(huì)選擇不持有任何頭寸的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。對(duì)于非自融資組合而言，隨機(jī)流入的資金流會(huì)帶來(lái)一定的被動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)，這是必須事先承擔(dān)的，除非投資者放棄保險(xiǎn)業(yè)務(wù)。因此，投資者首先需要采用靜態(tài)對(duì)沖投資策略對(duì)沖掉資金流瞬時(shí)變化的風(fēng)險(xiǎn)，其次需要進(jìn)一步采用德?tīng)査?duì)沖投資策略對(duì)沖掉資金流實(shí)物期權(quán)價(jià)值變動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)。另外，還可以發(fā)現(xiàn)，靜態(tài)對(duì)沖需求和德?tīng)査?duì)沖需求是不依賴(lài)于投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ，即由隨機(jī)資金流導(dǎo)致的額外投資需求是與投資者的偏好無(wú)關(guān)的。實(shí)際上，當(dāng)γ→∞時(shí)，有

即投資目標(biāo)恰好是最小化組合的風(fēng)險(xiǎn)。如果將盈余資金流視為一個(gè)被動(dòng)持有的不可交易資產(chǎn)，則式(68)等價(jià)于文獻(xiàn)[26]中考慮的最優(yōu)時(shí)間一致對(duì)沖問(wèn)題。

3.3 福利損失分析

上述分析表明，金融市場(chǎng)和保險(xiǎn)行業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性會(huì)導(dǎo)致靜態(tài)對(duì)沖需求和德?tīng)査?duì)沖需求的出現(xiàn)。那么，這兩部分投資需求究竟對(duì)投資者的間接效用函數(shù)究竟有多大貢獻(xiàn)，本節(jié)將討論這一問(wèn)題。

如果實(shí)際模型中存在風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性，但是投資者在決策時(shí)忽視了這點(diǎn)，從而只采用短視投資需求和動(dòng)態(tài)對(duì)沖需求構(gòu)成的策略，可以證明，在這種情形下組合的終端財(cái)富為

從而投資者采用最優(yōu)時(shí)間一致策略的福利增加值為

顯然，盈余過(guò)程的可對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)(ρσm)越大，通過(guò)靜態(tài)對(duì)沖和德?tīng)査?duì)沖得到的效用增益越大;投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度(γ)越大，通過(guò)對(duì)沖后產(chǎn)生的效用增益越大;無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率(r)越大，投資者進(jìn)行對(duì)沖后的低風(fēng)險(xiǎn)組合的收益越高。因此，對(duì)沖產(chǎn)生的效用增益也就越大。

3.4 數(shù)值案例

本節(jié)將對(duì)最優(yōu)時(shí)間一致策略和值函數(shù)進(jìn)行數(shù)值分析，基礎(chǔ)參數(shù)設(shè)為:T=2，t=0，r=0.03，S=15，σ=20，μ=0.08;μm=1 000，σm=300;W=10 000，γ=0.000 5，α=-1.5。這里選用負(fù)α主要是為了刻畫(huà)權(quán)益資產(chǎn)的杠桿效應(yīng)。

圖1展示了投資期限和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格(波動(dòng)率)對(duì)于非自融資組合最優(yōu)投資策略的影響。當(dāng)ρ=0時(shí)，保險(xiǎn)組合的投資策略和自融資組合的投資策略相同。由于風(fēng)險(xiǎn)隨投資期限的增加速度快于收益(見(jiàn)式(60))，自融資投資策略隨投資期限縮短而增加。另一方面，當(dāng)彈性方差系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，高價(jià)格意味著低波動(dòng)率，從而投資比例會(huì)顯著上升。圖1同時(shí)表明，當(dāng)盈余過(guò)程的資金流和金融市場(chǎng)存在正(負(fù))風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性時(shí)，相比于自融資組合或者無(wú)風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性的非自融資組合，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例會(huì)相應(yīng)的減少(增加)。

圖2展示了金融市場(chǎng)和保險(xiǎn)盈余過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性ρ對(duì)投資者福利增益的影響。當(dāng)ρ=0時(shí)，非自融資組合的均衡策略和自融資組合相同，故增益為0;當(dāng)ρ≠0時(shí)，因?yàn)榉亲匀谫Y組合還考慮了額外的對(duì)沖策略，所以投資者的福利得到了明顯的改善。并且投資者面臨的可對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)越大，對(duì)沖策略可管理的風(fēng)險(xiǎn)越大，因此，福利改善也就越明顯。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)越大的投資者，相同情況下的福利改善效用也就越明顯。由于方差目標(biāo)刻畫(huà)的風(fēng)險(xiǎn)是對(duì)稱(chēng)的，故圖2是對(duì)稱(chēng)的。

4 結(jié)論

假定保險(xiǎn)組合可以投資于一只利率為常數(shù)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一只價(jià)格服從不變彈性方差(CEV)模型的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，保險(xiǎn)盈余過(guò)程是帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)，本文考慮了均值方差保險(xiǎn)組合選擇問(wèn)題及其特例——最優(yōu)對(duì)沖(最小方差)組合選擇問(wèn)題。通過(guò)建立并求解擴(kuò)展HJB方程組，得到值函數(shù)和時(shí)間一致投資策略的顯式解，并討論了其經(jīng)濟(jì)含義。研究結(jié)果表明:

保險(xiǎn)組合的時(shí)間一致投資策略由短視投資需求、動(dòng)態(tài)對(duì)沖需求、靜態(tài)對(duì)沖需求和德?tīng)査?duì)沖需求4個(gè)部分組成。當(dāng)不考慮盈余資金流與金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性時(shí)，投資策略?xún)H包含短視需求和動(dòng)態(tài)對(duì)沖需求。靜態(tài)對(duì)沖需求和德?tīng)査?duì)沖需求旨在最小化終端財(cái)富方差。這說(shuō)明，均值方差保險(xiǎn)組合的最優(yōu)選擇問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)普通(自融資)組合的最優(yōu)選擇問(wèn)題和盈余資金流的時(shí)間一致對(duì)沖問(wèn)題。保險(xiǎn)組合投資策略和普通組合投資策略差異的本質(zhì)原因在于其風(fēng)險(xiǎn)管理策略不同:普通投資組合可以選擇不持有任何頭寸的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而保險(xiǎn)組合因?yàn)楸粍?dòng)承受盈余風(fēng)險(xiǎn)而需要采取對(duì)沖策略。因此，當(dāng)存在隨機(jī)資金流和市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性時(shí)，保險(xiǎn)最優(yōu)選擇策略可以分解為投資策略和風(fēng)險(xiǎn)管理策略?xún)刹糠郑鲆曪L(fēng)險(xiǎn)管理策略會(huì)對(duì)投資者的福利造成顯著的損失。

本文只是對(duì)CEV模型下保險(xiǎn)組合最優(yōu)時(shí)間一致選擇問(wèn)題的初步研究，仍存在許多問(wèn)題需要進(jìn)一步探討。例如，可以在考慮相關(guān)性風(fēng)險(xiǎn)的基礎(chǔ)上引入模糊厭惡或狀態(tài)相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)等。此外，本文給出的時(shí)變市場(chǎng)中保險(xiǎn)人均值方差目標(biāo)時(shí)間一致優(yōu)化問(wèn)題的值函數(shù)形式具有普適性，并不局限于CEV模型，可以將其應(yīng)用到其他更加一般的時(shí)變市場(chǎng)如隨機(jī)收益率模型或其他隨機(jī)波動(dòng)率模型中。

附錄A

CEV過(guò)程的條件矩

本節(jié)主要給出一個(gè)關(guān)于CEV過(guò)程的條件矩公式。

證明式(A1)見(jiàn)文獻(xiàn)[22]。由引理1和引理2，有式(A2)。 證畢

附錄B

推論1的證明

證明將最優(yōu)時(shí)間一致投資策略式(45)代入式(4)，有1為了避免復(fù)合微分符號(hào)的歧義，以下使用～g(0，1)(s，S(s))表示～g(t，S)對(duì)第2個(gè)變量的一階偏導(dǎo)數(shù)在自變量取(s，S(s))時(shí)的值，其他復(fù)合偏微分符號(hào)以此類(lèi)推)