李凌巖，周金宇，馬馨遠(yuǎn)

(1.江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇常州 213001； 2.金陵科技學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，南京 211100； 3.同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院，上海 201800)

短纖維增強(qiáng)樹脂基復(fù)合材料由短纖維和樹脂基體按照一定的配比混合而成，隨機(jī)分布的短纖維是復(fù)合材料的主要成分，是承受載荷的重要部分，樹脂基體則保持復(fù)合材料的完整性。短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料具有比強(qiáng)度高、比剛度高、抗疲勞性能好、耐腐蝕、可設(shè)計(jì)性高等眾多優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用于航天航空、汽車、船舶、風(fēng)電等領(lǐng)域。短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料微觀結(jié)構(gòu)錯(cuò)綜復(fù)雜，科學(xué)準(zhǔn)確地預(yù)測出短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的力學(xué)性能對短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的廣泛應(yīng)用、改善設(shè)計(jì)和減少材料浪費(fèi)具有里程碑的意義。目前，絕大多數(shù)情況下都是采用實(shí)驗(yàn)方法測試短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的力學(xué)性能，需要大量的時(shí)間和成本，且缺乏物理內(nèi)涵，因此建立三維隨機(jī)分布短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料強(qiáng)度理論預(yù)測模型尤為重要。

短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的強(qiáng)度預(yù)測是復(fù)合材料領(lǐng)域研究的重點(diǎn)之一。Kelly等[1]和Bowye等[2]提出的修正混合律模型是預(yù)測非連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料強(qiáng)度的兩個(gè)常用模型。Fukuda等[3]采用概率的方法研究纖維長度和取向分布對短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料強(qiáng)度的影響。Zhu等[4]考慮纖維和基體位移變形的不均勻性、殘余應(yīng)力、纖維彌散強(qiáng)化和基體中錯(cuò)位密度等因素，提出了一種分析隨機(jī)取向短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料強(qiáng)度的模型，用于預(yù)測復(fù)合材料強(qiáng)度。張立群等[5]首次基于Cox剪滯法和復(fù)合材料結(jié)構(gòu)特點(diǎn)研究了橡膠/短纖維復(fù)合材料在較寬纖維體積和長度范圍內(nèi)的拉伸強(qiáng)度規(guī)律，提出了新的混合規(guī)律來預(yù)測橡膠/短纖維復(fù)合材料的縱向拉伸強(qiáng)度[6–10]。

至今為止，對短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的強(qiáng)度理論預(yù)測仍然處于探索階段，絕大多數(shù)的預(yù)測仍以實(shí)驗(yàn)和二維平面預(yù)測為主，但隨著3D打印技術(shù)的快速發(fā)展，纖維取向在三維空間內(nèi)的制造成形已成為可能，故筆者考慮臨界區(qū)域內(nèi)短纖維取向、長度和體積分?jǐn)?shù)等因素建立三維短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料強(qiáng)度預(yù)測模型，可以節(jié)省大量的時(shí)間和成本，更好地應(yīng)用于航天航空、軍工等領(lǐng)域[11–15]。

1 短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料強(qiáng)度預(yù)測模型

1.1 混合律模型

混合律模型通常用來預(yù)測單向連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的強(qiáng)度，認(rèn)為纖維和樹脂基體為等應(yīng)變，混合律模型計(jì)算公式如式(1)所示。

式中：σcu——復(fù)合材料強(qiáng)度；

σf——纖維強(qiáng)度；

σm——樹脂基體強(qiáng)度；

Vf——纖維的體積分?jǐn)?shù)。

若材料為單向不連續(xù)的短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料，式(1)可以修正為式(2)和式(3)。

式中：lc——纖維的臨界長度，是指纖維增強(qiáng)復(fù)合材料中剛能使材料具有原纖維拉伸強(qiáng)度時(shí)的纖維長度；

L——纖維的平均長度。

lc可根據(jù)文獻(xiàn)[16]求得，如式(4)所示。

式中：d——纖維直徑；

τy——樹脂基體的剪切強(qiáng)度。

可根據(jù)文獻(xiàn)[17]求得樹脂基體的剪切強(qiáng)度，如式(5)所示。

1.2 臨界區(qū)域及概率理論

Fukuda等[3]在預(yù)測單向短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的強(qiáng)度時(shí)提出了“臨界區(qū)域”的概念。臨界區(qū)域由一對垂直于加載方向相距βL的平面確定，β為臨界區(qū)域系數(shù)，0≤β≤1。如果纖維貫穿臨界區(qū)域?qū)挾葎t稱為橋接纖維，如果纖維的末端位于臨界區(qū)域內(nèi)，則稱為終止纖維。終止纖維對該區(qū)域不能起到增強(qiáng)作用，其強(qiáng)度相當(dāng)于樹脂基體強(qiáng)度。圖1為短纖維的分類及表示。如圖1a所示，1，2，3為終止纖維，4為橋接纖維；如圖1b所示，長度為l的短纖維在空間各軸上的長度如式(6)所示。

式中：lx——長度為l的纖維x軸的長度；

ly——長度為l的纖維y軸的長度；

lz——長度為l的纖維z軸的長度；

θ——纖維與z軸夾角；

φ——纖維與x軸夾角。

如圖1c所示，長度為l的短纖維的臨界角θc滿足式(7)。

若β>1，θc無法定義，纖維為終止纖維；若纖維的歐拉角θ為大于臨界角度的銳角，纖維為終止纖維。若0≤β≤1且纖維取向角小于臨界角度時(shí)，纖維為終止纖維的概率為臨界區(qū)域?qū)挾扰c纖維在臨界寬度方向上長度值之比。那么長度為l，歐拉角為θ的單根纖維為終止纖維的概率Pe由式(8)計(jì)算。

單根橋接纖維概率Pb由式(9)計(jì)算。

由式(8)、式(9)可知橋接纖維和終止纖維的概率可用β來表征?？紤]纖維取向分布的不確定性，引入短纖維取向的概率密度函數(shù)g(θ)，f(φ)滿足式(10)和式(11)。

1.3 短纖維的應(yīng)力分布

圖2 為短纖維應(yīng)力分布圖。根據(jù)圖2，由式(12)得纖維的平均拉伸應(yīng)力σf0。

圖2 纖維應(yīng)力分布簡化圖

式中：σf(z)——平行于拉伸應(yīng)力方向上的纖維應(yīng)力分布函數(shù)。

圖3 位歐拉角為θ，φ的纖維施加應(yīng)力情況。如圖3所示，當(dāng)短纖維與z軸成夾角θ，與x軸成夾角φ時(shí)，沿z軸施加拉力σ0，根據(jù)三維應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式得沿短纖維方向上正應(yīng)力σ0′，如式(13)所示。

圖3 歐拉角為θ，φ的纖維施加應(yīng)力情況

忽略剪應(yīng)力和橫截面積變化的影響，則纖維在拉伸方向上的載荷Fz如式(14)所示。

式中：Af——纖維的橫截面積。

1.4 隨機(jī)取向短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的強(qiáng)度預(yù)測

假設(shè)短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料試件為長方體，長方體的邊長分別為a，b，c，且c與x軸平行，那么纖維體積分?jǐn)?shù)Vf可表示為式(15)。

式中：N——纖維的總數(shù)。

纖維在z軸的平均長度Lz由式(16)計(jì)算。

若NLz為所有纖維在z軸上的總長度，那么用總長度除以試件的長度c，得試件中垂直于x軸截面的纖維平均數(shù)Nc如式(17)所示。

假設(shè)臨界區(qū)域內(nèi)纖維體積分?jǐn)?shù)不變，求得截面內(nèi)任意纖維為終止纖維和橋接纖維的概率qe和qb，如式(18)和式(19)所示。

那么截面內(nèi)終止纖維數(shù)Ne和橋接纖維數(shù)Nb表示為式(20)和式(21)。

由于Ne只是根據(jù)一個(gè)截面求得并不精確，鑒于以下計(jì)算僅用到橋接纖維的數(shù)量，故在后續(xù)計(jì)算中不考慮Ne的影響。由式(14)可求臨界區(qū)域內(nèi)橋接纖維所受z方向的載荷Fb，如式(22)所示。

由式(23)求得所有橋接纖維在z方向的載荷FT。

由于終止纖維對材料不能起到增強(qiáng)作用，故其強(qiáng)度相當(dāng)于基體強(qiáng)度，由式(1)可知短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的強(qiáng)度σcu包括橋接纖維強(qiáng)度、終止纖維強(qiáng)度和樹脂基體的強(qiáng)度，故可得式(24)。

當(dāng)l≥lc時(shí)，可得式(25)。

當(dāng)l

2 算例分析

為驗(yàn)證建立的理論模型，以短碳纖維增強(qiáng)尼龍復(fù)合材料進(jìn)行理論預(yù)測、仿真分析和拉伸試驗(yàn)。短碳纖維、尼龍材料各自性質(zhì)參數(shù)列于表1、表2。

表1 碳纖維性質(zhì)參數(shù)

表2 尼龍性質(zhì)參數(shù)

短纖維的歐拉角θ，φ概率密度函數(shù)公式分別如式(27)和式(28)所示。

2.1 短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料細(xì)觀建模

采用隨機(jī)序列吸附法(RSA)來數(shù)值生成隨機(jī)分布的短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的幾何結(jié)構(gòu)。采用RSA時(shí)，逐個(gè)將位置和取向都隨機(jī)的短纖維添加到樹脂基體中。在三維空間內(nèi)將短纖維設(shè)為圓柱體。首先根據(jù)指定函數(shù)隨機(jī)生成纖維中心點(diǎn)C(x0，y0，z0)，其次根據(jù)式(27)、式(28)生成取向角θ，φ，最后由纖維半徑r和纖維長度l生成三維短纖維，將生成的纖維逐漸加入到樹脂基體中，保證新加入的纖維不能與之前樹脂基體已接受的纖維相交，直到滿足纖維體積分?jǐn)?shù)條件，流程圖如圖4所示。

圖4 短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料建模流程圖

2.2 短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的數(shù)值仿真

利用RSA分別生成尺寸為200 μm×200 μm×200 μm，纖維體積分?jǐn)?shù)為5%，10%，15%，20%的短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料模型，其中纖維直徑為7.5 μm，纖維長度為100 μm。短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的短纖維增強(qiáng)相和樹脂基體相的幾何數(shù)據(jù)通過Matlab程序生成，利用Python腳本文件導(dǎo)入有限元軟件Abaqus中。纖維體積分?jǐn)?shù)為5%的短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料模型如圖5所示。

圖5 有限元模型圖

在Abaqus中對短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，如圖6所示。

圖6 劃分的網(wǎng)格圖

利用有限元軟件Abaqus仿真，通過對短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料模型的z軸一端施加應(yīng)變ε=0.01，另一端進(jìn)行6個(gè)自由度全約束，并創(chuàng)建參考點(diǎn)(與模型建立相應(yīng)的耦合關(guān)系)進(jìn)行仿真分析。在后處理中，輸出參考點(diǎn)的力-位移曲線轉(zhuǎn)化為參考點(diǎn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，即短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料z軸的等效應(yīng)力-應(yīng)變曲線。短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料應(yīng)力云圖如圖7所示。

圖7 模型應(yīng)力云圖

從應(yīng)力云圖中可以看出短纖維是復(fù)合材料中主要承載組分，基體只是起到傳遞力的作用。圖8是短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料z軸等效應(yīng)力-應(yīng)變曲線，從圖8可以看出曲線呈雙線段特征，應(yīng)力達(dá)到一定值時(shí)，曲線開始轉(zhuǎn)折，折點(diǎn)即短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料失效的起始點(diǎn)，故此點(diǎn)的應(yīng)力值為短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的初始失效強(qiáng)度，即52.162 6 MPa為纖維體積分?jǐn)?shù)為5%的短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料強(qiáng)度值。

圖8 短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料模型等效應(yīng)力-應(yīng)變圖

2.3 短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料3D打印件拉伸測試

利用熔融沉積成型3D打印技術(shù)，打印出不同體積分?jǐn)?shù)的短纖維增強(qiáng)尼龍復(fù)合材料試樣，試樣尺寸如圖9所示。

對試樣進(jìn)行測試前，需使用AB膠在試樣兩端粘貼加強(qiáng)片，如圖10所示，加強(qiáng)片的材質(zhì)一般選為鋁片，厚度為2 mm，粘貼加強(qiáng)片前，需使用砂紙對粘貼表面進(jìn)行打磨，粘貼加強(qiáng)片后，要立即對試樣粘結(jié)表面加壓力(一般為12 h左右)。

圖10 試驗(yàn)試樣示意圖

通過美特斯工業(yè)系統(tǒng)(中國)有限公司的MTS810型萬能試驗(yàn)機(jī)完成試樣力學(xué)性能測試。打印件拉伸測試前，裝夾固定在萬能試驗(yàn)機(jī)兩端，如圖11a所示。以1.5 mm/min的速度進(jìn)行拉伸，直到成型件斷裂，如圖11b所示。

圖11 試件的裝夾和斷裂

2.4 結(jié)果分析

根據(jù)理論建立的三維短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料強(qiáng)度預(yù)測模型、有限元軟件和拉伸試驗(yàn)對不同纖維體積分?jǐn)?shù)的短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的z軸強(qiáng)度進(jìn)行分析，結(jié)果如圖12所示，相應(yīng)誤差分析見表3。

圖12 不同纖維體積分?jǐn)?shù)短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料強(qiáng)度分析

表3 不同纖維體積分?jǐn)?shù)短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料強(qiáng)度分析的誤差 %

從圖12及表3可以看出，理論預(yù)測值與有限元Abaqus仿真分析值相差不大，由于個(gè)體制造差異、試驗(yàn)操作方面的誤差以及試驗(yàn)環(huán)境的變化，理論預(yù)測值與拉伸試驗(yàn)值存在一定的差異，但不同體積分?jǐn)?shù)纖維隨機(jī)分布的三維短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料強(qiáng)度理論預(yù)測值與拉伸試驗(yàn)值的誤差均小于10%，在允許范圍內(nèi)，且理論預(yù)測值比有限元仿真值更接近試驗(yàn)值，驗(yàn)證了三維短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料強(qiáng)度預(yù)測模型準(zhǔn)確性。

3 結(jié)論

(1)通過修正混合律模型以及結(jié)合三維短纖維空間幾何特性，基于概率方法綜合考慮纖維取向、長度和體積分?jǐn)?shù)提出了基于3D打印的三維短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的強(qiáng)度預(yù)測模型。

(2)對建立的模型進(jìn)行驗(yàn)證。利用Matlab生成隨機(jī)短纖維和基體的幾何數(shù)據(jù)通過Python腳本導(dǎo)入有限元分析軟件Abaqus中進(jìn)行仿真分析，發(fā)現(xiàn)理論預(yù)測值與仿真分析值誤差小于10%。通過3D打印技術(shù)打印試件進(jìn)行拉伸測試，理論預(yù)測值與拉伸試驗(yàn)值誤差小于10%，且比仿真結(jié)果更加接近試驗(yàn)值，表明建立的三維短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料強(qiáng)度預(yù)測模型科學(xué)合理。

(3)對三維短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料強(qiáng)度進(jìn)行預(yù)測，能為短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料3D打印件的設(shè)計(jì)與制造提供理論指導(dǎo)。按需控制纖維取向、長度和體積分?jǐn)?shù)使復(fù)合材料的力學(xué)性能滿足實(shí)際工程需要，更好地實(shí)現(xiàn)短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料在航天航空、汽車、船舶、風(fēng)電等領(lǐng)域的輕量化設(shè)計(jì)和應(yīng)用。