■冉淑華

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,其中蘊(yùn)含著豐富的分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、換元思想、整體代換思想等。下面舉例說明,供大家學(xué)習(xí)與提高。

一、分類討論思想

分類討論思想的基本思路是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題,通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略。

二、對稱思想

對稱思想是研究數(shù)學(xué)問題常用的思想方法,對稱是一種美。數(shù)學(xué)中的對稱美主要表現(xiàn)在幾何圖形的對稱、式子的對稱、解題方法的對稱等方面。

三、等價轉(zhuǎn)化思想

解決數(shù)學(xué)問題,離不開轉(zhuǎn)化與化歸思想,如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化等。

四、換元思想

解題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代換它,從而使問題得到簡化,這叫換元法。換元法的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

評析:在三角恒等變換中,有時可把一個代數(shù)式整體視為一個“元”來參與計算和推理,這個“元”可以明確地設(shè)出來,但要注意新元的取值范圍。

五、方程思想

方程思想就是利用變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,通過解方程或方程組,或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題獲得解決。

六、整體代換思想

當(dāng)已知的代數(shù)式中不能求出每個字母的值或求出的值比較煩瑣時,往往通過對比已知條件和所求問題之間的聯(lián)系,考慮在所求問題中把已知條件(或其變式)整體代入,從而使計算變得簡潔。整體代換是換元思想的延伸。

例6 已知函數(shù)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(2020)=1,則f(2021)的值為( )。

A.-1 B.1 C.3 D.-3

解:因為f(2020)=asin(2020π+α)+bcos(2020π+β)=asinα+bcosβ=1,所以f(2021)=asin(2021π+α)+bcos(2021π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asinαbcosβ= - (asinα+bcosβ)= -1,即f(2021)=-1。應(yīng)選A。

評析:題中字母較多,不可能求出每個字母的值。利用f(2020)=1,得到asinα+bcosβ=1,從而可得f(2021)的值,這是整體代換思想的具體應(yīng)用。