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2021年新高考全國(guó)卷Ⅰ數(shù)學(xué)18題以“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽為背景，考查考生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)的理解與應(yīng)用。試題就選手答題得分而設(shè)問(wèn)，既考查相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，又考查關(guān)鍵能力；既突出數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)性，又突出數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用性。本文旨在分析考生在試題解答過(guò)程中出現(xiàn)的一些問(wèn)題，并對(duì)2022年高考概率統(tǒng)計(jì)的復(fù)習(xí)提出些許建議。

一、試題再現(xiàn)

18.(12分)

某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分．

已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0．8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0．6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．

（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由．

解：（1）X的取值可能為0，20，100.

∴х的分布列為

?

（2）假設(shè)先答B(yǎng)類題，得分為Y，

則Y可能為0，80，100．

∴Y的分布列為

?

∴E（Y）=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6．

由（1）可知E（X）=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4．

∴E（Y）＞E（X），

應(yīng)先答B(yǎng)類題．

二、錯(cuò)例典析

試題背景具有鮮明的時(shí)代特色，通過(guò)考生熟悉的答題競(jìng)賽活動(dòng)進(jìn)行設(shè)問(wèn)，考查概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用。有些考生在解答時(shí)存在諸多不妥之處，下面舉例說(shuō)明。

1.文字閱讀不認(rèn)真，造成審題失誤

從第（1）問(wèn)即開(kāi)始丟分，如圖1—圖4。

圖1

圖4

試題文字材料近300字，每漏讀一字，對(duì)題意的理解都可能出現(xiàn)偏差。圖1與圖2考生顯然都沒(méi)能正確寫出隨機(jī)變量X的三個(gè)取值；圖3與圖4考生雖然正確寫出了隨機(jī)變量X的三個(gè)取值，但分別對(duì)“X=0”和“X=20”的概率取值出現(xiàn)計(jì)算方面的錯(cuò)誤。此類考生都沒(méi)有認(rèn)真閱讀題目材料，沒(méi)有從中提取出完整的答題有效信息，造成失分。

圖2

圖3

2.數(shù)學(xué)概念不清晰，公式選擇不恰當(dāng)

如圖5—圖7。

圖5

圖7

對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解要清晰，對(duì)數(shù)學(xué)公式的運(yùn)用要精準(zhǔn)。顯然，三名考生在求解問(wèn)題（1）時(shí)，對(duì)“X=20”和“X=100”的概率取值計(jì)算都沒(méi)有選對(duì)公式。圖5考生把問(wèn)題理解為互斥事件的和事件，采用概率加法公式；圖6考生把問(wèn)題理解為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，采用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率計(jì)算公式；圖7考生則錯(cuò)把古典概型融入。他們共同失誤是，對(duì)隨機(jī)變量X的取值對(duì)應(yīng)的事件及彼此關(guān)系沒(méi)有進(jìn)行正確分析，概念混淆、公式錯(cuò)亂，造成失分。

圖6

3.運(yùn)算過(guò)程出現(xiàn)失誤，致使結(jié)果不準(zhǔn)確

如圖8和圖9。

圖8

圖9

數(shù)學(xué)的關(guān)鍵在于運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果能為解決問(wèn)題提供數(shù)據(jù)支撐。在求解問(wèn)題（2）時(shí)，需要比較兩類方案中小明答題得分的數(shù)學(xué)期望，以做出有利決策。雖然他們所列的表達(dá)式正確，但最終的計(jì)算結(jié)果卻都是錯(cuò)誤的。此類考生的共同問(wèn)題在于平時(shí)沒(méi)有養(yǎng)成認(rèn)真作答、提高精準(zhǔn)率的好習(xí)慣，致使考場(chǎng)答題失分。

4.數(shù)據(jù)分析、推理不嚴(yán)謹(jǐn)，出現(xiàn)跳步作答

如圖10和圖11。

圖10

圖11

推理與證明是數(shù)學(xué)特有的思維方式。在解決問(wèn)題（2）時(shí)，圖10考生直接得出兩種方案下的隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望值分別為54.4和57.6，但對(duì)這兩個(gè)數(shù)據(jù)的由來(lái)卻缺少必要的說(shuō)明；圖11考生直接得出數(shù)學(xué)期望的結(jié)果為57.6，而對(duì)于數(shù)據(jù)9.6與48的由來(lái)也沒(méi)有提供數(shù)據(jù)支撐。此類考生的共同錯(cuò)誤是對(duì)問(wèn)題結(jié)論的得出缺少必要的數(shù)據(jù)說(shuō)明，缺少數(shù)據(jù)分析、推理不嚴(yán)謹(jǐn)，屬于跳步作答，造成失分。

5.對(duì)概率的意義、性質(zhì)理解不到位

出現(xiàn)常識(shí)性錯(cuò)誤，如圖12和圖13。

圖12

圖13

概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的量，其取值范圍為[0，1]。圖12考生顯然沒(méi)有注意到分布列中隨機(jī)變量X所有取值概率之和大于1這一點(diǎn)；圖13考生更是出現(xiàn)了隨機(jī)變量X單個(gè)取值概率大于1的錯(cuò)誤解答。他們的共同失誤是對(duì)概率的意義、分布列的性質(zhì)理解不到位，致使出現(xiàn)常識(shí)性錯(cuò)誤，造成失分。

6.公式書寫不規(guī)范，數(shù)據(jù)表達(dá)不準(zhǔn)確

如圖14和圖15。

圖14

圖15

數(shù)學(xué)語(yǔ)言具有簡(jiǎn)潔性、準(zhǔn)確性的特點(diǎn)。圖14考生在書寫隨機(jī)變量X的分布列時(shí)，對(duì)其概率取值直接列式表達(dá)，未給出最簡(jiǎn)結(jié)果，屬于結(jié)果表達(dá)不簡(jiǎn)潔；圖15考生書寫隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望公式時(shí)，未使用加權(quán)平均數(shù)х1p1+х2p2的表達(dá)式，屬于書寫不規(guī)范。此類考生的共同缺點(diǎn)是數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)不規(guī)范，不符合數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔性和準(zhǔn)確性的要求，造成失分。

7.書寫混亂，字跡不清，影響視覺(jué)

如圖16。

圖16

字跡清晰是保障閱卷老師順利閱卷的前提，也是確保考生取得相應(yīng)分?jǐn)?shù)的必要條件。圖16考生答卷時(shí)字跡潦草不清晰，可能會(huì)影響閱卷老師對(duì)答題過(guò)程的準(zhǔn)確評(píng)判，也可能會(huì)影響考生自己的成績(jī)。此類考生的共同缺點(diǎn)是平時(shí)不注重書寫訓(xùn)練，沒(méi)有養(yǎng)成書寫清晰、表達(dá)規(guī)范的好習(xí)慣。

三、備考建議

總結(jié)、反思以上作答中存在的問(wèn)題，針對(duì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的復(fù)習(xí)備考，提出以下建議。

1.重視材料閱讀訓(xùn)練，提高信息提取、加工、處理的能力

閱讀中，要用數(shù)學(xué)的眼光觀察問(wèn)題，通過(guò)直觀觀察或抽象描述，完整提取相關(guān)信息，再運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。如該試題文字?jǐn)⑹鰳O為精簡(jiǎn)，增之一字不必，減之一字不可，漏讀一字對(duì)題意的理解都會(huì)出現(xiàn)偏差。如“有A，B兩類問(wèn)題”“能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)”等語(yǔ)句，對(duì)問(wèn)題的分析、判斷、求解都起著至關(guān)重要的作用。

2.重視教材，熟悉概率相關(guān)概念的產(chǎn)生背景，理清概率計(jì)算公式的來(lái)龍去脈

每一個(gè)數(shù)學(xué)概念、公式的產(chǎn)生都是自然的，如果我們對(duì)哪個(gè)概念、公式不理解，只要想想它產(chǎn)生的背景，自然就明了了。如試題第（1）問(wèn)，隨機(jī)變量X的分布列的得出過(guò)程并不復(fù)雜，關(guān)鍵是要理解隨機(jī)事件、隨機(jī)變量、隨機(jī)變量分布列等概念及相關(guān)性質(zhì)，并正確選擇運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算。

3.樂(lè)于解決實(shí)際問(wèn)題，在知識(shí)的運(yùn)用中加深理解各種概率模型

借助教材中“擲硬幣”“擲骰子”“選手射擊”等經(jīng)典實(shí)例，準(zhǔn)確區(qū)分“古典概型”“互斥事件有一個(gè)發(fā)生”“相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生”等概念；清楚“超幾何分布”“二項(xiàng)分布”“正態(tài)分布”等概率模型，以便正確選擇概率公式求解。如試題第（1）問(wèn)，“小明能正確回答A類問(wèn)題”與“小明能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題”為相互獨(dú)立事件，故應(yīng)采用“相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生”的概率乘法公式進(jìn)行計(jì)算。

4.重視邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算，加強(qiáng)理性思維訓(xùn)練

邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算體現(xiàn)在對(duì)實(shí)際問(wèn)題能進(jìn)行有條理的梳理，對(duì)涉及的事件間的關(guān)系能進(jìn)行清晰的辨析。如試題第（1）問(wèn)，考生如果能夠依據(jù)題目條件，對(duì)小明答題順序、得分規(guī)則進(jìn)行理性分析，則不僅能正確解答問(wèn)題（1），問(wèn)題（2）也能迎刃而解。

5.多看新聞，知曉國(guó)家大事，特別要關(guān)注經(jīng)濟(jì)建設(shè)和科學(xué)發(fā)展成果

寬廣的視野能夠消除考生對(duì)題目背景材料的恐懼感，近兩年，精準(zhǔn)扶貧、科學(xué)防疫、社會(huì)勞動(dòng)實(shí)踐、“一帶一路”等國(guó)家時(shí)政大事都躍然卷上。同時(shí)，新高考數(shù)學(xué)試題會(huì)多方位凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)性和應(yīng)用性，考生只有直面各種數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，才能領(lǐng)會(huì)統(tǒng)計(jì)與概率思想在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，形成自覺(jué)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

6.平時(shí)要養(yǎng)成良好的書寫習(xí)慣

答題時(shí)書寫要有排版意識(shí)，必要的文字說(shuō)明要簡(jiǎn)單明了，數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)要規(guī)范準(zhǔn)確，對(duì)數(shù)據(jù)運(yùn)算結(jié)果要有檢驗(yàn)意識(shí)，其中，注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果的精準(zhǔn)性是最重要的。如試題第（2）問(wèn)，計(jì)算結(jié)果支持小明選擇先回答B(yǎng)類問(wèn)題，此時(shí)他得到較高分?jǐn)?shù)的可能性更大些，更有可能為團(tuán)隊(duì)爭(zhēng)得榮譽(yù)。