張雪才，楊順群，侯慶宏，王正中

(1.黃河勘測規(guī)劃設(shè)計研究院有限公司博士后科研工作站，河南 鄭州 450003；2.黃河勘測規(guī)劃設(shè)計研究院有限公司，河南 鄭州 450003；3.西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

0 引 言

水工閘門作為泄水建筑物的調(diào)節(jié)咽喉，作用是封閉水工建筑物的孔口，并能按需全部或局部開啟，以調(diào)節(jié)上下游水位、泄放流量、電站運(yùn)行、通航及其他控制功能，其造價在水工建筑物總造價中一般占10%～30%，在江河治理工程中達(dá)50%以上[1]。通過閘門的靈活啟閉，對水庫進(jìn)行實時調(diào)節(jié)，以滿足防洪、發(fā)電和水資源調(diào)配的需要，保證水利水電工程發(fā)揮其應(yīng)有的社會和經(jīng)濟(jì)效益。閘門主要由門葉結(jié)構(gòu)、埋件部分和啟閉設(shè)備組成，其中門葉是由面板、梁格及支承等結(jié)構(gòu)構(gòu)成，面板是閘門結(jié)構(gòu)必不可少的構(gòu)件，承擔(dān)著作用在閘門上的水荷載，并將其傳給梁格，還參與承重結(jié)構(gòu)的整體工作，其工作性質(zhì)較為復(fù)雜。閘門面板主要有弧面(見圖1a)和平面(見圖1b)2種類型，現(xiàn)行SL 74—2019《水利水電工程鋼閘門設(shè)計規(guī)范》[2]和NB 35055—2015《水電工程鋼閘門設(shè)計規(guī)范》[3]規(guī)定弧形閘門面板可忽略曲率的影響按平面結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計。我國現(xiàn)行閘門設(shè)計規(guī)范[2-3]、美國閘門設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)[4-5]等都是根據(jù)薄板理論設(shè)計面板的，該理論基于Kirchhoff-Love假定，在其控制微分方程中忽略了橫向剪切變形的影響，當(dāng)面板為薄板時，該理論具有足夠的精度，但隨面板厚度的增加，忽略橫向剪切變形將對結(jié)果產(chǎn)生較大影響，進(jìn)而誕生了考慮橫向剪切變形的中厚板理論，其中以Mindlin-Reissner中厚板理論應(yīng)用最為普遍。

圖1 閘門結(jié)構(gòu)中的面板

隨著高壩大庫的興建和金屬結(jié)構(gòu)制造水平的提高，大中型閘門愈發(fā)普遍，尤其是面板厚度愈加增大，如小灣底孔弧形閘門面板[6]和小浪底孔板洞閘門面板[7]都達(dá)到了中厚板水平，若再繼續(xù)使用薄板理論對此同類型閘門面板進(jìn)行設(shè)計已不盡合理且不能滿足工程設(shè)計的需要，危及閘門結(jié)構(gòu)、水工建筑物和下游人民生命財產(chǎn)的安全，所以根據(jù)實際工程中面板類型(薄面板或中厚面板)選擇既安全又簡潔的理論方法進(jìn)行設(shè)計，具有重要的工程價值和科研意義。

因采用解析法求解中厚板問題較為復(fù)雜，不少學(xué)者如黃義[8]采用變分解法對彈性地基上四邊自由中厚板進(jìn)行了求解；鐘陽等[9-10]采用Hamilton原理拓展了中厚板彎曲問題的辛幾何解法以及采用解耦法和改進(jìn)重三角級數(shù)法對中厚板問題求解；Pugh等[11]、Hughes等[12-13]、Spilker等[14]學(xué)者以Mindlin-Reissner理論為基礎(chǔ)提出了一系列中厚板通用單元體，這些單元體采用了簡化數(shù)值積分，理論上不夠完善，求解過程復(fù)雜；武秀麗利用胡海昌中厚板理論建立了軌枕板的計算模型[15]，求解過程同樣復(fù)雜，不利于工程設(shè)計人員應(yīng)用，亦不便于推廣。

空間有限元法在結(jié)構(gòu)分析中具有深厚完善的理論基礎(chǔ)，實踐中有強(qiáng)烈迫切的需求，水利行業(yè)其他規(guī)范[16-25]都進(jìn)行了明確規(guī)定，隨著GB/T 33582—107《機(jī)械產(chǎn)品結(jié)構(gòu)有限元分析通用規(guī)則》[26]的頒布實施、商業(yè)化軟件的完善成熟，已具備使用有限元法的條件，并且相對于采用傳統(tǒng)材料力學(xué)計算方法來說，有限元法應(yīng)用范圍更廣、計算精度更高。我國絕大多數(shù)設(shè)計單位和高校從20世紀(jì)70年代已將空間有限元法應(yīng)用于閘門設(shè)計，近50年來采用空間有限元法對閘門結(jié)構(gòu)靜力特性進(jìn)行分析越來越普遍[27-35]。從精確結(jié)構(gòu)計算和安全驗算來講，采用空間有限元法對閘門面板結(jié)構(gòu)設(shè)計計算是非常必要的，龍述堯等[36]采用基于Mindlin中厚板理論的三維彈性力學(xué)有限元法對中厚板的位移和應(yīng)力進(jìn)行了計算。但上述研究幾乎都是由面板的幾何模型直接過渡到有限元模型，最后給出分析結(jié)果，而沒有事先判斷面板的結(jié)構(gòu)類型(薄板或中厚板)、給出恰當(dāng)?shù)膯卧愋秃秃侠淼膯卧W(wǎng)格數(shù)，而恰恰這些因素對分析結(jié)果至關(guān)重要，只有把這些因素詳細(xì)交代清楚，并可重復(fù)才能保證計算理論的恰當(dāng)性、有限元模型的正確性、網(wǎng)格劃分的真實性和分析結(jié)果的合理性。所以采用基于薄板理論和中厚板理論的有限元法對閘門面板進(jìn)行分析時，需先明確面板的結(jié)構(gòu)類型(薄板或中厚板)，再選擇合適的單元類型及合理的單元網(wǎng)格數(shù)，最后才能得到較為真實的分析結(jié)果。該研究可為厘清工程設(shè)計人員對面板設(shè)計方法和構(gòu)造處理等方面的認(rèn)識誤區(qū)，完善和豐富相關(guān)閘門設(shè)計規(guī)范，倡導(dǎo)更加規(guī)范和精確的閘門面板設(shè)計理念，摒棄增加次梁保障面板安全的設(shè)計思想等提供理論基礎(chǔ)，進(jìn)而提高閘門設(shè)計的效率和精度，為空間有限元法在閘門分析中的推廣應(yīng)用奠定技術(shù)基礎(chǔ)，為閘門設(shè)計規(guī)范的修訂完善提供理論基礎(chǔ)。

1 閘門薄面板區(qū)格數(shù)值分析原則

我國現(xiàn)行閘門設(shè)計規(guī)范[2-3]根據(jù)閘門結(jié)構(gòu)的布置將面板區(qū)格分為四邊固定(或三邊固定一邊簡支，或兩相鄰邊固定、另兩相鄰邊簡支)等情況的正方形或矩形板，為確保研究成果的普適性，分別對四邊簡支、四邊固支的正方形和矩形區(qū)格等情況進(jìn)行系統(tǒng)研究，從而確定采用有限元法對面板分析時單元類型、邊界條件和單元網(wǎng)格數(shù)等定量的分析原則。

采用有限元法對閘門進(jìn)行分析時，面板一般采用殼單元模擬，面板被梁格分割成不同區(qū)格(見圖1)的小正方形或小矩形，采用通過與理論解對比的方式確定有限元分析閘門面板區(qū)格的恰當(dāng)單元類型和合理單元網(wǎng)格數(shù)(單元網(wǎng)格尺寸)。分別對正方形四邊簡支薄板區(qū)格、矩形四邊簡支薄板區(qū)格、正方形四邊固支薄板區(qū)格、矩形四邊固支薄板區(qū)格進(jìn)行分析，大量工程實踐表明閘門薄面板的厚度量級在10 mm左右，由薄板理論[37]確定出各薄面板區(qū)格的邊長可分別為0.6、0.8 m和1.0 m。由彈性力學(xué)理論可知，薄板中心撓度理論解[37-38]為

(1)

式中，a為薄板的短邊；b為薄板的長邊；h為薄板的厚度；α取值由薄板長邊與短邊的比值，即b/a比值決定。對受均布荷載作用的四邊簡支和四邊固支薄板α與b/a的關(guān)系見表1。

表1 均布荷載作用下薄板 α值

1.1 閘門薄面板區(qū)格的合理單元類型

單元類型決定著有限元計算的精度和效率。有限元軟件Ansys中常用于分析板殼單元的類型有Shell 43、Shell 63、Shell 181和Shell 281等。為消除單元網(wǎng)格數(shù)對分析薄面板梁格的影響，以邊長0.8 m×0.8 m，厚0.01 m的薄板為例，計算結(jié)果見表2及相應(yīng)的撓度云圖(見圖2、3)。

表2 閘門薄面板區(qū)格不同單元類型撓度計算結(jié)果

由表2及圖2、3知，對閘門薄面板區(qū)格采用不同單元類型Shell 43、Shell 63、Shell 181和Shell 281模擬時，數(shù)值計算結(jié)果與理論計算結(jié)果都很接近。故當(dāng)閘門面板處于薄板水平時，采用上述常用Shell單元，并保證單元網(wǎng)格數(shù)取值合理，方可滿足計算精度和效率的統(tǒng)一。

圖2 不同單元類型時四邊簡支矩形薄板的中心撓度(0.8 m×0.8 m-0.01 m)

1.2 正方形薄面板區(qū)格的合理單元網(wǎng)格數(shù)

第1.1節(jié)說明了采用常用Shell單元可較好的對薄面板進(jìn)行模擬，為探究有限元分析時單元網(wǎng)格數(shù)對分析結(jié)果的影響，本節(jié)采用式(1)和有限元法對正方形薄板在四邊簡支和四邊固支時的中心撓度進(jìn)行計算，采用Shell 181單元類型，該單元為4結(jié)點(diǎn)有限應(yīng)變殼單元，每個結(jié)點(diǎn)有6個自由度，適用于模擬不同類型和不同形狀的板殼。不同薄面板區(qū)格和不同單元網(wǎng)格數(shù)時有限元分析結(jié)果見表3。

由表3得正方形四邊簡支和四邊固支薄面板區(qū)格中心撓度數(shù)值結(jié)果誤差與單元網(wǎng)格數(shù)的關(guān)系見圖4。

由表3及圖4知，閘門薄面板區(qū)格的單元網(wǎng)格數(shù)不能過小，也即單元尺寸不能過大，否則導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤或誤差過大；但單元網(wǎng)格數(shù)也不能過大，否則會導(dǎo)致計算量過大。而合理的單元網(wǎng)格數(shù)是既可滿足計算精度的要求又可滿足計算經(jīng)濟(jì)的要求，對正方形薄面板區(qū)格，網(wǎng)格劃分時盡可能保證相同邊長的單元網(wǎng)格數(shù)相等，但要大于2份，一般為6～12份或單元網(wǎng)格尺寸為0.03～0.15 m時可得到精確結(jié)果。

圖3 不同單元類型時四邊固支矩形薄板的中心撓度(0.8 m×0.8 m-0.01 m)

表3 正方形四邊簡支和固支薄面板區(qū)格中心撓度

圖4 正方形薄板中心撓度誤差與單元網(wǎng)格數(shù)的關(guān)系

1.3 矩形薄面板區(qū)格的合理單元網(wǎng)格數(shù)

1.3.1 四邊簡支矩形薄面板區(qū)格

第1.2節(jié)探究了正方形薄面板區(qū)格有限元分析時合理單元網(wǎng)格數(shù)，為更加全面探究實際工程中閘門面板區(qū)格的合理單元網(wǎng)格數(shù)，同樣采用公式(1)和有限元法對矩形薄面板區(qū)格在四邊簡支時的中心撓度進(jìn)行計算，結(jié)果見表4。

由表4知，b/a為2.0的四邊簡支矩形薄面板區(qū)格，當(dāng)單元網(wǎng)格數(shù)為4×4，即長邊劃分4份，短邊劃分4份，數(shù)值計算撓度值為6.84 mm，理論計算值為6.71 mm，誤差僅為1.96%；而當(dāng)長邊劃分4份，短邊劃分2份，保證各邊劃分份數(shù)與其相應(yīng)的長度成比例時，數(shù)值計算撓度值為5.10 mm，此時誤差達(dá)到24.05%，所以對矩形薄面板區(qū)格，網(wǎng)格劃分時盡可能保證各邊劃分的網(wǎng)格數(shù)相等，一般都要大于2份，在6～12份或單元網(wǎng)格尺寸為0.03～0.25 m時能得到精確結(jié)果。該結(jié)論對矩形薄面板區(qū)格邊長比分別為1.2、1.4、1.6和1.8時同樣成立(結(jié)果見表5)。所以對閘門薄面板區(qū)格進(jìn)行網(wǎng)格劃分時盡量不要根據(jù)其邊長來按比例劃分，劃分的份數(shù)要大于4份，建議在6～12份或單元網(wǎng)格尺寸為0.03～0.25 m時且各邊的劃分份數(shù)要盡可能相等。

表4 矩形四邊簡支薄面板區(qū)格中心撓度理論解和數(shù)值解(b/a=2.0)

表5 矩形四邊簡支薄面板區(qū)格中心撓度理論解和數(shù)值解

1.3.2 四邊固支矩形薄面板區(qū)格

同理采用公式(1)和有限元法對矩形薄面板區(qū)格在四邊固支時中心撓度進(jìn)行計算，結(jié)果見表6。

由表6知，b/a為2.0的四邊固支矩形薄面板區(qū)格，當(dāng)單元網(wǎng)格數(shù)為4×4，即長邊劃分4份，短邊劃分4份，數(shù)值計算撓度值為1.76 mm，理論計算值為1.68 mm，誤差僅為-4.59%；而當(dāng)長邊劃分4份，短邊劃分2份，保證各邊劃分份數(shù)與其相應(yīng)的長度成比例時，此時誤差達(dá)到99.26%，所以對矩形薄面板區(qū)格，網(wǎng)格劃分時盡可能保證各邊劃分的網(wǎng)格數(shù)相等，但一般都要大于4份，在6～12份或單元網(wǎng)格尺寸為0.03～0.25 m時能得到精確結(jié)果。該結(jié)論對矩形薄面板區(qū)格邊長比分別為1.2、1.4、1.6和1.8時同樣成立(結(jié)果見表7)。所以建議對閘門薄面板區(qū)格進(jìn)行網(wǎng)格劃分時盡量不要根據(jù)其邊長來按比例劃分，劃分的份數(shù)要大于4份，建議在6～12份或單元網(wǎng)格尺寸為0.03～0.25 m時且各邊的劃分份數(shù)要盡可能相等。

表6 矩形四邊固支薄面板區(qū)格中心撓度理論解和數(shù)值解(b/a=2.0)

由表7知，四邊固支的矩形區(qū)格薄板，網(wǎng)格劃分時盡可能保證各邊網(wǎng)格數(shù)相等，一般都要大于4份，在6～12份之間都能得到精確的結(jié)果。對矩形薄板邊長比分別為1.2、1.4、1.6、1.8和2.0時同樣成立，所以建議對閘門薄面板區(qū)格進(jìn)行網(wǎng)格劃分時盡量不要根據(jù)其邊長來按比例劃分，各邊單元網(wǎng)格數(shù)要大于4份，建議取6～12份或單元網(wǎng)格尺寸0.03～0.25 m且各邊的網(wǎng)格數(shù)要相等。

表7 四邊固支矩形薄板中心撓度理論解和數(shù)值解

綜上，對閘門進(jìn)行空間有限元分析時，不論薄面板區(qū)格是正方形還是矩形、亦或邊界條件是四邊簡支還是四邊固支，對其進(jìn)行網(wǎng)格劃分時都不應(yīng)按照區(qū)格長度與寬度的比例關(guān)系進(jìn)行網(wǎng)格劃分，而應(yīng)盡可能保證其長度和寬度方向上網(wǎng)格數(shù)相等且每單位長度不少于4份或單元尺寸長度保證在0.03～0.25 m時，采用有限元分析時可得到較為理想的計算效率和精度。

2 閘門中厚面板區(qū)格數(shù)值分析原則

由第1節(jié)分析結(jié)果知，采用有限元法對閘門面板區(qū)格進(jìn)行分析時，當(dāng)單元類型確定時，合理單元網(wǎng)格數(shù)不受面板區(qū)格的形狀(正方形或矩形)、邊界條件(四邊簡支或四邊固支)等因素的影響，限于篇幅，當(dāng)單元類型確定時，僅對閘門正方形中厚面板區(qū)格的合理單元網(wǎng)格數(shù)進(jìn)行研究。

2.1 閘門中厚面板區(qū)格的合理單元類型

同理采用Shell 43、Shell 63、Shell 181、Shell 281來模擬閘門中厚面板區(qū)格，以邊長1.0 m×1.0 m，厚0.05 m的中厚板為例進(jìn)行分析，并與文獻(xiàn)[9，39]計算結(jié)果對比，結(jié)果見表8。

由表8知，對閘門中厚面板區(qū)格采用不同的單元類型Shell 43、Shell 63、Shell 181和Shell 281進(jìn)行模擬時，除Shell 63單元類型外，數(shù)值計算結(jié)果與理論結(jié)果都很接近，因在ANSYS中，Shell單元采用平面應(yīng)力單元和板殼彎曲單元的疊加，而Shell 63沒有考慮橫向剪切變形，所以采用Shell 63單元類型模擬中厚面板區(qū)格時計算誤差較大(分別達(dá)到11.87%和15.51%)。所以對閘門中厚面板區(qū)格進(jìn)行模擬時，所選單元類型要具有考慮橫向剪切變形的功能，如Shell 43、Shell 181和Shell 281等。只有選擇恰當(dāng)?shù)膯卧愋停⑶覇卧W(wǎng)格數(shù)合理，才能得到較為精確結(jié)果。

表8 閘門中厚面板區(qū)格不同單元類型撓度計算結(jié)果

2.2 閘門中厚面板區(qū)格的合理單元網(wǎng)格數(shù)

首先采用文獻(xiàn)[9，39]的求解方法對中厚板解析解進(jìn)行求解，并與有限元方法驗證，兩種方法的計算結(jié)果見表9。由上文知采用有限元法對面板進(jìn)行分析時，當(dāng)單元類型(Shell 181)確定后，合理單元網(wǎng)格數(shù)與面板區(qū)格的邊界條件關(guān)系不大，限于篇幅，僅對四邊固支中厚面板區(qū)格的合理單元網(wǎng)格數(shù)進(jìn)行探究。

表9 四邊固支中厚面板區(qū)格中心撓度理論解和數(shù)值解

由表9知，對四邊固支中厚板矩形區(qū)格(跨厚比分別為10、15和20)，當(dāng)單元網(wǎng)格數(shù)為2×2，即中厚面板區(qū)格各邊都劃分2份，最大撓度的理論解與數(shù)值解誤差分別達(dá)到82.09%、91.33%和49.60%，也即因網(wǎng)格單元數(shù)過少導(dǎo)致有限元計算結(jié)果失真，當(dāng)區(qū)格網(wǎng)格數(shù)劃分4份及以上時理論結(jié)果與數(shù)值結(jié)果的誤差均在0.5%左右。綜上知，對高水頭大泄量閘門面板區(qū)格進(jìn)行有限元分析時合理單元網(wǎng)格數(shù)每單位長度不少于4份或單元尺寸長度盡可能保證在0.03～0.25 m時，采用有限元法可得到較為精確的結(jié)果且滿足工程應(yīng)用。

3 兩種理論計算結(jié)果對比

Shell 181等單元類型可模擬薄面板區(qū)格和中厚面板區(qū)格，為探究現(xiàn)行閘門設(shè)計規(guī)范[2-3]中薄面板區(qū)格計算理論與采用中厚面板區(qū)格理論計算結(jié)果的差別，采用上文已驗證的方法進(jìn)行計算，對邊長1.0 m×1.0 m，厚度由0.01～0.1 m范圍的面板區(qū)格進(jìn)行系統(tǒng)計算，單元網(wǎng)格數(shù)為32×32，計算結(jié)果見表10。

表10 薄板理論、中厚板理論和有限元法計算結(jié)果

由表10知，當(dāng)面板區(qū)格的跨厚比為40～100(即薄板)時，采用薄板理論、中厚板理論和有限元法的結(jié)果較接近；當(dāng)跨厚比為10～20(即中厚板)時，采用薄板理論計算結(jié)果與中厚板理論和有限元法結(jié)果相差較大，即薄板理論不再適用跨厚比較小板的計算；采用中厚板理論和有限元法對薄板和中厚板都適用，且具有較高的精度。這是由于薄板理論基于Kirchhoff-Love理論，不考慮板的橫向剪切變形的影響，中厚板理論基于Mindlin-Reissner理論，考慮橫向剪切變形的影響，而橫向剪切變形對薄板的力學(xué)特性影響小于對中厚板力學(xué)特性影響的緣故。

4 結(jié) 論

通過對閘門面板區(qū)格結(jié)構(gòu)空間有限元分析原則的系統(tǒng)研究，指出單元類型和單元網(wǎng)格數(shù)對計算結(jié)果至關(guān)重要，而科學(xué)合理選取單元類型和單元網(wǎng)格數(shù)可保證計算經(jīng)濟(jì)性和精確性的統(tǒng)一。分析了單元類型、單元網(wǎng)格數(shù)、邊界條件對面板區(qū)格計算結(jié)果的影響，給出了面板區(qū)格空間有限元分析的相關(guān)原則，為空間有限元法在閘門分析中的推廣應(yīng)用奠定技術(shù)基礎(chǔ)，為閘門設(shè)計規(guī)范的修訂完善提供理論基礎(chǔ)。主要結(jié)論為：

(1)對高水頭大泄量閘門面板仍采用現(xiàn)行閘門規(guī)范設(shè)計已不盡合理且不能完全滿足工程設(shè)計的需要。

(2)應(yīng)采用中厚板理論和具有橫向剪切變形功能單元類型的有限元法對中厚板和薄板類型的閘門面板進(jìn)行合理設(shè)計，而不具有橫向剪切變形功能單元類型的有限元法僅適用于薄板類型的閘門面板。

(3)面板區(qū)格的單元類型、邊界條件對其合理網(wǎng)格數(shù)影響不大，也即對面板結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析時，各邊每單位長度網(wǎng)格數(shù)不少于4份或單元尺寸長度盡可能保證在0.03 ～0.25 m時，可滿足計算精度和效率的統(tǒng)一。

(4)采用具有橫向剪切變形功能單元類型的有限元法不僅可彌補(bǔ)基于中厚板理論解析法求解復(fù)雜的不足，還可對任意幾何形狀、邊界和荷載條件的中厚板、薄板及其組合結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)進(jìn)行更高精度地分析。