孫 毅，李蘆鈺

（大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)研究所，遼寧大連116024）

引言

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器由于其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、無(wú)需耗能、穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)，在土木工程結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制方面得到了廣泛的應(yīng)用［1-4］。例如美國(guó)波士頓的John Hancock大樓、澳大利亞的悉尼電視塔和日本明石海峽大橋的橋塔上均安裝了TMD裝置［5］，這些TMD裝置成功抑制了結(jié)構(gòu)在地震荷載和風(fēng)荷載作用下產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。然而，在實(shí)際應(yīng)用過程中，TMD由于其過大的位移或者限位裝置的應(yīng)用而表現(xiàn)出非線性特性［6-7］。因此，研究非線性調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（NTMD）的控制性能具有實(shí)際的工程意義。

近些年來，關(guān)于NTMD的研究已經(jīng)取得了極大的進(jìn)展。作為NTMD的一種形式，非線性能量阱（Nonlinear Energy Sinks，NES）得 到 了 廣 泛 的 研究［8-10］。相較于線性TMD，NES能夠與結(jié)構(gòu)的任意階模態(tài)產(chǎn)生共振現(xiàn)象，因此具有更寬的有效控制頻率范圍［11-14］。此外，NES能夠從低階模態(tài)到高階模態(tài)分配結(jié)構(gòu)的輸入能量，并且使得能量從結(jié)構(gòu)到NES單向、不可逆地傳遞，進(jìn)而抑制結(jié)構(gòu)的振動(dòng)［15］。但是，非線性TMD也存在不穩(wěn)定現(xiàn)象及結(jié)構(gòu)響應(yīng)幅 值 被 放 大 的 問 題［16-17］。Alexarder等［18］和Djemal等［19］通過實(shí)驗(yàn)，證明了非線性TMD存在跳躍現(xiàn)象。Alexarder等［18］指出，只有消除或減小非線性TMD產(chǎn)生的高幅值周期解，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)才會(huì)優(yōu)于線性TMD控制下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。為了消除高幅值的周期解，Starosvetsky等［20］提出了半主動(dòng)的分段二次黏性阻尼器。數(shù)值分析表明，這種阻尼器能夠消除被分離的高幅值周期解。此外，Eason［21］通過在NTMD系統(tǒng)上附加一個(gè)可調(diào)剛度的單擺，同樣能夠有效地消除共存的高幅值周期解。

在NTMD參數(shù)優(yōu)化方面，一些學(xué)者根據(jù)不同的性能指標(biāo)和優(yōu)化方法對(duì)NTMD參數(shù)優(yōu)化做了研究。其中Habib等［22］利用Den Hartog的等峰值方法研究了NTMD的參數(shù)優(yōu)化問題，并給出了參數(shù)優(yōu)化的解析 形式。Fallahpasand等［23］對(duì)非 線 性 單 擺 式TMD的控制性能進(jìn)行了分析，利用H∞和H2方法對(duì)TMD進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，得到了TMD設(shè)計(jì)的最優(yōu)參數(shù)值。陳勇等［24］進(jìn)行了基于NES的高聳結(jié)構(gòu)減振分析，獲得了非線性模態(tài)的解析解，并給出最優(yōu)參數(shù)計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)公式。

本文考慮TMD的五次剛度非線性對(duì)結(jié)構(gòu)的控制性能進(jìn)行分析，并結(jié)合Li等［25］提出的NTMD改進(jìn)的設(shè)計(jì)方法，提出一種適用于五次非線性剛度的NTMD的改進(jìn)設(shè)計(jì)方法。然后，利用該方法對(duì)NTMD進(jìn)行設(shè)計(jì)修正，并根據(jù)數(shù)值模擬的結(jié)果驗(yàn)證了所提出的改進(jìn)設(shè)計(jì)方法的有效性。

1 NTMD理論分析

1.1 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

本文以有阻尼受迫振動(dòng)為例，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模型如圖1所示?？梢姡到y(tǒng)由線性主結(jié)構(gòu)與耦合非線性TMD兩部分組成。其中非線性TMD的形式為五次剛度非線性，其力-位移關(guān)系可表示為Fd=k21x-k22x3+k23x5，其中k21為線性剛度系數(shù)，k22為三次軟化剛度系數(shù)，k23為五次硬化剛度系數(shù)，且以上剛度系數(shù)均大于零。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示如下：

圖1 系統(tǒng)受迫運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of forced movement of the system

式中m1，c1，k1，x1分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼、剛度和絕對(duì)位移；m2，c2，k21，x2分別為NTMD的質(zhì)量、阻尼、線性剛度和絕對(duì)位移；系統(tǒng)的輸入假設(shè)為正弦激勵(lì)即u(t)=F0cosωt，其中F0為激勵(lì)幅值，ω為激勵(lì)頻率。

由方程（1），（2）可知，直接對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行分析是非常困難的，為了將NTMD的分析從整個(gè)系統(tǒng)分離出來，可以認(rèn)為在正弦激勵(lì)作用下，當(dāng)系統(tǒng)的非線性較弱時(shí)，主結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可近似為一階諧響應(yīng)x1=Acos(ωt+β)。在分析的過程中，忽略相角的影響，僅考慮穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。則NTMD的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

式中x=x2-x1為NTMD相對(duì)于主結(jié)構(gòu)的位移；A為主結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)振幅；F為NTMD的等效激勵(lì)幅值；ω為相應(yīng)的激勵(lì)圓頻率，本文在設(shè)計(jì)過程中取ω為主結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率。

為了分析方便，引入無(wú)量綱參數(shù)：

則NTMD的運(yùn)動(dòng)方程可表示為無(wú)量綱形式

式 中q?表示ζ2和ω2分別為非線性TMD的阻尼比和線性頻率；α1和α2分別為NTMD的軟化非線性系數(shù)和硬化非線性系數(shù)；x0為NTMD的等效靜位移；q，τ0和Ω0分別為NTMD的無(wú)量綱位移、無(wú)量綱時(shí)間和無(wú)量綱頻率。

1.2 方程的近似解析解

本文采用平均化方法［26］求解NTMD的運(yùn)動(dòng)方程，假設(shè)TMD的位移響應(yīng)為一階諧波響應(yīng)，響應(yīng)頻率為激勵(lì)頻率，即：

式中b為響應(yīng)幅值；θ為對(duì)應(yīng)相角。

將式（5）和（6）代入方程（4）中，得到：

對(duì)于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)幅值和相角隨著時(shí)間緩慢變化，方程（7）和方程（8）可以近似表示為一個(gè)周期內(nèi)的積分均值，即：

對(duì)方程（9）和方程（10）在一個(gè)周期內(nèi)積分平均可得：

對(duì)于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，有b?=θ?=0，消去方程（11）和方程（12）中的正弦項(xiàng)和余弦項(xiàng)，得到NTMD的頻響曲線方程

1.3 NTMD的幅頻關(guān)系分析

由頻響曲線方程可知，在確定的激勵(lì)頻率作用下，NTMD的響應(yīng)幅值與阻尼比ζ2、非線性系數(shù)α1，α2和等效凈位移x0有關(guān)，表現(xiàn)在頻響曲線中如圖2所示。隨著阻尼比ζ2的增大，NTMD的最大響應(yīng)幅值在減小，幅頻響應(yīng)曲線向右偏移的程度減輕，非線性的影響越來越??；當(dāng)固定軟化非線性系數(shù)α1，隨著硬化非線性系數(shù)α2的增大，幅頻響應(yīng)曲線由向左偏移漸漸轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛴移疲蔷€性的影響由軟化非線性效應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)橛不蔷€性效應(yīng)；當(dāng)?shù)刃粑灰苮0增大，幅頻響應(yīng)曲線向右偏移，NTMD的最大響應(yīng)幅值在減小，非線性的影響越來越大。

圖2 非線性TMD頻率響應(yīng)曲線Fig.2 Frequency response curve of nonlinear TMD

以硬化非線性效應(yīng)下NTMD的幅頻響應(yīng)為例。如圖3所示，從圖中可以看出，NTMD幅頻響應(yīng)曲線存在多幅值解現(xiàn)象。穩(wěn)定性分析表明，位于多幅值解區(qū)域的中間曲線是不穩(wěn)定的，在實(shí)際中并不會(huì)出現(xiàn)。此外，NTMD幅值響應(yīng)存在跳躍現(xiàn)象，圖中點(diǎn)A和點(diǎn)B為跳躍點(diǎn)，在跳躍點(diǎn)處，響應(yīng)幅值會(huì)突然增大或減小。在多幅值解區(qū)域，系統(tǒng)的響應(yīng)取決于該區(qū)域的初始條件。如果初始條件為0或者很小，跳躍現(xiàn)象將發(fā)生在點(diǎn)A；如果初始條件較大，跳躍現(xiàn)象將發(fā)生在點(diǎn)B。因此當(dāng)初始條件一定的情況下，NTMD在跳躍點(diǎn)處具有最大的響應(yīng)幅值?？紤]到實(shí)際工程中，多數(shù)的結(jié)構(gòu)處于靜止?fàn)顟B(tài)，且風(fēng)荷載的頻率變化較小，因此，可以認(rèn)為跳躍現(xiàn)象發(fā)生在點(diǎn)A且此時(shí)NTMD的響應(yīng)幅值為最大。

2 跳躍頻率求解

通過以上分析可知，在跳躍點(diǎn)處NTMD具有最大的位移響應(yīng)，NTMD的最大位移響應(yīng)對(duì)應(yīng)最好的控制效果［25］。因此，新的分析設(shè)計(jì)方法將依據(jù)跳躍點(diǎn)處的頻率對(duì)NTMD進(jìn)行設(shè)計(jì)修正，首先應(yīng)求解跳躍點(diǎn)處的頻率。在跳躍點(diǎn)處，頻率響應(yīng)曲線具有垂直的切線，若將跳躍頻率Ω0看成NTMD位移響應(yīng)b的函數(shù)，即Ω0=Ω0(b)，則在跳躍點(diǎn)處有如下關(guān)系將頻響曲線方程（13）兩邊對(duì)b求導(dǎo)，得

當(dāng)阻尼比ζ2較小時(shí)，近似地有此時(shí)λ可近似為

利用二次方程的求根公式解方程（16），得

可以發(fā)現(xiàn)二次方程（16）有以下兩個(gè)實(shí)根：

由伽羅瓦可解性判定準(zhǔn)則可知五次及以上方程沒有固定的根式解，因此考慮用漸進(jìn)展開式求得五次方程的近似解。

當(dāng)ε≈0時(shí)，式（23）可簡(jiǎn)化為

僅考慮實(shí)根，假定展開式

將展開式代入式（24），并使ε同次冪的系數(shù)等于零，可以得出：

因此：

通過上述過程，得到了跳躍點(diǎn)頻率的近似解析解，表1和2分別計(jì)算了不同靜位移x0和不同非線性系數(shù)α2下的跳躍頻率，通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)近似解析解與數(shù)值解非常接近，且最大誤差不超過5%，說明近似解析解具有足夠的精度。

表1 跳躍頻率的數(shù)值解與解析解(ζ2=0.05，α1=5×10-3 m-2，α2=5×10-4 m-4)Tab.1 Numerical and analytical solutions of jump frequency(ζ2=0.05，α1=5×10-3 m-2，α2=5×10-4 m-4)

表2 跳躍頻率的數(shù)值解與解析解(ζ2=0.05，α1=5×10-3 m-2，x0=5 m)Tab.2 Numerical and analytical solutions of jump frequency(ζ2=0.05，α1=5×10-3 m-2，x0=5 m)

另外，在計(jì)算跳躍頻率解析解的過程中，忽略了阻尼比的影響，通過對(duì)比解析解與數(shù)值解的差異（見表1和2），可以認(rèn)為這種假設(shè)是合理的?？紤]到在0初始條件或較小的初始條件下，跳躍現(xiàn)象發(fā)生在A點(diǎn)，因此僅分析阻尼比對(duì)A點(diǎn)的跳躍頻率解析解的影響。當(dāng)非線性系數(shù)α1，α2和等效凈位移x0保持不變時(shí)，分別取不同的阻尼比計(jì)算NTMD跳躍頻率的解析解。從表3可以看出，阻尼比從0變化到0.15，解析解變化小于0.03。所以，在小范圍內(nèi)改變阻尼比的情況下，A點(diǎn)的跳躍頻率解析解可以視為不變。在研究阻尼比變化對(duì)于控制性能的影響時(shí)可以忽略阻尼比變化帶來的誤差，將其視為獨(dú)立的變量。

表3 阻尼比對(duì)A點(diǎn)跳躍頻率的影響(α1=5×10-3 m-2，α2=5×10-4 m-4，x0=5 m)Tab.3 Influence of damping ratio on jump frequency at point A(α1=5×10-3 m-2，α2=5×10-4 m-4，x0=5 m)

3 NTMD設(shè)計(jì)方法

考慮五次剛度條件下NTMD可能產(chǎn)生的先軟化后硬化的非線性行為，在設(shè)計(jì)NTMD的過程中，對(duì)傳統(tǒng)的線性TMD設(shè)計(jì)方法進(jìn)行修正，以減小NTMD在使用過程中非線性行為的不利影響。當(dāng)TMD的位移響應(yīng)最大時(shí)，TMD提供的彈簧力最大，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)越小，TMD的控制效果越好［21］。因此，TMD的參數(shù)優(yōu)化基于TMD的最大位移響應(yīng)。已知NTMD在跳躍點(diǎn)A處有最大的位移響應(yīng)，因此根據(jù)A點(diǎn)的跳躍頻率進(jìn)行NTMD的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

參考無(wú)量綱化的過程可知，A點(diǎn)的跳躍頻率Ω0A=ω/ω2，結(jié)合式（31）則有

式中ω2為NTMD的最優(yōu)設(shè)計(jì)頻率，此時(shí)NTMD具有最好的控制效果。當(dāng)激勵(lì)頻率與結(jié)構(gòu)頻率相同即共振條件下，NTMD與結(jié)構(gòu)的最優(yōu)頻率比為

從式（33）可以看出，NTMD的最優(yōu)頻率比與跳躍頻率互為倒數(shù)關(guān)系，且僅與參數(shù)α1，α2，ζ2，x0有關(guān)。經(jīng)過參數(shù)優(yōu)化后要求設(shè)計(jì)前后的跳躍頻率是不變的，因此這里通過調(diào)整NTMD的質(zhì)量來滿足其最優(yōu)設(shè)計(jì)頻率，即

由此，在傳統(tǒng)線性TMD的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上通過修正NTMD的質(zhì)量來減小NTMD非線性行為的不利影響。對(duì)于硬化非線性效應(yīng)下的NTMD，其跳躍頻率總是大于1的，因此最優(yōu)頻率比小于1，經(jīng)過參數(shù)優(yōu)化后NTMD的質(zhì)量增大。下面通過計(jì)算一個(gè)實(shí)例以驗(yàn)證改進(jìn)設(shè)計(jì)的控制效果。

4 NTMD控制性能

4.1 設(shè)計(jì)算例

以單自由度結(jié)構(gòu)為例，結(jié)構(gòu)的參數(shù)為m1=1 kg，c1=0.1 N?s/m，k1=1 N/m，結(jié)構(gòu)采用余弦激勵(lì)，其幅值為F0=0.5 N，激勵(lì)頻率為ω。取質(zhì)量比μ=0.05，按照線性TMD方法進(jìn)行設(shè)計(jì)［27］，計(jì)算得最優(yōu)頻率比γopt=0.9404，最優(yōu)阻尼比ζopt=0.1098。因此，TMD的參數(shù)為：m2=0.05 kg，c2=0.0103 N?s/m，k21=0.0442 N/m，k22=k23=0。由于調(diào)諧質(zhì)量阻尼器在實(shí)際應(yīng)用的過程中產(chǎn)生的非線性行為，假設(shè)非線性系數(shù)α1=5×10-3m-2，α2=5×10-4m-4。則NTMD的 實(shí) 際 參 數(shù) 為：m2=0.05 kg，c2=0.0103 N?s/m，k21=0.0442 N/m，k22=2.21×10-4N/m3，k23=2.21×10-5N/m5。實(shí) 際 彈簧的非線性本構(gòu)方程根據(jù)實(shí)際測(cè)量的結(jié)果確定，這里僅假設(shè)一種形式。

當(dāng)考慮非線性時(shí)，TMD的控制效果將發(fā)生變化，如圖4所示。從圖中可以看出，產(chǎn)生非線性效應(yīng)后TMD的控制效果在結(jié)構(gòu)共振頻率附近被惡化。當(dāng)非線性系數(shù)α2=0，結(jié)構(gòu)處于軟化非線性效應(yīng)時(shí)，在頻率小于1范圍內(nèi)NTMD控制效果優(yōu)于線性TMD，但是在頻率大于1范圍內(nèi)TMD的控制效果變差；當(dāng)非線性系數(shù)α2=5×10-4m-4，結(jié)構(gòu)處于硬化非線性效應(yīng)時(shí)，在頻率大于1范圍內(nèi)NTMD控制效果優(yōu)于線性TMD，但是在頻率小于1的范圍內(nèi)對(duì)結(jié)構(gòu)的控制效果嚴(yán)重惡化，結(jié)構(gòu)響應(yīng)幅值顯著增大。

圖4 TMD的非線性行為對(duì)控制性能的影響Fig.4 Influence of nonlinear behavior of TMD on control performance

針對(duì)線性TMD產(chǎn)生非線性效應(yīng)后的不利影響，下面按照NTMD參數(shù)優(yōu)化方法對(duì)NTMD進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì)。為了設(shè)計(jì)NTMD參數(shù)，等效激勵(lì)幅值需要被確定。已知等效激勵(lì)幅值F=m2ω2A，其中，A為結(jié)構(gòu)響應(yīng)幅值，ω為結(jié)構(gòu)響應(yīng)頻率?？紤]在共振條件下，此時(shí)ω=1 rad/s，結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值A(chǔ)=1.7464 m，則等效激勵(lì)幅值F=0.0873 N。計(jì)算跳躍頻率所需的四個(gè)參數(shù)值分別為：ζ2=0.1098，α1=5×10-3m-2，α2=5×10-4m-4，x0=F/k21=1.9748 m。由公式（31）可求得跳躍頻率Ω0A=1.1858，最優(yōu)頻率比γopt=1Ω0A=0.8433。通過調(diào)整TMD的質(zhì)量來滿足其最優(yōu)頻率比，經(jīng)過修正設(shè)計(jì)后TMD的參數(shù)為：m2=0.0622 kg，c2=0.0115 N?s/m，k21=0.0442 N/m，k22=2.21×10-4N/m3，k23=2.21×10-5N/m5。

基于改進(jìn)設(shè)計(jì)前后結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)曲線如圖5所示：從圖中可以看出，基于改進(jìn)的設(shè)計(jì)方法能夠獲得更好的控制效果，極大地減小了結(jié)構(gòu)共振頻率處的響應(yīng)幅值，且頻率響應(yīng)曲線位于左側(cè)的峰值降低。隨著激勵(lì)幅值的增大，TMD的控制效果越明顯。圖6（a）顯示了共振情況下結(jié)構(gòu)位移-時(shí)程曲線，從圖中可以看出，改進(jìn)設(shè)計(jì)方法能夠顯著降低非線性因素的影響，結(jié)構(gòu)位移減小了34%。圖6（b）為在激勵(lì)頻率為1.05 rad/s時(shí)結(jié)構(gòu)位移-時(shí)程曲線，由圖可知，結(jié)構(gòu)在頻率為1.05 rad/s激勵(lì)作用下響應(yīng)是不穩(wěn)定的，所以仿真結(jié)果會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)右側(cè)峰值的現(xiàn)象。

圖5 結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)曲線Fig.5 The frequency response curve of the structure

圖6 結(jié)構(gòu)時(shí)程響應(yīng)曲線Fig.6 The time-history response curve of the structure

4.2 阻尼比的影響

作為NTMD設(shè)計(jì)的另一個(gè)參數(shù)，阻尼比對(duì)TMD控制性能有較大的影響。圖7為阻尼比變化對(duì)NTMD幅頻曲線的影響，從圖中可知，隨著阻尼比的增大，共振頻率處的結(jié)構(gòu)響應(yīng)幅值增大，同時(shí)過小的阻尼比在非共振頻率處存在更高的峰值。所以在選擇NTMD阻尼比時(shí)，要綜合考慮阻尼比對(duì)控制性能的影響。因?yàn)樽枘岜葘?duì)于跳躍點(diǎn)頻率的解析解影響不大，可以將其忽略。所以，在研究阻尼比變化對(duì)控制性能的影響時(shí)，可以忽略其對(duì)NTMD設(shè)計(jì)頻率的影響，即在研究阻尼比變化對(duì)控制性能影響過程中把阻尼比視為獨(dú)立的變量。

圖7 阻尼比對(duì)非線性TMD控制性能的影響（F0=0.5 N）Fig.7 Influence of damping ratio on control performance of nonlinear TMD（F0=0.5 N）

4.3 等效幅值的影響

在對(duì)NTMD進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì)的過程中，要求參數(shù)α1，α2，ζ2和x0保持不變。這是因?yàn)樘S頻率Ω0A是在確定的α1，α2，ζ2和x0值的情況下計(jì)算出來的，如果發(fā)生變化，會(huì)引起跳躍頻率發(fā)生變化，進(jìn)而會(huì)影響到NTMD的設(shè)計(jì)頻率值。在實(shí)際的設(shè)計(jì)過程中，通過 改 變NTMD質(zhì)量調(diào)整NTMD的頻 率，NTMD的剛度沒有發(fā)生變化，因此α1，α2保持不變。由前文分析可知，小范圍變化的阻尼比對(duì)于跳躍頻率影響很小，可以將其影響忽略，所以ζ2也可以視為不變量。在改進(jìn)設(shè)計(jì)前后，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)位移幅值不同，必然會(huì)引起等效激勵(lì)幅值F隨之改變，相應(yīng)的等效靜位移x0發(fā)生變化。從表4可以看出，當(dāng)激勵(lì)幅值不超過0.5 N時(shí)，設(shè)計(jì)前后等效靜位移變化在0.5 m范圍內(nèi)，跳躍頻率變化較?。划?dāng)激勵(lì)幅值超過0.5 N時(shí)，設(shè)計(jì)前后等效靜位移變化增大，跳躍頻率變化明顯。所以，在激勵(lì)幅值較小時(shí)，設(shè)計(jì)前后等效靜位移x0可以視為不變量。

表4 設(shè)計(jì)前后等效位移幅值和跳躍頻率的變化Tab.4 The change of equivalent displacement amplitude and jump frequency before and after design

5 結(jié)論

線性TMD由于位移過大或限位裝置應(yīng)用等會(huì)產(chǎn)生非線性效應(yīng)，在考慮非線性彈簧引起非線性剛度的條件下，當(dāng)TMD處于硬化非線性狀態(tài)時(shí)，TMD的控制性能在頻率小于或等于1范圍的內(nèi)被惡化，對(duì)結(jié)構(gòu)的控制產(chǎn)生不利的影響。針對(duì)線性TMD實(shí)際應(yīng)用中可能產(chǎn)生非線性效應(yīng)的問題，本文采用新的NTMD分析設(shè)計(jì)方法在TMD設(shè)計(jì)過程中對(duì)其進(jìn)行設(shè)計(jì)修正。結(jié)果表明，經(jīng)過設(shè)計(jì)修正的NTMD能夠降低五次剛度非線性效應(yīng)的影響，共振頻率處的響應(yīng)幅值和頻率小于1范圍內(nèi)幅頻曲線的峰值顯著降低。當(dāng)激勵(lì)荷載F0=0.5 N時(shí)，共振條件下結(jié)構(gòu)的位移減小了34%。

阻尼比較小時(shí)，其對(duì)跳躍點(diǎn)頻率解析解影響較小，當(dāng)阻尼比在較小范圍內(nèi)變化時(shí)，阻尼比的變化對(duì)跳躍點(diǎn)頻率解析解影響可以忽略。阻尼比從0變化到0.15，跳躍點(diǎn)頻率值變化小于0.03。所以，在研究阻尼比對(duì)NTMD控制性能影響時(shí)，不考慮阻尼比變化引起NTMD設(shè)計(jì)頻率值的變化，將阻尼比視為獨(dú)立變量。隨著阻尼比的增大，共振頻率處的結(jié)構(gòu)響應(yīng)幅值增大，非共振頻率處的峰值降低，因此在選擇NTMD阻尼比時(shí)，要綜合考慮阻尼比對(duì)控制性能的影響。

當(dāng)激勵(lì)幅值不超過0.5 N時(shí)，設(shè)計(jì)前后等效靜位移變化在0.5 m范圍內(nèi)，跳躍頻率變化較小；當(dāng)激勵(lì)幅值超過0.5 N時(shí)，設(shè)計(jì)前后等效靜位移變化變大，跳躍頻率變化明顯。所以，在激勵(lì)幅值較小時(shí)，設(shè)計(jì)前后等效靜位移x0可以視為不變量。