常宇健，孫亞婷，陳恩利，李韶華，邢武策

（1.石家莊鐵道大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，河北石家莊050043；2.石家莊鐵道大學(xué)省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北石家莊050043）

引言

分?jǐn)?shù)階微積分作為重要的數(shù)學(xué)分支，于1695年德國(guó)科學(xué)家Leibniz和法國(guó)數(shù)學(xué)家L′Hopital在探討1/2階導(dǎo)數(shù)時(shí)首次被提出［1］。然而，由于缺乏應(yīng)用背景支撐等多方面原因，它長(zhǎng)期以來(lái)并沒(méi)有得到較多的關(guān)注和研究。隨著20世紀(jì)70年代以來(lái)對(duì)分形和各種復(fù)雜系統(tǒng)的深入研究，分?jǐn)?shù)階微積分理論及其應(yīng)用開(kāi)始受到廣泛關(guān)注，很多學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的基本特性進(jìn)行研究，在基礎(chǔ)理論方面取得了很大進(jìn)展［2-6］。

進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分建模方法和理論在復(fù)雜黏彈性材料力學(xué)本構(gòu)關(guān)系、反常擴(kuò)散、高能物理等諸多領(lǐng)域有了若干非常成功的應(yīng)用［7-10］，凸顯了其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)和不可替代性，所以研究含分?jǐn)?shù)階微積分方程中的典型力學(xué)特性和分?jǐn)?shù)階參數(shù)對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的影響很有意義，大量學(xué)者進(jìn)行著這方面的研究［11-13］。

車輛懸架減振裝置不僅具有遲滯非線性特性，而且多數(shù)阻尼器都具有類黏彈性本構(gòu)關(guān)系，這些黏彈性材料介于彈性和阻尼特性之間，普通的整數(shù)階理論無(wú)法準(zhǔn)確地描述這種材料的本構(gòu)關(guān)系。為此，很多研究學(xué)者開(kāi)始對(duì)黏彈性材料采用分?jǐn)?shù)階理論進(jìn)行描述［14-16］。將分?jǐn)?shù)階理論和非線性理論一起運(yùn)用到汽車懸架系統(tǒng)中，不僅具有一定的前瞻性，而且由于在懸架系統(tǒng)中加入了分?jǐn)?shù)階微分理論，可以更準(zhǔn)確地描述懸架系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。因此本文采用含分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的非線性方程來(lái)描述汽車懸架系統(tǒng)。

在外界激勵(lì)的作用下，具有遲滯非線性的汽車懸架系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為，如分叉、混沌等。劉劍等［17］建立了兩自由度磁流變懸架動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，根據(jù)非線性穩(wěn)定性理論發(fā)現(xiàn)了單頻諧波激勵(lì)下系統(tǒng)發(fā)生混沌的可能性。黃苗玉等［18］針對(duì)兩自由度磁流變懸架系統(tǒng)，研究了簡(jiǎn)諧路面作用下系統(tǒng)隨激勵(lì)頻率幅值變化的分叉特性，并利用相平面圖、龐加萊截面圖等詳細(xì)描述了通向混沌振動(dòng)的路徑。樓京俊等［19］利用Melnikov方法研究多頻激勵(lì)下的軟彈簧Duffing系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)，證明激勵(lì)頻率數(shù)目的增加使系統(tǒng)更容易進(jìn)入混沌狀態(tài)。畢勤勝等［20］討論了參外聯(lián)合激勵(lì)復(fù)合非線性振子的動(dòng)力學(xué)行為，并對(duì)其定常解進(jìn)行了局部分叉分析。楊智勇等［21］建立了雙頻擬周期動(dòng)態(tài)路面激勵(lì)函數(shù)，并構(gòu)建了四自由度非線性車輛懸架模型，通過(guò)分析系統(tǒng)的龐加萊圖、相位圖等得到了系統(tǒng)發(fā)生混沌時(shí)的激勵(lì)振幅和振動(dòng)特性。李韶華等［22］研究了具有滯后非線性的汽車懸架在路面擬周期激勵(lì)作用下發(fā)生受迫振動(dòng)的混沌運(yùn)動(dòng)，揭示出此系統(tǒng)中存在從擬周期運(yùn)動(dòng)通向混沌運(yùn)動(dòng)的可能性。

目前對(duì)汽車懸架的研究主要集中在系統(tǒng)的響應(yīng)分析及懸架的控制技術(shù)，對(duì)雙頻激勵(lì)非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為研究，尤其是針對(duì)含分?jǐn)?shù)階的非線性系統(tǒng)在雙頻激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)行為研究較少。針對(duì)雙頻激勵(lì)下的含分?jǐn)?shù)階非線性汽車懸架系統(tǒng)，本文通過(guò)計(jì)算Melnikov函數(shù)得出了系統(tǒng)的混沌閾值，并分析了參數(shù)對(duì)混沌區(qū)域的影響。

1 雙頻激勵(lì)下Smale馬蹄變換意義下混沌的解析必要條件

1.1 含分?jǐn)?shù)階非線性懸架系統(tǒng)建模

汽車懸架非線性模型如圖1所示。圖中：z0為路面激勵(lì)位移，z1為系統(tǒng)垂直位移。其運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中m，k1，k3，c1，h和p分別為懸架系統(tǒng)的質(zhì)量、線性剛度系數(shù)、非線性剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、分?jǐn)?shù)階項(xiàng)的系數(shù)和階次。

設(shè)：相對(duì)位移z=z1-z0，則z1=z+z0，式（1）可以轉(zhuǎn)化為

由式（2）可知，含分?jǐn)?shù)階非線性懸架模型是一種分?jǐn)?shù)階杜芬系統(tǒng)。擬周期激勵(lì)表示為：z0=其中，F(xiàn)1，F(xiàn)2為激勵(lì)幅值；ω1，ω2為激勵(lì)頻率，且ω1，ω2不可有理通約。令，式（2）可以轉(zhuǎn)化為

對(duì)式（3）進(jìn)行變量代換，令

則有

1.2 分?jǐn)?shù)階杜芬系統(tǒng)的異宿軌道

將式（3）寫(xiě)成狀態(tài)方程的形式

通過(guò)M點(diǎn)和N點(diǎn)的異宿軌道滿足

對(duì)式（7）進(jìn)行整理可得

對(duì)式（8）進(jìn)行分離變量與積分分解，從而得到異宿軌道為

1.3 Melnikov函數(shù)確定系統(tǒng)混沌邊界條件

系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)如下

根據(jù)Melnikov理論可得發(fā)生混沌的邊界條件為

其中，

對(duì)于式（11）中的I3，由于被積函數(shù)中含有分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)，不能直接進(jìn)行積分運(yùn)算，只能通過(guò)分?jǐn)?shù)階微分的定義來(lái)進(jìn)行計(jì)算。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義不像常規(guī)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)有唯一的定義式，根據(jù)不同的研究背景，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在其發(fā)展過(guò)程中被給予了多種形式的定義式。目前使用較多的有Riemann-Liouville定義、Caputo定 義 及Grunwald-Letnilov定 義。Riemann-Liouville定義具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，但在工程中應(yīng)用受到諸多限制。例如，初值問(wèn)題在工程中具有重要意義，但常數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在Riemann-Liouville定義下卻不為零。Caputo定義在工程應(yīng)用中，其物理意義更加明確，對(duì)于初始條件非零的微分方程，Caputo分?jǐn)?shù)階微分可以降低其計(jì)算難度，但Caputo定義下對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分進(jìn)行離散計(jì)算比較困難。Riemann-Liouville形式的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)方便進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，但易于離散。本文使用Caputo形式的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義法對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。Caputo與Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分的定義分別為：

式中Γ(x)為Gamma函數(shù)，且Γ(x+1)=xΓ(x)。

通過(guò)比較式（12）與（13）分?jǐn)?shù)階微分的兩種定義可知，當(dāng)x(t)的初值非零時(shí)，兩者之間的關(guān)系為

計(jì)算高精度Caputo分?jǐn)?shù)階微分導(dǎo)數(shù)的具體過(guò)程為：首先，通過(guò)改進(jìn)的直接遞推算法［23］來(lái)對(duì)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行高精度計(jì)算；然后，計(jì)算出補(bǔ)償函數(shù)f(t)；最后，將補(bǔ)償函數(shù)與Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分相結(jié)合，得到高精度的Caputo分?jǐn)?shù)階微分，計(jì)算結(jié)果可靠。這樣可以計(jì)算出含有分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的積分，得到I3的值。

將計(jì)算得出的I1，I2，I3，I4帶入邊界條件式（11）得到系統(tǒng)發(fā)生具有Smale馬蹄意義下混沌的必要條件表達(dá)式為

2 含分?jǐn)?shù)階非線性懸架系統(tǒng)參數(shù)對(duì)混沌閾值的影響

根據(jù)式（15）所求出的激勵(lì)幅值F與激勵(lì)頻率ω1，ω2之 間 的 關(guān) 系，取m=240 kg，c1=200 N?s/m，k1=15000 N/m，k3=30000 N/m3，h=1000，p=0.5，可以確定系統(tǒng)混沌的邊界條件，所得混沌邊界曲線如圖2所示。

圖2 混沌邊界曲面Fig.2 Chaotic boundary surface

當(dāng)F的取值位于混沌邊界曲面之上時(shí)，則對(duì)于充分小的0＜ε≤1，系統(tǒng)可能發(fā)生Smale馬蹄意義下的混沌；若F位于混沌邊界曲面下方，系統(tǒng)做穩(wěn)定的擬周期運(yùn)動(dòng)。分別改變c1，k1，k3，h和p的值，可研究系統(tǒng)各參數(shù)對(duì)混沌邊界曲面的影響。其中圖3為阻尼系數(shù)c1的影響（沿箭頭方向c1取值依次增大，分別為160，180，200，220，240）；圖4為線性剛度系數(shù)k1的影響（沿箭頭方向k1取值依次增大，分別為11000，13000，15000，17000，19000）；圖5為非線性剛度系數(shù)k3的影響（沿箭頭方向k3取值依次增大，分別為26000，28000，30000，32000，34000）；圖6為分?jǐn)?shù)階項(xiàng)系數(shù)h的影響（沿箭頭方向h取值依次增大，分別為600，800，1000，1200，1400）；圖7為分?jǐn)?shù)階項(xiàng)階數(shù)的影響（沿箭頭方向p取值分別為0.3，0.1，0，0.5，0.7，0.9，1）。

圖4 k1對(duì)混沌邊界曲面的影響Fig.4 Influence of k1 on the chaotic boundary surface

圖5 k3對(duì)混沌邊界曲面的影響Fig.5 Influence of k3 on the chaotic boundary surface

圖6 h對(duì)混沌邊界曲面的影響Fig.6 Influence of h on the chaotic boundary surface

圖7 p對(duì)混沌邊界曲面的影響Fig.7 Influence of p on the chaotic boundary surface

從圖中可以看出：

（1）c1越大，混沌閾值越小，發(fā)生混沌的可能性越大，閾值隨c1變化比較均勻。

（2）k1越大，混沌閾值越小，發(fā)生混沌的可能性越大，閾值隨k1變化也比較均勻。

（3）k3越大，混沌閾值越小，發(fā)生混沌的可能性越大，但非線性項(xiàng)k3的變化對(duì)閾值的影響并不十分明顯。

（4）h越大，混沌閾值越大，發(fā)生混沌的可能性越小，h的改變對(duì)閾值變化有明顯的影響。

（5）p從0變化到1時(shí)，混沌閾值先減小后增大，發(fā)生混沌的可能性先增大后減小，且階數(shù)變化對(duì)閾值影響較大。

由圖可知，懸架系統(tǒng)的各個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的混沌邊界曲線均有影響，其中分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的階數(shù)和系數(shù)對(duì)懸架系統(tǒng)的混沌邊界曲線影響很大。由此可知，將分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)引入汽車懸架系統(tǒng)，比單純使用整數(shù)階對(duì)懸架系統(tǒng)進(jìn)行描述更能準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的混沌閾值，這對(duì)實(shí)際工程中懸架參數(shù)的設(shè)計(jì)和選擇具有一定的參考意義和理論價(jià)值。

3 數(shù)值仿真驗(yàn)證及分析

為了驗(yàn)證邊界的正確性，本文隨機(jī)研究了擬周期頻率ω1=7.3 rad/s，ω2=20 rad/s及ω1=8.1 rad/s，ω2=21 rad/s時(shí)的情況。首先分?jǐn)?shù)階項(xiàng)使用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，根據(jù)Grunwald-Letnilov形式分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義對(duì)其進(jìn)行近似，并將代數(shù)方程離散化即可。然后根據(jù)系統(tǒng)在雙頻激勵(lì)下的時(shí)間歷程圖、頻譜圖、相圖及龐加萊截面圖進(jìn)行判斷，最后根據(jù)最大Lyapunov指數(shù)進(jìn)一步驗(yàn)證。

3.1 不同激勵(lì)頻率及幅值下的數(shù)值仿真運(yùn)動(dòng)狀態(tài)結(jié)果研究

進(jìn)行數(shù)值仿真的兩組數(shù)據(jù)在混沌邊界曲面的實(shí)際位置如圖8所示。

圖8 各點(diǎn)在混沌邊界曲面的實(shí)際位置Fig.8 Position of each point on the chaotic boundary surface

通過(guò)數(shù)值仿真分析可以得出系統(tǒng)在混沌曲面上下各點(diǎn)的時(shí)間歷程圖、頻譜圖、相圖及龐加萊截面圖如圖9-17所示。表1為各點(diǎn)取值、位置及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。根據(jù)數(shù)值仿真結(jié)果判斷系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式，進(jìn)而驗(yàn)證混沌邊界曲面的正確性。下面分別對(duì)周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域及可能發(fā)生混沌的區(qū)域選取兩組不同激勵(lì)頻率下的點(diǎn)進(jìn)行比較驗(yàn)證。

表1 各點(diǎn)位置及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)Tab.1 Position and motion state of each point

從圖9-13可以得出：圖9和10其時(shí)間歷程圖為擬周期運(yùn)動(dòng)，頻譜圖上只有兩個(gè)與外界激勵(lì)頻率相等的主頻率，相圖表現(xiàn)為穩(wěn)定的相軌線，龐加萊截面圖類似一個(gè)圓環(huán)。因此，可以判斷系統(tǒng)在此外界激勵(lì)下做穩(wěn)定的擬周期運(yùn)動(dòng)。A點(diǎn)位于混沌閾值曲面的下方，為擬周期運(yùn)動(dòng)。B點(diǎn)雖然位于混沌閾值曲面上方，但解析求得的閾值曲面上方為發(fā)生混沌的必要條件，并非充要條件，因此B點(diǎn)仍為擬周期運(yùn)動(dòng)。

圖9 A點(diǎn)擬周期運(yùn)動(dòng)(ω1=7.3 rad/s,ω2=20 rad/s,F=0.02 m)Fig.9 Quasi periodic motion of point A(ω1=7.3 rad/s,ω2=20 rad/s,F=0.02 m)

圖10 B點(diǎn) 擬 周 期 運(yùn) 動(dòng)(ω1=7.3 rad/s,ω2=20 rad/s,F=0.05 m)Fig.10 Quasi periodic motion of point B(ω1=7.3 rad/s,ω2=20 rad/s,F=0.05 m)

C點(diǎn)位于混沌閾值曲面上方，由圖11可以看出時(shí)間歷程圖基本沒(méi)有規(guī)律，頻譜圖上出現(xiàn)多個(gè)離散的譜線，相圖開(kāi)始趨于混亂，龐加萊截面圖的圓環(huán)出現(xiàn)破裂。因此，初步判斷系統(tǒng)在此激勵(lì)下系統(tǒng)開(kāi)始出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，但比較接近于擬周期運(yùn)動(dòng)。

圖11 C點(diǎn)混沌運(yùn)動(dòng)(ω1=7.3 rad/s，ω2=20 rad/s，F(xiàn)=0.1 m)Fig.11 Chaotic motion of point C(ω1=7.3 rad/s，ω2=20 rad/s，F(xiàn)=0.1 m)

隨著外界激勵(lì)幅值逐漸增大，從圖12和13可以看出，時(shí)間歷程圖越來(lái)越混亂無(wú)序，頻譜圖出現(xiàn)多個(gè)離散譜線，且在低頻部分表現(xiàn)為連續(xù)混亂的頻譜，相圖軌線越來(lái)越混亂，龐加萊截面圖圓環(huán)完全破裂，呈現(xiàn)為毫無(wú)規(guī)律的一些離散點(diǎn)，可以判斷系統(tǒng)呈現(xiàn)出完全的混沌運(yùn)動(dòng)。

圖12 D點(diǎn)混沌運(yùn)動(dòng)(ω1=7.3 rad/s，ω2=20 rad/s，F(xiàn)=0.12 m)Fig.12 Chaotic motion of point D(ω1=7.3 rad/s，ω2=20 rad/s，F(xiàn)=0.12 m)

從由圖14-17可以得出：圖14和15的時(shí)間歷程圖為規(guī)則的擬周期運(yùn)動(dòng)，頻譜圖只有兩條與外界激勵(lì)頻率相等的主頻率，相圖均表現(xiàn)為穩(wěn)定的相軌線，龐加萊截面圖為一個(gè)整齊的圓環(huán)。因此，可以判斷系統(tǒng)在此外界激勵(lì)下做穩(wěn)定的擬周期運(yùn)動(dòng)。

圖13 E點(diǎn) 混 沌 運(yùn) 動(dòng)（ω1=7.3 rad/s，ω2=20 rad/s，F(xiàn)=0.13 m）Fig.13 Chaotic motion of point E（ω1=7.3 rad/s，ω2=20 rad/s，F(xiàn)=0.13 m）

圖14 F點(diǎn) 擬 周 期 運(yùn) 動(dòng)（ω1=8.1 rad/s,ω2=21 rad/s,F=0.02 m）Fig.14 Quasi periodic motion of point F（ω1=8.1 rad/s,ω2=21 rad/s,F=0.02 m）

圖15 G點(diǎn) 擬 周 期 運(yùn) 動(dòng)（ω1=8.1 rad/s,ω2=21 rad/s,F=0.03 m）Fig.15 Quasi periodic motion of point G（ω1=8.1 rad/s,ω2=21 rad/s,F=0.03 m）

從圖16可以看出，系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖表現(xiàn)為較為整齊規(guī)則的擬周期運(yùn)動(dòng)，頻譜圖出現(xiàn)多條離散譜，相圖開(kāi)始趨于混亂無(wú)序，龐加萊截面圖中圓環(huán)開(kāi)始出現(xiàn)破裂。初步判斷系統(tǒng)在此外界激勵(lì)下做擬周期運(yùn)動(dòng)，但已經(jīng)比較接近混沌運(yùn)動(dòng)。

圖16 H點(diǎn) 擬 周 期 運(yùn) 動(dòng)（ω1=8.1 rad/s,ω2=21 rad/s,F=0.13 m）Fig.16 Quasi periodic motion of point H（ω1=8.1 rad/s,ω2=21 rad/s,F=0.13 m）

從圖17可以看出，系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖呈混亂無(wú)序的混沌運(yùn)動(dòng)，頻譜圖低頻段出現(xiàn)連續(xù)頻譜，相圖出現(xiàn)混亂軌線，龐加萊截面圖為一些雜亂的離散點(diǎn)。可以判斷在此外界激勵(lì)下，系統(tǒng)做混沌運(yùn)動(dòng)。

圖17 I點(diǎn)混沌運(yùn)動(dòng)（ω1=8.1 rad/s,ω2=21 rad/s,F=0.15 m）Fig.17 Chaotic motion of point I（ω1=8.1 rad/s,ω2=21 rad/s,F=0.15 m）

3.2 最大Lyapunov指數(shù)原理及結(jié)果

含分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)具有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，可以利用最大Lyapunov指數(shù)表征系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道的發(fā)散率，若最大Lyapunov指數(shù)為正值，則表示兩條相鄰軌線隨時(shí)間變化成指數(shù)率增長(zhǎng)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)具有混沌狀態(tài)；若最大Lyapunov指數(shù)為負(fù)，則表示系統(tǒng)對(duì)初值不敏感，系統(tǒng)狀態(tài)收斂到平衡點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)具有擬周期運(yùn)動(dòng)特性。為驗(yàn)證上述混沌邊界曲面的正確性，使用MATLAB軟件對(duì)含分?jǐn)?shù)階非線性汽車懸架系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真分析。

進(jìn)行數(shù)值仿真分析時(shí)，對(duì)最大Lyapunov指數(shù)使用Wolf重構(gòu)算法，仿真程序中選取的初始條件為初始位移為-0.5 m，初始速度為0.5858 m/s，分?jǐn)?shù)階項(xiàng)初始值為0.1，步長(zhǎng)為計(jì)算A-I各點(diǎn)最大Lyapunov指數(shù)及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如表2所示。所有出現(xiàn)混沌的點(diǎn)都位于邊界曲面上方，據(jù)此可以進(jìn)一步判斷其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的正確性。根據(jù)時(shí)間歷程圖、頻譜圖、相圖及龐加萊截面圖判斷所得各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與根據(jù)最大Lyapunov指數(shù)判斷結(jié)果一致，因此可以驗(yàn)證所得混沌邊界曲面正確。

表2 各點(diǎn)最大Lyapunov指數(shù)及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)Tab.2 Maximum Lyapunov exponent and motion state of each point

4 結(jié)論

本文針對(duì)含分?jǐn)?shù)階非線性特性的1/4汽車懸架系統(tǒng)，研究雙頻激勵(lì)下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

（1）通過(guò)構(gòu)建含分?jǐn)?shù)階1/4汽車非線性懸架系統(tǒng)，應(yīng)用Melnikov解析方法得到系統(tǒng)發(fā)生混沌的解析必要條件。

（2）采用數(shù)值仿真得到汽車系統(tǒng)響應(yīng)特征，并結(jié)合最大Lyapunov指數(shù)分析，驗(yàn)證了含分?jǐn)?shù)階非線性懸架系統(tǒng)在一定條件下存在混沌運(yùn)動(dòng)，且隨著激勵(lì)幅值的增加，懸架系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為擬周期運(yùn)動(dòng)到混沌運(yùn)動(dòng)。通過(guò)系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)和系統(tǒng)響應(yīng)驗(yàn)證了混沌閾值曲面的正確性。

（3）分析表明系統(tǒng)的剛度、阻尼及分?jǐn)?shù)階項(xiàng)系數(shù)和階次均對(duì)混沌邊界曲面有一定影響，且分?jǐn)?shù)階項(xiàng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響較大，分析結(jié)果可以為懸架系統(tǒng)參數(shù)的選擇及混沌行為的研究提供借鑒意義。