朱紅求,程 菲，胡浩南，周 燦,2*,李勇剛

1.中南大學自動化學院,湖南 長沙 410083 2.高性能復雜制造國家重點實驗室,湖南 長沙 410083

引 言

微型光譜儀是由光源、測量附件和光纖構(gòu)建的光學測量系統(tǒng)[1]，其具有模塊化和高速采集的特點。微型光譜儀在采集光譜數(shù)據(jù)時，特別容易受到電子元件組成電路噪聲的影響，比如，暗電流散粒噪聲、光子散粒噪聲、復位噪聲、讀出噪聲等等[2]。噪聲在光譜信號采集、信號調(diào)理、傳輸過程中逐步滲透到真實光譜信號中，并且會在一定波長處出現(xiàn)光源特征峰，這無疑會對后期的數(shù)據(jù)分析產(chǎn)生巨大的影響。為提高信號信噪比和還原真實光譜信號圖譜特征[3]，在將采集到的光譜數(shù)據(jù)進行模型預測之前，對光譜信號進行預處理，從而提高光譜信息定量分析的穩(wěn)健性和準確性顯得尤為重要。

到目前為止，對光譜數(shù)據(jù)降噪，國內(nèi)外眾多研究者已經(jīng)進行了大量的研究工作，有自適應濾波算法[4]、SG平滑濾波[5]和小波變換[6]等，但是不同的去噪算法仍然具有各自的局限性，尤其是傳統(tǒng)的去噪算法會將光譜信號中具有圖譜特征的突變細節(jié)濾除或者信號容易出現(xiàn)延時和失真。奇異值分解[7](singular value decomposition,SVD)具有無延時、相移小等特點，并且選取到合適的奇異值分解的階次可以使光譜信號的圖譜特征得到很好地保留。張瑩等提出用峭度和包絡熵指標構(gòu)成綜合評價指標對重構(gòu)矩陣的秩進行優(yōu)化，根據(jù)綜合評價指標值最優(yōu)確定信號重構(gòu)的階次[8]，趙學智等提出了基于差分譜理論來確定有用分量的個數(shù)[9]，代蕩蕩等[10]利用模糊C均值聚類算法對奇異值降噪階次選取進行了改進,但是上述的量化判據(jù)方法在處理多重金屬離子紫外可見光譜信號時容易導致選取的奇異值降噪階次偏小而過降噪。Zheng等提出了一種多級奇異值分解降噪算法[11]，該判據(jù)方法對多重金屬離子紫外可見光譜信號處理后仍保留部分噪聲，導致去噪性能欠佳。

為此，本文提出了一種基于奇異值重構(gòu)信號分量頻率的光譜信號去噪算法。本算法根據(jù)每個奇異值分量信號快速傅里葉變換結(jié)果中振幅最大所對應的頻率值，然后按照奇異值遞減方式對相應分量信號頻率值進行一階滯后差分，得到頻率差分譜。選擇差分譜第一個譜峰值大于設定閾值處所對應的奇異值即為奇異值分解降噪的有效階次。

1 奇異值分解去噪

假設有含噪信號X=(x1,x2,…,xN)，其中原始信號S=(s1,s2,…，sN),噪聲信號V=(v1,v2,…，vN)，N為信號的長度，并且滿足

X=S+V

(1)

按照式(2)將含噪信號X構(gòu)造成m×n(m≤n)的Hankel矩陣

(2)

其中1

將得到的Hankel矩陣進行奇異值分解

H=UΣVT

(3)

其中，U=(u1，u2，…，um)∈Rm×m，V=(v1，v2，…，vm)∈Rn×n均為正交矩陣，Σ為m×n維矩陣。

(4)

其中Λ=diag(σ1，σ2，…，σr),并且σ1≥σ2≥…≥σr，σi為矩陣H的奇異值，r為Hankel矩陣的秩，0為零矩陣。

奇異值分解降噪的原理是通過取矩陣Λ的前k(k

2 奇異值分解階次選取方法的研究

為保證信號去除噪聲的同時，盡可能的保留信號的圖譜特征，本文提出了一種新的有效的奇異值分解階次選取的算法。

(5)

(6)

步驟3：將步驟2中得到的r個分量信號分別作快速傅里葉變換，即可得到每個信號分量快速傅里葉變換結(jié)果中振幅最大所對應的頻率值。

步驟4：按照奇異值遞減方式對相應分量信號頻率值進行一階滯后差分，得到主頻差分譜，選擇差分譜第一個譜峰值大于所設閾值(預設差分閾值范圍為[30,50])所對應的奇異值作為奇異值分解降噪的有效階次。

步驟5：根據(jù)步驟4所得到的有效階次，再將剩余奇異值置零，再反演重構(gòu)得到去噪后的光譜信號。

3 實驗結(jié)果與討論

以濕法煉鋅為背景，配置Zn2+，Co2+，Cu2+和Fe3+濃度分別為33 g·L-1，4 mg·L-1，12 mg·L-1和6 mg·L-1的混合標準溶液，使用北京普析通用儀器的T9雙光束紫外可見分光光度計，掃描波長為0.5 nm，掃描范圍為480～800 nm，混合溶液的實測紫外可見光譜信號如圖1所示。為了驗證本文算法對紫外可見光譜信號的去噪的優(yōu)越性和有效性，我們對實測紫外可見光譜信號添加不同強度的隨機噪聲，得到信噪比在[12.4,32.4]區(qū)間內(nèi)的仿真信號，單位為dB，仿真數(shù)據(jù)總樣本量為55，其中圖2為信噪比為20 dB的含噪仿真光譜信號。

圖1 原始光譜信號Fig.1 Original spectral signal

將圖2信號構(gòu)造為m×n的Hankel矩陣，其中m的取值為320，n的取值為321。將其SVD，在對前8個奇異值反演求得相應奇異值分量信號，如圖3、圖4所示。

圖2 信噪比為20 dB的含噪仿真光譜信號Fig.2 Simulation spectral signal with noise ratio of 20 dB

圖3 信噪比為20 dB含噪信號前4個奇異值分量信號分布圖Fig.3 Signal distribution diagram of the first four singular value components of noisy signal with signal-to-noise ratio of 20 dB

圖4 信噪比為20 dB含噪信號第5至8個奇異值分量信號分布圖Fig.4 Signal to noise ratio is 20 dB,the fifth to eighth singular value component signal distribution diagram of noisy signal

由于每一個奇異值分量信號都具有原始噪聲信號的特征，并且前k個奇異值分量信號之和代表著理想真實信號，從圖2和圖3中我們發(fā)現(xiàn)，當隨著奇異值的增大，奇異值分量信號的頻率會有一個突變，相較于平穩(wěn)變化點而言，突變點往往攜帶了更重要信息，對于選擇奇異值階次，第一個較大突變點需要格外關(guān)注，這時我們可以認為頻率突變點前k個奇異值即為我們需要選取的奇異值分解的階次。

對前50個奇異值分量信號分別作快速傅里葉變換，即可得到每個信號分量快速傅里葉變換結(jié)果中振幅最大所對應的頻率值，然后按照奇異值遞減方式對相應分量信號頻率值進行一階滯后差分，得到主頻差分譜，選擇差分譜第一個譜峰值大于50所對應的奇異值作為奇異值分解降噪的有效階次。如圖4所示，我們選取前50個奇異值分量信號主頻差分譜。

從圖5中我們發(fā)現(xiàn)差分譜第一個譜峰值大于所設閾值50所對應的奇異值在第6個，因此該仿真含噪信號奇異值分解降噪的有效階次為6。

圖5 前50個奇異值分量信號主頻差分譜Fig.5 Main frequency difference spectrum of the first 50 singular value component signals

為了進一步驗證本文所提奇異值分解降噪算法的有效性，我們選擇奇異值差分譜算法、小波去噪算法、SG濾波算法同本文所提算法在提高信號信噪比和減少信號均方根誤差性能方面作了對比分析，其中SG去噪算法窗口寬度選擇9，多項式擬合次數(shù)選擇2次，小波去噪算法選擇“db4”作為小波基函數(shù)，同時進行4層分解。選擇50組不同信噪比的仿真數(shù)據(jù)對比，本文所提算法相較于SG濾波算法和小波變換去噪算法信噪比分別提高了22.05%，10.88%，均方根誤差分別降低了74.28%，41.29%，而奇異值差分譜算法對部分信噪比的紫外可見光譜信號并無明顯去噪能力，對比結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖6 不同算法去噪后的信噪比Fig.6 SNR after denoising by different algorithms

圖7 不同算法去噪后的均方根誤差Fig.7 Root mean square error after denoising by different algorithms

為進一步驗證本文算法對真實紫外可見光譜信號的去噪能力，以濕法煉鋅為背景，配置Zn2+，Co2+，Cu2+，F(xiàn)e3+和Ni2+濃度分別為33 g·L-1，1 mg·L-1，1.2 mg·L-1，1 mg·L-1和1.4 mg·L-1的混合標準溶液，使用廈門奧譜天成微型光譜儀掃描波長為0.4 nm，掃描范圍為480～800 nm，混合溶液的實測紫外可見光譜信號如圖8所示。

圖8 實測光譜信號Fig.8 Measured spectral signal

如圖9—12所示,通過觀察虛線框中的去噪后的信號，本文算法不僅有效地去除了噪聲并且將光源特征峰干擾信號基本濾除，而奇異值差分譜算法得到的去噪后信號發(fā)生失真，SG濾波算法和小波變換去噪算法雖然可以起到信號平滑作用，但是也未能將光源特征峰干擾信號濾除，在一定程度影響光譜信號定量分析的精確性。

圖9 本文算法對實測光譜信號降噪效果Fig.9 The denoising results of the simulation data with the algorithm in this paper

圖10 奇異值差分譜算法對實測光譜信號降噪效果Fig.10 The denoising results of the simulation data with the singular value difference spectrum algorithm

圖11 SG濾波算法對實測光譜信號降噪效果Fig.11 The denoising results of the simulation data with the SG filtering algorithm

圖12 小波變換去噪算法對實測光譜信號降噪效果Fig.12 The denoising results of the simulation data with the denoising algorithm of wavelet transform

4 結(jié) 論

提出了一種基于奇異值重構(gòu)信號分量頻率的光譜信號去噪算法。本算法根據(jù)每個奇異值分量信號快速傅里葉變換結(jié)果中振幅最大所對應的頻率值，然后按照奇異值遞減方式對相應分量信號頻率值進行一階滯后差分，得到頻率差分譜。選擇差分譜第一個譜峰值大于設定閾值處所對應的奇異值即為奇異值分解降噪的有效階次。最后通過對比表明，本文所提算法相較于奇異值差分譜算法、SG濾波算法和小波變換去噪算法在處理真實紫外可見光譜信號中不僅抑制了噪聲影響，能更好提高信號的信噪比和減小均方根誤差，而且將微型光譜儀的光源特征峰有效濾除，在紫外可見光譜信號的定量分析中具有較好的應用前景。