陳 超，陳 鑫，劉 濤，孫 勇，還 毅，唐柏鑒

(1. 蘇州科技大學(xué)江蘇省結(jié)構(gòu)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘇州 215011；2. 江蘇省住房和城鄉(xiāng)建設(shè)廳，南京 210036；3. 江蘇省建筑科學(xué)研究院有限公司，南京 210008；4. 中央軍委后勤保障部工程質(zhì)量監(jiān)督中心，北京 100373)

自20 世紀(jì)60 年代被發(fā)現(xiàn)以來(lái)，傳統(tǒng)形狀記憶合金(Shape Memory Alloy, SMA)的溫控形狀記憶效應(yīng)和超彈性效應(yīng)受到廣泛關(guān)注，其應(yīng)用于醫(yī)療、土木[1?5]、機(jī)械工程等領(lǐng)域的研究已較為成熟。隨著對(duì)SMA 研究的不斷深入，傳統(tǒng)形狀記憶合金在實(shí)際應(yīng)用中的局限性開(kāi)始顯現(xiàn)。為此，研究人員推測(cè)這種形狀記憶效應(yīng)可以通過(guò)對(duì)馬氏體狀態(tài)下的鐵磁合金施加磁場(chǎng)得到，并著手開(kāi)始研發(fā)。1996 年，Ullakko 等[6]首次在Ni2MnGa 單晶中獲得0.2%的磁致可恢復(fù)應(yīng)變，磁性形狀記憶合金(Magnetic Shape Memory Alloy，MSMA)的研究開(kāi)始受到關(guān)注。

MSMA 不僅與SMA 一樣，其變形可以受溫度和應(yīng)力控制，還可以受磁場(chǎng)控制，且具有較大的輸出應(yīng)變。傳統(tǒng)SMA 變形機(jī)制主要有馬氏體相變和馬氏體重定向兩種，而MSMA 變形機(jī)制則更為復(fù)雜，除馬氏體相變和馬氏體重定向外，還存在磁疇旋轉(zhuǎn)以及疇壁運(yùn)動(dòng)兩種與磁性相關(guān)的變形機(jī)制。根據(jù)MSMA 變形誘發(fā)條件不同，MSMA 的磁-力耦合變形機(jī)制可以總結(jié)為以下四類[7]：1)磁場(chǎng)誘發(fā)馬氏體重定向；2)應(yīng)力誘發(fā)馬氏體重定向；3)磁場(chǎng)誘發(fā)馬氏體相變；4)應(yīng)力誘發(fā)馬氏體相變。

材料本構(gòu)模型既是MSMA 熱-磁-力學(xué)內(nèi)在變形機(jī)制的重要表征，也是MSMA 走向工程應(yīng)用的重要基礎(chǔ)。為此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者基于不同的理論、從不同的角度提出了一系列MSMA 磁-力耦合本構(gòu)模型。陳鑫等[8]對(duì)已建立的MSMA 本構(gòu)模型進(jìn)行了綜述，指出統(tǒng)一的、面向工程應(yīng)用的簡(jiǎn)化模型有待進(jìn)一步研究。馮元慧[9]基于熱力學(xué)原理，建立了磁性形狀記憶合金的熱-磁-力耦合本構(gòu)模型。Chen 等[10]考慮溫度效應(yīng)，建立了可以描述MSMA在三維加載工況下馬氏體重定向行為的力學(xué)模型。LaMaster 等[11]提出了基于熱力學(xué)原理的MSMA 連續(xù)介質(zhì)模型，精準(zhǔn)描述了MSMA 在任意三維加載下的力學(xué)行為。Auricchio 等[12]從晶體學(xué)基本原理出發(fā)，考慮三個(gè)馬氏體變體，建立了三維單晶唯象本構(gòu)模型，對(duì)MSMA 在復(fù)雜加載條件下的馬氏體相變和重定向過(guò)程給出了合理的描述及預(yù)測(cè)。龔臣成等[13]基于熱力學(xué)及能量耗散概念，推導(dǎo)了一種MSMA 的磁-力耦合三維唯象本構(gòu)關(guān)系，通過(guò)內(nèi)變量的形式模擬微觀相結(jié)構(gòu)及磁結(jié)構(gòu)的演化，該模型考慮了馬氏體重定向過(guò)程及馬氏體逆重定向過(guò)程。胡升謀[14]基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合能量守恒定律與熱力學(xué)理論，利用參數(shù)辨識(shí)方法，預(yù)測(cè)了多場(chǎng)耦合變量曲線，構(gòu)建了MSMA 多場(chǎng)耦合模型。Mousavi 和Arghavani[15]建立了一個(gè)能更全面描述MSMA 變形行為的三維宏觀唯象本構(gòu)模型，該模型考慮了三種與磁致應(yīng)變相關(guān)的變形機(jī)制，即馬氏體重定向、疇壁運(yùn)動(dòng)和磁疇旋轉(zhuǎn)，對(duì)MSMA變形機(jī)制進(jìn)行了較為全面的描述。Rogovoy 等[16]建立了一個(gè)模型用于描述磁場(chǎng)控制MSMA 變形過(guò)程，并利用已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證。Jafarzadeh 等[17]對(duì)MSMA 進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)，研究了加載歷史對(duì)MSMA 重定向的影響，并在此基礎(chǔ)上建立了一個(gè)關(guān)于MSMA 的唯象模型。Bartel 等[18]依賴于能量松弛的概念提出了一種MSMA 本構(gòu)模型框架，用以預(yù)測(cè)微觀結(jié)構(gòu)演化。Chen 等[19]進(jìn)一步改進(jìn)了其于2014 年提出的相變本構(gòu)模型，并將其應(yīng)用于質(zhì)量-彈簧結(jié)構(gòu)中，分析了Zhang 等[20]發(fā)現(xiàn)的高頻磁場(chǎng)作用下的MSMA 力學(xué)行為。Yu 等[21]通過(guò)引入內(nèi)部狀態(tài)變量，在熱力學(xué)框架下建立了多晶MSMA 的熱-磁-機(jī)械耦合模型，該模型論述了磁化過(guò)程中發(fā)生的退磁效應(yīng)，并通過(guò)相應(yīng)實(shí)驗(yàn)，對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。Shi 等[22]分析了MSMA 磁誘導(dǎo)應(yīng)變的原理及相應(yīng)的本構(gòu)方程，并搭建試驗(yàn)平臺(tái)證明了MSMA 在執(zhí)行器應(yīng)用中的優(yōu)越性。Bartel等[23]基于能量理論建立了MSMA 建?？蚣埽瑱z驗(yàn)了簡(jiǎn)單加載情況下的二維模型，并對(duì)較為復(fù)雜的加載情況(非比例雙軸應(yīng)力、正交磁場(chǎng))進(jìn)行響應(yīng)預(yù)測(cè)。

目前，針對(duì)MSMA 建立的本構(gòu)模型大多基于熱動(dòng)力學(xué)、細(xì)觀力學(xué)等理論，通過(guò)嚴(yán)密的力學(xué)推導(dǎo)獲得，此類模型在理論研究和材料性能精確描述方面存在一定的優(yōu)勢(shì)，但往往表達(dá)形式復(fù)雜、物理參數(shù)多、參數(shù)標(biāo)定難、計(jì)算效率低等問(wèn)題，給MSMA 的工程應(yīng)用帶來(lái)了一定的困難。因此，如何確定關(guān)鍵參數(shù)，進(jìn)而在滿足工程精度的基礎(chǔ)上簡(jiǎn)化復(fù)雜的理論模型，使其滿足形式簡(jiǎn)單、參數(shù)少、效率高等工程應(yīng)用需求，是MSMA 走向工程應(yīng)用的關(guān)鍵之一。

因此，本文將圍繞MSMA 在環(huán)境溫度處于馬氏體相變完成溫度Mf以下時(shí)，應(yīng)力誘發(fā)馬氏體重定向的力學(xué)行為描述進(jìn)行研究。Karaca 等[24]、Chen 等[10]和Feigenbaum 等[25]均已對(duì)該變形機(jī)制進(jìn)行了理論闡述，本文將在上述研究的基礎(chǔ)上，統(tǒng)計(jì)分析Couch 等[26]、劉小雙[27]、Straka 等[28]、Sarawate等[29]的材料試驗(yàn)數(shù)據(jù)，基于經(jīng)典塑性理論框架，建立考慮磁場(chǎng)影響的MSMA 分段線性化超彈性本構(gòu)模型，以期準(zhǔn)確預(yù)測(cè)MSMA 在不同環(huán)境磁場(chǎng)下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。首先，根據(jù)MSMA 超彈性特性，建立其一維分段線性化本構(gòu)模型；隨后，利用塑性理論框架，擴(kuò)展建立MSMA 多維分段線性化本構(gòu)模型；再根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立基于Logistic 函數(shù)的臨界應(yīng)力-磁場(chǎng)關(guān)系函數(shù)；最后，從滯回曲線和滯回耗能兩個(gè)方面對(duì)比理論模型與試驗(yàn)結(jié)果的誤差。

1 超彈性MSMA 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系描述

1.1 完全加卸載下MSMA 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

研究相關(guān)文獻(xiàn)中已有的MSMA 力學(xué)性能試驗(yàn)結(jié)果[30]，結(jié)合已有本構(gòu)模型，考慮對(duì)MSMA 受磁場(chǎng)影響的超彈性特性預(yù)測(cè)的工程應(yīng)用要求，作如下基本假定：

1)在外部環(huán)境磁場(chǎng)強(qiáng)度和溫度一定的情況下，根據(jù)MSMA 在應(yīng)力作用下的受力特點(diǎn)，完全加載下其各狀態(tài)(完全單一應(yīng)力擇優(yōu)取向馬氏體變體狀態(tài)、應(yīng)力擇優(yōu)取向馬氏體變體、磁場(chǎng)擇優(yōu)取向馬氏體變體相互過(guò)渡狀態(tài)以及完全單一磁場(chǎng)擇優(yōu)取向馬氏體變體狀態(tài))一維應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線簡(jiǎn)化為四折線形式(圖1)；

圖1 完全加載下MSMA 分段線性化應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig. 1 Segment linearized stress-strain relationship of MSMA under fully loading

2) MSMA 始終在最大可恢復(fù)應(yīng)變范圍內(nèi)工作，同時(shí)環(huán)境磁場(chǎng)H始終處在馬氏體逆重定向完成磁場(chǎng)以上；

3) MSMA 塑性不可壓縮，忽略重定向及逆重定向過(guò)程引起的體積變化；

4) MSMA 發(fā)生馬氏體重定向和逆重定向的臨界應(yīng)力與外部環(huán)境磁場(chǎng)有關(guān)；

5)不考慮MSMA 在外加磁場(chǎng)作用下出現(xiàn)的退磁效應(yīng)。

σs(1,2)σf(1,2)σs(2,1)σf(2,1)

圖1 中：、、、分別為馬氏體重定向開(kāi)始應(yīng)變和結(jié)束應(yīng)力、馬氏體逆重定向開(kāi)始應(yīng)力和結(jié)束應(yīng)力。由圖可得臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)變的關(guān)系如下：

1.2 加載不完全即卸載及卸載不完全即加載情況下MSMA 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

在加載不完全即卸載及卸載不完全即加載情況下，由相關(guān)試驗(yàn)結(jié)果及MSMA 本構(gòu)模型理論曲線可知：MSMA 重定向及逆重定向過(guò)程應(yīng)力-應(yīng)變曲線接近于直線，為簡(jiǎn)化分析，將重定向及逆重定向曲線段簡(jiǎn)化為直線段，起始點(diǎn)為重定向開(kāi)始點(diǎn)，終點(diǎn)為重定向完成點(diǎn)；同樣，將逆重定向曲線段簡(jiǎn)化為直線段，起始點(diǎn)為逆重定向開(kāi)始點(diǎn)，終點(diǎn)為逆重定向完成點(diǎn)。建立MSMA 超彈性分段線性化模型如圖2 所示。

圖2 加載不完全即卸載及卸載不完全即加載情況下MSMA 分段線性化應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig. 2 MSMA segment linearized stress-strain relationships for incomplete unloading and incomplete loading

2 MSMA 分段線性化超彈性本構(gòu)模型

2.1 馬氏體重定向方程

2.2 馬氏體重定向和逆重定向起始面微分方程

在MSMA 在重定向及逆重定向過(guò)程中，類比馬氏體重定向誘發(fā)的應(yīng)變?yōu)樗苄詰?yīng)變，則彈性應(yīng)變張量增量和塑性應(yīng)變?cè)隽恐蜑镚reen-Lagrange應(yīng)變張量，即：

式中：Λmn為重定向張量，在馬氏體重定向及逆重定向過(guò)程中值不同；dξσ為應(yīng)力擇優(yōu)取向馬氏體變體的體積百分?jǐn)?shù)增量，則由式(5)、式(6)、式(7)可得：

為簡(jiǎn)化模型表達(dá)，且考慮應(yīng)用時(shí)磁場(chǎng)方向多平行于晶體的易磁化軸，應(yīng)力方向垂直于晶體易磁化軸，假定MSMA 具有各向同性的物理性質(zhì)。因此，在建立MSMA 簡(jiǎn)化力學(xué)模型時(shí)，選用各向同性屈服面作為判斷重定向起始的依據(jù)，假設(shè)在MSMA 應(yīng)力誘發(fā)馬氏體重定向、逆重定向過(guò)程中起始面方程[31]為：

2.3 MSMA 分段線性化多維本構(gòu)模型

將式(8)、式(12)、式(13)代入式(11)，可得：

由式(7)、式(10)和式(23)可得：

2.4 MSMA 超彈性效應(yīng)過(guò)程描述

上述本構(gòu)模型可以反映磁場(chǎng)作用下的MSMA超彈性效應(yīng)：當(dāng)H≥Hf(2,1)時(shí)，MSMA 在外力作用下，磁場(chǎng)擇優(yōu)取向馬氏體變體開(kāi)始發(fā)生彈性變形，當(dāng)外力增加到某一值時(shí)，開(kāi)始誘發(fā)馬氏體重定向，即磁場(chǎng)擇優(yōu)取向馬氏體變體在外力作用下逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)力擇優(yōu)取向馬氏體變體，這個(gè)過(guò)程可以由式(22)來(lái)描述；當(dāng)卸載后，由于外部磁場(chǎng)的存在，應(yīng)力擇優(yōu)取向馬氏體變體在無(wú)外力作用時(shí)無(wú)法穩(wěn)定存在，這樣應(yīng)力擇優(yōu)曲線馬氏體又會(huì)自動(dòng)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌?chǎng)擇優(yōu)取向馬氏體變體，于是MSMA 又恢復(fù)到原來(lái)的形狀，這個(gè)過(guò)程可以由式(33)描述。

為判斷材料使用彈性本構(gòu)關(guān)系還是塑性本構(gòu)關(guān)系，定義加卸載準(zhǔn)則如下：

3 重定向及逆重定向臨界應(yīng)力確定

為研究MSMA 臨界應(yīng)力和磁場(chǎng)的關(guān)系，Couch 等先后采用線性函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)[26]對(duì)不同環(huán)境磁場(chǎng)下MSMA 臨界應(yīng)力進(jìn)行預(yù)測(cè)。本文在上述研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)比分析了MSMA 臨界應(yīng)力和磁場(chǎng)的變化關(guān)系，提出采用Logistic 函數(shù)作為臨界應(yīng)力和磁場(chǎng)的關(guān)系函數(shù)，上述函數(shù)具體形式見(jiàn)表1。

表1 臨界應(yīng)力-磁場(chǎng)關(guān)系函數(shù)Table 1 Critical stress magnetic field relation function

利用現(xiàn)有文獻(xiàn)中4 組MSMA 的材性試驗(yàn)數(shù)據(jù)(材料參數(shù)見(jiàn)表2)，分別對(duì)線性函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)和Logistic 函數(shù)的關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行擬合。首先，利用4 組試驗(yàn)數(shù)據(jù)同時(shí)對(duì)上述3 種函數(shù)進(jìn)行擬合(圖3)，隨后，分別采用4 組數(shù)據(jù)對(duì)上述3 種函數(shù)進(jìn)行擬合(圖4～圖7)。采用擬合優(yōu)度R2作為反映函數(shù)與數(shù)據(jù)擬合效果的參數(shù)，其值越接近1，表明擬合效果越好，上述擬合過(guò)程得到的R2值見(jiàn)圖3～圖7中數(shù)值，其平均值見(jiàn)表3，對(duì)比可見(jiàn)：1)對(duì)比圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)分布，可見(jiàn)臨界應(yīng)力與磁場(chǎng)大小呈顯著的S 形分布，因此采用S 形函數(shù)進(jìn)行擬合更為合理；2) 3 種臨界應(yīng)力-磁場(chǎng)關(guān)系函數(shù)中，線性函數(shù)擬合效果最差，Logistic 函數(shù)擬合效果最好，單一材料試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合時(shí)，平均R2值可達(dá)0.993，多項(xiàng)式函數(shù)擬合效果略差于Logistic 函數(shù)；3)由于不同文獻(xiàn)中的試驗(yàn)條件和材料略有不同，因此4 組數(shù)據(jù)同時(shí)擬合時(shí)的效果要明顯差于各組數(shù)據(jù)分別擬合的結(jié)果，Logistic 函數(shù)預(yù)測(cè)的各臨界應(yīng)力平均R2值前者為0.945，后者為0.993。上述對(duì)比可見(jiàn)，Logistic 函數(shù)用于預(yù)測(cè)臨界應(yīng)力-磁場(chǎng)關(guān)系無(wú)論從形式上，還是從精度上都相比其余兩個(gè)函數(shù)更優(yōu)，擬合后的Logistic 函數(shù)各參數(shù)取值見(jiàn)表4。

表2 文獻(xiàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)及對(duì)應(yīng)材料參數(shù)Table 2 Literature test data and corresponding material parameters

表3 擬合優(yōu)度R2 平均值Table 3 Average value of goodness of fit R2

表4 臨界應(yīng)力表達(dá)式參數(shù)Table 4 Parameters of critical stress expression

圖3 四組試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Fig. 3 Fitting results of four groups of test data

圖4 Couch[26]試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Fig. 4 The fitting results of Couch[26]

圖5 劉小雙[27]試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Fig. 5 The fitting results of Liu[27]

圖6 Straka[28]試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Fig. 6 The fitting results of Straka [28]

圖7 Sarawate[29]試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Fig. 7 The fitting results of Sarawate[29]

4 模型數(shù)值模擬精度對(duì)比分析

利用本文第3 節(jié)臨界應(yīng)力-磁場(chǎng)關(guān)系函數(shù)，結(jié)合第2 節(jié)建立的MSMA 本構(gòu)模型，根據(jù)表2 所給材料參數(shù)，計(jì)算不同磁場(chǎng)下MSMA 滯回曲線，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖8～圖11 所示。由圖可見(jiàn)，本文所建立模型的滯回曲線與試驗(yàn)所得曲線形一致，馬氏體重定向及逆重定向的開(kāi)始與結(jié)束臨界應(yīng)力接近，即該理論模型能較好的描述MSMA的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

圖8 理論模型數(shù)值模擬結(jié)果與Couch[26]試驗(yàn)值對(duì)比Fig. 8 Comparison between numerical simulation results of theoretical model and experimental data in Couch[26]

圖9 理論模型數(shù)值模擬結(jié)果與劉小雙[27]試驗(yàn)值對(duì)比Fig. 9 Comparison between numerical simulation results of theoretical model and experimental data in Liu[27]

圖10 理論模型數(shù)值模擬結(jié)果與Straka [28]試驗(yàn)值對(duì)比Fig. 10 Comparison between numerical simulation results of theoretical model and experimental data in Straka[28]

圖11 理論模型數(shù)值模擬結(jié)果與Sarawate[29]試驗(yàn)值對(duì)比Fig. 11 Comparison between numerical simulation results of theoretical model and experimental data in Sarawate[29]

進(jìn)一步，對(duì)比分析了各工況下理論和試驗(yàn)得到的滯回耗能，如圖12 所示，對(duì)比可見(jiàn)，理論模型與試驗(yàn)結(jié)果的滯回耗能較為接近，誤差在6.7%～17.1%，該理論模型能夠一定程度上預(yù)測(cè)MSMA的耗能能力。

圖12 模型與試驗(yàn)滯回耗能及誤差Fig. 12 Hysteretic energy consumptions of model and test

在工程應(yīng)用，滯回曲線和耗能能力是評(píng)價(jià)MSMA 特性的關(guān)鍵，故本文所建立的分段線性化本構(gòu)模型能夠滿足工程應(yīng)用的精度要求，且

形式簡(jiǎn)單直觀，參數(shù)較少，適于模擬工程應(yīng)用中考慮磁場(chǎng)影響的復(fù)雜應(yīng)力條件下MSMA 超彈性特性。

5 結(jié)論

本文基于經(jīng)典塑性理論框架，建立了考慮磁場(chǎng)影響的MSMA 分段線性化超彈性本構(gòu)模型，該模型具有物理概念明確、形式簡(jiǎn)單、參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)，更適用于工程應(yīng)用。主要內(nèi)容和結(jié)論如下：

(1)引入應(yīng)力擇優(yōu)取向馬氏體變體體積分?jǐn)?shù)作為內(nèi)變量，基于塑性理論框架，構(gòu)建了MSMA 分段線性化超彈性本構(gòu)模型，該模型能夠完成描述不同磁場(chǎng)環(huán)境下的MSMA 超彈性效應(yīng)全過(guò)程。

(2)提出了描述馬氏體重定向和逆重定向臨界應(yīng)力與環(huán)境磁場(chǎng)關(guān)系的Logistic 關(guān)系函數(shù)，擬合結(jié)果表明該函數(shù)的擬合優(yōu)度可達(dá)0.993，大于線性函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)的0.897 和0.990，且在形狀上與試驗(yàn)結(jié)果更為吻合。

(3)對(duì)滯回曲線形狀和滯回耗能的數(shù)值模擬對(duì)比表明，所建立的本構(gòu)模型能夠較好地預(yù)測(cè)MSMA構(gòu)件的力-位移關(guān)系，且理論滯回耗能與試驗(yàn)的誤差平均僅為11.9%，滿足工程應(yīng)用需求。