■陳麗萍

（山西省貿(mào)易學(xué)校，山西 太原 030012）

數(shù)學(xué)思維從分析能力角度劃分包括邏輯思維、形象思維、空間抽象思維等；按數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容劃分包括代數(shù)思維、幾何思維、微積分思維、概率統(tǒng)計(jì)思維等，是指在實(shí)際應(yīng)用過程中，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)思想和方法思考和解決問題的能力，抓住問題本質(zhì)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系?？梢哉f，數(shù)學(xué)思維在把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到其他領(lǐng)域發(fā)揮著無與倫比的重要作用。所以我們常用對(duì)稱美、和諧美、平衡美等來形容數(shù)學(xué)是優(yōu)美的，其實(shí)質(zhì)是思維之美，散發(fā)思想光芒。

概率論是基于隨機(jī)現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，是具體研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，是用特殊的數(shù)學(xué)語言描述、分析、研究，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，搭建隨機(jī)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)其他分支聯(lián)系的橋梁。在自然界和人類社會(huì)中,存在大量的隨機(jī)現(xiàn)象,而概率是衡量該現(xiàn)象發(fā)生的可能性的量度，為其他學(xué)科提供了解決問題的新思路和新方法，概率論是社會(huì)科學(xué)發(fā)展的必然成果,分析過去預(yù)測(cè)未來，實(shí)質(zhì)就是概率問題。“概率論是生活真正的引路人，如果沒有對(duì)概率的某種估計(jì)，我們將寸步難行無所作為?！睂W(xué)習(xí)概率論研究其起源，可以幫助學(xué)生提煉醒悟思想，培養(yǎng)發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

一、概率論的學(xué)習(xí)研究

（一）概率論的起源

概率論的起源與賭資有緣，引例：設(shè)想小張和小李打賭（可以是任何賭法），各出50元，先贏6局者拿走100元。但是小張賭到5：3領(lǐng)先時(shí)被迫停止不能繼續(xù)。現(xiàn)在的問題是：100元中小李應(yīng)該分到多少錢？

分法 1（平分法，1：1，小李分到 50 元）

分法 2（通吃法，1：0，小李分到 0元）

分法 3（樸素法，5：3，小李分到 37.5 元）

分法 4（概率法，7：1，小李分到 12.5 元）

分法 5（極大似然法，485：27，小李分到 5.27元）

按取得最終勝利的可能性來分。小張只需再勝1局就贏，而小李需要連勝3局才能贏。假設(shè)勝1局的可能性都是1/2，則小張贏的可能性應(yīng)該小于1/2，小李贏的可能性是。

按最終贏的可能性來分析，勝1局的可能性不應(yīng)該是1/2，而應(yīng)該根據(jù)當(dāng)前比分作最大似然估計(jì)，即小張勝1局的可能性為5/8，小李勝1局的可能性為3/8。最后小李贏的可能性是（。

又如古代很多數(shù)學(xué)愛好者喜歡用擲硬幣試驗(yàn)，來計(jì)算硬幣正反面拋擲頻率，為研究隨機(jī)現(xiàn)象和概率論發(fā)展提供了大量的詳實(shí)的數(shù)據(jù)（見表1）。

表1 擲硬幣試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)表

（二）概率論的研究對(duì)象

概率論研究?jī)?nèi)容包括：概率論基本概念、一元和多元隨機(jī)變量及其分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理、統(tǒng)計(jì)量及抽樣分布、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)、參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)及概率分布的擬合檢驗(yàn)、方差分析與回歸分析。

數(shù)學(xué)教學(xué)中掌握概率的定義和計(jì)算，用隨機(jī)變量概率分布及數(shù)字特征研究“隨機(jī)現(xiàn)象”的規(guī)律是教學(xué)重點(diǎn)。了解數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本理論與思想，能夠熟練應(yīng)用掌握包括點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等基本統(tǒng)計(jì)推斷方法是教學(xué)難點(diǎn)。解決重點(diǎn)突破難點(diǎn)從隨機(jī)現(xiàn)象和變量開始，理解幾何分布，從生活實(shí)際中引例，提高解決問題的興趣，應(yīng)用拓展能力。

1.隨機(jī)現(xiàn)象

相對(duì)于確定性（決定性）現(xiàn)象而言，隨機(jī)現(xiàn)象如某個(gè)城市每天發(fā)生的交通事故次數(shù)？某種新藥在臨床試驗(yàn)中是否有效？買彩票是否中獎(jiǎng)？下一分鐘股票價(jià)格是否會(huì)漲？

2.隨機(jī)變量

隨機(jī)取值的變量就是隨機(jī)變量，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果其實(shí)就是隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的函數(shù)仍是隨機(jī)變量。隨機(jī)變量有兩種，一種是離散型隨機(jī)變量，一種是連續(xù)型隨機(jī)變量。我們常用希臘字母ξ、η等表示隨機(jī)變量。

（1）離散型隨機(jī)變量:是指對(duì)于隨機(jī)變量取值可能是有限個(gè)，也可能是無限個(gè)，但可以順序列出，這樣的隨機(jī)變量就稱之為離散型隨機(jī)變量。

（2）連續(xù)型隨機(jī)變量:是指對(duì)于隨機(jī)變量的取值，是在某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定順序列出，這樣的變量就稱之為連續(xù)型隨機(jī)變量。

（3）兩種隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系:二者都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定順序列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以按一定順序列出。

若 ξ是隨機(jī)變量，η=aξ+b，a，b 是常數(shù)，則 η 也是隨機(jī)變量，并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）。

3.研究隨機(jī)現(xiàn)象

我們需要做大量的隨機(jī)試驗(yàn)，通過不同的結(jié)果理解分析“隨機(jī)事件發(fā)生”概率。

a.試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

b.試驗(yàn)結(jié)果多樣性，但可以預(yù)知所有結(jié)果的取值范圍；

c.試驗(yàn)前無法預(yù)測(cè)會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果。

例如：某省級(jí)射擊運(yùn)動(dòng)隊(duì)對(duì)奧運(yùn)選拔射擊A選手和B選手的射擊情況進(jìn)行跟蹤記載，見表2和表3。

表2 A選手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列

表3 B選手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列

求此奧運(yùn)選拔A、B射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥8”的概率分別是多少？提出選拔建議。

分析：該事件實(shí)際是典型的互斥事件，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”是互斥事件“ξ＝7”“ξ＝8”“ξ＝9”“ξ＝10”的和，同理“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥8”是互斥事件“ξ＝8”“ξ＝9”“ξ＝10”的和，解法如下。

解：根據(jù)跟蹤記錄環(huán)數(shù)ξ的分布列，“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率計(jì)算如下。

A 選手：由于 P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22。所求的概率為P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88。

B 選手：P(ξ=7)＝0.08，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.39，P(ξ=10)＝0.14。所求的概率為 P(ξ≥7)＝0.08+0.28+0.39+0.14＝0.89。

根據(jù)跟蹤記錄環(huán)數(shù)ξ的分布列，“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥8”的概率計(jì)算如下。

A 選手：由于 P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22。所求的概率為 P(ξ≥8)＝0.28+0.29+0.22＝0.79。

B 選手：由于 P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.39，P(ξ=10)＝0.14。所求的概率為 P(ξ≥8)＝0.28+0.39+0.14＝0.81。

從本次跟蹤分析，B選手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”和“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥8”的概率均大于A選手的相應(yīng)概率，由此結(jié)果可為奧運(yùn)選手選拔提供依據(jù)。

4.研究事件關(guān)系及運(yùn)算

（1）根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布列，求隨機(jī)事件發(fā)生的概率。

（2）伯努利分布：研究對(duì)象是兩點(diǎn)分布，兩點(diǎn)分布列的應(yīng)用非常廣泛。它是一種常見的離散型隨機(jī)變量的分布，是概率論中最重要的分布之一，比如彩券中獎(jiǎng)幾率、投籃命中幾率、工廠產(chǎn)品檢驗(yàn)合格率、股票基金波動(dòng)等等現(xiàn)象，都可以用兩點(diǎn)分布列來研究其規(guī)律。

如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱X服從兩點(diǎn)分布，而稱P=P(X=1）為成功概率，兩點(diǎn)分布又稱0—1分布，由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫伯努利試驗(yàn)，所以這種分布又稱為伯努利分布。

X 0 1 … m P …C0 MCn N-M C1 MCn-1 N-M Cm MCn-m N-M Cn N Cn N Cn N

5.幾何概率揭示生活真理

（1）零概率事件不一定不發(fā)生。

（2）不是所有的事件都可以計(jì)算出概率。

也就是說，對(duì)任意的隨機(jī)事件A,P(A)不一定都有意義。因此，有關(guān)樣本空間的選擇至關(guān)重要，哪些子集可算作隨機(jī)事件的問題，需引入概率公理化定義。

如利用公式計(jì)算概率：某城市有N輛卡車，車牌號(hào)從1到N，有一個(gè)外地人到該城去，把遇到的n輛車子的牌號(hào)抄了一遍，當(dāng)然有可能重復(fù)，求抄到最大號(hào)碼正好是k的概率。

分析：記Bk是“抄到的最大號(hào)碼不超過k”，Ak是“抄到的最大號(hào)碼等于k”則有：Ak=Bk-Bk-1。

又如利用一般加法公式可計(jì)算有獎(jiǎng)銷售概率：一袋包裝完好的食品中放一張獎(jiǎng)券，n張不同的獎(jiǎng)券為一套，收集齊一套可獲大獎(jiǎng)，求購買k袋食品收集齊一套獎(jiǎng)券的概率。

二、概率論與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的融合

概率論應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，概率估計(jì)不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重點(diǎn)，也是現(xiàn)實(shí)生活中的常見問題。融合有利于數(shù)學(xué)思維的形成，教師在教學(xué)中需要探索概率與其他知識(shí)點(diǎn)的交匯融合，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手探究習(xí)慣，層層遞進(jìn)，舉一反三，發(fā)散思維，加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)訓(xùn)練，尤其是要認(rèn)真審題、梳理脈絡(luò)、理清知識(shí)點(diǎn)，把握本質(zhì)內(nèi)涵，完善知識(shí)體系結(jié)構(gòu)，才能解決各類知識(shí)點(diǎn)融合復(fù)雜的難題，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力。

（一）概率與不等式知識(shí)融合

有效盤活學(xué)生學(xué)習(xí)思維，為概率學(xué)習(xí)與不等式學(xué)習(xí)帶來全新思路，從概率的角度去分析不等式問題，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)復(fù)雜不等式的理解，不等式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，發(fā)散思維的形成有助于后續(xù)復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的迎刃而解。

（二）概率與代數(shù)方程知識(shí)的融合

如關(guān)于游戲闖關(guān)的一道題目，第一關(guān)擲骰子1次，第二關(guān)擲骰子2次，以此類推第n關(guān)擲骰子n次，規(guī)定只有第n關(guān)的n次骰子點(diǎn)數(shù)之和超過n的二次方才算游戲闖關(guān)成功，請(qǐng)問這一關(guān)游戲最多能夠連過幾關(guān)？連過兩關(guān)的概率是多少？列出方程求解，這就是概率與方程的典型融合。

（三）概率與排列組合知識(shí)的融合

如針對(duì)電子專業(yè)的學(xué)生，結(jié)合物理電路方面的知識(shí)思考：由五個(gè)接收器與一個(gè)信號(hào)源構(gòu)成一個(gè)串聯(lián)線路來接收信號(hào)，如果將左、右側(cè)的六個(gè)接線點(diǎn)分別隨機(jī)地各分為三組，然后將所有六組的兩個(gè)接線點(diǎn)用導(dǎo)線連接，請(qǐng)問這五個(gè)接收器可以同時(shí)接受信號(hào)的概率是多少？

三、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維是高質(zhì)量教育發(fā)展的必須

（一）高質(zhì)量教師的正確引導(dǎo)

高質(zhì)量的教育需要高質(zhì)量的教師，數(shù)學(xué)是思維的體操，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這就需要教師的正確引導(dǎo)，作為公共基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)課程，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)得天獨(dú)厚、責(zé)無旁貸。做中教、做中學(xué)，學(xué)中做，循循善誘，誘導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生“口、手、腦”全用，“講、演、練”齊動(dòng)，課堂精講、網(wǎng)絡(luò)輔學(xué)、實(shí)踐延伸，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考感悟，調(diào)動(dòng)主觀能動(dòng)性、發(fā)揮主體作用，在相互討論和啟發(fā)中開展高質(zhì)量思維活動(dòng)，在活動(dòng)中學(xué)習(xí)、發(fā)展、創(chuàng)新，教師要做活動(dòng)的引導(dǎo)者、組織者、參與者，為學(xué)生成長(zhǎng)導(dǎo)航。

（二）數(shù)學(xué)思維魅力展望

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程其實(shí)苦中做樂，要有足夠的勇氣與毅力，要有逢山開路、遇水搭橋的魄力，要忍受漫長(zhǎng)而孤獨(dú)的研究過程，獨(dú)自品嘗成功的喜悅和失敗的沮喪，這就是數(shù)學(xué)思維的無限魅力。我們最早可追溯到18世紀(jì)古代著名的哥尼斯堡七橋問題：當(dāng)時(shí)歐洲東普魯士哥尼斯堡的城市近郊，有一條河叫普雷蓋爾河，大河穿城而過，河中間有兩個(gè)島，在兩個(gè)岸和兩個(gè)島之間共架有美麗的七座橋，成為當(dāng)?shù)鼐用裥蓍e娛樂的好去處。當(dāng)時(shí)城中居民熱烈地討論：如果步行從一個(gè)地方出發(fā)，想一次性而且不重復(fù)地走遍七座橋，最終還能回到原始出發(fā)點(diǎn)，這種想法可能實(shí)現(xiàn)嗎？這個(gè)問題引發(fā)無數(shù)學(xué)者熱議。數(shù)學(xué)家歐拉把七橋問題轉(zhuǎn)化成特殊路徑的思考方法，嚴(yán)格證明了這樣的特殊路徑根本不存在，為熱議的七橋問題畫上了圓滿句號(hào)。歐拉這種極具代表性的思維范式直至今日對(duì)我們思考問題和分析問題仍有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義和現(xiàn)實(shí)意義。

適應(yīng)新時(shí)代、新挑戰(zhàn)、新機(jī)遇，在教育教學(xué)過程中師生只有真正體驗(yàn)到應(yīng)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問題的暢快淋漓、妙不可言，才能真正感悟"數(shù)學(xué)為自然科學(xué)之源"的論述是多么的精辟，才能對(duì)具有數(shù)學(xué)思維魅力的擁有無限向往。