李 艷， 孫 蕊

(1.陜西科技大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院， 西安 710021; 2.陜西農(nóng)產(chǎn)品加工技術(shù)研究院， 西安 710021)

近年來，隨著四驅(qū)車式移動機器人制造技術(shù)的飛速發(fā)展，機器人越來越多地廣泛應(yīng)用于人類生活用品服務(wù)、生產(chǎn)設(shè)備制造、太空空間探測等領(lǐng)域中，所以機器人的運動控制是研究的重要領(lǐng)域。對于各行業(yè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的車式移動機器人，精確的軌跡運動跟蹤控制能力，無疑是實現(xiàn)小車自主運動并正確執(zhí)行相應(yīng)工作任務(wù)的重要技術(shù)能力基礎(chǔ)。然而由于智能化的小車運動是一個典型的強高度耦合、強非線性的多種可變量復(fù)雜運動系統(tǒng)，再加上實際小車運動過程中外部環(huán)境干擾的普遍存在和智能小車軌跡運動模型的不確定性存在，導(dǎo)致小車軌跡跟蹤控制器的設(shè)計工作難度較高。所以為了實現(xiàn)快速高精度的自動軌跡跟蹤運動控制，必須采用合適的控制策略[1-2]。在自動控制策略上, 滑模控制[3-5]技術(shù)具有物理控制實現(xiàn)簡單、快速自動響應(yīng)、易于模擬實現(xiàn)等幾大優(yōu)點，對于機器人的控制非常有利，所以在車式機器人軌跡跟蹤控制等方面具有廣泛的應(yīng)用。

對于傳統(tǒng)的車式機器人快速軌跡跟蹤問題，侯明冬等[6]提出一種新的抗飽和無模型的自適應(yīng)終端積分滑膜控制方法，該方法響應(yīng)速度快且跟蹤精度高，但是其跟蹤偏差的抖振較為明顯，不利于實際情況下小車的軌跡跟蹤實現(xiàn)。對于車類移動機器人的滑模軌跡跟蹤技術(shù)問題，潘天宇等[7]將滑?？刂破鞯牡人仝吔蛇M行改進，與自動導(dǎo)航車的軌跡跟蹤進行結(jié)合，該方法能較快地糾正不同轉(zhuǎn)彎半徑和不同速度的誤差，但該方法角度偏差的超調(diào)較大且跟蹤時間較長，并沒有保證軌跡的跟蹤精度。賴欣等[8]提出一種自適應(yīng)模糊滑模軌跡跟蹤控制器，該控制器實現(xiàn)了大幅度削弱抖振、降低穩(wěn)態(tài)誤差的功能，且能在較短時間內(nèi)進行軌跡跟蹤，但是其設(shè)計過程較為復(fù)雜。對于車式機器人的魯棒性弱的軌跡跟蹤運動控制問題，李愛娣等[9]利用反步法來設(shè)計車輛軌跡快速跟蹤控制器，該控制器使得車式機器人能快速且準(zhǔn)確地跟蹤給定期望的軌跡，姜立標(biāo)等[10]將特殊冪次函數(shù)和反雙曲正弦函數(shù)相結(jié)合，設(shè)計了一種組合公式的軌跡趨近律，實現(xiàn)了跟蹤控制器在車輛平順快速軌跡跟蹤時的參考期望軌跡。智能控制理論的發(fā)展使得車式移動機器人在軌跡跟蹤控制方面出現(xiàn)了許多新的控制算法[11-17]。文獻[18-19]將模糊算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合對智能車進行軌跡跟蹤控制研究，文獻[20]將模糊控制器與型預(yù)測控制方法相結(jié)合對智能車輛進行路徑跟蹤控制，提高控制效果。然而在實際控制應(yīng)用中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法往往需要大量的實驗數(shù)據(jù)和高昂的計算控制成本，而模型預(yù)測控制算法更是由于需要較高的控制精度和過長的線性優(yōu)化實現(xiàn)時間，不能完全滿足跟蹤控制數(shù)據(jù)實時性的嚴(yán)格要求。

針對跟蹤運動精度低、魯棒穩(wěn)定性弱的新型智能滑模小車的軌跡跟蹤控制問題，提出一種新型滑模趨近律的軌跡跟蹤運動控制器，該趨近律加入了變指數(shù)冪次項，并且可以在有限時間內(nèi)達到穩(wěn)定，提高了智能小車軌跡跟蹤系統(tǒng)的收斂速度，同時限制了其抖振現(xiàn)象的產(chǎn)生，使得小車的軌跡跟蹤誤差快速收斂到0，從而完成智能小車的穩(wěn)定軌跡跟蹤運動控制。

1 運動學(xué)及軌跡誤差模型

1.1 運動學(xué)模型的建立

當(dāng)智能小車進行軌跡跟蹤運動時，轉(zhuǎn)彎期間車體繞其幾何中心O點運動，如圖1所示。假設(shè)車身的質(zhì)心點與幾何中心點相重合，由圖1可知ω為小車本身轉(zhuǎn)彎時的角速度；Ro為點O距離車體幾何中心點M的直線距離；Ri(i=1,2,…,4)為點O距離每個車輪中心的距離；vo為智能小車幾何中心點M前進時的運動速度，其運動方向與縱軸y方向垂直，vo與ω的關(guān)系為vo=ωRo；vi(i=1,2,…,4)為小車每個輪子的中心運動速度，其與ω的關(guān)系為vi=ωRi。所以得到等式為

圖1 平面轉(zhuǎn)彎示意圖Fig.1 Plane turning diagram

(1)

當(dāng)小車忽略側(cè)向滑動時，為了輕松完成跟蹤車輛給定期望軌跡的目標(biāo)，需要控制其幾何中心線速度vo和旋轉(zhuǎn)角速度ω。由于智能小車的各種運動狀態(tài)都會隨著時間改變，如旋轉(zhuǎn)角速度、線速度、空間中位置狀態(tài)等。所以引入一個整體坐標(biāo)系和一個部分坐標(biāo)系來分別描述智能小車運動跟蹤的期望坐標(biāo)軌跡和實際跟蹤軌跡，如圖2所示。

圖2 整體坐標(biāo)系和部分坐標(biāo)系Fig.2 Global coordinate system and partial coordinate system

以整個大地為參照系建立整體坐標(biāo)系XOY，以小車本身為參照系建立部分坐標(biāo)系xoy。其中整個車身的幾何中心在整體坐標(biāo)系的坐標(biāo)用點M(x，y)表示；點D為小車在整體坐標(biāo)系中的一個位置點，用坐標(biāo)(xD,yD)表示；θ是小車車頭運動方向與整體坐標(biāo)系X軸之間的夾角[21-22]。由圖2可以看出點D在兩坐標(biāo)系之間的數(shù)學(xué)關(guān)系表達式為

(2)

式(1)中：x′和y′分別表示圖2中點D在部分坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)值。所以得到智能小車的運動在整體坐標(biāo)系XOY和部分坐標(biāo)系xoy之間的映射關(guān)系，可以用正交旋轉(zhuǎn)矩陣公式表示為

(3)

1.2 軌跡跟蹤誤差模型的建立

圖3 智能小車運動學(xué)位姿誤差坐標(biāo)圖Fig.3 Smart car movement degree and attitude error coordinate map

假設(shè)小車本身無任何滑動，可以得到智能小車運動學(xué)的方程為

(4)

所以智能小車的軌跡跟蹤誤差模型為

(5)

又由圖3可得

(6)

則有

(7)

由式(5)可得

(8)

對式(8)求導(dǎo)并結(jié)合式(6)、式(7)，可得智能小車的軌跡誤差模型為

(9)

2 小車軌跡跟蹤控制器設(shè)計

為了嚴(yán)格有效地進行軌跡跟蹤運動，設(shè)計出一種新型變指數(shù)冪次趨近律滑?？刂频能壽E跟蹤運動控制器，所以得圖4所示的結(jié)構(gòu)控制框圖。

圖4 結(jié)構(gòu)控制框圖Fig.4 Structure control block diagram

2.1 新型變指數(shù)冪次趨近律

通過參考文獻[23]的新型變指數(shù)冪次趨近律來設(shè)計滑模軌跡跟蹤運動控制器，該新型趨近律在傳統(tǒng)趨近律的基礎(chǔ)上加入了變指數(shù)冪次項，且可以在有限時間內(nèi)達到穩(wěn)定，具體方程為

(10)

(11)

式中：s表示系統(tǒng)狀態(tài)；α表示大于0小于1之間的實數(shù)；λ表示新型變指數(shù)冪次趨近律中的指數(shù)取值;sgn表示符號函數(shù)。從式(10)、式(11)可以看出，對于s的取值范圍不同，λ的取值結(jié)果也就不同，從而對應(yīng)冪次趨近律中的指數(shù)的選取不同，所以通過λ的自適應(yīng)變化就可以使得系統(tǒng)在不同的階段分別獲得比較快速的趨近速率。當(dāng)|s|<1趨近律等同于雙冪次組合函數(shù)的形式；當(dāng)|s|≥1趨近律又相當(dāng)于變指數(shù)冪次趨近律的形式。兩種形式都具有較快的趨近速率，對比傳統(tǒng)趨近律顯然擁有一定的優(yōu)勝性。

2.2 滑模面的設(shè)計

根據(jù)新型冪次趨近律即式(10)的時間收斂特性設(shè)計滑模面為

(12)

式(12)中：n1、n2表示大于0的正實數(shù)參數(shù)值；ωr≠0且為常數(shù)。

式(12)滿足新型冪次趨近律公式，即

(13)

2.3 穩(wěn)定性分析

定理1小車在基于新型變指數(shù)趨近律滑?？刂破魇?12)和式(13)的作用下，xe、ye和θe均可在有限時間內(nèi)收斂至0。

證明時間收斂特性證明：假如系統(tǒng)的初始狀態(tài)so=si(0)>1(i=1,2)。那么將系統(tǒng)從初始連續(xù)運動狀態(tài)到滑模面的連續(xù)收斂過程一般可以大致分為2主要個階段。第一階段：從最初狀態(tài)si(0)到si=1；第二階段：從si=1到滑模切換面[23]。

(1)滑模面s1=θe在有限的時間內(nèi)連續(xù)趨近到0的證明。

第一階段：當(dāng)系統(tǒng)從最初狀態(tài)so=si(0)>1到si=1時，可知|s1|>1。

此時趨近律可以寫為

(14)

求解式(11)需要考慮如下方程，即

(15)

(16)

得

(17)

(18)

解出上述的一階線性微分方程，得

(19)

又因為s1(0)=s0，所以可得常數(shù)C為

(20)

由式(19)、式(20)得到收斂時間為

(21)

即可求得從s0到s1=1的時間，即

(22)

綜上可知，系統(tǒng)從s0到s1=1所需時間小于t。

第二階段：系統(tǒng)從s1=1到達切換滑模面的階段，可知|s1|<1。

此時趨近律可以寫為

(23)

根據(jù)對應(yīng)的收斂時間，同理計算得

(24)

綜上可知，兩個階段的趨近情況在s1>0時，系統(tǒng)從初始狀態(tài)s0到s1=0的時間應(yīng)該小于上述兩個階段所需時間的總和t1+t2。

當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)s1<0時，其收斂到滑模面的時間同樣分為2個階段：從初始狀態(tài)s0到s1=-1和從s1=-1到滑模面，分析與計算原理與上述系統(tǒng)初始狀態(tài)s1>0時相同。

(2)滑模面s2=n1xe-n2ωrye在有限的時間內(nèi)趨近到0的證明。

記滑模面s1、s2的收斂時間分別為ts1、ts2。所以當(dāng)總時間t>ts1+ts2時，滑模面s1、s2可以收斂到0，此時的角速度和線速度可分別表示為

ωm=ωr

(25)

(26)

此時式(9)可變形為

(27)

(28)

(29)

因為xe漸近收斂到0，并且滑模面s1和s2已經(jīng)證明可以在有限時間內(nèi)收斂到0，所以可得ye也會漸近收斂到0。

綜上所述，小車在基于新型變指數(shù)趨近律滑模控制器的作用下，xe、ye和θe均可在有限時間內(nèi)收斂至0。

所以由式(10)、式(12)、式(13)可以得到軌跡跟蹤運動控制器的式子分別為

(30)

(31)

3 仿真結(jié)果及分析

由圖5可知，智能小車的軌跡跟蹤誤差可以在0.5 s內(nèi)收斂到0。圖6所示為速度控制器的曲線變化圖，由圖6可知，在新型冪次趨近律滑模軌跡跟蹤控制器v和ω的作用下，智能小車可以很好地跟蹤參考軌跡。

圖5 軌跡跟蹤誤差曲線Fig.5 Trajectory tracking error curve

為了更深入地驗證新型滑模冪次運動趨近律對軌跡跟蹤運動控制的聯(lián)合仿真有效性，將基于新型冪次趨近律的滑?？刂破髋c基于雙冪次趨近律的滑?？刂破鱗26]進行聯(lián)合仿真及其實驗對比，圖7、圖8分別為智能小車在新型冪次趨近律和雙冪次趨近律滑?？刂谱饔孟碌膶嶋H軌跡與參考軌跡的曲線對比圖，然后選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，得到如圖9所示的系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差xe、ye、θe的仿真對比結(jié)果圖。

圖8 兩趨近律跟蹤正弦型參考軌跡曲線Fig.8 Two reaching laws tracking sinusoidal reference trajectory curve

圖9 系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差仿真對比Fig.9 System trajectory tracking error simulation comparison

由圖9可知，基于新型冪次趨近律滑模控制器控制的軌跡跟蹤誤差的收斂速度明顯快于基于雙冪次趨近律滑模的軌跡跟蹤誤差控制器，而且其超調(diào)也明顯小于雙冪次趨近律滑?？刂破?，由此可知本文趨近律的跟蹤效果更好。

4 實際環(huán)境下的測試

為了充分驗證本文新型冪次趨近律滑?？刂破鞯臏?zhǔn)確性，將自主研發(fā)的智能小車放于實際環(huán)境中進行軌跡跟蹤實驗，硬件系統(tǒng)以樹莓派為核心控制器，智能小車的接收設(shè)備為WHEELTEC IMU慣性導(dǎo)航模塊，其速度精度為0.05 m/s，角度分辨率小于0.01°，角度重復(fù)性小于0.1°，位置測量精度為0.01 m， 智能小車跟蹤的軌跡選取為“8”字形，表達式為

(32)

圖10 實驗中的智能小車Fig.10 Smart car in experiment

由圖11可知，基于新型冪次趨近律的智能小車除了“8”字圓弧位置，其他位置均能較為平滑的跟蹤給定軌跡。圖12為該控制器下的跟蹤誤差曲線，可知由于其給定起始位姿與參照軌跡起始位姿不一致，導(dǎo)致較大的初始位姿偏差，在18～22 s和38～45 s區(qū)間，由于處于“8”字形弧度拐彎處，軌跡曲率大，導(dǎo)致就小車所受的側(cè)滑現(xiàn)象產(chǎn)生，同時伴隨離心力的影響，造成位姿偏差較大。其中xe、ye、θe的偏差范圍分別是：-0.32～0.36 m、-0.5～0.5 m、-0.4～0.2 rad。當(dāng)曲率較小時，智能小車可以做平滑的跟蹤運動，且跟蹤偏差趨于0。圖13為速度趨近律輸出變量變化曲線，可知：由于實際摩擦力的存在會導(dǎo)致速度的波動產(chǎn)生，但小車基本可以很好地跟蹤參考軌跡。 上述結(jié)果更加準(zhǔn)確的驗證了本文所提基于新型變指數(shù)趨近律的智能小車具有很好的跟蹤效果。

圖11 軌跡跟蹤曲線Fig.11 Trajectory tracking curve

圖12 軌跡跟蹤誤差曲線Fig.12 Trajectory tracking error curve

圖13 速度趨近律輸出變量變化曲線Fig.13 The output variable curve of the speed approaching law

5 結(jié)論

以新型智能滑模小車為主要研究實驗對象，建立其小車軌跡快速運動學(xué)原理控制系統(tǒng)模型并對其進行系統(tǒng)設(shè)計分析，提出一種基于新型變指數(shù)冪次趨近律滑模運動控制的小車軌跡快速跟蹤運動控制解決方案。提高軌跡跟蹤時指數(shù)趨近速度的同時不僅大大削弱了小車控制系統(tǒng)本身的抖振運動現(xiàn)象，并且還能使其具有很強的運動抗干擾能力，使得小車控制系統(tǒng)在進行軌跡跟蹤時的誤差快速收斂并能及時達到0。并且將其與雙冪次趨近律作用下的軌跡跟蹤控制算法仿真進行實驗對比，同時將小車在實際環(huán)境中進行了實驗，仿真的實驗結(jié)果充分驗證了本文所提控制策略的正確有效性，使智能小車在軌跡跟蹤時能夠具有更優(yōu)的軌跡跟蹤效果和更高的運動品質(zhì)。