孫紅亮，柳富勇，冷慧梅

（1.南京市浦口新城開(kāi)發(fā)建設(shè)有限公司，江蘇 南京 210000；2.南京長(zhǎng)江隧道有限責(zé)任公司；3.南京市水利規(guī)劃設(shè)計(jì)院股份有限公司，江蘇 南京 210037）

1 引言

地震災(zāi)害是一種常見(jiàn)的自然災(zāi)害，我國(guó)地處環(huán)太平洋和亞歐地震帶之間，是世界上大陸地區(qū)中地震活動(dòng)最活躍的國(guó)家之一。大量研究發(fā)現(xiàn)，實(shí)際地震時(shí)的地面運(yùn)動(dòng)是一種包括六個(gè)分量（三個(gè)平動(dòng)分量和三個(gè)扭轉(zhuǎn)分量）的多維運(yùn)動(dòng)，但與單方向設(shè)計(jì)反應(yīng)譜相匹配的地震動(dòng)加速度時(shí)程常用于評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)的抗震性能，幾乎世界主流的抗震設(shè)計(jì)規(guī)范都有相應(yīng)的條文規(guī)定[1，2]。我國(guó)的建筑和橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范雖然都考慮了雙向水平地震作用，但只是通過(guò)直接對(duì)兩個(gè)方向地震最大效應(yīng)進(jìn)行平方和開(kāi)方，此種方法過(guò)度簡(jiǎn)化了雙向地震耦合效應(yīng)。

針對(duì)此情況，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了研究。王東升等[3]結(jié)合實(shí)際地震動(dòng)的多維性和結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)的空間耦合特性，建立了恢復(fù)力特性滿足二維屈服面模型的理想彈塑性單質(zhì)點(diǎn)體系。余波等[4]通過(guò)對(duì)比強(qiáng)度退化、剛度退化等幾種典型滯回模型和對(duì)平面不對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)非彈性地震動(dòng)力響應(yīng)分析，提出了考慮雙向抗側(cè)恢復(fù)力之間的耦合效應(yīng)以及抗側(cè)和抗扭恢復(fù)力之間的耦合效應(yīng)的平扭耦聯(lián)Bouc-Wen模型。寧超列等[5]在文獻(xiàn)[4]研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)幾種滯回模型和雙向恢復(fù)力耦合效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)地震延性需求的影響進(jìn)行了量化分析，進(jìn)一步提出了等強(qiáng)度延性需求的均值譜和標(biāo)準(zhǔn)差譜的預(yù)測(cè)方程。Pavese等[6]對(duì)凹面滑塊在雙向地震作用下的橫向響應(yīng)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，結(jié)果表明，與單向地震相比，激勵(lì)有顯著性差異。Cheng X等[7]考慮了二維粘彈性邊界條件的影響，建立了結(jié)構(gòu)和流場(chǎng)模型，對(duì)跨海隧道結(jié)構(gòu)在滲流和雙向地震作用下的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。Solberg K等[8]通過(guò)雙向準(zhǔn)靜態(tài)和擬動(dòng)力橋墩試驗(yàn)研究了橋墩的損傷避免設(shè)計(jì)，結(jié)果表明，基于雙向抗震設(shè)計(jì)的橋墩抗震設(shè)防能力有了很大提高。余文正等[9]對(duì)等效線性化方法中的等效周期、等效阻尼比、阻尼調(diào)整系數(shù)和國(guó)外規(guī)范中的加速度反應(yīng)譜進(jìn)行了系統(tǒng)的研究和分析，結(jié)果表明，若根據(jù)中國(guó)規(guī)范中的加速度反應(yīng)譜采用國(guó)外的等效線性化方法進(jìn)行時(shí)程分析，其計(jì)算精度較低。

與減震結(jié)構(gòu)不同，橋梁隔震結(jié)構(gòu)主要是通過(guò)延長(zhǎng)橋梁周期、增大橋梁阻尼，限制地震能量進(jìn)入上部結(jié)構(gòu)，將結(jié)構(gòu)與地面運(yùn)動(dòng)分離開(kāi)，減少地震動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。由于橋梁隔震結(jié)構(gòu)的非線性比一般結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，對(duì)其進(jìn)行非線性時(shí)程分析時(shí)，受到計(jì)算耗時(shí)長(zhǎng)、結(jié)果離散性較大等許多因素制約。

等效線性化方法雖然可簡(jiǎn)便、快速地估算出結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)。但國(guó)內(nèi)外等效線性化方法都是基于非線性單自由度體系的，如圖1所示。隨著雙向地震動(dòng)耦合作用的深入研究，以往的等效線性化分析方法不能夠滿足雙向地震動(dòng)耦合模型的研究需求，需要提出新的基于雙向地震動(dòng)耦合作用的等效線性化分析方法。

圖1 非線性單自由度體系簡(jiǎn)化為等效線性單自由度體系

2 雙向地震耦合模型及等效線性模型

2.1 雙向地震動(dòng)耦合模型

本文動(dòng)力分析部分采用Newmark積分算法，非線性計(jì)算部分采用Newton-Raphson迭代法。同時(shí)考慮阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)體系地震動(dòng)響應(yīng)的影響，雙向地震分析采用雙向耦合的雙線性模型，如圖2所示。圖中，dypos、dyneg分別表示正、負(fù)方向，F(xiàn)ypos、Fyneg分別表示正、負(fù)方向屈服強(qiáng)度，K表示初始剛度，Khpos、Khneg分別表示正、負(fù)方向退化剛度。

雙向耦合雙線性模型是在雙線性模型的基礎(chǔ)上，考慮兩個(gè)垂直方向的相互作用關(guān)系，并通過(guò)歐拉過(guò)程實(shí)現(xiàn)雙向耦合作用，屈服面由式（1）決定。

考慮兩個(gè)垂直方向的相互③作用關(guān)系，并通

式中，F(xiàn)1、F2分別表示兩個(gè)方向上的力；Fy1、Fy2分別表示兩個(gè)方向的屈服強(qiáng)度；n表示雙向耦合作用系數(shù)。本文n值取2，以圓形屈服面假定為基礎(chǔ)，建立雙向耦合的恢復(fù)力模型如圖3所示。

圖3 有無(wú)耦合作用的屈服面示意圖

2.2 等效線性模型

考慮水平地震作用的非線性單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程如式（2）所示。

式中，m、ξ0、RF（）分別為體系質(zhì)量、體系阻尼比和恢復(fù)力函數(shù)為地面加速度；為質(zhì)量相對(duì)于地面的位移；ω0為體系的自振圓頻率，根據(jù)初始剛度k0和體系的振動(dòng)周期來(lái)定義初始周期T0。

將式（3）代入式（2）得：

非線性單自由度體系能夠承受最大的非線性變形由延性系數(shù)μ決定。按照等效線性化方法，公式（4）可以由公式（5）近似計(jì)算。

式中，Teq和ξeq分別為等效周期和等效阻尼比。

本文采用割線法確定等效周期和有效阻尼比的常用方法，如圖4所示。

圖4 割線剛度法示意圖

圖中，k0為彈性剛度；αk0為屈服后剛度；Fy為屈服強(qiáng)度；Uy為屈服位移；Um為峰值位移；μ=Um/Uy，為延性系數(shù)；keq為等效線性體系剛度。

由于非線性體系中的滯回行為消耗能量，Teq將比T0長(zhǎng)，ξeq將大于ξ0，其中：

2.3 基于初始周期的Teq、ξeq研究

選取多個(gè)具有代表意義的計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)比，本文僅列出其中三種方法。Kwan和Billington[10]使用Iwan的方法和20個(gè)地面運(yùn)動(dòng)記錄，得出以下等式（有效周期為0.1s-1.5s)：

式中，系數(shù)C1和C2隨著滯回模型不同而變化，對(duì)于彈塑性模型和輕/中度退化模型，C1=0.5，C2=0.56。

Blandon和Priestley[11]使用六個(gè)合成地震波進(jìn)行迭代分析，提出了以式（12）來(lái)求解等效阻尼比：

式中，N為標(biāo)準(zhǔn)化因子；a、b、c、d為考慮滯回模型的常數(shù)。

Zaharia和Taucer[12]以Iwan公式為基礎(chǔ)，提出與歐洲規(guī)范頻譜相兼容的等效線性化方程，如下所示：

式中，A、a、B、b 為考慮滯回模型和反應(yīng)譜類(lèi)型的常數(shù)。

圖5為目前主流的經(jīng)典等效線性化模型計(jì)算效果圖。

圖5 不同等效線性化模型的計(jì)算效果對(duì)比圖

3 計(jì)算模型

現(xiàn)有研究表明，無(wú)論是等效周期還是等效阻尼比，均是以初始周期為影響參數(shù)。因此，本文將等效周期和等效阻尼比定義為延性系數(shù)和初始周期的等式，分別計(jì)算X方向和Y方向的等效周期和等效阻尼比。同時(shí)，選取地震波數(shù)據(jù)庫(kù)太平洋工程地震研究中心（PEER）的4條地震波記錄，見(jiàn)表1。

表1 地震波參數(shù)表

考慮到對(duì)于同一次地震，地震動(dòng)記錄儀不同方向的最大地震響應(yīng)各不相同，因此，通過(guò)Hilbert變換法進(jìn)行地震波合成，將原地震波作為X方向地震動(dòng)輸入，Hilbert轉(zhuǎn)換波作為Y方向地震動(dòng)輸入。其中，Teq的等式定義為μ和T0的函數(shù)，Teq=Teq（μ,T0）；ξeq的等式定義為ξ0、μ和T0的函數(shù)，。計(jì)算模型如下：

式中，A、B、C、a、b、c為回歸分析確定的計(jì)算常數(shù)。

在初始周期i范圍內(nèi)，Teq和ξeq的值是使平均非線性位移和平均等效線性位移之間比值的均方根誤差最小的耦合，由下式給出：

式中，N為地震波總數(shù)。

具體步驟為（以X方向?yàn)槔?/p>

①設(shè)置等效阻尼比的最小值和最大值。

②設(shè)置等效周期的有效范圍。

③設(shè)置延性系數(shù)的取值和用于非線性分析的滯回模型。

④根據(jù)結(jié)構(gòu)初始周期、初始阻尼和延性系數(shù)，計(jì)算第k組地震波作用下的結(jié)構(gòu)非線性位移（SDnl）k：

⑤擬定等效周期和等效阻尼比，將結(jié)構(gòu)等效為線性單自由度體系，計(jì)算第k組地震波作用下的結(jié)構(gòu)等效線性位移（SDe）k：

⑥計(jì)算初始周期為i的等效線性位移和非線性位移的誤差ε：

⑦計(jì)算對(duì)于所有地震波作用下，初始周期為i的等效線性位移譜和非線性位移譜之間的比值的均方根誤差

式中，Nk為地震波的總組數(shù)。

⑧找出Teq（T0,μ）和ξeq（ξ0,T0,μ）的最佳組合，給出最小RMS誤差。

為了驗(yàn)證最佳組合是否合理，在每個(gè)周期（i）中計(jì)算等效線性位移與非線性位移的比值和所有地震波的平均比值：

⑨對(duì)Teq和ξeq的曲線進(jìn)行非線性回歸分析。

4 計(jì)算結(jié)果分析

初始參數(shù)及條件分為線性分析和非線性分析條件。

①線性條件。

ξeq取5%至50%，間隔為1%，并以等式（11）計(jì)算的結(jié)果為上限；周期比的范圍Teq/T0設(shè)置為1s～4s，間隔為0.01s，并以等式（10）計(jì)算的結(jié)果為上限。

②非線性條件。

雙向非線性計(jì)算采用雙向耦合的雙線性模型，屈服后剛度取相應(yīng)線性剛度的0.05倍；延性系數(shù)μ取值分別為1、1.5、2、3、4、5、6；初始阻尼系數(shù)ξ0設(shè)置為5%；周期范圍T0設(shè)置為0.1s～4s，間隔為0.02s。

計(jì)算最大位移估計(jì)誤差時(shí)，采用Guyader 和Iwan（2006）提出的誤差容許范圍，將誤差值的最佳范圍控制在-20%和+20%之間。

利用線性位移和非線性位移對(duì)4條地震波的計(jì)算效果如圖6～圖9所示，可以看出兩者吻合較好。將不同地震波計(jì)算出來(lái)的等效周期和等效阻尼比取平均值，經(jīng)過(guò)非線性回歸分析擬合曲線可得到式（13）和式（14）各系數(shù)的值，見(jiàn)表2。

圖6 非線性位移與等效線性位移對(duì)比（地震波RIV180）

圖7 非線性位移與等效線性位移對(duì)比（地震波MEL090）

圖8 非線性位移與等效線性位移對(duì)比（地震波BLD090）

圖9 非線性位移與等效線性位移對(duì)比（地震波L4B090）

表2 等效線性方程各參數(shù)數(shù)值

本文提出的公式與Guyader和Iwan（2006）給出的公式相比整體上趨勢(shì)相同，與其他的等效線性化方法沒(méi)有出現(xiàn)較大誤差，說(shuō)明本文提出的等效線性化方法具有合理性，如圖10所示。同時(shí)，Teq/T0和ξeq整體上隨著初始周期T0變化而變化。當(dāng)初始周期較小時(shí)，T0對(duì)Teq/T0和ξeq的影響較大；當(dāng)初始周期較大時(shí)，T0對(duì)Teq/T0和ξeq的影響較小，說(shuō)明本文提出的計(jì)算方法也具有合理性。

圖10 X方向上不同線性化模型計(jì)算效果對(duì)比

5 結(jié)語(yǔ)

本文參照較為成熟的單向地震動(dòng)作用下的等效線性化研究方法，結(jié)合國(guó)內(nèi)外研究成果，提出了基于雙向耦合恢復(fù)力模型、等效阻尼比ξeq和初始周期T0有關(guān)的等效線性化研究方法。將線性位移和非線性位移的誤差控制在-20%至+20%范圍之內(nèi)，并通過(guò)與經(jīng)典的等效線性化方法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的合理性。但是本文在地震波的處理上仍有欠缺，僅通過(guò)Hibert變換進(jìn)行了簡(jiǎn)單的波處理，沒(méi)有進(jìn)一步對(duì)地震波的噪聲進(jìn)行處理，因而導(dǎo)致結(jié)果可能有誤差。