項(xiàng)四通，吳鋮洋

（寧波大學(xué)，寧波 315211）

數(shù)控機(jī)床能加工各種復(fù)雜工件，生產(chǎn)效率高、靈活性好且裝夾時(shí)間短，對(duì)提升我國(guó)制造業(yè)水平具有舉足輕重的作用。由于機(jī)床制造與安裝過(guò)程中存在偏差，導(dǎo)致一定程度的幾何誤差。后者直接映射到工件尺寸上，影響加工精度，因而需要對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償。但是，由于幾何誤差較多，逐項(xiàng)測(cè)量并補(bǔ)償全部幾何誤差工作量較大，因而需要辨識(shí)出關(guān)鍵幾何誤差，從而提高補(bǔ)償效率。

靈敏度分析是一種研究物理系統(tǒng)的輸出對(duì)系統(tǒng)輸入?yún)?shù)變化敏感程度的方法，能有效識(shí)別對(duì)系統(tǒng)輸出變化最敏感的參數(shù)。近年來(lái)，靈敏度分析逐漸成為機(jī)床精度優(yōu)化領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。本研究綜述了靈敏度分析在數(shù)控機(jī)床精度優(yōu)化中的應(yīng)用研究現(xiàn)狀，并進(jìn)一步總結(jié)現(xiàn)存研究難點(diǎn)，展望其發(fā)展趨勢(shì)。

靈敏度分析方法

數(shù)學(xué)模型是工程決策中的重要工具。隨著日益增強(qiáng)的計(jì)算能力和日益豐富的可用數(shù)據(jù)，模型日趨復(fù)雜，其輸入?yún)?shù)亦隨之增多，必須理解這些輸入?yún)?shù)的不確定性對(duì)模型輸出結(jié)果的影響。

靈敏度分析是用于研究模型不確定性的一種重要工具，可定義為“模型輸出的不確定性如何分配到模型不同輸入來(lái)源的研究”[1]。如圖1所示，它與“不確定性分析”密切相關(guān)，但有所不同。不確定性分析側(cè)重于外部因素干擾導(dǎo)致模型輸入?yún)?shù)改變時(shí)，分析模型輸出的不確定性。而靈敏度分析側(cè)重于模型輸出產(chǎn)生不確定性變化時(shí)，分析由不同輸入?yún)?shù)變化導(dǎo)致的影響程度。

圖1 靈敏度分析與不確定性分析Fig.1 Sensitivity analysis and uncertainty analysis

根據(jù)輸入?yún)?shù)是否同時(shí)變化，可將靈敏度分析分為局部靈敏度分析和全局靈敏度分析[2]。局部靈敏度分析僅檢驗(yàn)單個(gè)參數(shù)的變化對(duì)輸出結(jié)果的影響程度，其他參數(shù)只取中心值；全局靈敏度分析檢驗(yàn)多個(gè)參數(shù)同時(shí)變化及參數(shù)之間的相互作用對(duì)輸出結(jié)果的影響，其結(jié)果受多個(gè)輸入?yún)?shù)影響。

1 局部靈敏度分析

局部靈敏度分析亦稱(chēng)“一次變化法”[3]，僅檢驗(yàn)一個(gè)參數(shù)，其他參數(shù)取中心值，評(píng)價(jià)輸出結(jié)果在該參數(shù)變化時(shí)的變化量。主要有兩種方法： （1）因子變化法，如將輸入?yún)?shù)增加或減少10%； （2）偏微分法，即模型輸出對(duì)輸入變量求偏微分，如式（1）所示。

式中，Si為第i個(gè)輸入?yún)?shù)的靈敏度，xi為輸入?yún)?shù)，f（x）為模型輸出。

在機(jī)床精度優(yōu)化方面，偏微分法是最常用的局部靈敏度分析方法，通過(guò)機(jī)床空間誤差模型對(duì)某個(gè)幾何誤差求偏微分來(lái)估算該幾何誤差的靈敏度大小[4]。該方法機(jī)理簡(jiǎn)單，可操作性強(qiáng)，但存在以下缺點(diǎn)：（1）一次僅分析一項(xiàng)誤差，計(jì)算效率較低； （2）僅考慮單項(xiàng)幾何誤差的變化，將其他幾何誤差視為固定值，忽略了實(shí)際幾何誤差隨運(yùn)動(dòng)位置而變化，以及幾何誤差間的耦合作用，影響了分析結(jié)果； （3）求偏微分僅得到解析關(guān)系，忽略了誤差本身數(shù)值大小。

2 全局靈敏度分析

全局靈敏度分析方法分為定性分析與定量分析[5]。前者亦稱(chēng)“因子篩選靈敏度分析”，僅定性分析輸入?yún)?shù)的不確定性對(duì)輸出結(jié)果的影響程度大小，以較小計(jì)算量獲取各輸入?yún)?shù)靈敏度大小的排序。后者定量給出各參數(shù)的不確定性對(duì)輸出結(jié)果不確定性的貢獻(xiàn)度，其計(jì)算量較大，但準(zhǔn)確性較高。

2.1 定性全局

傅里葉幅度靈敏度檢驗(yàn)法[6]（Fourier amplitude sensitivity test，F(xiàn)AST）適用于非線性、非單調(diào)性模型的靈敏度分析，通過(guò)引入一個(gè)獨(dú)立參數(shù)，將多維參數(shù)空間內(nèi)的積分轉(zhuǎn)化為一維參數(shù)的積分。首先對(duì)各參數(shù)給出一個(gè)整數(shù)頻率，將模型轉(zhuǎn)換為該參數(shù)的周期函數(shù)，然后根據(jù)傅里葉變換分析輸出結(jié)果，獲取各頻率對(duì)應(yīng)的傅里葉幅度值。

標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)法[7]（Standardized regression coefficients，SRCs），也稱(chēng)“多元回歸法”，基于拉丁超幾何體取樣，將每個(gè)參數(shù)的概率分布函數(shù)的縱軸（0～1）分成幾個(gè)等間隔區(qū)間，每個(gè)區(qū)間分別對(duì)應(yīng)橫軸參數(shù)的一個(gè)等概率區(qū)間。若一個(gè)模型有n個(gè)參數(shù)，每個(gè)參數(shù)的概率分布分為m個(gè)區(qū)間，則有n×m個(gè)組合。矩陣的每一行作為各參數(shù)的輸入值，獲取模擬結(jié)果。最終，各參數(shù)的靈敏度大小可用模擬結(jié)果與各輸入?yún)?shù)的多元線性回歸系數(shù)或偏相關(guān)系數(shù)表示。

Morris法[8]能夠?qū)?shù)的靈敏度排序及參數(shù)間相互作用進(jìn)行全局分析，其優(yōu)勢(shì)是計(jì)算量較小。該方法具有隨機(jī)性，一次采樣易產(chǎn)生誤差，因此可進(jìn)行多次重復(fù)，取平均值反映輸入?yún)?shù)的靈敏度。其標(biāo)準(zhǔn)差可用于反映參數(shù)間相互作用，標(biāo)準(zhǔn)差的大小可反映相互作用強(qiáng)弱。該方法可簡(jiǎn)單準(zhǔn)確地確定各參數(shù)靈敏度大小，可用于排除靈敏度較小的參數(shù)，再對(duì)其余參數(shù)進(jìn)行定量全局靈敏度分析。

2.2 定量全局

定量全局靈敏度分析可定量確定各參數(shù)對(duì)于輸出結(jié)果不確定性的貢獻(xiàn)度，主要有Sobol法和傅里葉幅度靈敏度檢驗(yàn)擴(kuò)展法（Extended Fourier amplitude sensitivity test，EFAST）。上述兩種方法均基于方差原理，認(rèn)為方差可完全反映輸出結(jié)果的不確定性；不僅計(jì)算參數(shù)對(duì)輸出結(jié)果的單獨(dú)影響，還考慮參數(shù)間的相互作用。

Sobol法[9]的基本原理為方差分解，首先將系統(tǒng)模型分解為單個(gè)參數(shù)及多個(gè)參數(shù)相互組合的函數(shù)，然后求出每個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的靈敏度系數(shù)。該方法將模型視為黑箱，運(yùn)用“蒙特卡羅”求積分法求出總方差及偏方差，獲取一階靈敏度系數(shù)和總靈敏度系數(shù)[10]。

傅里葉幅度靈敏度檢驗(yàn)擴(kuò)展法[11]結(jié)合Sobol法與FAST法的優(yōu)點(diǎn)，由傅里葉變換獲取傅里葉級(jí)數(shù)頻譜，分別計(jì)算由每個(gè)參數(shù)及參數(shù)的相互作用所引起輸出結(jié)果的方差。EFAST的優(yōu)點(diǎn)在于精度相仿的前提下，計(jì)算量遠(yuǎn)小于Sobol法。Sobol法需通過(guò)兩次取樣得到某參數(shù)的一次靈敏度和總靈敏度，而EFAST僅需一次取樣即可獲得某參數(shù)的一次靈敏度和總靈敏度。

表1總結(jié)了上述方法的優(yōu)缺點(diǎn)[12]。目前，Sobol法和EFAST法是較為準(zhǔn)確、應(yīng)用較為廣泛的兩種靈敏度分析方法。

表1 靈敏度分析方法對(duì)比Table 1 Comparison of sensitivity analysis methods

近年來(lái)，靈敏度分析逐漸成為機(jī)床關(guān)鍵誤差辨識(shí)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，常應(yīng)用于機(jī)床精度設(shè)計(jì)與工件加工精度分析。目前，靈敏度分析以面向機(jī)床精度設(shè)計(jì)居多，面向工件加工精度較少。

在機(jī)床精度設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用

精度設(shè)計(jì)是提高數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)精度的重要方法，誤差靈敏度分析則是機(jī)床精度設(shè)計(jì)的重要理論依據(jù)。首先，根據(jù)各誤差對(duì)機(jī)床空間精度的影響程度確定誤差靈敏度系數(shù)。然后，根據(jù)誤差靈敏度系數(shù)，在機(jī)床工作空間內(nèi)搜尋關(guān)鍵結(jié)構(gòu)或關(guān)鍵誤差。最終，在機(jī)床設(shè)計(jì)階段對(duì)關(guān)鍵結(jié)構(gòu)或誤差進(jìn)行針對(duì)性控制，通過(guò)公差設(shè)計(jì)，提升關(guān)鍵零部件的制造精度，從而提高機(jī)床運(yùn)動(dòng)精度。

在機(jī)床精度設(shè)計(jì)應(yīng)用方面，靈敏度分析常用于公差設(shè)計(jì)、關(guān)鍵結(jié)構(gòu)與關(guān)鍵誤差辨識(shí)兩個(gè)方面。前者對(duì)應(yīng)機(jī)床設(shè)計(jì)階段，通過(guò)“誤差防止”提高機(jī)床精度；后者對(duì)應(yīng)機(jī)床加工階段，通過(guò)“誤差補(bǔ)償”提高機(jī)床精度。

1 機(jī)床公差設(shè)計(jì)

在機(jī)床結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與裝配階段，公差設(shè)計(jì)不僅影響機(jī)床運(yùn)動(dòng)精度，同時(shí)決定了裝配成本。目前機(jī)床裝配工藝大多依賴(lài)于設(shè)計(jì)人員經(jīng)驗(yàn)，缺乏量化的裝配測(cè)量工藝研究，導(dǎo)致裝配過(guò)程效率較低。郭俊康等[13]根據(jù)靈敏度分析提出了基于誤差狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)的精密機(jī)床裝配工藝決策方法，根據(jù)加工件的精度要求進(jìn)行機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸公差設(shè)計(jì)。宋軼民等[14]將影響末端姿態(tài)精度的幾何誤差分離為可補(bǔ)償誤差與不可補(bǔ)償誤差兩類(lèi)，對(duì)于不可補(bǔ)償誤差，以靈敏度分析確定公差分配權(quán)重；將不可補(bǔ)償誤差的公差值放松至最大可行區(qū)間，借助遺傳算法實(shí)現(xiàn)了精度設(shè)計(jì)。

目前，公差設(shè)計(jì)逐漸轉(zhuǎn)向公差優(yōu)化設(shè)計(jì)，即在達(dá)到運(yùn)動(dòng)精度要求的前提下，盡可能降低成本。通過(guò)靈敏度分析，可獲得公差對(duì)機(jī)床運(yùn)動(dòng)精度的貢獻(xiàn)度，為改進(jìn)公差設(shè)計(jì)結(jié)果提供依據(jù)。公差設(shè)計(jì)的具體方法為：將運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差的公差帶作為自變量，將機(jī)床運(yùn)動(dòng)精度作為因變量，利用蒙特卡洛方法和數(shù)據(jù)回歸等方法，找到兩者間的映射關(guān)系；在此關(guān)系基礎(chǔ)上，根據(jù)實(shí)際檢驗(yàn)要求，設(shè)計(jì)各運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差的公差帶。

公差優(yōu)化設(shè)計(jì)的關(guān)鍵為建立目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，并求解各項(xiàng)幾何誤差的最優(yōu)公差帶。常見(jiàn)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)如式（2）所示，并采用遺傳算法求解此優(yōu)化問(wèn)題，最終得到在最低成本下的誤差公差帶。

式中，Ci為成本函數(shù)，表示第i項(xiàng)幾何誤差ei的公差帶Vi決定的成本，Ex，Ey，Ez分別表示由各幾何誤差引起的X、Y、Z方向的空間誤差。

劉奕穎等[15]采用正交試驗(yàn)得到精度要求與機(jī)床幾何誤差公差帶之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，基于多元線性方法進(jìn)行靈敏度分析。采用自適應(yīng)遺傳算法針對(duì)精密坐標(biāo)鏜床的29項(xiàng)幾何誤差進(jìn)行公差帶設(shè)計(jì)與分配，在保證工件加工精度達(dá)到要求且成本最低的前提下，放寬了機(jī)床裝配精度要求。

Wu等[16]基于正交試驗(yàn)溯源了三軸數(shù)控機(jī)床中的13項(xiàng)關(guān)鍵幾何誤差，并通過(guò)求解優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，給出了IT2～I(xiàn)T10不同公差等級(jí)下各關(guān)鍵誤差的公差帶。該方法在成本函數(shù)中同時(shí)考慮了夾具成本、制造成本與失效成本。Cai等[17]在目標(biāo)函數(shù)中同時(shí)考慮失效概率、制造成本與預(yù)期質(zhì)量損失，且在約束條件中增加了平均失效概率與最大失效概率，如式（3）所示。

式中，C表示總成本；Cfix表示夾具成本；Ci/σi表示第i項(xiàng)幾何誤差公差帶決定的制造成本；Cfs表示失效成本；Pfs表示失效概率。

Cheng等[18]基于Sobol法計(jì)算出數(shù)控機(jī)床幾何誤差的一階靈敏度與全局靈敏度，并將靈敏度分析結(jié)果集成于成本函數(shù)中，從而進(jìn)行公差優(yōu)化設(shè)計(jì)，如式（4）所示。

式中，N表示幾何誤差數(shù)量；Ci表示對(duì)于誤差i的成本函數(shù)；Ai表示誤差i的靈敏度；Δi為誤差i的公差帶；E0為誤差初始值。

此外，Tian等[19]針對(duì)1臺(tái)四軸數(shù)控機(jī)床，將機(jī)床的幾何誤差分為可補(bǔ)償與不可補(bǔ)償兩類(lèi)。可補(bǔ)償誤差可通過(guò)補(bǔ)償實(shí)現(xiàn)精度提升，只有不可補(bǔ)償誤差需進(jìn)行公差設(shè)計(jì)。Ni等[20]針對(duì)并聯(lián)主軸，分析了影響主軸精度的運(yùn)動(dòng)副，也將誤差分為可補(bǔ)償與不可補(bǔ)償兩類(lèi)，并對(duì)不可補(bǔ)償誤差進(jìn)行靈敏度分析與成本目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化，并求解出最優(yōu)公差帶。Zhong等[21]通過(guò)偏微分法計(jì)算裝配誤差對(duì)機(jī)床運(yùn)動(dòng)精度的靈敏度，判斷出最關(guān)鍵的裝配誤差，并通過(guò)調(diào)整對(duì)應(yīng)導(dǎo)軌安裝松緊程度提高機(jī)床的運(yùn)動(dòng)精度。

2 機(jī)床關(guān)鍵結(jié)構(gòu)與關(guān)鍵誤差辨識(shí)

數(shù)控機(jī)床幾何誤差較多，逐項(xiàng)測(cè)量并補(bǔ)償全部幾何誤差的工作量較大，影響補(bǔ)償效率。因此，在機(jī)床誤差補(bǔ)償階段，通過(guò)靈敏度分析判別出影響機(jī)床運(yùn)動(dòng)精度的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)或關(guān)鍵幾何誤差，僅對(duì)關(guān)鍵結(jié)構(gòu)或關(guān)鍵誤差進(jìn)行補(bǔ)償，從而提高補(bǔ)償效率。

關(guān)鍵結(jié)構(gòu)與關(guān)鍵誤差的具體辨識(shí)步驟如下：（1）利用齊次坐標(biāo)變換和多體系統(tǒng)理論建立數(shù)控機(jī)床的空間誤差模型；（2）通過(guò)靈敏度分析確定各幾何誤差對(duì)機(jī)床精度的影響程度，確定關(guān)鍵結(jié)構(gòu)或關(guān)鍵幾何誤差；（3）重點(diǎn)設(shè)計(jì)關(guān)鍵機(jī)床結(jié)構(gòu)，通過(guò)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)償關(guān)鍵誤差。

在機(jī)床關(guān)鍵結(jié)構(gòu)辨識(shí)方面，李天箭等[22]通過(guò)求解機(jī)床大件結(jié)構(gòu)和整機(jī)的固有頻率對(duì)于剛度、質(zhì)量的靈敏度，確定結(jié)構(gòu)薄弱環(huán)節(jié)，明確動(dòng)力學(xué)優(yōu)化方向；采用模態(tài)預(yù)測(cè)和靈敏度分析計(jì)算出合理的質(zhì)量與剛度，提升機(jī)床的大件結(jié)構(gòu)及整機(jī)的動(dòng)態(tài)性能。最終，通過(guò)上述優(yōu)化設(shè)計(jì)，將動(dòng)態(tài)特性薄弱環(huán)節(jié)即主軸箱的占動(dòng)特性提升50%以上，將整機(jī)固有頻率提升11.9%。Fu等[23]提出了數(shù)控機(jī)床幾何誤差貢獻(xiàn)度建模和靈敏度評(píng)估方法，根據(jù)機(jī)床空間誤差模型及幾何誤差的微分變化，分析各幾何誤差的貢獻(xiàn)度，從而建立各軸的誤差靈敏度矩陣，最終以誤差貢獻(xiàn)度和誤差靈敏度系數(shù)評(píng)估機(jī)床的關(guān)鍵軸，為機(jī)床設(shè)計(jì)與制造提供有效指導(dǎo)。Cheng等[24]采用Morris法進(jìn)行靈敏度分析，判斷出Y軸導(dǎo)軌精度為影響機(jī)床空間精度的主要因素，更換導(dǎo)軌后的機(jī)床Y向運(yùn)動(dòng)精度提高20%，驗(yàn)證了靈敏度分析在關(guān)鍵誤差補(bǔ)償方面的可行性。

在機(jī)床關(guān)鍵誤差辨識(shí)方面，楊赟等[4]以30臺(tái)立式加工中心的誤差平均值為先驗(yàn)數(shù)據(jù)，基于偏微分方法進(jìn)行靈敏度分析，求解了一類(lèi)結(jié)構(gòu)立式加工中心的關(guān)鍵幾何誤差，有助于批量提高機(jī)床精度與補(bǔ)償效率。Chen等[25]利用均勻采樣方法將機(jī)床工作空間離散為若干點(diǎn)，并提出Spearman等級(jí)相關(guān)方法分析單項(xiàng)誤差與整個(gè)采樣工作空間姿態(tài)誤差之間的關(guān)系，最終辨識(shí)出四軸機(jī)床的10項(xiàng)關(guān)鍵誤差，通過(guò)對(duì)測(cè)試路徑的偏差進(jìn)行補(bǔ)償，將精度提高86.5%。Guo等[26]基于EFAST，辨識(shí)出五軸機(jī)床的13項(xiàng)關(guān)鍵幾何誤差，建立了多目標(biāo)質(zhì)量損失和精度魯棒性權(quán)衡函數(shù)，利用遺傳算法求解得到誤差值的最佳補(bǔ)償量，補(bǔ)償后運(yùn)動(dòng)軌跡精度提高73.7%。該方法充分考慮了機(jī)床工作空間中幾何誤差的概率分布，克服了特定位置分析的缺陷。Liu等[27]基于Sobol法對(duì)雙主軸對(duì)稱(chēng)超精密滾筒車(chē)床的幾何誤差進(jìn)行全行程靈敏度分析，并以平均靈敏度系數(shù)評(píng)價(jià)各幾何誤差對(duì)全行程加工精度的總體影響。靈敏度分析結(jié)果表明，由于誤差累積效應(yīng)，當(dāng)任意平動(dòng)軸的移動(dòng)距離增大時(shí)，該軸產(chǎn)生的敏感誤差對(duì)加工精度的影響隨之增大。余文利等[28]采用EFAST分析和量化幾何誤差靈敏度，識(shí)別出三軸數(shù)控機(jī)床的10項(xiàng)強(qiáng)耦合的關(guān)鍵幾何誤差，并利用方差與靈敏度系數(shù)之間的定量關(guān)系來(lái)補(bǔ)償機(jī)床幾何誤差的隨機(jī)特性。郭世杰等[29]采用拉丁超立方抽樣方法對(duì)三軸數(shù)控機(jī)床整個(gè)工作空間抽樣，確定各誤差元素引起的空間幾何誤差，并通過(guò)相關(guān)性分析辨識(shí)出關(guān)鍵幾何誤差，有效避免了單因素分析的缺陷，補(bǔ)償后運(yùn)動(dòng)軌跡的垂直度和圓度均提高70%以上。

此外，靈敏度分析在機(jī)床精度保持性研究方面亦有應(yīng)用。王永青等[30]采用Sobol法，確定了各幾何誤差時(shí)變狀態(tài)對(duì)機(jī)床空間位置精度保持性的影響，并以某三軸立式加工中心的9項(xiàng)關(guān)鍵精度指標(biāo)進(jìn)行了為期400 d的跟蹤檢測(cè)，分析出機(jī)床空間精度保持性隨時(shí)間的變化規(guī)律，完成誤差靈敏度定量評(píng)估。Niu等[31]為評(píng)估機(jī)床在長(zhǎng)工作時(shí)間下的精度保持性，提出了一種基于誤差非線性相關(guān)的加工精度可靠性分析方法，利用多體建模技術(shù)確定了加工精度與誤差間的非線性關(guān)系，通過(guò)引入并計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)，分析了誤差相互作用對(duì)加工精度可靠性的影響。

在工件加工精度方面的優(yōu)化應(yīng)用

由于實(shí)際加工中刀具路徑不同，工件受幾何誤差的影響不同，導(dǎo)致影響工件加工精度的關(guān)鍵幾何誤差不同于影響機(jī)床整機(jī)精度的誤差。由于工件的加工精度是評(píng)價(jià)機(jī)床精度的最終標(biāo)準(zhǔn)，在保證機(jī)床自身精度的基礎(chǔ)上，需要針對(duì)不同工件辨識(shí)關(guān)鍵幾何誤差。

面向工件加工精度的關(guān)鍵幾何誤差辨識(shí)中，考慮工件形狀至關(guān)重要。以五軸加工為例，工件結(jié)構(gòu)通常較為復(fù)雜，包含各類(lèi)平面特征（如孔、槽、斜面等）與各式曲面區(qū)域（如凹面、凸面、鞍面等）。上述結(jié)構(gòu)的切削路徑各不相同，不同切削路徑映射對(duì)應(yīng)的幾何誤差，因而每個(gè)特征與區(qū)域的加工精度受幾何誤差的影響程度有所不同。如圖2（a）所示，典型曲面可按形狀指數(shù)S在[-1, 1]之間變化，分為凹面、凸面與鞍面共10種曲面類(lèi)型[32]，在加工時(shí)受機(jī)床幾何誤差的影響程度不同。如圖2（b）所示，具有相同形狀指數(shù)S的曲面，若彎曲指數(shù)C不同，它們所對(duì)應(yīng)的幾何誤差亦不同。

圖2 不同形狀指數(shù)與彎曲指數(shù)下的曲面Fig.2 Curved surface under different shape indices and deformation indices

傳統(tǒng)的靈敏度分析方法通常采用整個(gè)加工區(qū)域的靈敏度分析，然而由于幾何誤差在工件不同區(qū)域?qū)ζ湫螤钫`差的影響不同，可能影響靈敏度分析結(jié)果，從而降低補(bǔ)償精度。因此，F(xiàn)an等[33]根據(jù)S件開(kāi)閉角和扭曲角將工件分為5個(gè)區(qū)域，提出一種定量間隔靈敏度分析方法，并辨識(shí)出各區(qū)域的關(guān)鍵幾何誤差，最終通過(guò)仿真和試驗(yàn)證明了該方法的可行性和有效性。

Tao等[34]利用隨機(jī)森林對(duì)任意曲面的幾何誤差進(jìn)行排序分析，首先將工件表面沿刀具軌跡離散，建立包含21項(xiàng)幾何誤差、工件形狀誤差和尺寸誤差的誤差數(shù)據(jù)集；然后通過(guò)對(duì)誤差數(shù)據(jù)集應(yīng)用隨機(jī)森林，將關(guān)鍵幾何誤差的識(shí)別問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特征選擇問(wèn)題，最終通過(guò)數(shù)值仿真分析了各幾何誤差對(duì)4種典型曲面尺寸精度的影響程度，識(shí)別出關(guān)鍵幾何誤差，并加工正弦網(wǎng)格曲面進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。Li 等[35]通過(guò)靈敏度分析闡明了刀具軌跡誤差與進(jìn)給軸誤差運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，以五軸聯(lián)動(dòng)加工過(guò)程中的自由曲線軌跡為基礎(chǔ)，建立了各刀具中心點(diǎn)的曲面坐標(biāo)系，定義了刀具軌跡及其誤差。然后，定義了一個(gè)新的靈敏度系數(shù)來(lái)研究軌跡誤差與誤差運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。最終進(jìn)行圓錐臺(tái)和S件加工試驗(yàn)，該靈敏度分析方法可判別軌跡對(duì)誤差運(yùn)動(dòng)是否敏感。

在復(fù)雜機(jī)械零件的加工精度優(yōu)化方面，學(xué)者們也開(kāi)展了研究工作。Chen[36]、唐宇航[37]等面向S件，建立直紋面模型與加工誤差映射關(guān)系，基于靈敏度分析分別在車(chē)銑復(fù)合中心和五軸龍門(mén)機(jī)床上辨識(shí)出關(guān)鍵幾何誤差，最終提高加工精度。付國(guó)強(qiáng)等[38]建立了五軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差貢獻(xiàn)值模型并基于靈敏度分析確定了幾何誤差影響機(jī)床精度的關(guān)鍵運(yùn)動(dòng)軸，最終以復(fù)雜鼠標(biāo)曲面為例，提高了工件的五軸加工精度。面向齒輪的加工精度補(bǔ)償中，Xia等[39-40]考慮齒輪磨削工藝的材料去除機(jī)理，建立了幾何誤差與齒面位姿誤差之間的映射模型，直接揭示了幾何誤差與齒面誤差的映射規(guī)律；在此基礎(chǔ)上基于全局靈敏度分析確定了影響齒廓和螺旋偏差的關(guān)鍵幾何誤差，簡(jiǎn)化了誤差補(bǔ)償表達(dá)式并提高了齒輪加工精度；最終將該輪廓誤差降低了43.27%。面向光學(xué)自由曲面的加工精度補(bǔ)償中，Yao等[41]首先建立了考慮幾何誤差的超精密金剛石車(chē)削中心的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型；然后通過(guò)對(duì)誤差分量的靈敏度分析，得出影響加工精度的關(guān)鍵誤差，最終提出了一種減小或消除相應(yīng)機(jī)械系統(tǒng)定位誤差的對(duì)準(zhǔn)方法，從而提高被加工曲面的成形精度。Liu等[42]也面向超精密金剛石車(chē)削中心，將機(jī)床誤差分為5類(lèi)，并基于靈敏度分析判定了平面與球面的關(guān)鍵誤差，提高了最終的加工精度。

機(jī)床精度優(yōu)化應(yīng)用中的現(xiàn)存問(wèn)題與后續(xù)研究方向

本研究對(duì)近5年靈敏度分析在數(shù)控機(jī)床精度優(yōu)化中的最新應(yīng)用研究進(jìn)行了系統(tǒng)綜述，著眼于更高精度的數(shù)控加工精度。當(dāng)前的靈敏度分析方法仍存在許多問(wèn)題與不足，需要從以下5個(gè)方面進(jìn)行深入研究。

1 機(jī)床誤差關(guān)系復(fù)雜導(dǎo)致關(guān)鍵誤差辨識(shí)困難

學(xué)者們采用各種靈敏度分析方法對(duì)機(jī)床進(jìn)行關(guān)鍵誤差辨識(shí)，但由于機(jī)床誤差關(guān)系復(fù)雜，導(dǎo)致關(guān)鍵誤差辨識(shí)困難。具體表現(xiàn)為： （1）機(jī)床結(jié)構(gòu)種類(lèi)繁多，且不同機(jī)床結(jié)構(gòu)下的關(guān)鍵誤差不同； （2）待加工的工件形狀各異，不同形狀的工件所對(duì)應(yīng)關(guān)鍵誤差不同； （3）機(jī)床幾何誤差與位置有關(guān)，因而工件在機(jī)床不同加工區(qū)域下的關(guān)鍵誤差不同； （4）機(jī)床幾何誤差間存在復(fù)雜的耦合關(guān)系，直接影響關(guān)鍵誤差的辨識(shí)結(jié)果。因此，復(fù)雜曲面工件分區(qū)域下的關(guān)鍵誤差辨識(shí)、典型曲面工件在常見(jiàn)機(jī)床結(jié)構(gòu)下的關(guān)鍵誤差庫(kù)建立、幾何誤差間耦合關(guān)系等問(wèn)題值得未來(lái)深入研究。

此外，機(jī)床幾何誤差可分為平動(dòng)誤差和角度誤差兩類(lèi)，平動(dòng)誤差的單位是μm，角度誤差的單位是″，兩者的單位不一致，在計(jì)算靈敏度時(shí)僅將數(shù)值進(jìn)行靈敏度計(jì)算難以保證結(jié)果的準(zhǔn)確性，該問(wèn)題值得深入探討。但本研究認(rèn)為在靈敏度分析中該問(wèn)題并不影響分析。此處，以三軸數(shù)控機(jī)床X向空間誤差為例進(jìn)行說(shuō)明。由齊次坐標(biāo)變換得到的X向空間誤差模型如式（5）所示。

實(shí)際上，式（5）已經(jīng)過(guò)小誤差假設(shè)簡(jiǎn)化，即sin（e）≈e，原模型如式（6）所示。式中，角度誤差項(xiàng)經(jīng)三角變換后為常數(shù)，然后乘以上一項(xiàng)位置項(xiàng)，因此量綱與平動(dòng)誤差是統(tǒng)一的。

式中，ΔX表示X向空間誤差；y表示Y軸運(yùn)動(dòng)量；z表示Z軸運(yùn)動(dòng)量；δxx表示X軸定位誤差；δxy表示Y軸在X方向的直線度誤差；δxz表示Z軸在X方向的直線度誤差；εyx、εzx分別表示X軸的俯仰和偏擺誤差；εyy、εzy分別表示Y軸的滾轉(zhuǎn)和偏擺誤差；Sxy、Sxz分別表示X軸與Y軸、Z軸間的垂直度誤差。

2 靈敏度分析前需測(cè)量全部幾何誤差導(dǎo)致工作量大

現(xiàn)有研究中，許多靈敏度分析方法需要預(yù)先測(cè)量出機(jī)床全部幾何誤差，基于誤差值才能辨識(shí)出關(guān)鍵誤差，限制了實(shí)際推廣與應(yīng)用。如果已測(cè)量出全部幾何誤差，則直接進(jìn)行補(bǔ)償即可，沒(méi)有必要再進(jìn)行關(guān)鍵誤差辨識(shí)，因?yàn)殪`敏度分析不僅消耗大量計(jì)算時(shí)間，而且補(bǔ)償效果也難以等同于補(bǔ)償全部幾何誤差。因此，若能在不測(cè)量全部幾何誤差的前提下，僅借助先驗(yàn)知識(shí)給出誤差的大致分布區(qū)間，即可根據(jù)靈敏度分析準(zhǔn)確計(jì)算出關(guān)鍵幾何誤差，將具有較好的推廣與實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

目前的靈敏度分析方法中，Sobol法無(wú)需提前測(cè)量幾何誤差，僅需確定誤差值的分布區(qū)間，即可實(shí)現(xiàn)靈敏度分析，具有較好的實(shí)際應(yīng)用意義。但是，不同誤差分布區(qū)間對(duì)最終結(jié)果準(zhǔn)確性的影響需要進(jìn)一步論證，如何準(zhǔn)確給出誤差的合理分布區(qū)間也值得研究。此外，目前采用Sobol法計(jì)算確定樣本數(shù)均依賴(lài)于經(jīng)驗(yàn)值，不同樣本數(shù)的選擇對(duì)靈敏度分析結(jié)果準(zhǔn)確性的影響尚需論證。

3 五軸數(shù)控機(jī)床的靈敏度分析未考慮方向誤差

不同于三軸機(jī)床，五軸機(jī)床存在6個(gè)自由度的空間誤差，即3個(gè)位置誤差和3個(gè)方向誤差。尤其在工件精度優(yōu)化方面，現(xiàn)有的許多靈敏度分析方法僅考慮了3個(gè)位置誤差，即使是對(duì)于復(fù)雜曲面工件，也未考慮對(duì)方向誤差敏感的情況，影響了靈敏度分析的準(zhǔn)確性。主要原因?yàn)槲遢S機(jī)床幾何誤差比三軸機(jī)床多1倍以上，且同時(shí)考慮位置與方向誤差，導(dǎo)致靈敏度分析的計(jì)算量極大。此外，實(shí)際工件的加工精度驗(yàn)證也較少對(duì)方向誤差進(jìn)行標(biāo)定。

Li[43-44]在五軸加工中同時(shí)考慮刀尖的位置誤差與方向誤差，在靈敏度分析中將位置誤差分解為由運(yùn)動(dòng)軸平移誤差與角度誤差兩部分引起，而方向誤差由運(yùn)動(dòng)軸角度誤差單獨(dú)引起，從而減小靈敏度分析的計(jì)算量并提高準(zhǔn)確性，該方法為考慮方向誤差的五軸機(jī)床靈敏度分析提供了有益借鑒。因此，未來(lái)可研究面向五軸機(jī)床同時(shí)考慮位置與方向誤差的靈敏度分析，以及如何減少計(jì)算量并實(shí)際應(yīng)用于復(fù)雜曲面的方向誤差補(bǔ)償。

4 根據(jù)靈敏度系數(shù)確定關(guān)鍵誤差缺少統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)

在獲得各誤差的靈敏度系數(shù)后，如何準(zhǔn)確確定關(guān)鍵誤差的項(xiàng)數(shù)，目前暫無(wú)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。張根保等[45]根據(jù)“80/20”法則確定關(guān)鍵誤差，但未明確給出該法則的科學(xué)依據(jù)。當(dāng)誤差間的靈敏度系數(shù)相差較大時(shí)，則能簡(jiǎn)單選取靈敏度較大的誤差作為關(guān)鍵誤差；但當(dāng)誤差間的靈敏度系數(shù)相近時(shí)，如何選取關(guān)鍵靈敏度誤差，目前尚無(wú)標(biāo)準(zhǔn)?，F(xiàn)有研究通常按照經(jīng)驗(yàn)來(lái)判別，影響了靈敏度分析的準(zhǔn)確性，值得未來(lái)研究討論。

5 關(guān)鍵誤差的辨識(shí)正確性缺少合理驗(yàn)證方法

目前，許多靈敏度分析方法可用于辨識(shí)關(guān)鍵誤差，但鮮有合適的方法用于驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性?，F(xiàn)有驗(yàn)證方法有以下3種： （1）補(bǔ)償關(guān)鍵幾何誤差，通過(guò)檢驗(yàn)補(bǔ)償?shù)陌俜直葋?lái)間接驗(yàn)證。如辨識(shí)出5項(xiàng)關(guān)鍵誤差并補(bǔ)償后，運(yùn)動(dòng)精度提升80%，說(shuō)明該5項(xiàng)誤差在總誤差中占主導(dǎo)作用，但仍難以說(shuō)明是否還存在第6項(xiàng)關(guān)鍵誤差，可能取得更好的補(bǔ)償效果。（2）計(jì)算關(guān)鍵誤差的靈敏度系數(shù)占總靈敏度的百分比，并將關(guān)鍵誤差代入空間誤差模型中，檢驗(yàn)由上述關(guān)鍵誤差引起的誤差百分比，若兩者相近或后者更高，則間接說(shuō)明關(guān)鍵誤差項(xiàng)辨識(shí)準(zhǔn)確。但靈敏度分析是基于空間誤差模型計(jì)算得到的，而用空間誤差模型本身進(jìn)行反向驗(yàn)證，則可能導(dǎo)致科學(xué)性不足。（3）不同靈敏度分析方法間進(jìn)行橫向比較，由于靈敏度分析各有優(yōu)缺點(diǎn)與應(yīng)用場(chǎng)合，難以用某一種靈敏度分析結(jié)果作為參考標(biāo)準(zhǔn)。結(jié)合現(xiàn)有驗(yàn)證方法的不足，簡(jiǎn)便合理的驗(yàn)證方法值得研究。

結(jié)論

數(shù)控機(jī)床是重要的制造業(yè)“工作母機(jī)”，其精密化研究一直是該領(lǐng)域的研究重點(diǎn)與難點(diǎn)。

近年來(lái)，靈敏度分析逐漸成為機(jī)床精度優(yōu)化領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，該方法能準(zhǔn)確識(shí)別對(duì)機(jī)床精度最敏感的誤差參數(shù)，對(duì)實(shí)現(xiàn)高效高精度機(jī)床誤差補(bǔ)償具有重要的應(yīng)用價(jià)值。在無(wú)需預(yù)先測(cè)量機(jī)床幾何誤差的前提下，靈敏度分析在同時(shí)考慮位置與方向誤差、根據(jù)靈敏度系數(shù)給出關(guān)鍵誤差的選取標(biāo)準(zhǔn)以及關(guān)鍵誤差辨識(shí)準(zhǔn)確性的驗(yàn)證等方面具有良好的研究前景，值得未來(lái)進(jìn)一步研究。