涂 兵，劉來輝，鄧年春，江建文，李顥旭

(廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，廣西 南寧 530004)

0 引言

鋼管混凝土拱橋具有受力合理、施工方便、剛度大等諸多優(yōu)點(diǎn)，是近年來發(fā)展較快的橋型之一[1-2]。隨著鋼管混凝土拱橋在我國(guó)公路和鐵路工程中的不斷推廣應(yīng)用，其經(jīng)濟(jì)性也日益受到人們的廣泛關(guān)注。然而，現(xiàn)階段鋼管混凝土拱橋的設(shè)計(jì)主要參考已有同類工程的經(jīng)驗(yàn)，擬定的結(jié)構(gòu)尺寸通常并非最優(yōu)尺寸，未能充分發(fā)揮鋼管混凝土組合結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢(shì)，造價(jià)也往往偏高[3]。特別是對(duì)于作為鋼管混凝土拱橋最主要受力構(gòu)件的拱肋，其截面由鋼材和混凝土2種材料組成，且隨著拱橋跨度的增大，拱肋截面的構(gòu)型趨于復(fù)雜，由此導(dǎo)致設(shè)計(jì)變量眾多，傳統(tǒng)基于經(jīng)驗(yàn)和試錯(cuò)的設(shè)計(jì)方法更是難以精確獲取最合理的拱肋截面設(shè)計(jì)參數(shù)組合。因此，亟需將結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論引入鋼管混凝土拱橋的拱肋截面設(shè)計(jì)中，以提高設(shè)計(jì)效率以及設(shè)計(jì)方案的合理性。

目前，鋼管混凝土組合結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化的方法主要有數(shù)學(xué)規(guī)劃法、優(yōu)化準(zhǔn)則法和智能優(yōu)化方法3類[4]。文獻(xiàn)[5-6]以造價(jià)最低為目標(biāo)，分別應(yīng)用序列二次規(guī)劃算法和約束非線性規(guī)劃算法對(duì)簡(jiǎn)支鋼-混凝土組合梁進(jìn)行了截面參數(shù)優(yōu)化。文獻(xiàn)[7-8]基于滿應(yīng)力準(zhǔn)則，建立了鋼管混凝土拱橋拱肋截面的單目標(biāo)優(yōu)化模型，并借助有限元程序進(jìn)行了求解。文獻(xiàn)[9]則利用粒子群算法對(duì)滿應(yīng)力優(yōu)化理論進(jìn)行改進(jìn)，用于鋼管混凝土拱橋啞鈴型拱肋的優(yōu)化，得到了使得鋼管總重量最小的拱肋截面參數(shù)。文獻(xiàn)[10-11]將遺傳算法引入鋼管混凝土框架柱的截面優(yōu)化，顯著提高了結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)性?？梢钥闯?，當(dāng)前階段鋼-混凝土組合結(jié)構(gòu)的截面優(yōu)化絕大部分都是以造價(jià)(或材料用量)最低為目標(biāo)的單目標(biāo)優(yōu)化，對(duì)于這類問題，以上3類優(yōu)化方法均不難求出最優(yōu)解，但相較而言，以遺傳算法為代表的智能優(yōu)化方法的適用性更強(qiáng)，計(jì)算效率更高。

值得注意的是，以造價(jià)為單目標(biāo)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化雖然能顯著降低成本，但優(yōu)化后的截面參數(shù)也通常使得結(jié)構(gòu)各項(xiàng)性能指標(biāo)偏低，對(duì)實(shí)際工程設(shè)計(jì)的參考價(jià)值受到限制。與之相比，多目標(biāo)優(yōu)化可以在數(shù)學(xué)上實(shí)現(xiàn)成本、結(jié)構(gòu)性能等多個(gè)相互沖突目標(biāo)的最優(yōu)協(xié)調(diào)，獲得一系列非劣解，進(jìn)而為工程決策者和設(shè)計(jì)者提供更多的選擇[12]。在結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域，由于算法自身的并行性特點(diǎn)恰好與多目標(biāo)優(yōu)化問題的多解特征相吻合，遺傳算法等進(jìn)化算法占據(jù)主導(dǎo)地位[13-14]。目前，遺傳算法已被成功應(yīng)用于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)[15-19]、高層建筑[20]、混凝土梁橋[21-22]等工程結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化，取得了良好的效果，但鮮見該方法在鋼管混凝土拱橋多目標(biāo)優(yōu)化中的相關(guān)研究報(bào)道。

基于此，本研究選取當(dāng)前應(yīng)用最廣泛的多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法NSGA-Ⅱ[23](Non-dominated Sorting Genetic Algorithm Ⅱ，帶精英策略的非支配排序遺傳算法)，探究遺傳算法在鋼管混凝土拱肋截面多目標(biāo)設(shè)計(jì)優(yōu)化中的可行性。首先，以造價(jià)最低和面內(nèi)抗彎剛度最大為雙重優(yōu)化目標(biāo)，建立大跨鋼管混凝土拱橋桁式拱肋截面的通用性優(yōu)化模型；然后，利用NSGA-Ⅱ算法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，得到造價(jià)與抗彎剛度的Pareto最優(yōu)前沿(Pareto-optimal front)，以期為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供參考。之所以選取面內(nèi)抗彎剛度最大作為另一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)是考慮到隨著鋼管混凝土拱橋跨徑的不斷增大，面內(nèi)穩(wěn)定性逐漸成為控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的主要指標(biāo)，而截面抗彎剛度是決定拱肋面內(nèi)穩(wěn)定性能的最主要因素之一。

1 NSGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法

1.1 NSGA-Ⅱ算法簡(jiǎn)述

遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)是一種通過模擬自然進(jìn)化過程搜索數(shù)學(xué)模型最優(yōu)解的方法。NSGA-Ⅱ是基于Pareto最優(yōu)概念的遺傳算法，該算法既繼承了經(jīng)典遺傳算法在全局搜索方面的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)也提出了精英策略、快速非支配排序、擁擠比較算子等策略來提高最優(yōu)解的收斂性、精確性和均勻性，具體如下[23]：

(1)帶精英機(jī)制的策略

提出將父代種群和子代種群合并，然后剔除被支配的子代個(gè)體之后繼續(xù)進(jìn)行迭代操作，防止優(yōu)秀基因的流失，從而提高優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性。

(2)快速非支配排序

根據(jù)相互支配邏輯關(guān)系對(duì)種群進(jìn)行支配等級(jí)分類。將所有的非支配解作為第1前沿面，等級(jí)為1;然后將剩余個(gè)體中的非支配解作為第2前沿面，等級(jí)為2，以此類推，加快了算法速度。

(3)保留多樣性

采用擁擠比較的方法替代共享函數(shù)方法，通過密度估計(jì)和利用擁擠比較算子計(jì)算擁擠距離，量化個(gè)體所在空間位置的擁擠程度，并將其作為該種群中個(gè)體之間的比較準(zhǔn)則，解決了經(jīng)典遺傳算法容易局部收斂的問題，使解集能均勻地分散到整個(gè)目標(biāo)空間。

NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法最終給出的解稱為Pareto最優(yōu)解，其定義為：

考察2個(gè)決策向量a，b∈X，a帕累托占優(yōu)(Pareto Dominate)，記為a>b，當(dāng)且僅當(dāng)：

{?i∈{1, 2,…,n}fi(a)≤fi(b)}∧{?j∈{1, 2,…,n}fj(a)≤fj(b)}。

如果在整個(gè)參數(shù)空間內(nèi)不存在任何決策向量帕累托占優(yōu)某個(gè)決策向量，則稱該決策向量即是Pareto最優(yōu)解。所有Pareto最優(yōu)解組成了帕累托最優(yōu)解集合(Pareto Optimal Set)，也稱為Pareto前沿(Pareto Front)。

1.2 NSGA-Ⅱ算法流程

NSGA-Ⅱ算法的基本流程如圖1所示[23]。

圖1 NSGA-Ⅱ算法流程[23]

2 4管桁式鋼管混凝土拱肋截面優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

2.1 設(shè)計(jì)變量

本研究以圖2所示的大跨鋼管混凝土拱橋最常用的4管桁式變截面拱肋作為優(yōu)化對(duì)象，將其主管、平聯(lián)和腹桿3種桿件的外徑、壁厚以及拱頂和拱腳的桁高作為優(yōu)化變量。此外，考慮到鋼管混凝土拱肋平聯(lián)長(zhǎng)度的設(shè)置通常還受到橋面寬度、非機(jī)動(dòng)車道、人行道等因素影響，暫不考慮將平聯(lián)長(zhǎng)度作為變量，用常量l0表示。

圖2 4管桁式鋼管混凝土拱肋截面參數(shù)設(shè)置

2.2 目標(biāo)函數(shù)

優(yōu)化目標(biāo)有：(1)拱肋總體造價(jià)最低；(2)拱肋截面面內(nèi)抗彎剛度最大。

本研究選擇以單側(cè)拱肋單位長(zhǎng)度的平均造價(jià)W為第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，W主要包括主管的鋼管和混凝土的造價(jià)、平聯(lián)的鋼管造價(jià)以及腹桿的鋼管造價(jià)。其中，單位長(zhǎng)度單根主管的鋼管造價(jià)為：

(1)

式中，A為每噸鋼管造價(jià)；ρ為鋼材的密度；D和T分別為主管的外徑和壁厚。

單位長(zhǎng)度單根主管管內(nèi)混凝土的造價(jià)為:

(2)

式中B為每立方米混凝土造價(jià)。

單位長(zhǎng)度拱肋腹桿W3和平聯(lián)的鋼管平均造價(jià)W4可表示為：

(3)

(4)

式中,df和tf分別為腹桿的外徑和壁厚；dp和tp分別為平聯(lián)的外徑和壁厚；L1為柱肢間的節(jié)間距離；l0為平聯(lián)長(zhǎng)度；l1為拱腳腹桿長(zhǎng)度，l2為拱頂腹桿長(zhǎng)度。

總造價(jià)函數(shù)其表達(dá)式為：

W=4(W1+W2)+W3+W4。

(5)

另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)截面抗彎剛度F的近似表達(dá)式為[24]：

F=EscIeq，

(6)

Esc=1.3kEfsc，

(7)

式中，Esc為鋼管混凝土的彈性模量，kE為軸壓彈性模量換算系數(shù);fsc為鋼管混凝土的抗壓強(qiáng)度，kE和fsc的取值見文獻(xiàn)[24]；Ieq為等效截面慣性矩，可由式(8)～(9)計(jì)算得到。

(8)

(9)

式中,J為計(jì)算參數(shù)；Ij，Ik分別為變截面組合主拱拱頂、拱腳組合截面慣性矩。

(10)

(11)

式中，Di為第i根主管的外徑；Ai為第i根鋼管混凝土的截面面積。

2.3 約束條件

作為鋼管混凝土拱橋最主要的受力構(gòu)件，拱肋需滿足構(gòu)造和強(qiáng)度等基本要求，這些要求構(gòu)成了優(yōu)化模型的約束條件。

(1)構(gòu)造要求

①根據(jù)《公路鋼管混凝土拱橋設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG/T D65-06—2015)[25]，管節(jié)點(diǎn)及連接件抗疲勞構(gòu)造應(yīng)滿足：

(12)

式中，d和t分別為支管(包括橫聯(lián)和腹桿)的外徑和壁厚。

②細(xì)長(zhǎng)空管桿件長(zhǎng)度與鋼管直徑之比不應(yīng)大于40，即[25]：

(13)

③鋼管混凝土鋼管的外徑尺寸要求不宜小于300 mm，也不宜大于1 500 mm, 且主拱主管壁厚不應(yīng)小于10 mm，即[25]：

300≤D≤1 500,T≥10,

(14)

④根據(jù)《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》(GB 50017—2017)[26]，壓彎構(gòu)件允許長(zhǎng)細(xì)比[λ]≤150，有：

λeq≤150,λf≤150,λp≤150,

(15)

式中，λeq，λf，λf分別主拱肋等效截面長(zhǎng)細(xì)比、腹桿的長(zhǎng)細(xì)比、平聯(lián)的長(zhǎng)細(xì)比；λeq根據(jù)式(16)～(17)確定[25]：

(16)

(17)

式中,S0為主拱等效計(jì)算長(zhǎng)度，對(duì)于無鉸拱取0.36S，S為拱軸線長(zhǎng)度；ieq為主拱等效截面回轉(zhuǎn)半徑。

⑤對(duì)受壓為主的鋼管混凝土構(gòu)件，圓形截面的外徑與壁厚之比應(yīng)滿足[25]：

(18)

式中fy為主管鋼材屈服強(qiáng)度。

(2)強(qiáng)度要求

桁式拱肋整體截面偏心受壓承載力約束條件為[25]：

(19)

拱肋單管壓彎承載能力約束條件為[25]：

γNt≤φlφeKpKdfscAsc，

(20)

式中，Nt為單管軸力設(shè)計(jì)值；φl為組合構(gòu)件長(zhǎng)細(xì)比折減系數(shù)；φe為組合構(gòu)件彎矩折減系數(shù)；kp為鋼管初應(yīng)力折減系數(shù)。

腹桿受拉或受壓強(qiáng)度要求[25]：

(21)

式中，Nf為腹桿的軸拉力或軸壓力設(shè)計(jì)值；Asf為腹桿的鋼截面面積；[σf]為腹桿的鋼材強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。

2.4 管桁式變截面拱肋的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型為：

findX=(D,T,df,tf,dp,tp,l1,l2)，

(22)

(23)

(24)

3 工程實(shí)例分析

3.1 工程概況

某特大橋位于廣西平南縣西江上游，其原設(shè)計(jì)情況如下：

主橋采用主跨575 m(計(jì)算跨徑560 m)的中承式鋼管混凝土拱橋，跨徑居全世界拱橋之首，主拱采用懸鏈線無鉸拱，計(jì)算矢跨比為1/4，拱軸系數(shù)為1.5。單側(cè)拱肋采用4管桁式截面，弦桿直徑為1.4 m，管內(nèi)灌注C70自密實(shí)混凝土。弦桿之間通過φ850 mm橫聯(lián)鋼管和兩根φ700 mm豎向腹桿鋼管連接，單側(cè)拱肋截面如圖3所示。

圖3 原設(shè)計(jì)普通橫隔處單側(cè)拱肋截面示意圖(單位：mm)

主拱主管采用Q420qD高強(qiáng)鋼，其余桿件均采用Q345C鋼材。橋道梁為鋼格子梁上設(shè)置厚15 cm(含8 mm鋼底板)C40鋼纖維混凝土的鋼-混組合結(jié)構(gòu)，吊桿采用整束擠壓成型的鋼絞線成品索，南北兩岸橋臺(tái)均為重力式抗推力結(jié)構(gòu)。主拱桁和橋道梁節(jié)段均采用纜索吊運(yùn)、斜拉扣掛安裝。

3.2 拱肋截面尺寸多目標(biāo)優(yōu)化

首先，根據(jù)第2節(jié)程序建立平南三橋拱肋截面尺寸的多目標(biāo)優(yōu)化模型，其中，鋼材和核心C70混凝土單價(jià)分別按4 500元/t和600元/m3計(jì)算。另外，綜合考慮結(jié)構(gòu)安全性、施工水平和原設(shè)計(jì)的情況后，確定各尺寸變量的取值范圍，設(shè)置各變量的約束條件，具體見表1。

表1 拱肋各參數(shù)的優(yōu)化范圍

利用NSGA-Ⅱ算法對(duì)該優(yōu)化模型進(jìn)行求解。根據(jù)已有研究[27]，算法的參數(shù)設(shè)置為：種群大小為100，變異系數(shù)取0.001，交叉概率為0.3。分別取進(jìn)化代數(shù)10 000和20 000進(jìn)行計(jì)算，得到10 000代和20 000代的優(yōu)化結(jié)果Pareto前沿，如圖4所示?？梢钥闯觯?0 000代與20 000代的Pareto前沿基本一致，因此可認(rèn)為就本研究算例而言，10 000代的Pareto解集已經(jīng)是收斂的。

圖4 10 000代與20 000代Pareto前沿對(duì)比

取10 000代的Pareto前沿作進(jìn)一步分析，如圖5所示，根據(jù)多目標(biāo)優(yōu)化理論，該P(yáng)areto前沿上的每一點(diǎn)都代表了一個(gè)Pareto最優(yōu)解。首先，將原設(shè)計(jì)方案在圖5中標(biāo)識(shí)出來，可以看出，原設(shè)計(jì)方案點(diǎn)在Pareto前沿線的右上方，表明就本研究的2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)而言，原設(shè)計(jì)方案并非最優(yōu)化(合理)方案，存在優(yōu)化的空間。在Pareto解集中選擇出3個(gè)代表性點(diǎn)即3個(gè)Pareto最優(yōu)解進(jìn)行分析，見圖5中的1、2、3點(diǎn)。這3個(gè)點(diǎn)分別代表了造價(jià)最低的方案(方案1)、剛度(結(jié)構(gòu)性能)最大的方案(方案3)和中間方案(方案2)，相應(yīng)的主拱截面參數(shù)見表2。可知，與原方案相比，方案1的單位長(zhǎng)度造價(jià)降低46.2%，方案3的抗彎剛度增大8.8%，表明2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的改善幅度均較大，優(yōu)化效果較明顯。

圖5 10 000代Pareto前沿

從多目標(biāo)優(yōu)化理論的角度來看，Pareto前沿上的所有點(diǎn)都可以被認(rèn)為是最優(yōu)的方案，實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)還應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)實(shí)際情況、業(yè)主需求和偏好等其他因素在Pareto最優(yōu)解中進(jìn)行選擇，最終確定設(shè)計(jì)方案。對(duì)于所分析的大橋跨徑位居世界拱橋之首，技術(shù)難度很大，且位于重要的交通樞紐，預(yù)測(cè)未來的交通量會(huì)比較大，因此其安全系數(shù)不宜太小，同時(shí)兼顧到橋梁的經(jīng)濟(jì)性，本研究推薦選擇造價(jià)適中、剛度較大的優(yōu)化組合，即優(yōu)化方案2，并對(duì)其進(jìn)行后續(xù)的結(jié)構(gòu)受力性能分析。方案2這種位于Pareto前沿中間位置的方案也是大部分多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)最終方案的主要選擇。從表2可以看出，相比于原設(shè)計(jì)方案，優(yōu)化方案2的拱肋截面面內(nèi)抗彎剛度有所減小(減小12.1%)，同時(shí)，其造價(jià)大幅度降低至原方案的76.0%。

表2 優(yōu)化前后主拱參數(shù)對(duì)比

3.3 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)性能對(duì)比

為說明選取拱肋截面面內(nèi)抗彎剛度作為優(yōu)化目標(biāo)的合理性并驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的可行性，利用MIDAS/Civil有限元軟件建立全橋三維桿系計(jì)算模型，以主拱豎向剛度和面內(nèi)穩(wěn)定性為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)優(yōu)化方案2和原設(shè)計(jì)方案進(jìn)行對(duì)比分析。有限元模型中，拱肋的每根主管均選用鋼管混凝土組合截面梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬，并利用施工階段聯(lián)合截面方法模擬拱肋的兩階段成型歷程，用只受拉的桁架單元建立吊桿，橋面鋼格子梁和行車道板分別采用梁?jiǎn)卧桶鍐卧９澳_處設(shè)置固結(jié)約束，橋面端橫梁中間采用雙向支座，端橫梁兩邊采用單向支座，橋面格子梁與拱肋肋間橫梁和立柱橫梁之間均采用彈性連接，橋面格子梁與行車道板為共節(jié)點(diǎn)連接。汽車荷載等級(jí)為公路-Ⅰ級(jí)，按雙向4車道布載，汽車荷載的橫向和縱向折減系數(shù)分別取0.67和0.96[28]，人群荷載按設(shè)計(jì)要求取2.5 kN/m2。有限元模型見圖6。

圖6 平南三橋MIDAS/Civil全橋計(jì)算模型

3.3.1 優(yōu)化方案主拱承載能力驗(yàn)算

拱橋的設(shè)計(jì)荷載包括自重、汽車和人群活載、溫度荷載、風(fēng)荷載和混凝土收縮徐變等，根據(jù)《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》(JTG D60—2015)，取基本組合=1.2×恒載+1.4×汽車荷載+0.6×1.4×[人群荷載+升(降)溫30 ℃]+0.6×1.1×風(fēng)荷載對(duì)拱肋整體和單管承載能力進(jìn)行驗(yàn)算[28]。在基本組合下,主拱整體桁式截面和單肢的最大軸力設(shè)計(jì)值分別為-154 445 kN和-51 605 kN，對(duì)應(yīng)的彎矩設(shè)計(jì)值分別為-80 496 kN·m和-1 080 kN·m，代入式(19)、(20)進(jìn)行驗(yàn)算，結(jié)果均滿足承載能力要求。

3.3.2 優(yōu)化前后成橋狀態(tài)主拱豎向撓度對(duì)比

根據(jù)所建立的全橋計(jì)算模型，計(jì)算主拱在車道荷載(不及沖擊力)作用下的最大豎向撓度(正負(fù)撓度絕對(duì)值之和)。選擇拱肋0，l/8，l/4，3l/8，l/2，5l/8，3l/4，7l/8，l共9個(gè)控制點(diǎn)繪制全橋豎向撓度曲線，如圖7所示?？梢钥闯?，在車道荷載作用下，方案2的豎向撓度比原設(shè)計(jì)方案大，這是因?yàn)榉桨?的截面面內(nèi)抗彎剛度相比原設(shè)計(jì)方案有所減小(減小約12.1%)。其中，在車道荷載作用下，方案2的拱肋最大豎向撓度(l/4截面)為134 mm，比原設(shè)計(jì)大29 mm(約增大27.6%)，但仍遠(yuǎn)小于拱肋的最大容許位移l/1 000(560 mm)，滿足《公路鋼管混凝土拱橋設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG/T D65-06—2015)[25]的要求。

圖7 車道荷載(不計(jì)沖擊力)作用下拱肋正負(fù)豎向撓度之和

3.3.3 成橋狀態(tài)穩(wěn)定性分析

根據(jù)彈性穩(wěn)定理論，結(jié)構(gòu)考慮幾何初始剛度矩陣下的彈性穩(wěn)定平衡方程為[3]：

(K+λS)δ=λF,

(25)

式中,K為結(jié)構(gòu)整體彈性剛度矩陣；S為幾何剛度矩陣，與結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平相關(guān)；δ為荷載F作用下的位移；λ為彈性穩(wěn)定特征值。

通過所建立的有限元模型分別對(duì)優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)在以下2種工況下進(jìn)行使用階段線彈性穩(wěn)定性分析：工況1：恒載+風(fēng)荷載+4車道荷載(集中力在跨中)；工況2：恒載+風(fēng)荷載+4車道荷載(集中力在l/4處)。分析時(shí)偏安全地將自重恒載和所有活荷載均視為可變荷載，即計(jì)算幾何剛度時(shí)同時(shí)考慮恒載和活荷載引起的應(yīng)力。分析結(jié)果表明，對(duì)于優(yōu)化前、后的結(jié)構(gòu)以及2種荷載工況，一階整體彈性失穩(wěn)模態(tài)均為面外反對(duì)稱屈曲，且前12階失穩(wěn)模態(tài)均為面外失穩(wěn)，第13階首次出現(xiàn)面內(nèi)失穩(wěn)。得到成橋狀態(tài)一階屈曲對(duì)應(yīng)的彈性穩(wěn)定特征值和首次出現(xiàn)面內(nèi)整體失穩(wěn)模態(tài)對(duì)應(yīng)的彈性穩(wěn)定特征值見表3。可以看出，優(yōu)化組合2的兩類彈性穩(wěn)定特征值(一階失穩(wěn)和首次出現(xiàn)面內(nèi)失穩(wěn))相對(duì)優(yōu)化前均略有下降，但均大于4.0，同樣滿足規(guī)范要求[25]。

表3 優(yōu)化前后成橋狀態(tài)下彈性穩(wěn)定特征值對(duì)比

4 結(jié)論

(1)提出同時(shí)以造價(jià)和截面面內(nèi)抗彎剛度作為優(yōu)化目標(biāo)的4管桁式鋼管混凝土拱肋多目標(biāo)優(yōu)化模型，相較于傳統(tǒng)以造價(jià)為單目標(biāo)的優(yōu)化模型更加科學(xué)、合理，可得到一系列Pareto最優(yōu)解供設(shè)計(jì)者和決策者選擇。

(2)NSGA-Ⅱ遺傳算法應(yīng)用于4管桁式鋼管混凝土拱肋的多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)可快速、準(zhǔn)確地得到優(yōu)化解集，是該類組合結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化問題的一種高效求解手段。

(3)截面面內(nèi)抗彎剛度與結(jié)構(gòu)整體豎向剛度以及面內(nèi)穩(wěn)定性相關(guān)性強(qiáng)，選擇該參數(shù)作為表征桁式鋼管混凝土拱肋結(jié)構(gòu)性能的優(yōu)化目標(biāo)具有一定的合理性。

(4)分析算例優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的面內(nèi)穩(wěn)定性和剛度滿足規(guī)范要求，同時(shí)造價(jià)大幅度降低，優(yōu)化效果良好。