陳雅姝董井成

(1.南京信息工程大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,南京,210044?2.南方科技大學數(shù)學系,深圳,518055)

1 引言

融合范疇是滿足下列條件的剛性半單張量范疇:范疇只含有限個單對象?態(tài)射集是有限維的線性空間?單位對象1是單對象.融合范疇與數(shù)學和物理中的許多分支都有密切的聯(lián)系,這些分支包括Hopf代數(shù)、量子群、頂點算子代數(shù)、拓撲量子場論、以及共形場論等[1–3].另外,融合范疇在量子計算中也有很突出的實際應用價值[4,5].由此可見,研究融合范疇不僅有助于完善融合范疇的自身理論體系,而且有助于數(shù)學和物理學的多個分支的發(fā)展和應用.融合范疇的擴張是構造融合范疇的有效方法之一,它在融合范疇的研究中有著重要的地位,融合范疇中的許多概念都建立在擴張結構之上,如融合范疇的冪零和可解的概念.但是,要研究融合范疇的任意擴張是一件很困難的事,因為這至少要包含有限群的分類.因此,目前看來一個可行的方案就是研究簡單融合范疇在某一給定有限群下的擴張.在文獻[6]中,本文第二作者已研究了Frobenius Perron維數(shù)是素數(shù)的融合范疇的擴張.在本文中,我們擬研究Frobenius Perron維數(shù)是素數(shù)平方的融合范疇的擴張.

本文中所涉及的有關Hopf代數(shù)和融合范疇的基礎理論和符號請參考[7]和[8].所有的Hopf代數(shù)和融合范疇都定義在一個特征為零的代數(shù)閉域上.

2 基礎知識

2.1 Frobenius Perron維數(shù)

設C是一個融合范疇,K(C)是C的Grothendieck環(huán),則C中單對象的同構類構成的集合Irr(C)是K(C)的Z+基.Frobenius Perron(FP)維數(shù)FPdim(X)定義為X在K(C)中的左乘得到的矩陣的最大特征值.由Frobenius Perron定理,FPdim(X)是一個正實數(shù).此外,此維數(shù)可誘導出一個環(huán)同態(tài)FPdim:K(C)→R[9,定理8.6].C的FP維數(shù)定義為

如果單對象X的FP維數(shù)FPdim(X)=1,則稱X是可逆的.如果一個融合范疇中的每個單對象都是可逆的,則稱該融合范疇是頂點的.設Cpt是融合范疇C中全體可逆單對象生成的融合子范疇,則Cpt是C的最大的頂點融合子范疇.

如果FPdim(C)是整數(shù),則稱融合范疇C是弱整的?如果C中每個單對象的維數(shù)都是整數(shù),則稱融合范疇C是整的?如果C是弱整的,但C中至少有一個單對象的維數(shù)不是整數(shù),則稱融合范疇C是嚴格弱整的.

2.2 融合法則

設X∈Irr(C),Y是C中任意對象.X在Y中的重數(shù)定義為[X,Y]=dimHomC(X,Y),從而Y=⊕X∈Irr(C)[X,Y]X.設X,Y,Z∈Irr(C),那么[X,Y?Z]=[Y?,Z?X?]=[Y,X?Z?],[X,Y]=[X?,Y?].

設G(C)是C中可逆單對象的同構類構成的集合,那么G(C)是一個群,其乘法是張量積.如果g∈G(C),X,Y∈Irr(C),那么

[g,X?Y]＞0?[g,X?Y]=1?Y=X??g.

特別地,

[g,X?X?]＞0?[g,X?X?]=1?g?X=X.

易知群G(C)在集合Irr(C)上有一個由左張量積誘導的左作用.因此,X?X?的分解中可逆單對象是G(C)在集合Irr(C)上作用的穩(wěn)定化子,記此穩(wěn)定化子為G[X].于是,對于任意X∈Irr(C),有以下關系:

2.3 融合范疇的群擴張

設G是一個有限群.我們稱融合范疇C具有一個G分次,如果C有一個滿的abelian子范疇的直和分解C=⊕g∈GCg,使得(Cg)?=Cg?1,且Cg?Ch?Cgh,?g,h∈G,其中?是對偶函子.如果對任意的g∈G,有Cg?=0,則稱C=⊕g∈GCg是一個忠實的G分次.在此情況下,C稱為平凡分支Ce的G擴張.

由[10,命題8.20 ],如果C=⊕g∈GCg是一個忠實的G分次,那么對于任意的g,h∈G,有

FPdim(Cg)=FPdim(Ch),FPdim(C)=|G|FPdim(Ce).

通過直接驗證,可得如下引理.

引理1設C=⊕

g∈GCg是平凡分支Ce的擴張,則C的包含Ce的子范疇與G的子群一一對應.

引理2設C=⊕

g∈GCg是平凡分支Ce的擴張,1=X1,X2,···,Xm是Ce所有非同構的單對象.如果分支Cg中存在一個1維單對象δ,則δ?X1,δ?X2,···,δ?Xm是Cg所有非同構的單對象.

證明易知δ?X1,δ?X2,···,δ?Xm∈Ce?Cg?Cg是Cg中互不同構的單對象.由FPdim(Ce)=FPdim(Cg)和FPdim(δ?X1)=FPdim(δ)FPdim(X1)=FPdim(X1)知δ?X1,δ?X2,···,δ?Xm是Cg中所有非同構的單對象.

每一個融合范疇C都有一個典范的忠實分次C=⊕g∈U(C)Cg,其平凡分支為Ce=Cad,其中Cad是C的由X?X?中的單對象生成的伴隨子范疇,其中X取遍Irr(C)中所有元素.此分次稱為C的泛分次,U(C)稱為C的泛分次群,見[10].

3 范疇型

3.1 一般分次群

設1=d0＜d1＜···＜ds是一組正實數(shù),n0,n1,···,ns是一組正整數(shù).如果對任意的i,di維的非同構單對象的個數(shù)是ni,則稱融合范疇C具有范疇型(d0,n0;d1,n1;···;ds,ns).

設融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴張,其中dim(Ce)=p2,p是一個素數(shù).如果Ce不是頂點融合范疇,則由[9,命題8.32]知Ce是一個Ising范疇.此時,C是一個交叉積融合范疇,見[11].在下文中,我們只考慮Ce是頂點融合范疇的情形.

引理3設融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴張,其中dim(Ce)=p2,p是一個素數(shù),則分支Cg中的單對象的個數(shù)和維數(shù)有以下三種可能的情況:

(1)Cg中有p2個1維的單對象?

(2)Cg中有p個維的單對象?

(3)Cg中有1個p維的單對象.

證明 由[9,命題8.32 ]知p2維融合范疇一定是頂點融合范疇,所以Ce中的單對象都是可逆的.因此Ce中的全體單對象關于張量積構成一個p2階的群G(Ce).對于任意分支Cg中的任意一個單對象X,有X?X?∈Cg?Cg?1?Cgg?1=Ce.因此,X?X?是Ce中某些可逆單對象的直和.由(2.1 )知X?X?中的所有可逆單對象構成G(Ce)的一個子群H.由于G(Ce)的階是p2,H的階只可能為1,p或p2.

如果|H|=1,那么dim(X?X?)=dim(X)2=1,于是dim(X)=1.由引理2 知,Cg中的單對象都是1維的,所以Cg中有p2個1維單對象.

如果|H|=p2,那么dim(X?X?)=dim(X)2=p2,于是dim(X)=p.由于dim(Cg)=p2,所以Cg中只含有1個p維單對象.

如果C中所有單對象都是1維的,那么C是頂點的融合范疇.文獻[12]已給出頂點融合范疇的全部分類,因此在下文中我們總假設C不是頂點融合范疇.

引理4設融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴張,其中dim(Ce)=p2,p是一個素數(shù),則

由引理4(2)可得如下結論.如果G(Ce)=Zp2,則C具有范疇型(1,m;p,s)或(1,m;,n).

推論1設融合范疇C=⊕

g∈GCg是平凡分支Ce的擴張,其中dim(Ce)=p2,p是一個素數(shù).

將引理3 ,引理4 總結如下:

定理1設融合范疇C=⊕

g∈GCg是平凡分支Ce的擴張,其中dim(Ce)=p2,p是一個素數(shù),則C可能具有的范疇型為

(1)(1,|G|p2),其中|G|是群G的階?

(2)(1,m;p,s)?

(3)(1,m;,n),其中m=np?(4)(1,m;,n;p,s),其中m+sp2=np.

3.2 特殊分次群:G=Zq和S3

下面首先討論當G為n階循環(huán)群Zn={e,a,a2,···,an?1}時,融合范疇C=⊕

g∈GCg的范疇型.

引理5設融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴張,其中dim(Ce)=p2,p是一個素數(shù).如果分支Cg和Ch中的單對象都是1維的,則分支Cgh中的單對象也都是1維的.

證明設Irr(Cg)={δ1,δ2,···,δp2},Irr(Ch)={η1,η2,···,ηp2},其中dim(δi)=dim(ηi)=1,i=1,2,···,p2,則δ1?η1,δ1?η2,···,δ1?ηp2是分支Cgh中互不同構的p2個單對象,因此分支Cgh中的單對象也都是1維的.

引理6設融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴張,其中dim(Ce)=p2,p是一個素數(shù),G=Zn,且C具有范疇型(1,m;p,s).

(1)若存在Zn的某個生成元g0,使得分支Cg0中有p2個1維單對象,則C是頂點的融合范疇?(2)若存在Zn的某個生成元g0,使得分支Cg0中有1個p維單對象Xg0,則對于Zn的任意一個

生成元g,分支Cg都含有1個p維單對象.

證明(1)由于Zn=?g0?,故對任意的g∈Zn{e},存在某個正整數(shù)l,使得g=g0l.因此由引理5知分支Cg中的單對象都是1維的,從而C是頂點的融合范疇.

當循環(huán)群G=Zn的階為素數(shù)時,我們有以下結論：

定理2設融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴張,其中dim(Ce)=p2,G=Zq,p和q都是素數(shù).

(1)若q=2,則C的范疇型可能為(1,2p2),(1,p2;,p)或(1,p2;p,1)?

(2)若q為奇素數(shù),則C的范疇型只可能為(1,qp2)或(1,p2;p,q?1).

dim(C)=|Zq|dim(Ce)=qp2=|Z2|dim(C1)=2np,

如果C中只有1維單對象,那么C具有范疇型(1,qp2).

如果C中只有1維單對象和p維單對象,那么由引理6 知任意的非平凡分支Cg中都有一個p維單對象,因此C具有范疇型(1,p2;p,q?1).

綜上所述,當q為奇素數(shù)時,C的范疇型只可能為(1,qp2)或(1,p2;p,q?1).

其次,我們探討當G為對稱群S3時,融合范疇C=⊕

g∈GCg的范疇型.

對稱群S3可以抽象地表示為S3=?a,b|a3=e,b2=e,(ab)2=e?={e,a,a2,b,ab,a2b}.由于3階循環(huán)群Z3={e,a,a2}是S3的一個子群,故由引理1 知,Ce⊕Ca⊕Ca2是一個融合子范疇,進一步由引理6 和定理2 可得:

引理7設融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴張,其中dim(Ce)=p2,p是素數(shù),G=S3,則分支Ca和Ca2中只可能有整數(shù)維的單對象,并且

(1)分支Ca中有p2個1維的單對象當且僅當分支Ca2中有p2個1維的單對象?

(2)分支Ca中只有1個p維的單對象當且僅當分支Ca2中只有1個p維的單對象.

引理9設融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴張,其中dim(Ce)=p2,p是素數(shù),G=S3.如果分支Cb中的單對象都是1維的,那么

(1)當分支Ca和Ca2中只有1維單對象時,C是頂點的融合范疇?

(2)當分支Ca和Ca2中分別有一個p維單對象Xa和Xa2時,C具有范疇型(1,2p2;p,4).

證明(1)由引理5 知,分支Cab和Ca2b中的單對象都是1維的,因此C是頂點的融合范疇.

(2)設δb是Cb中的一個1維單對象,則Xa?δb和Xa2?δb分別是Cab和Ca2b中的p維單對象,因此C具有范疇型(1,2p2;p,4).

引理10設融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴張,其中dim(Ce)=p2,p是素數(shù),G=S3.如果分支Cb中只有1個p維的單對象Xb,那么

(1)當分支Ca和Ca2中只有1維單對象時,C具有范疇型(1,3p2;p,3)?

(2)當分支Ca和Ca2中分別有一個p維單對象Xa和Xa2時,C可能具有的范疇型為(1,2p2;p,4)

或(1,p2;p,5).

證明(1)設δa和δa2分別是Ca和Ca2中的1維單對象,則δa?Xb和δa2?Xb分別是Cab和Ca2b中的p維單對象.因此,C具有范疇型(1,3p2;p,3).

(2)由引理8 知,分支Cab和Ca2b中不可能有維的單對象,于是分支Cab和Ca2b中只可能含有p2個1維單對象或者1個p維單對象.注意到分支Cab和Ca2b中不可能同時只含1維單對象,否則由引理5 ,分支Ca2b·ab=Ca中只含1維單對象,矛盾.因此C可能具有的范疇型為(1,2p2;p,4)或(1,p2;p,5).

綜合以上討論,我們得如下定理.

4 半單Hopf代數(shù)

有限維Hopf代數(shù)的一個正合序列是一個Hopf代數(shù)映射的序列

k→Ki?→Hπ?→L→k,

它滿足：

1.i是單射,π是滿射?

2.π?i=εK1,其中εK是K的余單位?

3.kerπ=HK+.

如果K是交換的,L是余交換的,那么該正合序列稱為abelian擴張.在此情況下,存在有限群Σ和Γ,使得K～=kΣ,L～=kΓ,并且有

如果一個Hopf代數(shù)H符合正合序列(4.2),那么,作為Hopf代數(shù),H關于某個正規(guī)化的2 余循環(huán)τ和σ,同構于雙交叉積kΣτ#σkΓ.關于Hopf代數(shù)的abelian擴張理論的詳細研究請參考[14].

如果kΣ在H的中心里,則稱正合序列(4.2 )為中心的.如果其對偶是中心的,稱正合序列(4.2 )是余中心的.由[15,引理3.3 ],如果正合序列(4.2 )是中心的,那么σ是平凡的?如果正合序列(4.2 )是余中心的,那么τ是平凡的.

定理4設H是半單的Hopf代數(shù).如果H的表示范疇Rep(H)=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴張,其中dim(Ce)=p2,p是素數(shù),則H=kGτ#σkΓ是一個雙交叉積,其中Rep(kΓ)=Ce且σ是平凡的.

證明由[10,定理3.8],我們有Hopf代數(shù)的中心正合序列

其中i是嵌入映射,π是自然投射,K=H/H(kG)+且Rep(K)=Ce.由p2維半單Hopf代數(shù)的分類知K是群代數(shù),從而存在一個p2階的群Γ使得K=kΓ.因此,上述正合序列是一個abelian擴張.這樣,H=kGτ#σkΓ是一個雙交叉積且σ是平凡的.