陳雅姝董井成

(1.南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,南京,210044?2.南方科技大學(xué)數(shù)學(xué)系,深圳,518055)

1 引言

融合范疇是滿足下列條件的剛性半單張量范疇:范疇只含有限個(gè)單對(duì)象?態(tài)射集是有限維的線性空間?單位對(duì)象1是單對(duì)象.融合范疇與數(shù)學(xué)和物理中的許多分支都有密切的聯(lián)系,這些分支包括Hopf代數(shù)、量子群、頂點(diǎn)算子代數(shù)、拓?fù)淞孔訄?chǎng)論、以及共形場(chǎng)論等[1–3].另外,融合范疇在量子計(jì)算中也有很突出的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值[4,5].由此可見(jiàn),研究融合范疇不僅有助于完善融合范疇的自身理論體系,而且有助于數(shù)學(xué)和物理學(xué)的多個(gè)分支的發(fā)展和應(yīng)用.融合范疇的擴(kuò)張是構(gòu)造融合范疇的有效方法之一,它在融合范疇的研究中有著重要的地位,融合范疇中的許多概念都建立在擴(kuò)張結(jié)構(gòu)之上,如融合范疇的冪零和可解的概念.但是,要研究融合范疇的任意擴(kuò)張是一件很困難的事,因?yàn)檫@至少要包含有限群的分類.因此,目前看來(lái)一個(gè)可行的方案就是研究簡(jiǎn)單融合范疇在某一給定有限群下的擴(kuò)張.在文獻(xiàn)[6]中,本文第二作者已研究了Frobenius Perron維數(shù)是素?cái)?shù)的融合范疇的擴(kuò)張.在本文中,我們擬研究Frobenius Perron維數(shù)是素?cái)?shù)平方的融合范疇的擴(kuò)張.

本文中所涉及的有關(guān)Hopf代數(shù)和融合范疇的基礎(chǔ)理論和符號(hào)請(qǐng)參考[7]和[8].所有的Hopf代數(shù)和融合范疇都定義在一個(gè)特征為零的代數(shù)閉域上.

2 基礎(chǔ)知識(shí)

2.1 Frobenius Perron維數(shù)

設(shè)C是一個(gè)融合范疇,K(C)是C的Grothendieck環(huán),則C中單對(duì)象的同構(gòu)類構(gòu)成的集合Irr(C)是K(C)的Z+基.Frobenius Perron(FP)維數(shù)FPdim(X)定義為X在K(C)中的左乘得到的矩陣的最大特征值.由Frobenius Perron定理,FPdim(X)是一個(gè)正實(shí)數(shù).此外,此維數(shù)可誘導(dǎo)出一個(gè)環(huán)同態(tài)FPdim:K(C)→R[9,定理8.6].C的FP維數(shù)定義為

如果單對(duì)象X的FP維數(shù)FPdim(X)=1,則稱X是可逆的.如果一個(gè)融合范疇中的每個(gè)單對(duì)象都是可逆的,則稱該融合范疇是頂點(diǎn)的.設(shè)Cpt是融合范疇C中全體可逆單對(duì)象生成的融合子范疇,則Cpt是C的最大的頂點(diǎn)融合子范疇.

如果FPdim(C)是整數(shù),則稱融合范疇C是弱整的?如果C中每個(gè)單對(duì)象的維數(shù)都是整數(shù),則稱融合范疇C是整的?如果C是弱整的,但C中至少有一個(gè)單對(duì)象的維數(shù)不是整數(shù),則稱融合范疇C是嚴(yán)格弱整的.

2.2 融合法則

設(shè)X∈Irr(C),Y是C中任意對(duì)象.X在Y中的重?cái)?shù)定義為[X,Y]=dimHomC(X,Y),從而Y=⊕X∈Irr(C)[X,Y]X.設(shè)X,Y,Z∈Irr(C),那么[X,Y?Z]=[Y?,Z?X?]=[Y,X?Z?],[X,Y]=[X?,Y?].

設(shè)G(C)是C中可逆單對(duì)象的同構(gòu)類構(gòu)成的集合,那么G(C)是一個(gè)群,其乘法是張量積.如果g∈G(C),X,Y∈Irr(C),那么

[g,X?Y]＞0?[g,X?Y]=1?Y=X??g.

特別地,

[g,X?X?]＞0?[g,X?X?]=1?g?X=X.

易知群G(C)在集合Irr(C)上有一個(gè)由左張量積誘導(dǎo)的左作用.因此,X?X?的分解中可逆單對(duì)象是G(C)在集合Irr(C)上作用的穩(wěn)定化子,記此穩(wěn)定化子為G[X].于是,對(duì)于任意X∈Irr(C),有以下關(guān)系:

2.3 融合范疇的群擴(kuò)張

設(shè)G是一個(gè)有限群.我們稱融合范疇C具有一個(gè)G分次,如果C有一個(gè)滿的abelian子范疇的直和分解C=⊕g∈GCg,使得(Cg)?=Cg?1,且Cg?Ch?Cgh,?g,h∈G,其中?是對(duì)偶函子.如果對(duì)任意的g∈G,有Cg?=0,則稱C=⊕g∈GCg是一個(gè)忠實(shí)的G分次.在此情況下,C稱為平凡分支Ce的G擴(kuò)張.

由[10,命題8.20 ],如果C=⊕g∈GCg是一個(gè)忠實(shí)的G分次,那么對(duì)于任意的g,h∈G,有

FPdim(Cg)=FPdim(Ch),FPdim(C)=|G|FPdim(Ce).

通過(guò)直接驗(yàn)證,可得如下引理.

引理1設(shè)C=⊕

g∈GCg是平凡分支Ce的擴(kuò)張,則C的包含Ce的子范疇與G的子群一一對(duì)應(yīng).

引理2設(shè)C=⊕

g∈GCg是平凡分支Ce的擴(kuò)張,1=X1,X2,···,Xm是Ce所有非同構(gòu)的單對(duì)象.如果分支Cg中存在一個(gè)1維單對(duì)象δ,則δ?X1,δ?X2,···,δ?Xm是Cg所有非同構(gòu)的單對(duì)象.

證明易知δ?X1,δ?X2,···,δ?Xm∈Ce?Cg?Cg是Cg中互不同構(gòu)的單對(duì)象.由FPdim(Ce)=FPdim(Cg)和FPdim(δ?X1)=FPdim(δ)FPdim(X1)=FPdim(X1)知δ?X1,δ?X2,···,δ?Xm是Cg中所有非同構(gòu)的單對(duì)象.

每一個(gè)融合范疇C都有一個(gè)典范的忠實(shí)分次C=⊕g∈U(C)Cg,其平凡分支為Ce=Cad,其中Cad是C的由X?X?中的單對(duì)象生成的伴隨子范疇,其中X取遍Irr(C)中所有元素.此分次稱為C的泛分次,U(C)稱為C的泛分次群,見(jiàn)[10].

3 范疇型

3.1 一般分次群

設(shè)1=d0＜d1＜···＜ds是一組正實(shí)數(shù),n0,n1,···,ns是一組正整數(shù).如果對(duì)任意的i,di維的非同構(gòu)單對(duì)象的個(gè)數(shù)是ni,則稱融合范疇C具有范疇型(d0,n0;d1,n1;···;ds,ns).

設(shè)融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴(kuò)張,其中dim(Ce)=p2,p是一個(gè)素?cái)?shù).如果Ce不是頂點(diǎn)融合范疇,則由[9,命題8.32]知Ce是一個(gè)Ising范疇.此時(shí),C是一個(gè)交叉積融合范疇,見(jiàn)[11].在下文中,我們只考慮Ce是頂點(diǎn)融合范疇的情形.

引理3設(shè)融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴(kuò)張,其中dim(Ce)=p2,p是一個(gè)素?cái)?shù),則分支Cg中的單對(duì)象的個(gè)數(shù)和維數(shù)有以下三種可能的情況:

(1)Cg中有p2個(gè)1維的單對(duì)象?

(2)Cg中有p個(gè)維的單對(duì)象?

(3)Cg中有1個(gè)p維的單對(duì)象.

證明 由[9,命題8.32 ]知p2維融合范疇一定是頂點(diǎn)融合范疇,所以Ce中的單對(duì)象都是可逆的.因此Ce中的全體單對(duì)象關(guān)于張量積構(gòu)成一個(gè)p2階的群G(Ce).對(duì)于任意分支Cg中的任意一個(gè)單對(duì)象X,有X?X?∈Cg?Cg?1?Cgg?1=Ce.因此,X?X?是Ce中某些可逆單對(duì)象的直和.由(2.1 )知X?X?中的所有可逆單對(duì)象構(gòu)成G(Ce)的一個(gè)子群H.由于G(Ce)的階是p2,H的階只可能為1,p或p2.

如果|H|=1,那么dim(X?X?)=dim(X)2=1,于是dim(X)=1.由引理2 知,Cg中的單對(duì)象都是1維的,所以Cg中有p2個(gè)1維單對(duì)象.

如果|H|=p2,那么dim(X?X?)=dim(X)2=p2,于是dim(X)=p.由于dim(Cg)=p2,所以Cg中只含有1個(gè)p維單對(duì)象.

如果C中所有單對(duì)象都是1維的,那么C是頂點(diǎn)的融合范疇.文獻(xiàn)[12]已給出頂點(diǎn)融合范疇的全部分類,因此在下文中我們總假設(shè)C不是頂點(diǎn)融合范疇.

引理4設(shè)融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴(kuò)張,其中dim(Ce)=p2,p是一個(gè)素?cái)?shù),則

由引理4(2)可得如下結(jié)論.如果G(Ce)=Zp2,則C具有范疇型(1,m;p,s)或(1,m;,n).

推論1設(shè)融合范疇C=⊕

g∈GCg是平凡分支Ce的擴(kuò)張,其中dim(Ce)=p2,p是一個(gè)素?cái)?shù).

將引理3 ,引理4 總結(jié)如下:

定理1設(shè)融合范疇C=⊕

g∈GCg是平凡分支Ce的擴(kuò)張,其中dim(Ce)=p2,p是一個(gè)素?cái)?shù),則C可能具有的范疇型為

(1)(1,|G|p2),其中|G|是群G的階?

(2)(1,m;p,s)?

(3)(1,m;,n),其中m=np?(4)(1,m;,n;p,s),其中m+sp2=np.

3.2 特殊分次群:G=Zq和S3

下面首先討論當(dāng)G為n階循環(huán)群Zn={e,a,a2,···,an?1}時(shí),融合范疇C=⊕

g∈GCg的范疇型.

引理5設(shè)融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴(kuò)張,其中dim(Ce)=p2,p是一個(gè)素?cái)?shù).如果分支Cg和Ch中的單對(duì)象都是1維的,則分支Cgh中的單對(duì)象也都是1維的.

證明設(shè)Irr(Cg)={δ1,δ2,···,δp2},Irr(Ch)={η1,η2,···,ηp2},其中dim(δi)=dim(ηi)=1,i=1,2,···,p2,則δ1?η1,δ1?η2,···,δ1?ηp2是分支Cgh中互不同構(gòu)的p2個(gè)單對(duì)象,因此分支Cgh中的單對(duì)象也都是1維的.

引理6設(shè)融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴(kuò)張,其中dim(Ce)=p2,p是一個(gè)素?cái)?shù),G=Zn,且C具有范疇型(1,m;p,s).

(1)若存在Zn的某個(gè)生成元g0,使得分支Cg0中有p2個(gè)1維單對(duì)象,則C是頂點(diǎn)的融合范疇?(2)若存在Zn的某個(gè)生成元g0,使得分支Cg0中有1個(gè)p維單對(duì)象Xg0,則對(duì)于Zn的任意一個(gè)

生成元g,分支Cg都含有1個(gè)p維單對(duì)象.

證明(1)由于Zn=?g0?,故對(duì)任意的g∈Zn{e},存在某個(gè)正整數(shù)l,使得g=g0l.因此由引理5知分支Cg中的單對(duì)象都是1維的,從而C是頂點(diǎn)的融合范疇.

當(dāng)循環(huán)群G=Zn的階為素?cái)?shù)時(shí),我們有以下結(jié)論：

定理2設(shè)融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴(kuò)張,其中dim(Ce)=p2,G=Zq,p和q都是素?cái)?shù).

(1)若q=2,則C的范疇型可能為(1,2p2),(1,p2;,p)或(1,p2;p,1)?

(2)若q為奇素?cái)?shù),則C的范疇型只可能為(1,qp2)或(1,p2;p,q?1).

dim(C)=|Zq|dim(Ce)=qp2=|Z2|dim(C1)=2np,

如果C中只有1維單對(duì)象,那么C具有范疇型(1,qp2).

如果C中只有1維單對(duì)象和p維單對(duì)象,那么由引理6 知任意的非平凡分支Cg中都有一個(gè)p維單對(duì)象,因此C具有范疇型(1,p2;p,q?1).

綜上所述,當(dāng)q為奇素?cái)?shù)時(shí),C的范疇型只可能為(1,qp2)或(1,p2;p,q?1).

其次,我們探討當(dāng)G為對(duì)稱群S3時(shí),融合范疇C=⊕

g∈GCg的范疇型.

對(duì)稱群S3可以抽象地表示為S3=?a,b|a3=e,b2=e,(ab)2=e?={e,a,a2,b,ab,a2b}.由于3階循環(huán)群Z3={e,a,a2}是S3的一個(gè)子群,故由引理1 知,Ce⊕Ca⊕Ca2是一個(gè)融合子范疇,進(jìn)一步由引理6 和定理2 可得:

引理7設(shè)融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴(kuò)張,其中dim(Ce)=p2,p是素?cái)?shù),G=S3,則分支Ca和Ca2中只可能有整數(shù)維的單對(duì)象,并且

(1)分支Ca中有p2個(gè)1維的單對(duì)象當(dāng)且僅當(dāng)分支Ca2中有p2個(gè)1維的單對(duì)象?

(2)分支Ca中只有1個(gè)p維的單對(duì)象當(dāng)且僅當(dāng)分支Ca2中只有1個(gè)p維的單對(duì)象.

引理9設(shè)融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴(kuò)張,其中dim(Ce)=p2,p是素?cái)?shù),G=S3.如果分支Cb中的單對(duì)象都是1維的,那么

(1)當(dāng)分支Ca和Ca2中只有1維單對(duì)象時(shí),C是頂點(diǎn)的融合范疇?

(2)當(dāng)分支Ca和Ca2中分別有一個(gè)p維單對(duì)象Xa和Xa2時(shí),C具有范疇型(1,2p2;p,4).

證明(1)由引理5 知,分支Cab和Ca2b中的單對(duì)象都是1維的,因此C是頂點(diǎn)的融合范疇.

(2)設(shè)δb是Cb中的一個(gè)1維單對(duì)象,則Xa?δb和Xa2?δb分別是Cab和Ca2b中的p維單對(duì)象,因此C具有范疇型(1,2p2;p,4).

引理10設(shè)融合范疇C=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴(kuò)張,其中dim(Ce)=p2,p是素?cái)?shù),G=S3.如果分支Cb中只有1個(gè)p維的單對(duì)象Xb,那么

(1)當(dāng)分支Ca和Ca2中只有1維單對(duì)象時(shí),C具有范疇型(1,3p2;p,3)?

(2)當(dāng)分支Ca和Ca2中分別有一個(gè)p維單對(duì)象Xa和Xa2時(shí),C可能具有的范疇型為(1,2p2;p,4)

或(1,p2;p,5).

證明(1)設(shè)δa和δa2分別是Ca和Ca2中的1維單對(duì)象,則δa?Xb和δa2?Xb分別是Cab和Ca2b中的p維單對(duì)象.因此,C具有范疇型(1,3p2;p,3).

(2)由引理8 知,分支Cab和Ca2b中不可能有維的單對(duì)象,于是分支Cab和Ca2b中只可能含有p2個(gè)1維單對(duì)象或者1個(gè)p維單對(duì)象.注意到分支Cab和Ca2b中不可能同時(shí)只含1維單對(duì)象,否則由引理5 ,分支Ca2b·ab=Ca中只含1維單對(duì)象,矛盾.因此C可能具有的范疇型為(1,2p2;p,4)或(1,p2;p,5).

綜合以上討論,我們得如下定理.

4 半單Hopf代數(shù)

有限維Hopf代數(shù)的一個(gè)正合序列是一個(gè)Hopf代數(shù)映射的序列

k→Ki?→Hπ?→L→k,

它滿足：

1.i是單射,π是滿射?

2.π?i=εK1,其中εK是K的余單位?

3.kerπ=HK+.

如果K是交換的,L是余交換的,那么該正合序列稱為abelian擴(kuò)張.在此情況下,存在有限群Σ和Γ,使得K～=kΣ,L～=kΓ,并且有

如果一個(gè)Hopf代數(shù)H符合正合序列(4.2),那么,作為Hopf代數(shù),H關(guān)于某個(gè)正規(guī)化的2 余循環(huán)τ和σ,同構(gòu)于雙交叉積kΣτ#σkΓ.關(guān)于Hopf代數(shù)的abelian擴(kuò)張理論的詳細(xì)研究請(qǐng)參考[14].

如果kΣ在H的中心里,則稱正合序列(4.2 )為中心的.如果其對(duì)偶是中心的,稱正合序列(4.2 )是余中心的.由[15,引理3.3 ],如果正合序列(4.2 )是中心的,那么σ是平凡的?如果正合序列(4.2 )是余中心的,那么τ是平凡的.

定理4設(shè)H是半單的Hopf代數(shù).如果H的表示范疇Rep(H)=⊕g∈GCg是平凡分支Ce的擴(kuò)張,其中dim(Ce)=p2,p是素?cái)?shù),則H=kGτ#σkΓ是一個(gè)雙交叉積,其中Rep(kΓ)=Ce且σ是平凡的.

證明由[10,定理3.8],我們有Hopf代數(shù)的中心正合序列

其中i是嵌入映射,π是自然投射,K=H/H(kG)+且Rep(K)=Ce.由p2維半單Hopf代數(shù)的分類知K是群代數(shù),從而存在一個(gè)p2階的群Γ使得K=kΓ.因此,上述正合序列是一個(gè)abelian擴(kuò)張.這樣,H=kGτ#σkΓ是一個(gè)雙交叉積且σ是平凡的.