胡明星，句媛媛，戴 琳，吳劉倉

(昆明理工大學 理學院，云南 昆明 650500)

0 引 言

隨著科技信息的快速發(fā)展, 在計量經(jīng)濟學、空氣質(zhì)量監(jiān)控、流行病監(jiān)測等領域常常遇見大量非對稱的空間數(shù)據(jù). 空間數(shù)據(jù)是一類具有位置屬性的數(shù)據(jù), 通常具有空間相依性, 這也是空間數(shù)據(jù)區(qū)分于其他種類數(shù)據(jù)的一個重要特征. 例如, 一個地區(qū)的房價比較高, 那么與該地區(qū)相鄰的其他地區(qū)的房價會受影響, 并且影響度隨著距離的增加而逐漸減弱; 空氣質(zhì)量的好壞與區(qū)域面積、地區(qū)生產(chǎn)總值、人口密度、公路運輸量等多種因素有關, 空氣質(zhì)量的下降存在顯著的空間溢出效應, 一個地區(qū)空氣質(zhì)量下降會影響鄰近地區(qū)空氣質(zhì)量, 鄰近地區(qū)空氣質(zhì)量下降會導致本地空氣污染加重. 對空間數(shù)據(jù)建立模型的時候, 如果忽略空間單元的空間相依性, 得到的結論會偏離數(shù)據(jù)間的真實關系. 空間自回歸模型把空間效應引入模型中, 有效解決了空間相依性問題. 空間自回歸模型是空間計量經(jīng)濟學研究中的一個重要模型, 廣泛應用于空間計量經(jīng)濟學領域和社會網(wǎng)絡建模中. 近年來, 空間自回歸模型受到越來越多經(jīng)濟學家和統(tǒng)計學家的關注. 例如, Ord[1]在1975年首次將最大似然估計法運用到空間自回歸模型的估計問題中; Anselin[2]研究了空間自回歸模型中最大似然估計量的性質(zhì); LeSage[3-4]采用貝葉斯方法研究空間自回歸模型的參數(shù)估計; 劉明等[5]用最小二乘估計法研究了空間自回歸模型的參數(shù)估計. 上面提到的研究都是在響應變量服從正態(tài)分布的假設下討論的, 而實際的空間數(shù)據(jù)出現(xiàn)嚴格對稱的情況非常少, 尤其金融經(jīng)濟、社會科學、氣候科學、環(huán)境科學和生態(tài)學等領域中的空間數(shù)據(jù)常常呈現(xiàn)出非對稱、多峰等偏態(tài)分布特征.此時, 如果我們再繼續(xù)基于正態(tài)性假設研究空間數(shù)據(jù), 則難以捕捉到數(shù)據(jù)的變化, 甚至可能降低統(tǒng)計推斷的精確度.

偏正態(tài)分布是相對于正態(tài)分布提出的, 具有非對稱、多峰等特征, 不僅繼承了正態(tài)分布的優(yōu)良特性, 而且能夠更準確地分析數(shù)據(jù)的偏態(tài)特征. 因此, 許多學者常常通過偏正態(tài)分布來減弱模型中響應變量的正態(tài)假設. 例如, Arellano-Valle等[6]為了減弱線性混合模型中隨機變量和響應變量的正態(tài)性假設, 基于多元偏正態(tài)分布的假設對混合模型進行統(tǒng)計推斷; 句媛媛[7]基于偏正態(tài)假設下, 采用貝葉斯方法對空間動態(tài)面板數(shù)據(jù)模型進行統(tǒng)計推斷; 吳劉倉等[8]基于偏正態(tài)數(shù)據(jù)提出了聯(lián)合位置與尺度混合專家回歸模型, 該模型同時對位置、尺度和混合比例參數(shù)建模, 并應用MM算法和EM算法研究了該模型參數(shù)的極大似然估計; 葉仁道等[9]研究了偏正態(tài)假設下混合效應模型的固定效應和偏度參數(shù)的經(jīng)驗貝葉斯估計問題.

到目前為止, 空間自回歸模型雖然已經(jīng)有了很多研究成果, 但是在偏正態(tài)假設下的研究成果甚少. 因此, 鑒于空間自回歸模型在實際應用中的重要性，本文將在響應變量服從偏正態(tài)分布的假設下, 利用貝葉斯方法對偏正態(tài)空間自回歸模型進行統(tǒng)計推斷. 采用Gibbs抽樣和MH算法相結合的MCMC算法估計模型中的未知參數(shù), 并通過數(shù)值模擬說明所提出方法的合理性和有效性. 最后, 對我國31個省(市、區(qū))空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)的實證分析進一步說明了本文方法是切實可行的.

1 偏正態(tài)空間自回歸模型

首先, 假設n維隨機向量z服從偏正態(tài)分布, 其概率密度函數(shù)為:

(1)

其次, 考慮偏正態(tài)空間自回歸模型(SSARMs)

Yn=ρWYn+Xnβ+ε,

(2)

根據(jù)偏正態(tài)分布的定義,(2)式可以表示為:

偏正態(tài)空間自回歸模型的似然函數(shù)為：

(3)

2 模型的貝葉斯估計

2.1 參數(shù)的先驗分布及后驗分布

p(β)～N(β0,Mβ),p(ρ)～U(-1,1),

p(τε)～Γ(v,s),p(δε)～N(δε0,Mδε)I{δε>0}

其中:β0,Mβ,v,s,δε0和Mδε是已知的超參數(shù).

1)β的后驗分布密度為：

即p(β|Yn,θ-β,Rε)的條件分布為：

p(β|Yn,θ-β,Rε)～N(μβ,Ωβ)

(4)

2)δε的后驗分布密度為：

即p(δε|Yn,θ-δε,Rε)的條件分布為：

p(δε|Yn,θ-δε,Rε)～N(μδε,Ωδε)

(5)

3)Rε的后驗分布密度為：

即p(Rε|Yn,θ)的條件分布為：

p(Rε|Yn,θ)～N(μRε,ΩRε)

(6)

4)τε的后驗分布密度為：

即p(τε|Yn,θ-τε,Rε)的條件分布為：

(7)

5)ρ的后驗分布密度為：

(8)

2.2 參數(shù)的貝葉斯估計

定理[10]設X～f(x,η),η∈Θ,η的先驗分布為π(η), 后驗分布為π(η|x). 若損失函數(shù)為L(η,d)=[d-g(η)]2,則g(η)的貝葉斯估計為：

(9)

由參數(shù)的后驗分布密度和式(9)可知, 參數(shù)的貝葉斯估計涉及高維積分, 直接獲得顯示解是有難度的. 為了解決這個問題, 采用MCMC模擬來近似估計參數(shù)η,令(η(1),η(2),…，η(n))為參數(shù)樣本, 則：

其中:(η(1),η(2),…，η(n))是從后驗分布中抽取的樣本.

3 MCMC模擬

本節(jié)通過MCMC模擬來說明前面提出的方法.

表1 模擬1中未知參數(shù)的貝葉斯估計結果

根據(jù)表2可以看出, 針對正態(tài)數(shù)據(jù), 在正態(tài)假設和非正態(tài)假設下, 獨立重復試驗100次所獲得的貝葉斯估計值都是有效的， 即在數(shù)據(jù)沒有偏度的情況下, 用偏正態(tài)空間自回歸模型擬合數(shù)據(jù)是有效的, 所有感興趣參數(shù)的估計值的偏差比較小, 且RMS和SD的值非常接近.

表2 模擬2中未知參數(shù)的貝葉斯估計結果

模擬3討論參數(shù)ρ、δε對貝葉斯估計的敏感性, 考慮下面三種情況:

a) 當δε=0.1時,ρ分別取ρ=-0.8、-0.5、-0.3、0.3、0.5、0.8.

b) 當δε=0.1時,ρ=0.

c) 當ρ=0.2時,δε分別取δε=0.1、0.3、0.5.

表3 模擬3中基于ρ=-0.8,-0.5,-0.3,0.3,0.5,0.8未知參數(shù)的貝葉斯估計結果

表4 模擬3中基于ρ=0未知參數(shù)的貝葉斯估計結果

表5 模擬3中基于δε=0.5,0.3,0.1未知參數(shù)的貝葉斯估計結果

模擬4討論先驗分布對未知參數(shù)貝葉斯估計的敏感性, 本文主要考慮以下三種設置超參數(shù)的方案:

方案1考慮具有良好設置的先驗信息, 設超參數(shù)為β0=(1.25,2,1.2)T、Mβ=0.001I3、δε0=0.1、Mδε=0.001、v0=6、s0=2.

方案2考慮具有不合理設置的先驗信息, 設超參數(shù)為β0=(2.5,4,2.4)T、Mβ=I3、δε0=0.2、Mδε=0.1、v0=12、s0=1.

方案3考慮具有錯誤設置的先驗信息, 設超參數(shù)為β0=(0,0,0)T、Mβ=I3、δε0=0.1、Mδε=0.001、v0=6、s0=2.

根據(jù)表6可以看出, 所有未知參數(shù)的Bias都小于0.02, 且它們的RMS和SD也都非常接近, 說明先驗信息對未知參數(shù)貝葉斯估計值不敏感.

表6 模擬4中未知參數(shù)的貝葉斯估計結果

4 實證分析

本節(jié)通過分析2020年4月全國31個省(市、區(qū))空氣質(zhì)量的數(shù)據(jù), 來說明本文所提出的模型和方法是合理和有效的. 假設xp是一個31×1維向量, 表示31個省(市、區(qū))的細顆粒物(PM2.5);xs是一個31×1維向量, 表示31個省(市、區(qū))的二氧化硫(SO2);xc是一個31×1維向量, 表示31個省(市、區(qū))的一氧化碳(CO);y=(y1,…，y31)T是一個31×1維向量, 表示31個省(市、區(qū))的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI). 計算空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)的偏態(tài)系數(shù)為1.78, 由此可以看出這組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出右偏態(tài), 可以認為空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)是服從偏正態(tài)分布的.

從而, 將數(shù)據(jù)標準化后, 構建如下偏正態(tài)空間自回歸模型：

y=ρWy+β1xp+β2xs+β3xc+ε

根據(jù)表7可得到以下兩個結論: 第一, 各變量與空氣質(zhì)量指數(shù)之間均呈正向關系, 且未知參數(shù)的標準差也比較小, 即細顆粒物、二氧化硫和一氧化碳的含量越高, 空氣質(zhì)量指數(shù)就越大, 從而表明空氣質(zhì)量越差. 第二, 空氣質(zhì)量指數(shù)隨空間相依性ρ增大而提高, 即省(市、區(qū))之間距離越近, 空間相依性ρ的值越大, 空氣質(zhì)量指數(shù)也越大, 從而表明空氣質(zhì)量就越差; 反之省(市、區(qū))之間距離越遠, 空間相依性ρ的值就越小, 空氣質(zhì)量指數(shù)也越小, 從而表明空氣質(zhì)量就越好. 通過實例結果進一步說明本文所提出的偏正態(tài)空間自回歸模型是合理的.

表7 實例分析中未知參數(shù)的貝葉斯估計結果

5 結 論

針對響應變量服從偏正態(tài)分布的空間自回歸模型, 本文研究感興趣參數(shù)的貝葉斯估計問題. 借助Gibbs抽樣和MH算法相結合的MCMC算法, 得到感興趣參數(shù)的貝葉斯估計. 用4個模擬實驗和我國31個省(市、區(qū))空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)的實證分析說明了偏正態(tài)空間自回歸模型的合理性和有效性. 經(jīng)驗結果表明:

1)采用MCMC算法得到偏正態(tài)空間自回歸模型未知參數(shù)的貝葉斯估計值比較精準；

2)使用偏正態(tài)空間自回歸模型擬合實際數(shù)據(jù)是有效的；

3)樣本值的變化對未知參數(shù)的貝葉斯估計值不敏感；

4)空間相依性強度ρ的取值對未知參數(shù)的貝葉斯估計值不敏感, 偏度參數(shù)δε的取值對未知參數(shù)的貝葉斯估計值略微敏感；

5)先驗信息的取值對未知參數(shù)的貝葉斯估計值不敏感.