吳占陽(yáng)， 王 赟， 許素蕾， 湯維佳

(上海振華重工(集團(tuán))股份有限公司，上海 200125)

0 引 言

海底電纜埋設(shè)犁是海洋鋪纜船用關(guān)鍵設(shè)備，可實(shí)現(xiàn)對(duì)海底電纜的邊挖溝邊埋設(shè)工作。挖掘阻力是埋設(shè)犁在挖溝埋纜作業(yè)過(guò)程中所受主要載荷，主要來(lái)自埋設(shè)犁犁刀正面土壤的挖掘反力和側(cè)面土壤的摩擦力。目前針對(duì)土壤挖掘阻力的計(jì)算，可根據(jù)庫(kù)侖土壓力理論計(jì)算犁刀正面挖掘反力，但對(duì)于犁刀側(cè)面的土壤摩擦力，主要基于經(jīng)驗(yàn)公式方法[1]；也可在庫(kù)侖土壓力理論基礎(chǔ)上采用修正系數(shù)的方法[2]。這些計(jì)算方法，對(duì)于既定犁刀尺寸和結(jié)構(gòu)，如果試驗(yàn)數(shù)據(jù)豐富，則獲得的結(jié)果相對(duì)準(zhǔn)確，但如果試驗(yàn)數(shù)據(jù)缺乏，且犁刀結(jié)構(gòu)和尺寸有較大變化時(shí)，計(jì)算結(jié)果則會(huì)出現(xiàn)較大偏差。根據(jù)土力學(xué)基本原理，通過(guò)對(duì)某型埋設(shè)犁犁刀正面挖掘反力和側(cè)面摩擦力的計(jì)算，在不依賴試驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況下，介紹一種計(jì)算埋設(shè)犁土壤挖掘阻力的理論方法。

1 埋設(shè)犁正面土壤阻力計(jì)算

埋設(shè)犁在海底切削土壤時(shí)，其正面在拖曳力作用下切削土壤，根據(jù)土力學(xué)理論，這時(shí)土壤受到被動(dòng)土壓力。當(dāng)壓力達(dá)到一定程度時(shí)，對(duì)應(yīng)破壞面上的剪應(yīng)力超過(guò)土壤抗剪切應(yīng)力，土壤在破壞面發(fā)生滑動(dòng)。按照庫(kù)侖土抗剪切強(qiáng)度理論：

τf=c+σtanφ

(1)

式中:τf為土的抗剪切強(qiáng)度，kPa；c為土的內(nèi)聚力，kPa，取50 kPa(重黏土)；σ為剪切面的法向應(yīng)力，kPa；φ為土的內(nèi)摩擦角，(°)。

圖1為來(lái)自土壤中某一點(diǎn)的單元體的受力狀態(tài)示例。圖1 中：σ1和σ3為主應(yīng)力，且定義σ1>σ3；mn為單元體上任意剪切面；α為單元體剪切面mn與小主應(yīng)力σ3方向的夾角；ds為微單元體剪切面mn的面積；τ為剪切面mn上的剪應(yīng)力。

圖1 土壤單元體受力示例

結(jié)合材料力學(xué)二應(yīng)力理論，可得：

(2)

根據(jù)式(1)和式(2)，可得：

(3)

當(dāng)土體中任意一點(diǎn)在某一平面上的剪應(yīng)力等于土的抗剪切強(qiáng)度時(shí)，這種狀態(tài)被稱為極限平衡狀態(tài)。根據(jù)相關(guān)土力學(xué)原理，當(dāng)土體發(fā)生剪切破壞時(shí)，其破壞面不是發(fā)生在剪切強(qiáng)度最大的面上，而是發(fā)生在與最大主應(yīng)力作用面成45°+φ/2的面上[3]。此時(shí)，單元體平面mn與小主應(yīng)力σ3方向的夾角被稱為破裂角，標(biāo)記為αf，且αf=45°+φ/2。將αf代入式(3)，可得：

(4)

根據(jù)黏性土極限平衡條件[4]，在極限平衡狀態(tài)下：

(5)

同時(shí)，當(dāng)土壤處于極限平衡狀態(tài)時(shí)，滿足：

τf=τ

(6)

埋設(shè)犁在海底切削土壤時(shí)，一般取φ=40°，c=50 kPa，則土壤破壞面的破壞角αf=45°+φ/2=45°+40°/2=65°。

將上述已知數(shù)據(jù)代入式(1)和式(4)～式(6)，得到結(jié)果如表1所示。

表1 土壤應(yīng)力計(jì)算結(jié)果 kPa

圖2～圖5為某型埋設(shè)犁犁刀不同受力模型示例。圖4和圖5以犁溝頂面和斜型犁刀正面交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，水平向右為橫坐標(biāo)正向，豎直向下為縱坐標(biāo)正向，建立一個(gè)平面坐標(biāo)系，以便進(jìn)行后續(xù)力學(xué)位置計(jì)算和力的合成。

圖2 某型埋設(shè)犁正面土壤阻力分析示例

圖3 某型埋設(shè)犁正面土壤阻力計(jì)算示例

圖4 某型埋設(shè)犁正面土壤阻力分解示例

圖5 某型埋設(shè)犁側(cè)面土壤摩擦力分析示例

根據(jù)經(jīng)典土力學(xué)理論，當(dāng)埋設(shè)犁前進(jìn)挖溝時(shí)，犁刀前面的土壤可以視為一面豎直的擋土墻(見(jiàn)圖2)。由圖2可看到：當(dāng)埋設(shè)犁前進(jìn)挖溝時(shí)，按犁刀受力最大工況，可假定σ1的作用方向垂直于下部犁刀和犁刀正面，下部犁刀和犁刀正面會(huì)受到來(lái)自土壤的阻力。圖3為某型埋設(shè)犁正面土壤阻力計(jì)算示例。在圖2和圖3中，某型埋設(shè)犁挖溝最大深度H為3 200 mm，其中下部犁刀挖溝深度H1為470 mm，斜型犁刀正面挖溝深度H2為 2 730 mm。

如圖3所示，當(dāng)埋設(shè)犁前進(jìn)挖溝至深度3 200 mm時(shí)，下部犁刀和斜型犁刀正面分別受到來(lái)自土壤的正壓力Fn1和Fn2：

(7)

(8)

式(7)和式(8)中：S1為下部犁刀面積，m2；S2為斜型犁刀正面面積，m2；b為犁刀寬度，m；L1為下部犁刀長(zhǎng)度，m；L2為斜型犁刀正面長(zhǎng)度，m。

圖4為某型埋設(shè)犁正面土壤阻力分解示例。將上述計(jì)算結(jié)果Fn1和Fn2進(jìn)行水平和垂直各方向的分解。Fn1分解為：水平力Fx1，垂直力Fy1，kN；Fn2分解為：水平力Fx2，垂直力Fy2，kN。上述水平和豎直方向力的方向定義為：豎直向上為正；水平向右為正(與犁的前進(jìn)方向相反)?？傻茫?/p>

Fx1=Fn1cosθ1

(9)

Fy1=-Fn1sinθ1

(10)

Fx2=Fn2cosθ2

(11)

Fy2=Fn2sinθ2

(12)

聯(lián)立式(7)～式(12)，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 某型埋設(shè)犁正面土壤阻力計(jì)算結(jié)果

2 埋設(shè)犁側(cè)面土壤摩擦力計(jì)算

埋設(shè)犁在作業(yè)過(guò)程中，其犁體兩側(cè)面受到來(lái)自土壤的正壓力和摩擦力，其受力部分如圖5所示。根據(jù)犁體側(cè)面與海底土壤接觸情況，將犁體側(cè)面劃分成3個(gè)部分：三角形OAB，長(zhǎng)方形ACDE，梯形EDGF。

根據(jù)圖5，埋設(shè)犁上端面OAE直線的解析方程為

YOAE=0

(13)

埋設(shè)犁下端面即斜型面OB直線的解析方程為

YOB=X

(14)

埋設(shè)犁底面CDG直線的解析方程為

YCDG=3.2

(15)

埋設(shè)犁上部斜型面EF直線的解析方程為

(16)

下文分別求犁體的三角形OAB、長(zhǎng)方形ACDE、梯形EDGF區(qū)域內(nèi)犁體側(cè)面正壓力和摩擦力，在計(jì)算中鋼與土壤的摩擦因數(shù)μ為0.5。

埋設(shè)犁在水下作業(yè)時(shí)，其側(cè)面受到來(lái)自土壤的側(cè)面壓力和由此產(chǎn)生的摩擦阻力。埋設(shè)犁的兩側(cè)面屬于垂直面(非傾斜面)，當(dāng)埋設(shè)犁作業(yè)前進(jìn)時(shí)，兩側(cè)土壤會(huì)對(duì)其產(chǎn)生側(cè)壓力，將這種土側(cè)壓力看作是靜止土側(cè)壓力。根據(jù)相關(guān)土力學(xué)原理，可用靜止土壓力理論進(jìn)行計(jì)算。

根據(jù)靜止土力學(xué)理論，設(shè)靜止土壓力強(qiáng)度為σ0(見(jiàn)圖6)，則

圖6 靜止土壓力計(jì)算示例

σ0=γZK0

(17)

式中：γ為海底土壤的容重，一般取16.5 kN/m3；Z為作用位置深度，m；K0為靜止土壓力因數(shù)，通常對(duì)于黏性土，K0取0.5～0.7，非黏性土取0.35～0.50，此處按黏性土取K0=0.7。

2.1 三角形OAB區(qū)域土壤正壓力和摩擦力計(jì)算

三角形OAB區(qū)域，結(jié)合式(14)和式(17)，單位寬度土墻對(duì)埋設(shè)犁側(cè)面的側(cè)壓力計(jì)為

(18)

運(yùn)用定積分的元素法原理[5]，在三角形OAB區(qū)域內(nèi)得到的側(cè)面正壓力為

(19)

式中：XB=2.727 m，XO=0 m，XB、XO分別表示點(diǎn)B、點(diǎn)O在X軸的坐標(biāo)。經(jīng)計(jì)算得到NOAB=39 kN。

相應(yīng)地，三角形OAB區(qū)域內(nèi)受到的局部摩擦阻力大小為(含正反2個(gè)側(cè)面)fOAB=2μN(yùn)OAB=39 kN。

2.2 長(zhǎng)方形ACDE區(qū)域土壤正壓力和摩擦力計(jì)算

長(zhǎng)方形ACDE區(qū)域，結(jié)合式(13)、式(15)和式(17)，單位寬度土墻對(duì)埋設(shè)犁側(cè)壓力為常數(shù)：

(20)

則在長(zhǎng)方形ACDE區(qū)域內(nèi)得到的側(cè)面正壓力為

(21)

式中：XC=2.727 m，XD=3.818 m，XC、XD分別表示點(diǎn)C、點(diǎn)D在X軸的坐標(biāo)。經(jīng)計(jì)算得到NACDE=64 kN。

相應(yīng)地，長(zhǎng)方形ACDE區(qū)域內(nèi)受到的局部摩擦阻力大小為(含正反2個(gè)側(cè)面)fACDE=2μN(yùn)ACDE=64 kN。

2.3 梯形EDGF區(qū)域土壤正壓力和摩擦力計(jì)算

梯形EDGF區(qū)域，結(jié)合式(15)、式(16)和式(17)，單位寬度土墻對(duì)埋設(shè)犁側(cè)壓力為

31.07+14.67X-1.93X2

(22)

則在梯形EDGF區(qū)域內(nèi)得到的側(cè)面正壓力為

(23)

式中：XD=3.818 m，XG=8.027 m，XG為點(diǎn)G在X軸的坐標(biāo)。經(jīng)計(jì)算得到NEDGF=199 kN。

相應(yīng)地，梯形EDGF范圍內(nèi)受到的局部摩擦阻力大小為(含正反2個(gè)側(cè)面)fEDGF=2μN(yùn)EDGF= 199 kN。

2.4 側(cè)面摩擦力作用點(diǎn)位置

在靜止土壓力強(qiáng)度σ0的作用(見(jiàn)圖7)下，對(duì)單位長(zhǎng)度擋土墻側(cè)面壓力沿深度方向逐漸加大分布。這種分布作用可以等效成一個(gè)集中力，該力大小為E0，作用在某一深度位置Z′。

圖7 作用位置求解示例

假設(shè)E0作用位置深度為Z′，則單位長(zhǎng)度的擋土墻在任意作用位置深度Z處，對(duì)深度Z′處的力

矩滿足如下關(guān)系：

(24)

圖8為某型埋設(shè)犁側(cè)面土壤摩擦力合成示例。在圖8中，以犁溝頂面和斜型犁刀正面交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，水平向右為橫坐標(biāo)正向，豎直向下為縱坐標(biāo)正向，建立一個(gè)平面坐標(biāo)系。在埋設(shè)犁犁刀側(cè)面三角形OAB區(qū)域，沿著犁刀側(cè)面X方向，單位長(zhǎng)度擋土墻集中力E0=EOAB沿直線OH分布其上，根據(jù)單位長(zhǎng)度擋土墻集中力E0作用位置在距溝底1/3深度處的結(jié)論，直線OH的方程為

(25)

由式(18)可知：EOAB是關(guān)于X的函數(shù)。因此，側(cè)面正壓力也可以等效到OH上某一點(diǎn)。假設(shè)該點(diǎn)深度位置為y′,對(duì)應(yīng)該點(diǎn)橫坐標(biāo)為X′，則根據(jù)力矩平衡關(guān)系，可得：

(26)

將式(18)、式(25)代入式(26)，且XO=0 m，XH=2.727 m，XH為點(diǎn)H在X軸的坐標(biāo)。經(jīng)計(jì)算得到y(tǒng)′=1.364 m 。

在圖8的埋設(shè)犁側(cè)面矩形ACDE區(qū)域內(nèi)，沿犁刀側(cè)面X方向，單位長(zhǎng)度擋土墻集中力E0=EACDE沿直線IJ分布其上，根據(jù)單位長(zhǎng)度擋土墻集中力E0作用位置在距溝底1/3深度處的結(jié)論，直線IJ為一條水平直線，方程為

圖8 某型埋設(shè)犁側(cè)面土壤摩擦力合成示例

(27)

由式(20)可知：EACDE為常數(shù)。因此，側(cè)面正壓力也可以等效到IJ上某一點(diǎn)。假設(shè)該點(diǎn)深度位置為y″,則容易得到y(tǒng)″=2.133 m。

在圖8的埋設(shè)犁側(cè)面梯形EDGF區(qū)域內(nèi)，沿犁刀側(cè)面X方向，單位長(zhǎng)度擋土墻集中力E0=EEDGF沿直線JK分布其上，根據(jù)單位長(zhǎng)度擋土墻集中力E0作用位置在距溝底1/3深度處的結(jié)論，直線JK為一條直線，方程為

y=0.192x+1.398

(28)

由式(22)可知：EEDGF是關(guān)于X的函數(shù)。因此，側(cè)面正壓力也可以等效到JK上某一點(diǎn)。假設(shè)該點(diǎn)深度位置為y?，則根據(jù)力矩平衡關(guān)系，可得：

(29)

將式(22)和式(28)代入式(29)，且已知XJ=3.818 m，XK=8.027 m，XJ、XK分別表示點(diǎn)J、點(diǎn)K在X軸的坐標(biāo)。經(jīng)計(jì)算得到y(tǒng)?=2.341 m。

根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，在埋設(shè)犁犁刀側(cè)面正壓力作用位置確定后，對(duì)應(yīng)其所產(chǎn)生的摩擦力集中作用點(diǎn)位置相應(yīng)確定。這3個(gè)區(qū)域范圍的摩擦力fOAB、fACDE、fEDGF的作用位置如圖8中y′、y″和y?所示。由于這3個(gè)摩擦力為水平方向，水平坐標(biāo)位置與力產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩?zé)o影響，此處水平坐標(biāo)位置不作具體計(jì)算。

3 埋設(shè)犁犁體挖掘阻力合成計(jì)算

3.1 挖掘阻力合力計(jì)算

上文經(jīng)過(guò)計(jì)算，已獲得埋設(shè)犁在進(jìn)行作業(yè)時(shí)犁刀體受到來(lái)自土壤的各種阻力，包括：埋設(shè)犁正面所受土壤阻力的水平分力Fx1、Fx2；正面土壤阻力豎直分力Fy1、Fy2；側(cè)面壓力NOAB、NACDE、NEDGF；側(cè)面摩擦力fOAB、fACDE、fEDGF。其中，犁刀體兩個(gè)側(cè)面壓力大小相等，方向相反。在計(jì)算整個(gè)埋設(shè)犁的平面力系時(shí)由于相互抵消，可以不考慮。

綜上所述，某型埋設(shè)犁犁刀體受到的挖掘阻力如表3所示。

由表3可知：某型埋設(shè)犁在挖溝到最大深度時(shí)，受到來(lái)自土壤的阻力，可按水平和豎直兩個(gè)方向進(jìn)行大小合成，則有水平合力Fx(與埋設(shè)犁運(yùn)動(dòng)方向相反為正)和豎直合力Fy(向上方向?yàn)檎?分別為

表3 某型埋設(shè)犁挖掘阻力

Fx=Fx1+Fx2+fOAB+fACDE+fEDGF=417.5 kN

(30)

Fy=Fy1+Fy2=73.2 kN

(31)

3.2 挖掘阻力合成

現(xiàn)假設(shè)上述2個(gè)力合成至埋設(shè)犁的某一點(diǎn)處，相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)而言，設(shè)該合成力的坐標(biāo)為(X,Y)，上述分析的Fx1、Fy1、Fx2、Fy2、fOAB、fACDE、fEDGF各力的作用點(diǎn)坐標(biāo)如圖9所示。在圖9中，以犁溝頂面和斜型犁刀正面交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，水平向右為橫坐標(biāo)正向，豎直向下為縱坐標(biāo)正向，建立一個(gè)平面坐標(biāo)系。各水平方向作用力繞原點(diǎn)O形成的力矩之和可以用總的水平力Fx與其縱軸坐標(biāo)Y的乘積等效；豎直方向作用力繞原點(diǎn)O形成的力矩之和可以用總的豎直力Fy與其橫軸坐標(biāo)X的乘積等效。相關(guān)方程為

圖9 某型埋設(shè)犁挖掘阻力合成示例

(32)

將各已知數(shù)據(jù)代入式(32)可得到X=1 718 mm；Y=2 119 mm。

最終埋設(shè)犁挖掘阻力合成力位置及大小如表4所示。

表4 某型埋設(shè)犁挖掘阻力合成

4 結(jié) 論

根據(jù)土壤力學(xué)的基本原理，在電纜埋設(shè)犁挖掘海底土壤過(guò)程中，運(yùn)用庫(kù)侖抗剪切強(qiáng)度理論，對(duì)某型埋設(shè)犁正面挖掘反力進(jìn)行理論分析與計(jì)算；運(yùn)用靜止土理論，對(duì)埋設(shè)犁挖掘過(guò)程中犁刀側(cè)面受到的摩擦力進(jìn)行理論分析與計(jì)算；并運(yùn)用力學(xué)平衡原理，對(duì)埋設(shè)犁受到的正面挖掘反力和側(cè)面土壤摩擦力進(jìn)行大小和位置的等效合成。在缺乏有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況下，為埋設(shè)犁海底挖掘阻力的分析與計(jì)算提供一種通用性的理論方法，突破經(jīng)驗(yàn)公式的局限性，并為埋設(shè)犁犁刀的設(shè)計(jì)及整機(jī)力學(xué)分析提供一種理論指導(dǎo)。然而，作為一種理論計(jì)算方法，在實(shí)際運(yùn)用時(shí)需要繁瑣的數(shù)學(xué)建模和大量圖例，因此相對(duì)于經(jīng)驗(yàn)公式，計(jì)算工作量增加。