張 臻，周揚忠

(福州大學 福建省新能源發(fā)電與電能變換重點實驗室，福州 350116)

0 引 言

工業(yè)機器人、數(shù)控機床等高性能交流伺服應用，往往對系統(tǒng)的動態(tài)響應特性以及運行可靠性均有嚴格要求[1]。欲實現(xiàn)永磁同步電機(以下簡稱PMSM)高性能位置伺服控制，不僅需對電機轉子位置角采用先進的控制策略[2]，還需克服系統(tǒng)自身參數(shù)變化及負載突變等不確定擾動對控制精度的影響。在實際工程運用中，電機各參數(shù)值會隨運行工況的不同或材質(zhì)的退化而發(fā)生改變[3]，造成被控對象建模不準確，進而影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，對電機參數(shù)進行快速、準確的辨識并及時對控制器參數(shù)進行自整定，具有重要的研究應用價值。

在各類非線性控制策略中，自抗擾控制(以下簡稱ADRC)具有較好的魯棒性、較高的控制精度、較強的抗擾性能以及較弱的模型依賴度，在PMSM控制領域得到了廣泛應用[4-6]。ADRC通過擴張狀態(tài)觀測器(以下簡稱ESO)實時觀測系統(tǒng)的內(nèi)外總擾動并進行前饋補償，將系統(tǒng)整定為積分串聯(lián)系統(tǒng)，從而實現(xiàn)高性能控制。其中文獻[7]給出PMSM調(diào)速系統(tǒng)非線性自抗擾控制的設計方案及參數(shù)整定的方向和規(guī)律；文獻[8]對自抗擾控制器進行了改進，在實現(xiàn)位置、速度復合控制的同時，解決了傳統(tǒng)二階ADRC在伺服系統(tǒng)中轉速不可控的問題；為減輕ESO觀測擾動的負擔，文獻[9]采用模型補償ADRC策略，以提高系統(tǒng)的抗擾動能力。此外，ADRC的控制性能還受ESO觀測精度的影響，而ESO的觀測精度又依賴于轉動慣量的大小[10]。

為獲得準確的轉動慣量值，常采用在線辨識方法來捕獲系統(tǒng)動態(tài)信息，進而得到實時的轉動慣量值，如最小二乘法、卡爾曼濾波器和模型參考自適應法等。相較最小二乘法和卡爾曼濾波器進行辨識時需進行復雜的數(shù)學計算和非線性濾波處理，模型參考自適應算法不僅理論簡單，便于程序實現(xiàn)，且辨識收斂速度快。文獻[11]在忽略負載轉矩影響的情況下采用模型參考自適應算法實現(xiàn)對轉動慣量的辨識，并將辨識值用于負載轉矩觀測器的實時校正。又因PMSM非線性、強耦合的特點，文獻[12]通過串聯(lián)離散時間模型參考自適應法實現(xiàn)對轉動慣量和負載轉矩的同步辨識，解決了辨識參數(shù)耦合的問題。文獻[13]針對負載擾動與摩擦系數(shù)偏差對轉動慣量辨識造成的影響，提出在轉速相等、角加速度大小相等而方向相反的條件下對辨識結果進行補償。但傳統(tǒng)基于模型參考自適應法進行轉動慣量辨識通常是根據(jù)轉速環(huán)設計的。

為實現(xiàn)伺服系統(tǒng)的高性能控制，本文提出一種基于參數(shù)辨識與擾動補償PMSM位置伺服自校正ADRC方案。利用二階非線性自抗擾控制實現(xiàn)位置、速度的復合控制，在位置環(huán)中采用朗道離散時間遞推算法對轉動慣量進行實時估計；同時為減少負載擾動對控制系統(tǒng)性能的影響，依據(jù)PMSM機械運動方程設計了負載觀測器[14]。并將獲得的參數(shù)信息代入到自抗擾控制器中，實現(xiàn)模型補償和參數(shù)校正，進而提高系統(tǒng)魯棒性。仿真和實驗結果表明，在參數(shù)攝動和負載突變的情況下，進行參數(shù)辨識和模型補償?shù)淖孕Ｕ鼳DRC系統(tǒng)，抗擾性能得到改善。

1 基于模型補償?shù)腜MSM非線性ADRC設計

1.1 PMSM數(shù)學模型

本文研究的是面裝式PMSM，采用id=0的矢量控制策略。為簡化分析，在同步旋轉d-q坐標系下，PMSM的機械運動方程如下式：

(1)

式中:θm為轉子位置角；ωm為機械角速度；Jm為系統(tǒng)的轉動慣量；B為系統(tǒng)的粘滯摩擦系數(shù)；TL為負載轉矩；iq為q軸定子電流；p為極對數(shù)；ψf為轉子永磁體磁鏈。

設狀態(tài)變量xp1=θm，xp2=ωm，則系統(tǒng)內(nèi)部擾動fp(ωm)=-(Bωm)/Jm，外部擾動wp(t)=-TL/Jm，位置控制增益bp=(1.5pψf)/Jm，則式(1)可簡寫：

(2)

考慮到參數(shù)失配的情況，實際的位置控制增益bp未知，設bp0=(1.5pψf)/Jm為bp的估計值，則可得增益擾動σp和廣義總擾動ap1(ωm,t)分別：

(3)

將廣義總擾動擴張為新的狀態(tài)變量xp3，系統(tǒng)輸入量iq用變量up表示，系統(tǒng)輸出量θm用yp表示，則可得:

(4)

1.2 基于模型補償?shù)腁DRC數(shù)學模型

自抗擾控制主要包括跟蹤-微分(以下簡稱TD)模塊、ESO模塊和非線性狀態(tài)誤差反饋控制(以下簡稱NLSEF)模塊三個環(huán)節(jié)。

TD方程：

(5)

其中最速函數(shù)fst(x1,x2,r,h)具體表達式如下：

(6)

式中:x1,x2為輸入變量；fst為輸出變量；r為跟蹤加速因子，決定跟蹤給定信號的速度；h為濾波因子，決定噪聲的濾波效果。

ESO方程：

(7)

NLSEF方程：

(8)

式中:εp1為位置角跟蹤誤差；εp2為機械角速度誤差；kp1,kp2為比例系數(shù)；up0和up分別是ADRC輸出的基本控制量和經(jīng)過模型補償后的控制量。

其中fal最優(yōu)控制函數(shù)的具體表達式：

(9)

式中:e為輸入誤差變量；α為非線性系數(shù)；δ表示為濾波因子。

圖1 基于模型補償?shù)亩A自校正ADRC結構

2 參數(shù)辨識與校正

2.1 基于離散模型參考自適應的轉動慣量在線辨識原理

為獲得準確的轉動慣量值，基于朗道離散時間串聯(lián)模型參考自適應算法設計的轉動慣量辨識器結構框圖如圖2所示。在參考模型確定后，選擇與參考模型具有相同數(shù)學形式但包含待辨識參數(shù)的數(shù)學方程作為可調(diào)模型，再利用兩模型間輸出量的誤差設計自適應機制來實時調(diào)節(jié)、更新待辨識參數(shù)值，直至輸出間的誤差收斂至0，辨識即完成。具體原理闡述如下。

圖2 轉動慣量辨識結構框圖

將式(1)改寫為如下二階狀態(tài)方程：

(10)

認為辨識算法對位置的采樣頻率足夠快，將上式離散化后可得：

(11)

式中:Tc為辨識算法控制周期。

由式(11)可推得，在k時刻與k-1時刻時的運動方程分別如下：

θm(k)=b[Te(k-1)-Td(k-1)]+

2θm(k-1)-θm(k-2)

(12)

θm(k-1)=b[Te(k-2)-Td(k-2)]+

2θm(k-2)-θm(k-3)

(13)

式中:b=Tc2/Jm。

將式(12)與式(13)作差可得：

θm(k)=b{[Te(k-1)-Te(k-2)]-[Td(k-1)-

Td(k-2)]}+3θm(k-1)-3θm(k-2)+

θm(k-3)

(14)

本文未直接選用PMSM的機械運動方程作為參考模型，而采用式(14)作為自適應參考模型，因與直接采用輸入變量前一時刻的值進行迭代計數(shù)相比，將電磁轉矩以及觀測的負載轉矩的前后兩個時刻的變化量代入運算，可減少負載劇烈變化對辨識結果造成的影響。此時可調(diào)模型可設計如下：

(15)

(16)

根據(jù)所設計的可調(diào)模型輸出，求得其與實際模型輸出間的誤差：

(17)

ΔT(k-1)

(18)

式中:eθ表示先驗誤差；e′θ代表后驗誤差；ΔT(k-1)=[Te(k-1)-Te(k-2)]-[Td(k-1)-Td(k-2)]。

基于Popov超穩(wěn)定理論，采用先驗誤差設計可得自適應機制的辨識算法迭代公式:

(19)

2.2 串聯(lián)離散模型參考自適應收斂性證明

因先驗模型與后驗模型的自適應過程是等價的，且為滿足Popov不等式，以可調(diào)模型的后驗輸出與參考模型的輸出偏差為依據(jù)，通過建立一個描述后驗誤差e′θ動態(tài)特性的微分方程，來等效模型參考自適應系統(tǒng)，圖3即為以后驗誤差方程等價的離散非線性反饋系統(tǒng)。根據(jù)自適應律和式(18)可以確定等價系統(tǒng)的非線性反饋環(huán)節(jié)：

(20)

圖3 離散非線性反饋系統(tǒng)

為分析簡單，未采用線性補償器，即D(z)=1。此時有v(k)=e′θ(k)，由式(18)和式(20)求得：

(21)

G(z)=Ge(z)D(z)=1

(22)

由式(22)可知,此時線性定常方框等價的正向傳遞函數(shù)G(z)滿足嚴格正實的條件。

根據(jù)離散Popov超穩(wěn)定性定理可知，當?shù)刃Х蔷€性反饋系統(tǒng)的輸入與輸出的內(nèi)積滿足Popov不等式(23)時：

(23)

式中：ρ0是一個任意有限正常數(shù)。

系統(tǒng)辨識才能穩(wěn)定。從不等式可知，η(0，K)中的變量v(k)、ω(k)均表示當前時刻的值，故證明過程需采用后驗誤差驗證。

將式(17)與式(18)作差，結合式(19)可得下式：

(24)

則先驗誤差與后驗誤差的關系：

(25)

再將式(25)代入式(19)中，可得采用后驗誤差表示的辨識算法迭代公式：

(26)

聯(lián)立式(20)、式(26)和式(23)可得：

(27)

又已知對于任意n個實數(shù)xi(i=1,…,n)有：

(28)

2.3 負載轉矩觀測器設計

抑制負載擾動對控制系統(tǒng)的影響，根據(jù)PMSM的機械運動方程，構建了負載轉矩觀測器。將PMSM的機械運動方程重新描述如下：

(29)

在實際帶載狀態(tài)下，iq可通過電流傳感器經(jīng)坐標變換后獲得，而轉速以及加速度信息可通過ESO獲取，為消除觀測噪聲，添加了以T0為濾波因子的一階低通濾波器，通過Laplace變換后可得負載轉矩觀測值如下：

(30)

2.4 基于模型補償?shù)亩AADRC參數(shù)自校正制系統(tǒng)

圖4 系統(tǒng)控制框圖

3 仿真驗證

為驗證本文的基于轉動慣量辨識的參數(shù)自整定自抗擾控制器的效果，在MATLAB/Simulink進行仿真研究，仿真用PMSM的參數(shù)如下：電機的額定功率為370 W；額定電壓為48 V；額定轉速為3 000 r/min；額定轉矩為1.2 N·m；極對數(shù)為4；定子電阻為1.18 Ω；d，q軸電感為2.2 mH；轉動慣量為2.68×10-3kg·m2；粘滯摩擦系數(shù)為1.69×10-4N·m·s/rad；永磁磁鏈為0.146 67 Wb。其中自抗擾控制器的參數(shù)取βp1=1 000，βp2=750 000，βp3=125 000 000，rp=500，h0=0.000 1，kp1=8 000，kp2=3 000，δ=0.000 1，α=0.5；轉動慣量辨識算法參數(shù)取β=8，Tc=1 μs。

3.1 負載轉矩觀測仿真分析

圖5 負載轉矩觀測波形圖

3.2 轉動慣量辨識仿真分析

圖6 轉動慣量辨識波形圖

3.3 位置跟隨仿真分析

圖7(a)為給定位置按照(π/6)sin(0.5πt)變化時，電機轉子位置θ跟蹤曲線圖當電機運行至4 s時，突加3 N·m的負載。從圖7(a)可知，未對ADRC控制器參數(shù)進行校正和擾動補償?shù)摩?，抗擾性能會差一些，其最大跟蹤誤差約為7.374×10-3rad；而θ1因引入了負載轉矩觀測器，通過將觀測的負載變化補償?shù)紼SO中，增強了系統(tǒng)的抗擾性能，其最大的跟蹤誤差為6.043×10-3rad。

圖7 位置跟蹤波形圖

電機空載起動，在相同位置給定條件下運行至4 s時，將轉動慣量突變?yōu)樵瓉頂?shù)值的10倍，轉子位置跟蹤波形圖如圖7(b)所示。從圖7(b)可知，當轉動慣量突變時，沒有對控制器參數(shù)bp0進行校正的控制系統(tǒng)都出現(xiàn)了不同程度的抖振。其中只進行了模型補償?shù)腁DRC控制策略的位置信號θ3抖振最為嚴重，這是因為模型補償?shù)牧恳采婕暗搅薐m參數(shù)，而該系統(tǒng)只進行補償而沒有對補償環(huán)節(jié)的Jm進行校正；因此同只采用普通ADRC控制策略的θ2相比，跟蹤效果變差。而θ1為有進行校正系統(tǒng)的位置跟蹤波形，在Jm突變后依然能夠準確地跟蹤給定值，因此校正后的系統(tǒng)具有更強的抗干擾能力。

4 實驗驗證

本文對控制方案進行了實驗驗證。圖8為基于DSP2808系統(tǒng)設計的實驗平臺，其中伺服控制對象是型號為ASM370(48 V/370 W)的PMSM，并采用無刷直流電機作為負載使用。PMSM參數(shù)：額定功率為370 W；額定電壓為48 V；額定轉速為3 000 r/min；額定轉矩為1.2 N·m；極對數(shù)為4；定子電阻為0.173 Ω；d，q軸電感為0.132 mH；編碼器線數(shù)為2 500線；永磁磁鏈為0.012 405 Wb。實驗中控制周期取為210 μs；自抗擾控制器的參數(shù)取βp1=1 500，βp2=1 000 000，βp3=650 000 000，rp=1 000，h0=0.000 1，kp1=1 100，kp2=1 000，δ=0.000 1，a=0.5；轉動慣量辨識算法參數(shù)取β=0.08，Tc=0.42 ms。

圖8 實驗平臺

4.1 負載轉矩觀測實驗分析

由PMSM拖動無刷直流電機運行，通過突加無刷直流電機定子側串聯(lián)的電阻實現(xiàn)負載突變，此時電磁轉矩與觀測的負載轉矩如圖9所示。從圖9可知，未對控制器參數(shù)和負載觀測器參數(shù)進行校正時，負載轉矩觀測器的觀測精度并不高；尤其是負載突變后，觀測誤差進一步增大。通過對系統(tǒng)參數(shù)進行校正補償，觀測的負載轉矩能夠較好地跟蹤上電磁轉矩。

圖9 負載轉矩觀測曲線圖

4.2 轉動慣量辨識實驗分析

圖10對比了在不同β取值下對轉動慣量辨識結果的影響。當β取0.02時，辨識參數(shù)b經(jīng)過大概6.5 s穩(wěn)定在6.126×10-4s2/(kg·m2)，辨識誤差為9.577%；當β取0.03時，經(jīng)過大概6 s后b穩(wěn)定在6.219 25×10-4s2/(kg·m2)，此時辨識誤差約為8.338%；當取β為0.05時，辨識參數(shù)b經(jīng)過大概2.5 s后穩(wěn)定在6.281 032×10-4s2/(kg·m2)，但此時辨識結果的幅值脈動增大，辨識誤差約為7.33%；比較結果可知，在一定范圍內(nèi)自適應系數(shù)β取值越大，辨識收斂速度越快，但辨識結果的脈動會隨之增大。

圖10 β取值對Jm辨識結果的影響

4.3 位置跟蹤實驗分析

位置給定信號為(π)sin(πt)的正弦信號，從圖11可知，此時最大位置跟蹤誤差約為0.308 rad；運行一段時間后突加負載，位置跟蹤效果變差，最大跟蹤誤差增加到0.346 rad，其最大跟蹤誤差增大了12%，在73 s左右對自抗擾控制器進行校正補償，此時位置跟蹤誤差降為0.303 7 rad。

圖11 轉子位置跟蹤波形圖

5 結 語

為實現(xiàn)高性能伺服系統(tǒng)控制，針對時變慣量，本文采用模型參考自適應法實現(xiàn)轉動慣量的辨識；針對時變負荷，根據(jù)機械運動方程設計了負載轉矩觀測器，并將辨識的模型參數(shù)代入二階位置ADRC控制器中進行校正和補償。仿真和實驗結果表明：

1)在位置閉環(huán)控制系中，采用朗道離散時間遞推算法設計的轉動慣量辨識器不僅收斂速度較快，且辨識誤差較小。

2)校正后的負載轉矩觀測器具有較強的抗擾能力，且觀測精度較高。

3)經(jīng)模型補償和參數(shù)自整定后的二階ADRC系統(tǒng)，抗擾性能得到提升，位置跟蹤效果更好。