范振成

(閩江學院 數(shù)學與數(shù)據(jù)科學學院, 福建 福州 350108)

在芯片(大規(guī)模集成電路)設計領域, 仿真計算作用重大。 描述芯片的數(shù)學模型一般是高維的微分代數(shù)方程組, 使用諸如線性多步法和Runge-Kutta方法等經(jīng)典數(shù)值方法進行仿真計算時, 因其計算量太大, 效果不理想。 描述芯片的高維微分代數(shù)方程組, 一般是由若干聯(lián)系微弱的小方程組構成, 針對這個特點, 基于解代數(shù)方程組的迭代法, Lelarasmee等[1]提出了解微分方程的波形松弛(WR)方法, 其基本想法是先利用迭代技術將大系統(tǒng)分成若干獨立的小系統(tǒng), 然后根據(jù)各小系統(tǒng)的特點選用適合的經(jīng)典數(shù)值方法進行求解計算。與經(jīng)典方法相比, 波形松弛方法因具有并行性和多速率兩個優(yōu)點, 而更具優(yōu)勢。當實際計算時, WR方法的初始值和中間過程不可避免存在誤差, 因此研究誤差的傳播規(guī)律(即穩(wěn)定性)是有意義的。

對WR方法的研究集中于收斂性, 穩(wěn)定性的研究不多見。Bellen A等[2]和范振成[3]專注于數(shù)值方法是否保持解析解的性質, 給出了離散WR方法的壓縮或絕對穩(wěn)定條件?？紤]初值和過程誤差是否可控問題, 范振成[4]提出了連續(xù)WR方法的收斂穩(wěn)定, 給出了泛函微分方程波形松弛方法收斂穩(wěn)定的條件。然而文獻[4]中的條件較嚴格, 很多常見情形不滿足。本文將證明在標準的Lipschitz條件下, 常微分方程初值問題的WR 方法是收斂穩(wěn)定的。

1 假設與準備

對泛函微分方程

(1)

的連續(xù)WR方法(下文簡稱WR方法)

(2)

其中，分裂函數(shù)F(t,x,x,y(·))=f(t,x,y(·)), 初始解x0(t)=g(t),t∈I,k=0,1,…。文獻[4]證明了當F滿足單邊Lipschitz條件(H1)和全局Lipschtiz條件(H2) 時,F和g的微小變化所引起的解序列{xk}變化可控，文獻[4]中稱之為收斂穩(wěn)定, 說明了WR方法具有較強的抗干擾能力。然而文獻[4]中的條件(H1)較嚴格, 很多常見情形不滿足(H1)。

考慮常微分方程的初值問題

(3)

及其WR方法

(4)

其中，y,yk∈C1(J,Rn),F(t,x,x)=f(t,x)。此處和下文用Rn表示n維實數(shù)域,R表示實數(shù)域,R-表示負實數(shù)集,R+表示正實數(shù)集,C1(J,Q)表示區(qū)間J到數(shù)集Q上有一階連續(xù)導數(shù)的函數(shù)集,C(J,Q)表示J到Q上連續(xù)函數(shù)集。

假設分裂函數(shù)滿足以下兩個Lipschitz條件：

其中，〈·,·〉:Rn×Rn→R表示內(nèi)積,‖x‖=〈x,x〉1/2。

此時,文獻[4]的結果變成：當(H3)和(H4)成立時, WR方法式(4)是收斂穩(wěn)定的, 即式(4)與其擾動系統(tǒng)

(5)

解的差滿足：存在C>0使得

由于條件(H3)中的m(t)<0, 這是較嚴格的限制, 排除了諸如F(t,x,y)=x+y等常見情況, 考慮更寬松的標準Lipschitz條件：

式中，L可以取正數(shù), 因此(H1′)比(H3)更寬松, 在(H1′)使用L∈R而不是更簡單的L>0, 只是為了擾動解的誤差上限更準確, 后文將推出其與L+K有關, 見式(8)。此外, 若(H4)成立, 則(H2′)成立, 這說明(H2′)比(H4)更寬松。

本文將證明當(H1′)和(H2′)成立時, WR方法(4)是收斂穩(wěn)定的。首先證明兩個引理。

引理1 .1當(H1′)和(H2′)成立時, WR方法式(4)產(chǎn)生的函數(shù)序列{yk}收斂于式(3)的解, 即

證明：由文獻[5]中定理7.3 或式(7.15), 易知本引理成立。

引理 1.2 假設u∈C1(J,R+),v∈C(J,R+),L1≠0,L2>0,γ1>0,γ2>0且

(6)

若存在γ≥max{γ1,γ2},V∈C(J,R+),U∈C1(J,R)滿足V(t)>v(t),t∈J和

(7)

則U(t)≥u(t),t∈J。

證明：式(7)減式(6)得

兩邊乘以e-L1t得

(e-L1t(U(t)-u(t)))′≥

e-L1tL2(V(t)-v(t))+e-L1t(γ-γ1)

兩邊從0到t積分得

e-L1t(U(t)-u(t))≥γ-γ2+

由引理條件, 上式右端大于零, 因此U(t)≥u(t),?t∈J. 證畢。

2 主要結果

定理2.1當(H1′)和(H2′)成立時, WR方法式(4)是收斂穩(wěn)定的, 即式(4)和它的擾動系統(tǒng)式(5)生成的函數(shù)序列滿足：

(8)

由此式和內(nèi)積的性質, 得

由上式, (H1′)、 (H2′) 以及Cauchy-Schwarz不等式, 推導出

〈ηk+1(t),ηk+1(t)〉′≤2L‖ηk+1(t)‖2+

2K‖ηk+1(t)‖‖ηk(t)‖+2‖ηk+1(t)‖‖δk+1(t)‖

(9)

另一方面

〈ηk+1(t),ηk+1(t)〉′=(‖ηk+1(t)‖2)′=

2‖ηk+1(t)‖(‖ηk+1(t)‖)′

(10)

由式(9)和(10)得

(11)

(12)

由式(11) (12)和引理1.2, 不難證明

‖ηk(t)‖≤zk(t),?t∈J,?k=0,1,…

(13)

又由引理1.1, (12)生成的函數(shù)列收斂于下面微分方程的解

(14)

即

(15)

由式(13)(14)和(15), 易得

(16)

3 定理應用

對于WR方法式(4), 若已知yk時, 能夠準確算出yk+1, 則得到的函數(shù)序列{yk}的極限為式(3)的解(引理 1.1)。然而, 對大多數(shù)方程, 這是不可能的, 一般利用數(shù)值方法和插值求近似等于yk+1的函數(shù)。常用的離散WR方法的算法如下：

第2步：選擇適當?shù)臄?shù)值方法計算方程

(17)

在節(jié)點{0=t0

第4步：k=k+1, 轉第2步重復計算, 直至收斂為止。

注意式(17)等價于

(18)

當(H1′)和(H2′)成立時, 由引理1.1和定理2.1, 知存在C>0使得

其中，y是方程(3)的解。

4 數(shù)值實驗

考慮方程(3)至方程(5), 選取f(t,y)=Ay+b(t),其中

J=[0,1],ξ=(1,0,1)T

(19)

為了簡單，選固定擾動δk(t)≡δ,εk≡ε。使用Jacobi分裂函數(shù), 即

F(t,x,y)=A1x+A2y+b(t)

(20)

表1 滿足(19)(20)的方法(4)的不同擾動引起的誤差uk