雒向東，海波，趙宇杰，梁曄

(1.蘭州城市學(xué)院電子工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.甘肅高師學(xué)報(bào)編輯部，甘肅 蘭州 730070；3.蘭州城市學(xué)院信息工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

圓柱體是工程應(yīng)用中常見的電磁輻射與散射模型，其電磁場(chǎng)邊值問題的求解往往涉及圓柱矢量波函數(shù)的構(gòu)建[1-4]。在圓柱坐標(biāo)系中用圓柱矢量波函數(shù)表示自由空間輻射或散射場(chǎng)是極為方便的。當(dāng)獲得自由空間圓柱矢量波函數(shù)展開式后，應(yīng)用散射疊加方法，可導(dǎo)出其它類型的并矢格林函數(shù)(dyadic Green’s functions，DGF)。應(yīng)用DGF方法解決電磁理論及工程邊值問題，主要難點(diǎn)就是要構(gòu)建并矢格林函數(shù)。對(duì)這一問題國(guó)內(nèi)外學(xué)者已做了大量研究[5-13]，對(duì)規(guī)則形狀波導(dǎo)、平面分層媒質(zhì)、常用坐標(biāo)系等問題的研究已有一致的結(jié)果，但關(guān)于導(dǎo)體圓柱散射場(chǎng)等問題的研究比較少。本研究基于圓柱坐標(biāo)系中圓柱矢量波函數(shù)及其正交歸一性質(zhì)，從自由空間構(gòu)建的并矢格林函數(shù)出發(fā)，推證出了導(dǎo)體圓柱空間的第一、二類電型并矢格林函數(shù)。

1 圓柱矢量波函數(shù)及其正交歸一性

在圓柱坐標(biāo)系中基于圓柱矢量波函數(shù)研究電磁場(chǎng)邊值問題，首先需要確定柱型矢量波函數(shù)及其正交歸一性質(zhì)，這一問題在戴振鐸、魯述相關(guān)文獻(xiàn)中已有表述[8]，基本理論如下：

(1)

(2)

公式(1)中雙行符號(hào)是同時(shí)表示兩個(gè)式子的一種符號(hào)表示方法，它實(shí)質(zhì)上是指這樣兩個(gè)式子：

式中h和λ為連續(xù)取值，下標(biāo)“e”表示偶函數(shù)，“o”表示奇函數(shù)，其它雙行符號(hào)式子含義同此。公式(1)和(2)在整個(gè)空間區(qū)域(∞>r≥0，2π>φ≥0，∞>z>-∞)均有定義，且滿足以下正交歸一性：

(3)

(4)

(5)

式中，積分區(qū)域?yàn)檎麄€(gè)空間。

2 構(gòu)建自由空間并矢格林函數(shù)

自由空間并矢格林函數(shù)是構(gòu)建導(dǎo)體圓柱空間并矢格林函數(shù)的基礎(chǔ)，本研究先構(gòu)建自由空間并矢格林函數(shù)，再將其應(yīng)用于導(dǎo)體圓柱空間推證其第一、二類電型并矢格林函數(shù)。

(6)

和無窮遠(yuǎn)處的輻射條件，其表達(dá)式為[8]36：

(7)

式(7)中，G0(R,R′)為三維標(biāo)量波動(dòng)方程的自由空間格林函數(shù)，R′表示源點(diǎn)位置矢量，R表示場(chǎng)點(diǎn)或觀察點(diǎn)的位置矢量，具體為：

|R-R′|=

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

將式(12)代入式(6),利用式(13)和(14)可推得

(15)

(16)

式(16)中，

(17)

取積分回路沿上半λ平面的半無限圓路徑，利用留數(shù)定理完成積分[8]，式(16)計(jì)算結(jié)果為：

(18)

式(18)中，

(19)

(20)

(21)

(22)

δ(r-r′)=δ(z-z′)δ(φ-φ′)

(23)

(24)

(25)

兩個(gè)單位階躍函數(shù)為：

(26)

(27)

將式(26)和(27)代入式(25)可進(jìn)一步推得：

(28)

依據(jù)廣義函數(shù)理論:

?U(r-r′)=erδ(r-r′)

(29)

?U(r′-r)=-erδ(r-r′)

(30)

將式(29)和(30)代入式(28)得:

(31)

(32)

把式(31)代入式(32)得：

(33)

其中，

(34)

將式(34)代入式(33)得電型并矢格林函數(shù)為：

(35)

式(35)中，上行符號(hào)對(duì)應(yīng)的是r>r′，下行符號(hào)對(duì)應(yīng)r

3 構(gòu)建導(dǎo)體圓柱空間的并矢格林函數(shù)

設(shè)自由空間有一半徑為a的無限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱，其軸線與z軸重合，根據(jù)散射疊加方法[13]，第一類電型并矢格林函數(shù)可設(shè)為：

(36)

(37)

式(37)中aη、bη為待定系數(shù)，為求得待定系數(shù)aη、bη，應(yīng)用r=a柱面上滿足的狄里克萊條件：

(38)

將導(dǎo)體圓柱第一類電型并矢格林函數(shù)關(guān)系式(36)代入邊界條件式(38)得：

(39)

將自由空間電型并矢格林函數(shù)關(guān)系式(35)和圓柱散射項(xiàng)展開式(37)代入式(39)得

(40)

式(40)等效于以下兩個(gè)方程

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

將解得的系數(shù)式(43)和(45)代入式(36)得無限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱對(duì)應(yīng)的第一類電型并矢格林函數(shù)為

x=ηa

(46)

(47)

第二類電型并矢格林函數(shù)滿足并矢紐曼條件：

(48)

將式(47)代入式(48)，得：

(49)

式(49)等效于以下兩個(gè)方程：

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

將解得的系數(shù)表達(dá)式(52)和(54)代入式(47)可求得無限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱對(duì)應(yīng)的第二類電型并矢格林函數(shù)為：

x=ηa

(55)

4 結(jié)語(yǔ)