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        改進(jìn)的基于譜聚類的子空間聚類模型

        2022-01-05 02:32:14陳花竹
        計(jì)算機(jī)應(yīng)用 2021年12期
        關(guān)鍵詞:數(shù)據(jù)庫實(shí)驗(yàn)方法

        高 冉,陳花竹

        (中原工學(xué)院理學(xué)院,鄭州 451191)

        (?通信作者聯(lián)系郵箱nygr@163.com)

        0 引言

        子空間聚類得到了廣泛的關(guān)注和大量的研究,它的任務(wù)是將數(shù)據(jù)分割到其本質(zhì)上所屬的子空間。子空間聚類是對傳統(tǒng)聚類方法的一種擴(kuò)展,近20年來,人們提出了大量的子空間聚類方法,這些方法大致可以分為四類:迭代方法[1-2]、代數(shù)方法[3-4]、統(tǒng)計(jì)方法[5-6]和基于譜聚類的方法[7]。迭代方法將數(shù)據(jù)點(diǎn)分配到不同的子空間,并應(yīng)用數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合每個(gè)子空間。該方法通常需要預(yù)先設(shè)置每個(gè)子空間的維數(shù),最終的結(jié)果取決于初始化。代數(shù)方法的一個(gè)典型代表是基于分解的方法,它通過閾值相似矩陣(由數(shù)據(jù)矩陣的分解構(gòu)造)的元素來搜索初始分割。這些方法在子空間獨(dú)立時(shí)具有嚴(yán)格的理論保證;然而,它們對數(shù)據(jù)噪聲或異常值沒有魯棒性。統(tǒng)計(jì)方法通常假設(shè)每個(gè)子空間內(nèi)的數(shù)據(jù)遵循某種分布,如高斯分布。在此基礎(chǔ)上,采用期望最大化(Expectation Maximization,EM)算法交替進(jìn)行數(shù)據(jù)聚類和子空間估計(jì)。這些方法的主要缺點(diǎn)是依賴于估計(jì)精確的子空間模型?;谧V聚類的方法由于其易于實(shí)現(xiàn)、對初始化和數(shù)據(jù)損壞不敏感等優(yōu)點(diǎn)而越來越流行。這類方法通常將問題劃分為兩個(gè)獨(dú)立的階段:首先,通過自表示學(xué)習(xí)從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)一個(gè)相似度矩陣,如稀疏子空間聚類(Sparse Subspace Clustering,SSC)[8-9]、低秩表示(Low-Rank Representation,LRR)[10-11]和一些基于SSC 或LRR 的擴(kuò)展模型)如魯棒子空間聚類的最小二乘回歸(Least Square Regression,LSR)[12]、相關(guān)自適應(yīng)子空間聚類(Correlation Adaptive Subspace Segmentation,CASS)[13]、隱低秩表示(Latent Low-Rank Representation,LatLLR)[14]、隱光滑表示子空間聚類(Latent SMooth Representation clustering,LSMR)[15]、塊對角表示(Block Diagonal Representation,BDR)[16]等,它們主要研究如何從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)一個(gè)好的相似度矩陣來提高聚類性能。其次,應(yīng)用Normalized cuts(N-cut)[17]或稀疏譜聚類(Sparse Spectral Clustering,SSpeC)[18]等譜聚類方法,利用相似度矩陣推斷數(shù)據(jù)的標(biāo)簽,得到數(shù)據(jù)最終的聚類結(jié)果。這些兩階段法中,SSpeC 模型是對傳統(tǒng)譜聚類的改進(jìn),通過分析隱相似度矩陣的稀疏性引入稀疏正則項(xiàng),以此來增強(qiáng)聚類判別能力;但該正則項(xiàng)對于隱相似度矩陣的稀疏性是模糊的,因?yàn)樗鼪]有顯式地捕獲數(shù)據(jù)的自表示矩陣和聚類指標(biāo)矩陣之間的自然關(guān)系,沒有考慮隱相似度矩陣中哪些元素為0。SSpeC 模型雖然優(yōu)于傳統(tǒng)的譜聚類方法,但也沒有充分利用相似度矩陣與數(shù)據(jù)標(biāo)簽之間的關(guān)系,聚類性能并未達(dá)到最優(yōu)。

        結(jié)構(gòu)稀疏子空間聚類(Structured Sparse Subspace Clustering,SSSC)[19-20]將兩階段合并,同時(shí)得到相似度矩陣和聚類結(jié)果。將相似度矩陣學(xué)習(xí)和標(biāo)簽學(xué)習(xí)集成到一個(gè)統(tǒng)一的優(yōu)化框架中,并利用其中一個(gè)來引導(dǎo)另一個(gè),使兩者都具有優(yōu)點(diǎn):一方面,它利用標(biāo)簽將來自不同類的數(shù)據(jù)點(diǎn)對應(yīng)的相似度強(qiáng)制為零;另一方面,它使用相似度矩陣來引導(dǎo)標(biāo)簽推斷,使得同一類中的數(shù)據(jù)點(diǎn)具有相同的標(biāo)簽。SSSC的聚類性能優(yōu)于上述兩階段法,但SSSC只強(qiáng)制來自相同子空間的數(shù)據(jù)具有相同的聚類標(biāo)簽,沒有考慮來自不同子空間的數(shù)據(jù)具有不同的聚類標(biāo)簽。結(jié)構(gòu)塊對角表示(Structured Block Diagonal Representation,SBDR)[21]和判別相關(guān)子空間聚類(Discriminative and Coherent Subspace Clustering,DCSC)[22]都是兩個(gè)階段的統(tǒng)一優(yōu)化模型,它們是對SSSC 方法的改進(jìn),但是它們主要集中在對自表示學(xué)習(xí)時(shí)的改進(jìn),使用相似度矩陣來引導(dǎo)標(biāo)簽推斷時(shí)仍然應(yīng)用的是傳統(tǒng)的譜聚類算法(N-cut)。

        本文在SSpeC 模型的稀疏性基礎(chǔ)上,給出一個(gè)新的數(shù)據(jù)自適應(yīng)稀疏正則項(xiàng),并采用SSSC 的統(tǒng)一優(yōu)化框架,以保持相似度矩陣學(xué)習(xí)和聚類指標(biāo)推斷的相互引導(dǎo)。一方面,利用數(shù)據(jù)對的相關(guān)性來指導(dǎo)隱相似度矩陣的稀疏性,克服了SSpeC中稀疏性懲罰的盲目性;另一方面,它傾向于強(qiáng)制來自不同子空間的數(shù)據(jù)具有不同的聚類指標(biāo),從而補(bǔ)充了SSSC 只強(qiáng)制來自相同子空間的數(shù)據(jù)具有相同的聚類指標(biāo)的缺陷。

        1 相關(guān)工作

        為方便起見,在回顧相關(guān)理論之前,由表1 給出了本文中使用的符號的定義。

        表1 符號說明Tab.1 Symbol description

        令X=(x1,x2,…,xN)∈Rn×N是N個(gè)數(shù)據(jù)的集合,每一列xi都是一個(gè)n維特征向量。假設(shè)數(shù)據(jù)分別來自維數(shù)未知的的K個(gè)相互獨(dú)立的子空間的并集。子空間聚類的目的是通過聚類來揭示每個(gè)數(shù)據(jù)的子空間屬性,一類對應(yīng)一個(gè)子空間?;谧V聚類方法取得了很好的效果,它假設(shè)子空間中的任何數(shù)據(jù)都可以表示為其他數(shù)據(jù)的線性組合的前提下,利用自表示矩陣Z構(gòu)造相似度矩陣。這些方法通過求解以下優(yōu)化問題得到自表示矩陣Z:

        其中:Ω(Z)和C 是對Z的約束;E表示誤差值、損壞值或異常值;Φ(E)是E的約束函數(shù),一般來說用于高斯噪聲,‖E‖1用于異常值;λ是一個(gè)權(quán)衡參數(shù)。不同聚類方法之間的主要區(qū)別在于Ω(Z)的選擇,設(shè)計(jì)合適的Ω(Z)使得模型得到的矩陣Z滿足類間稀疏、類內(nèi)一致的性質(zhì)。例如,SSC 使用‖Z‖1來增強(qiáng)Z的稀疏性,LRR 使用核范數(shù)‖Z‖?來尋求對所有數(shù)據(jù)的低秩表示。得到問題(1)的最優(yōu)解Z*后,就構(gòu)造出相似度矩陣。然后,通過譜聚類算法得到聚類結(jié)果。具體地,通過優(yōu)化以下問題得到最終聚類結(jié)果:

        其中:L=D-A是Laplace 矩陣;D是一個(gè)對角元素為Djj=的對角矩陣。約束Γ是聚類指標(biāo)矩陣的集合,定義為:

        其中F為聚類指標(biāo)矩陣。具體地,定義為:

        第i行的非零元所在的列表示數(shù)據(jù)xi的所在的類,F(xiàn)的第j列表示哪些數(shù)據(jù)屬于第j類。F1=1 表示每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)只在一個(gè)子空間中。約束rank(F)=K是為了確保F只有K行不同,因?yàn)樽涌臻g的類的個(gè)數(shù)是K。問題(2)通常由F∈Γ松弛為FTF=I,其中I是單位矩陣。所以譜聚類問題松弛為以下優(yōu)化問題:

        問題(4)的最優(yōu)解F的列是L的K個(gè)最小特征值的對應(yīng)的特征向量。將K-均值(K-means)聚類算法作用于F的每一行,得到最終聚類結(jié)果。

        FFT在某種程度上是稀疏的,SSpeC 模型通過‖F(xiàn)FT‖1來考慮稀疏性,所以SSpeC模型表示為:

        SSpeC 表明FFT矩陣隱含了相似度矩陣A的可判別性或|FFT|可視為一個(gè)新的相似度矩陣,稱為隱相似度矩陣。但它是盲目的,因?yàn)樗鼪]有考慮兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)是否來自不同的子空間。只有數(shù)據(jù)點(diǎn)xi與xj來自不同的子空間,才有(FFT)ij=0。此外,SSpeC 是一個(gè)兩階段的方法,沒有充分利用相似度矩陣和數(shù)據(jù)標(biāo)簽之間的關(guān)系。

        SSSC 通過以下模型將子空間聚類問題表述為一個(gè)統(tǒng)一的框架:

        α>0和λ>0權(quán)衡參數(shù),SSSC中,自表示矩陣Z和聚類指標(biāo)矩陣F彼此交互,使得它們有一些有利于聚類的特性。

        SSSC 模型雖然將相似度矩陣和聚類指標(biāo)矩陣結(jié)合成一個(gè)統(tǒng)一的框架,是統(tǒng)一優(yōu)化模型,優(yōu)于兩階段聚類方法,但是它沒有考慮來自不同子空間的數(shù)據(jù)具有不同的聚類指標(biāo),本文旨在針對聚類指標(biāo)矩陣的學(xué)習(xí)對SSSC方法進(jìn)行改進(jìn)。

        2 本文提出的模型

        2.1 本文模型

        根據(jù)前面對SSpeC模型的分析,當(dāng)xi和xj不在同一個(gè)子空間時(shí),隱相似度矩陣的元素|(FFT)ij為零。直觀地說,如果數(shù)據(jù)點(diǎn)xi和xj之間的距離很遠(yuǎn),那么很可能xi和xj|來自不同的子空間。在此基礎(chǔ)上,利用下面的加權(quán)稀疏性來懲罰隱相似度矩陣的稀疏性:

        將式(7)代入SSSC 模型,且將F∈Γ松弛為FTF=I,可得:

        2.2 模型求解

        通過交替求解以下兩個(gè)子問題,設(shè)計(jì)了模型(8)的有效算法:

        1)固定X和Z,求解F;

        2)固定F,通過求解表示問題找到Z和E。

        2.2.1 求聚類指標(biāo)矩陣F

        當(dāng)Z和E固定時(shí),式(8)轉(zhuǎn)化為下式:

        又因?yàn)?/p>

        所以式(9)可寫為下式:

        為了式(10)的目標(biāo)函數(shù)能變量分離,引入輔助變量J,然后將其改寫為如下等價(jià)公式:

        該問題可以用交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM))[23-24]來解決。式(11)的增廣Lagrange函數(shù)為:

        其中:Y是Lagrange乘子,μ>0是懲罰算子。當(dāng)別的變量固定時(shí),依次更新F、J和Y。

        1)F子問題:固定J和Y,通過下式更新F。

        其中:F為最大的K(K為類別個(gè)數(shù))個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量組成的矩陣。

        2)J子問題:固定F和Y,通過下式更新J。

        式(14)的解為:

        其中:S為軟閾值算子,||W是對矩陣的每個(gè)元素求絕對值。

        3)Y子問題:乘子的更新是標(biāo)準(zhǔn)的梯度上升過程:

        將問題(11)的整個(gè)求解方法總結(jié)在算法1中,其中k是迭代次數(shù)。

        2.2.2 求自表示矩陣Z和誤差矩陣E

        這是SSSC模型。具體求解參考文獻(xiàn)[11]。

        3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

        本章分別在Extended Yale B 數(shù)據(jù)庫[25]、Hopkins 155 數(shù)據(jù)庫[26]及USPS 數(shù)據(jù)庫[27]進(jìn)行實(shí)驗(yàn),以評估本文模型的聚類性能,并與當(dāng)前較好的聚類模型進(jìn)行聚類誤差率比較,如SSC[8-9]、LRR[10-11]、LSR(包含LSR1和LSR2兩個(gè)模型)[12]、CASS[13]、LatLRR[14]、LSMR[15]、BDR[16]、SSC+SSpeC(Sparse Subspace Clustering+Spare Spectral Clustering)[18]、N-cut[17]、BDSSC(Block Diagonal Sparse Subspace Clustering)[28]、SSSC[19-20]、LRSC[29-30]、BDLRR(Block Diagonal Low-rank Representation)[28]、TSC(Thresholding-based Subspace Clustering)[31]、NSN(Nearest Subspace Neighbor)[31]、正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)[32]和K-means。為了在所有實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行公平的比較,使用作者源代碼中默認(rèn)或建議參數(shù)設(shè)置的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,或者直接從其原始論文中引用最佳實(shí)驗(yàn)結(jié)果,從而獲得所有比較模型的最佳性能。

        采用上述參考文獻(xiàn)中使用的子空間聚類誤差率error=Nerror/Ntotal作為聚類性能度量,其中:Nerror表示錯(cuò)誤聚類的數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù),Ntotal表示數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)。

        3.1 Extended Yale B 數(shù)據(jù)庫實(shí)驗(yàn)

        Extended Yale B 人臉數(shù)據(jù)庫包含38 個(gè)人的2 414 張人臉圖像,每一個(gè)人在不同可控光實(shí)驗(yàn)室條件下大約有64 張人臉圖像,部分圖像如圖1所示。

        圖1 Extended Yale B人臉數(shù)據(jù)庫的樣本圖像Fig.1 Sample images of Extended Yale B face data base

        為了減少算法的計(jì)算時(shí)間和降低存儲(chǔ)空間,參考SSSC[19-20],先將所有圖像的大小壓縮為48×42,然后向量化為2 016 維數(shù)據(jù)點(diǎn)。和SSSC 一樣,將38 類數(shù)據(jù)分為4 組,而不是對整個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行聚類,以評估本文模型在平均意義上的聚類性能。具體而言,四組分別對應(yīng)1~10 類、11~20 類、21~30類、31~38 類。對于前三組中的每一組,考慮K={2,3,5,8,10}類的所有選擇;對于最后一組,考慮K={2,3,5,8}類的所有選擇。實(shí)驗(yàn)中Φ(E)=‖E‖1。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果與SSC、LRR、LSR、CASS、LatLRR、LSMR、BDR、SSC+SSpeC、N-cut、BDSSC、SSSC、LRSC、BDLRR、TSC、NSN、OMP 和K-means進(jìn)行比較。

        實(shí)驗(yàn)表明,當(dāng)K=2 時(shí),本文模型在參數(shù)α=0.1,β=0.001,λ=0.5 時(shí)通常會(huì)得到“最佳”平均聚類精度,另外在該數(shù)據(jù)集上所有實(shí)驗(yàn)的參數(shù)都選擇這個(gè)設(shè)置。

        為了展示本文模型的性能,從每個(gè)組中任選所有K類進(jìn)行實(shí)驗(yàn),例如,當(dāng)K=2 時(shí),共有種情況。然后每類的所有情況的聚類錯(cuò)誤率的均值(Ave.)、標(biāo)準(zhǔn)差(“±”符號后的數(shù)據(jù))和中值(Med.)如表2 所示,其中“—”表示未報(bào)告數(shù)據(jù),最好的結(jié)果用粗體表示。為了更加直觀,還繪制了不同模型的平均聚類錯(cuò)誤率與類的個(gè)數(shù)的關(guān)系曲線如圖2所示。

        表2 Extended Yale B人臉數(shù)據(jù)庫上的聚類錯(cuò)誤率 單位:%Tab.2 Clustering error rate on Extended Yale B face data base unit:%

        通過表2 和圖2 可以看到,在所有模型中,后兩種模型的聚類誤差率的平均值、中值明顯低于前幾種模型,說明同時(shí)得到相似度矩陣和聚類結(jié)果的統(tǒng)一模型優(yōu)于兩步法模型;本文模型的平均聚類誤差率最低,且對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差明顯較小,表明本文模型較其他方法更加穩(wěn)定。當(dāng)K=2,3,5,8,10 時(shí),平均聚類誤差率分別為0.18%、0.25%、0.309%、0.302% 和0.26%。由此可見,本文模型的平均聚類誤差率對類別個(gè)數(shù)的增加具有較強(qiáng)的魯棒性。

        圖2 Extended Yale B數(shù)據(jù)庫上的聚類錯(cuò)誤率與類的個(gè)數(shù)的關(guān)系Fig.2 Relationship between clustering error rate and the number of classes on Extended Yale B data dase

        當(dāng)K=2,3,5,8,10 時(shí),與次優(yōu)的LSMR 相比,本文模型將聚類誤差率從0.53%、0.98%、1.44%、1.80%和1.67%降到0.18%、0.25%、0.309%、0.302%和0.26%;與SSC+SSpeC 相比,本文模型將聚類誤差率從1.92%、3.33%、4.49%、3.67%和2.71% 降到0.18%、0.25%、0.309%、0.302% 和0.26%。與SSSC 相比,隨著類別的個(gè)數(shù)的增加,本文模型的平均誤差率增大較為緩慢,說明該模型更適合大數(shù)據(jù)。本模型優(yōu)于另兩種的兩個(gè)原因:一方面使用數(shù)據(jù)間的距離來指導(dǎo)隱相似度矩陣的稀疏性,克服了SSpeC 稀疏懲罰的盲目性;另一方面,它建立了相似度矩陣和聚類指標(biāo)矩陣之間的關(guān)系,是統(tǒng)一的優(yōu)化模型。

        此外,為了更好地比較SSC+SSpeC、SSSC 以及本文模型,將這些模型應(yīng)用于Extended Yale B 人臉數(shù)據(jù)庫(K=5時(shí)),并將所得到的相似度矩陣A、隱相似度矩陣FFT和聚類指標(biāo)矩陣F可視化??梢暬Y(jié)果如圖3所示。理想情況下,來自不同聚類的數(shù)據(jù)點(diǎn)的相似度矩陣和隱相似度矩陣(對角塊之外的元素)應(yīng)為零,從而表現(xiàn)出區(qū)分性。與圖3(a)、(b)所示的SSC+SSpeC 和SSSC 的相似度矩陣相比,本文模型產(chǎn)生了一個(gè)更好的相似矩陣,其對角塊外的非零項(xiàng)非常少,如圖3(f)所示,本文模型所得隱相似性矩陣基本上是對角塊,具有更好的辨別性。

        圖3 三種模型在Extended Yale B人臉數(shù)據(jù)庫上所得到的相似度矩陣、隱相似度矩陣和聚類指標(biāo)矩陣的可視化(K=5)Fig.3 Visualization of affinity matrix,latent affinity matrix and clustering indicator matrix obtained by three models on Extended Yale B face data base(K=5)

        3.2 Hopkins 155數(shù)據(jù)庫實(shí)驗(yàn)

        Hopkins 155 數(shù)據(jù)庫是一個(gè)運(yùn)動(dòng)分割數(shù)據(jù)庫,包括155 個(gè)視頻序列,每個(gè)視頻中有2個(gè)或3個(gè)類,對應(yīng)于2個(gè)或3個(gè)低維子空間。圖4 是來自Hopkins 155 數(shù)據(jù)庫的樣本圖像。使用來約束E。本實(shí)驗(yàn)將本文模型與SSC、LRR、LSMR、N-cut、SSSC、K-means、SSC+SSpeC、LSR1、LSR2、BDLRR、BDSSC、LSA(Local Subspace Affinity)[33]和DCSC[22]作比較。

        圖4 Hopkins 155數(shù)據(jù)庫的樣本圖像Fig.4 Sample images of Hopkins 155 data base

        表3 Hopkins 155數(shù)據(jù)庫上的聚類錯(cuò)誤率對比 單位:%Tab.3 Clustering error rates on Hopkins 155 data base unit:%

        圖5 Hopkins 155數(shù)據(jù)庫上聚類錯(cuò)誤率與類的個(gè)數(shù)的關(guān)系Fig.5 Relationship between clustering error rate and the number of classes on Hopkins 155 data base

        3.3 USPS數(shù)據(jù)庫實(shí)驗(yàn)

        USPS 數(shù)據(jù)集是一個(gè)手寫數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)集[27],由10 類共9 298幅圖像組成,每個(gè)類的手寫數(shù)字為0~9。每幅圖像的像素為16×16,部分樣本如圖6所示。

        圖6 USPS數(shù)據(jù)集的樣本圖像Fig.6 Sample images of USPS data base

        本文實(shí)驗(yàn)中使用標(biāo)準(zhǔn)的主分量分析(Principal Component Analysis,PCA)將256維數(shù)據(jù)降至40維,并且只使用每類圖像中的前100 幅圖像,。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果與SSC、LRR、LSMR、N-cut、SSSC、K-means、SSC+SSpeC、LSR、CASS 和光滑表示聚類(SMR)[34]進(jìn)行比較。

        實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,當(dāng)α=0.1,β=0.000 01,λ=2.5 時(shí)得到“好”的聚類結(jié)果。聚類誤差率如表4 所示,其中最好的結(jié)果用粗體表示。從表4 可以看出,與SSSC 相比,本文模型對USPS 數(shù)據(jù)集的聚類誤差率從8.20%降到7.70%,聚類效果良好。

        表4 USPS數(shù)據(jù)庫上的聚類錯(cuò)誤率 單位:%Tab.4 Clustering error rates on USPS database unit:%

        4 結(jié)語

        本文提出了一種新的子空間聚類模型,在SSSC 模型中加入了一個(gè)數(shù)據(jù)自適應(yīng)稀疏正則項(xiàng)。一方面,新的正則項(xiàng)利用數(shù)據(jù)對之間的距離來強(qiáng)化潛在相似度矩陣的聚類判別性質(zhì),從而克服了SSpeC 中稀疏性懲罰的盲目性;另一方面,它建立了相似度矩陣和聚類指標(biāo)矩陣之間的關(guān)系,克服了SSSC 只強(qiáng)制來自相同子空間的數(shù)據(jù)具有相同的聚類標(biāo)簽的缺陷,且是統(tǒng)一的優(yōu)化模型。在三個(gè)常用數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)表明,本文提出的方法優(yōu)于現(xiàn)有的兩階段方法和統(tǒng)一的SSSC優(yōu)化模型。

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