滕永佳閻躍觀郭偉姜巖胡耀東

1. 中國礦業(yè)大學(北京)地球科學與測繪工程學院,北京 100083；2. 山東科技大學測繪與空間信息學院,山東青島 266590

礦山開采導致地下巖層原有的力學平衡被破壞,使地面發(fā)生沉降,損傷建筑物、水體、管道和通信輸電設施等[1-2]。礦山開采沉陷預計是開采沉陷學中的基本問題。自20 世紀60年代起,基于隨機介質理論[3-4]創(chuàng)建的概率積分法在我國得到廣泛應用[5-7]。針對不規(guī)則工作面開采地表沉陷預計,已有學者基于概率積分法原理,采用各類算法對其進行了優(yōu)化和改進[8-10]。張華興、周萬茂等[11-12]提出利用數(shù)學方法對概率積分法公式進行積分轉換的思想；吳侃、蔡音飛等[13-14]提出利用矩形單元剖分工作面,使用概率積分法計算各單元后將預計結果疊加；許冬等[15]提出將工作面按角點剖分為梯形單元,使用變步長辛普森積分計算各單元后進行疊加處理；趙曉東等[16]提出使用非結構化三角形單元剖分工作面,采用復合辛普森積分計算地表移動變形；李永樹、張兵等[17-18]提出通過劃分積分區(qū)間及疊加計算處理不規(guī)則工作面；周棒等[19]通過坐標系轉換,實現(xiàn)了在計坐算標系中不規(guī)則工作面邊界的自動確定。這些方法的預計過程中往往需要使用不同幾何單元剖分工作面及轉換坐標系等,計算量較大,且?guī)缀螁卧拇笮︻A計結果精度有一定影響。

本文針對上述問題,開展了不規(guī)則工作面開采地表沉陷預計線積分方法的研究工作,該方法簡單易行,可為“三下”開采沉陷預計提供算法依據(jù)。概率積分法是開采沉陷預計的重要方法,但對于不規(guī)則工作面開采,其預計精度有待提高。本文利用格林公式(Green formula)對概率積分法公式進行積分轉換,將對工作面的積分轉換為對采區(qū)邊界的線積分；將邊界簡化分割為多條直線段,分別對各直線段作積分計算；通過疊加計算完成地表任意點及地表沉陷盆地移動變形預計。

1 理論基礎

概率積分法和格林公式是本文提出的不規(guī)則工作面開采地表沉陷線積分預計方法的理論基礎。其中,概率積分法是開采沉陷預計的重要方法,其本質是單元開采影響函數(shù)對工作面區(qū)域的積分；而格林公式的作用是進行線面積分的相互轉換,利用其可以將概率積分法公式由面積分轉換為針對開采工作面邊界的線積分。因此,在計算過程中合理分割工作面邊界,即可提高不規(guī)則工作面開采地表沉陷的預計精度。

1.1 概率積分法

基于隨機介質理論,從統(tǒng)計學的觀點出發(fā),可將整個采區(qū)分解成無數(shù)個微小單元,通過計算所有單元對巖層和地表影響的總和,即可得到整個采區(qū)開采引起的地表移動和變形值。此計算過程可以用概率積分法[6-7]完成,地表任意點的下沉預計值計算如下:

式中,W(x0,y0)為(x0,y0)位置處地表下沉預計值；Wmax為充分采動條件下地表最大下沉值；D為開采工作面區(qū)域(積分區(qū)域)；r為主要影響半徑。

1.2 格林公式

格林公式廣泛應用于數(shù)學、工程、物理等相關專業(yè),其在積分問題上的主要作用是將函數(shù)在區(qū)域內部的面積分與區(qū)域邊界上的線積分相互轉化[20-21]。格林公式的使用條件為,當區(qū)域D是單連通區(qū)域,函數(shù)P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)時,則有

式中,S為積分區(qū)域D的邊界。

2 開采沉陷線積分預計方法的構建與實現(xiàn)

2.1 方法原理與構建

現(xiàn)代采煤技術中,工作面一般為矩形工作面,而在某些條件下,如在某些老采空區(qū)作業(yè)或地質結構復雜時,實際開采工作中容易出現(xiàn)多邊形工作面,即不規(guī)則工作面,如圖1 所示。

圖1 不規(guī)則工作面示例Fig.1 Examples of irregular shaped working face

處理不規(guī)則工作面的一般方法如圖2 所示。若使用矩形單元剖分工作面,單元大小會影響工作面邊界處地表變形預計精度。若矩形單元較大,則工作面邊界容易出現(xiàn)“鋸齒”現(xiàn)象,這種情況下預計精度較低；若減小矩形單元面積,則預計精度提高,而計算效率大大降低。因此,應尋求一種同時兼顧邊界精度和簡化計算過程的地表變形預計方法。

圖2 矩形單元剖分方法Fig.2 Rectangular element division method

概率積分法本質上就是單元開采的影響函數(shù)對開采工作面區(qū)域的積分。因此,結合格林公式的原理,使函數(shù)P(x,y)、Q(x,y)既能滿足在區(qū)域D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)的條件,又能滿足式(3),即

就可以將概率積分法公式轉化為線積分形式:

假設函數(shù):

則地表任意點的下沉預計值計算如下:

2.2 工作面邊界簡化方法

工作面邊界簡化方法如圖3 所示。在實際計算中,一般可認為工作面由多條直線段首尾相接圍繞而成。

圖3 工作面邊界簡化方法Fig.3 Simplification method of working face boundary

由線積分的計算原理可知,將邊界劃分為有限條直線段,方向為逆時針,由于積分結果只與線段起點和終點有關,與路徑無關,所以可將各段向x、y方向分解,獨立計算x、y方向的積分。當計算x軸方向積分時,由于dy=0,則對該方向積分結果為0,進一步簡化了計算過程。工作面開采預計結果,可由各段積分結果疊加計算得到。于是地表任意點變形值的計算轉化成采區(qū)邊界的線積分計算,得到不規(guī)則工作面開采地表任意點下沉預計的線積分法公式如下:

式中,Li為組成工作面邊界的各直線段；(x0,y0)為待預計點的坐標。

根據(jù)概率積分法中地表傾斜、水平移動、水平變形與地表下沉之間的數(shù)學關系,可推導出不規(guī)則工作面開采地表傾斜、水平移動和水平變形公式如下:

地表傾斜預計公式:

水平移動預計公式:

水平變形預計公式:

2.3 方法流程實現(xiàn)

為實現(xiàn)不規(guī)則工作面開采預計地表下沉的目的,結合計算機技術與相關原理,使用MATLAB 進行開采沉陷預計的流程化處理(圖4)。

圖4 程序流程Fig.4 Program flow

處理流程分為4 個階段:

(1) 數(shù)據(jù)準備。從已有資料中獲取采區(qū)工作面邊界坐標、地表變形預計參數(shù),并以格網(wǎng)劃分地表待預計區(qū)域。

(2) 根據(jù)工作面信息確定積分區(qū)域與開采工作面邊界,結合邊界簡化與分割方法,確定工作面區(qū)域并分割工作面邊界。

(3) 疊加計算。獲取工作面邊界各端點坐標后,分別對每個格網(wǎng)點進行計算并將各段結果疊加,最后得到全部點的下沉預計值。

(4) 輸出結果。可將結果組織成文件并繪制成圖,獲取地表下沉盆地形態(tài)與特征,便于進行地表三維模型建立、地表建筑物損壞分析、礦區(qū)生態(tài)環(huán)境治理等工作。

3 應用實例對比分析

分別使用矩形單元分割法和線積分法,對峰峰礦區(qū)某工作面開采地表下沉進行預計,與實測數(shù)據(jù)進行對比分析。峰峰礦區(qū)某礦于2016—2017年開采2141、2143 工作面,工作面水平投影為不規(guī)則多邊形(圖5)。平均開采深度為600 m,平均采高為4.2 m,煤層傾角為18°,下沉系數(shù)為0.75,主要影響角正切為2.0。

圖5 不規(guī)則工作面與地表Z 觀測線位置Fig.5 Location of irregular working face and Z observation line

實際觀測值、線積分法和概率積分法預計結果如圖6 所示。三者的對比情況見表1。由表1 可知,對遠離工作面的觀測站,線積分法和概率積分法預計結果精度相當,而在接近工作面邊界處,線積分法的預計結果更接近實測值,精度高于常規(guī)的概率積分法。

表1 預計與實測結果對比Tab.1 Comparison between expected and measured results

圖6 實測值與預計結果Fig.6 Measured value and expected result

線積分法和概率積分法預計結果的精度評定見表2。由表2 可知,本文線積分法預計結果更接近實測值,精度優(yōu)于概率積分法。根據(jù)兩種方法的RMSE 值,線積分方法預計精度相比概率積分法提高了23% 。

表2 精度評定Tab.2 Assessment of accuracy

4 結 論

(1) 針對原有方法在不規(guī)則工作面開采預計方面的不足,使用格林公式對概率積分法公式進行積分變換,提出線積分法公式。該方法將求取工作面開采造成的地表下沉值,轉化為求取工作面邊界的線積分計算值。

(2) 提出邊界分割與簡化方法。將工作面邊界分割為多條首尾相接的直線段,簡化了工作面的處理過程,避免了單元分割方法中常見的“鋸齒狀”邊緣及積分單元分割過程復雜的問題。

(3) 通過實例對比線積分法和概率積分法地表下沉預計結果,表明線積分法改善了原有方法對工作面邊緣計算不準確的問題,能夠為“三下”開采沉陷預計提供依據(jù)。