侯東曉，徐 良，時培明

(1.東北大學(xué)秦皇島分校 控制工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004; 2.燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院,河北 秦皇島 066004)

軋機振動問題一直是困擾鋼鐵行業(yè)的一個基礎(chǔ)性難題，振動的頻繁發(fā)生嚴重影響著產(chǎn)品質(zhì)量和生產(chǎn)效率[1-3]。因此如何減少或抑制振動的發(fā)生，對穩(wěn)定軋制生產(chǎn)有著重要的作用[4-5]。

針對長久存在的軋機振動問題，國內(nèi)外專家學(xué)者對此進行了廣泛的研究。劉浩然等[6]建立了軋件變形滯后非線性作用下輥系垂直振動動力學(xué)模型。Shi等[7]考慮軋機主傳動系統(tǒng)接軸傾角和輥隙摩擦力的影響，建立了含參數(shù)激勵剛度和非線性摩擦阻尼的主傳動系統(tǒng)非線性振動模型。Amer等[8]采用多尺度攝動法求解了軋機的扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)，運用數(shù)值方法研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。范小彬等[9]考慮軋制界面非線性黏滑摩擦特性, 建立了軋輥水平方向摩擦顫振模型和工作輥水平方向“跳振”模型。孫建亮等[10]基于軋制理論和動力學(xué)理論建立了軋機水平振動與軋制過程參數(shù)的關(guān)系模型。Zeng等[11]建立了非線性摩擦下軋機垂直-水平-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型，利用Hopf分岔代數(shù)準則對系統(tǒng)的穩(wěn)定域進行了分析。Liu等[12]研究了軋機輥系水平-扭轉(zhuǎn)耦合振動的靜態(tài)和動態(tài)分岔特性，得到了系統(tǒng)的分岔和穩(wěn)定性條件。

在軋制潤滑方面，付括等[13]建立了穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)軋制變形區(qū)油膜厚度分布模型，并應(yīng)用卡爾曼方程分析其應(yīng)力分布；Wang等[14]建立了不穩(wěn)定潤滑條件下的界面膜約束多重耦合模型，定量分析了一些參數(shù)對振動速度和振動位移的影響；Azushima等[15]提出了一種入口油膜厚度的估算方法；Noriki等[16]對軋件表面油膜和入口處乳化液的成膜機理的相互作用進行了研究。

本文考慮混合潤滑摩擦的影響，建立了與入口油膜厚度有關(guān)的動態(tài)軋制力模型。考慮軋機輥系結(jié)構(gòu)振動的影響，建立了軋機垂直非線性振動模型，并得到相應(yīng)的動力學(xué)方程。通過數(shù)值仿真，分析了以軋制力參數(shù)和外擾力為變量的主共振幅頻特性和分岔特性，為軋機振動問題的研究提供參考。

1 混合潤滑摩擦狀態(tài)下的非線性動態(tài)軋制力

1.1 動態(tài)軋制過程關(guān)鍵參數(shù)

考慮軋輥在垂直方向上的振動，建立了軋機輥系幾何形狀圖，如圖1所示。

圖1 軋機輥系幾何形狀

圖1中：y0為帶鋼軋制前的厚度；y1為帶鋼軋制后的厚度；R為軋輥半徑；l為變形區(qū)長度；s為后張力；ve為軋件的入口速度；vd為帶鋼的出口速度；vr為軋輥的軋制速度；xe為帶鋼的入口位置；xd為帶鋼的出口位置。

假設(shè)輥縫形狀呈二次曲線分布[17]，則變形區(qū)中任意位置的軋件厚度可以表示為

(1)

根據(jù)式(1)可以得到入口位置xe(yc)。

(2)

根據(jù)金屬秒流量相等的原則，在考慮軋輥垂直振動時，金屬秒流量公式應(yīng)修正為

(3)

在變形區(qū)的中性點處，軋件的速度與軋輥的水平分速度相等。

(4)

當軋輥發(fā)生振動時，根據(jù)幾何關(guān)系可得

(5)

聯(lián)立式(1)和式(5)，并代入式(3)，得到方程

(6)

(7)

1.2 動態(tài)軋制力的計算

在軋件的變形區(qū)任意位置選取一微元體，如圖2所示。

圖2 變形區(qū)任意位置的應(yīng)力關(guān)系示意圖

根據(jù)力的平衡關(guān)系建立平衡方程。

(σx+dσx)(y(x)+dy(x))-σx·dy(x)+

2pdxtanφ?2τsdx=0

(8)

式中:負號為從入口處到中性點處；正號為從中性點到出口處。根據(jù)幾何關(guān)系可知tanφ=dy(x)/2dx，代入式(8)，化簡方程為

(9)

式中的屈服準則采用均勻變形下的von Mises屈服準則。

(10)

式中：σ為軋件材料的屈服強度；σx為正應(yīng)力。

代入可得正應(yīng)力的微分方程為

(11)

混合潤滑摩擦狀態(tài)下，軋件的摩擦切應(yīng)力τs由干摩擦產(chǎn)生的摩擦切應(yīng)力τa和全膜潤滑產(chǎn)生的摩擦切應(yīng)力τb按比例組成。

τs=λτa+(1-λ)τb

(12)

式中:τa為干摩擦產(chǎn)生的摩擦切應(yīng)力，由黏著摩擦理論式(13)求得；τb為全膜潤滑產(chǎn)生的摩擦切應(yīng)力(由式(14)求得)；λ為界面間的接觸比。

(13)

(14)

式中:η0為乳化液的黏度；z變形區(qū)內(nèi)潤滑油膜的厚度，假設(shè)乳化液是不可壓縮的，變形區(qū)內(nèi)的潤滑油膜厚度可由式(15)求得。

(15)

式中，z0為入口油膜厚度。在忽略表面形貌因素影響時，z0可由Wilson入口膜厚計算公式[18]求得。

(16)

式中：γ為乳化液的黏壓系數(shù);η0為標準大氣壓下乳化液的黏度。

將式(12)、式(13)、式(14)代入正應(yīng)力微分方程式(11)，并對式(11)進行積分可分別得到入口處、中性點處和出口處的應(yīng)力。

(17)

(18)

(19)

將入口位置、中性點和出口位置的應(yīng)力表達式分別代入式(10)，可以分別得到入口位置、中性點和出口位置的壓力pe，pn，pd。

假設(shè)軋制過程中軋件變形區(qū)的軋制壓力近似線性分布[19]，采用如圖3所示的軋制力模型。根據(jù)代數(shù)關(guān)系式可以得到軋制力的表達式為

圖3 變形區(qū)軋制壓力分布示意圖

(20)

將壓力表達式和位置表達式代入其中并將軋制力進行Taylor展開，得到如下形式的動態(tài)軋制力。

F=F0+ΔF

(21)

式中：F0為穩(wěn)態(tài)軋制力;ΔF為軋制力動態(tài)變化部分。

2 板帶軋機垂直振動動力學(xué)模型

進一步考慮軋機機械結(jié)構(gòu)影響，可建立了軋機輥系垂直振動模型，如圖4所示。

圖4 軋機垂直振動模型

考慮到支撐輥質(zhì)量遠大于工作輥質(zhì)量[20]，可將其考慮為一個質(zhì)量體，m1和m2分別為上下部輥系的等效質(zhì)量；k1和c1為上輥系的等效剛度和等效阻尼；k2和c2為下輥系的等效剛度和阻尼；P1和P2分別為上下輥系受到的外擾力。

(22)

考慮到軋機機構(gòu)具有對稱性，有m1=m2，k1=k2，c1=c2，F(xiàn)1=F2，P1=P2，式(22)可以寫成

(23)

(24)

(25)

3 板帶軋機垂直振動方程主共振響應(yīng)求解

當軋機入口板帶厚度或張力出現(xiàn)波動時，可導(dǎo)致周期性的外部擾動P=P0cos(Ωt)[21]。設(shè)式(25)是弱非線性系統(tǒng)，在式(25)右側(cè)冠以小參數(shù)ε。

(26)

采用多尺度法對非線性系統(tǒng)求解，令Tn=εnt。

設(shè)式(26)的解為

yc(t)=y0(T0,T1)+εy1(T0,T1)

(27)

將式(27)代入式(26)，令ε冪指數(shù)相同項相等，得

(28)

(29)

式中，Di=?/?Ti。

設(shè)式(28)的解為

(30)

主共振時外擾力頻率Ω=ω0+εσ，將Ω表達式和式(30)代入式(29)，消除方程的久期項，得

(31)

式中，σ為協(xié)調(diào)頻率。

幅值A(chǔ)引入極坐標形式

(32)

將幅值的極坐標形式式(32)代入式(31)，分離實部、虛部，并設(shè)ψ=σT1-φ1，得

(33)

(34)

4 仿真研究

采用某廠1780軋機參數(shù)進行仿真。軋機和軋件的參數(shù)：m=1.44×105kg，k=1.08×1011N/m，c=2.2×107N·s/m，y0=0.014 1 m，y1=0.008 2 m，R=0.42 m，s=3.6 MPa，σ=150.6 MPa;乳化液參數(shù)：γ=2×10-8Pa-1，η0=0.42 Pa·s，λ=0.8，z0=1.8×10-6m。動態(tài)軋制力的系數(shù)：a1=1.39×1010，a2=1.26×108，a3=4.81×1012，a4=8.77×1010，a5=4.58×108，a6=1.22×1016，a7=3.39×1014，a8=3.18×1012，a9=9.97×109。

動態(tài)軋制力參數(shù)a6變化時系統(tǒng)的幅頻曲線，如圖5所示。從圖5可知，較大的三次剛度系數(shù)會使系統(tǒng)產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，但不會影響主共振的幅值。

圖5 參數(shù)a6變化時的主共振幅頻曲線

外部擾動力幅值P0變化時系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線，如圖6所示。從圖6可知，外擾力幅值不僅會使系統(tǒng)產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，還會影響主共振幅值的大小。

圖6 外擾力幅值P0變化時的主共振幅頻曲線

外部擾動力幅值P0變化時系統(tǒng)在垂直方向的全局分岔曲線，如圖7所示。從圖7可知，外擾力幅值的變化會使系統(tǒng)在倍周期運動和混沌運動之間相互轉(zhuǎn)換。

圖7 外擾力幅值P0變化時的分岔圖

入口油膜厚度z0變化時系統(tǒng)在垂直方向的全局分岔曲線，如圖8所示。從圖8可知：當k=1.3×1011N/m時油膜厚度的變化會使系統(tǒng)的運動狀態(tài)更加復(fù)雜、不穩(wěn)定；當k=1.08×1011N/m時，系統(tǒng)為2倍周期運動，油膜厚度的變化不會影響系統(tǒng)的運動狀態(tài)。比較圖8(a)和圖8(b)可知，合適的剛度會使系統(tǒng)對變化的油膜厚度不再敏感。

圖8 入口油膜厚度z0變化時的分岔圖

系統(tǒng)的相圖和Poincare截面圖，如圖9～圖11所示。

圖9 P0=1.6×106 N時垂直方向的周期運動

圖10 P0=4.1×106 N時垂直方向的周期運動

圖11 P0=6.96×106 N時垂直方向的混沌運動

在圖9中，相圖為2條封閉的曲線，Poincare截面為2個點，說明系統(tǒng)是二倍周期運動；在圖10中，相圖分別為4條封閉的曲線，Poincare截面分別為4個點，說明系統(tǒng)是4倍周期運動；在圖11的Poincare截面圖可看到許多雜亂無章的點，說明系統(tǒng)處在混沌運動狀態(tài)。

5 結(jié) 論

(1)通過將Karman微分方程中的干摩擦模型替換為混合潤滑摩擦模型，建立了混合潤滑摩擦狀態(tài)下軋機輥系垂直振動模型，并得到了與入口油膜厚度有關(guān)的動態(tài)軋制力表達式。

(2)動態(tài)軋制力參數(shù)a6增大，系統(tǒng)會出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象；外擾幅值P0的變化同時影響著系統(tǒng)的主共振幅值大小和系統(tǒng)的跳躍性。因此，可以通過降低外部擾動力來減小軋機振動幅值，減小振動帶來的危害。

(3)改變外部擾動力幅值，系統(tǒng)會在周期運動和混沌運動之間相互轉(zhuǎn)換；當k=1.3×1011N/m時，入口油膜厚度的變化會影響系統(tǒng)的運動狀態(tài)；當k=1.08×1011N/m時，系統(tǒng)的運動狀態(tài)不受入口油膜厚度變化的影響，系統(tǒng)更加穩(wěn)定。