肖仕維,趙培信,2

1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400067 2.經(jīng)濟(jì)社會(huì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400067

空間自回歸模型[1]憑借其對(duì)于數(shù)據(jù)空間自相關(guān)性的有效解釋,能夠很好的彌補(bǔ)經(jīng)典自回歸模型在空間數(shù)據(jù)違背獨(dú)立性假設(shè)情況下的數(shù)據(jù)解釋問(wèn)題。由于數(shù)據(jù)多元化時(shí)代的來(lái)臨,該模型已經(jīng)在統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域受到了廣泛的關(guān)注,并積極的應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)政策分析的各類領(lǐng)域,特別是實(shí)產(chǎn)和房地產(chǎn)經(jīng)濟(jì)、環(huán)境與資源經(jīng)濟(jì)等[2]此類呈現(xiàn)強(qiáng)烈自相關(guān)性的空間數(shù)據(jù)。而部分線性空間自回歸模型[3-4]通過(guò)引入未知非參數(shù)項(xiàng),能夠更加靈活的解釋某些潛在協(xié)變量對(duì)于響應(yīng)變量的影響,其模型結(jié)構(gòu)為：

Y=ρWY+Xβ+m(Z)+ε。

(1)

其中,Y=(y1,y2,…yn)T表示響應(yīng)變量的n×1維觀測(cè)向量;W表示預(yù)先設(shè)定的n×n的空間權(quán)重矩陣;WY表示響應(yīng)變量Y的空間滯后項(xiàng);X=(x1,x2,…xn)T表示協(xié)變量的n×q的觀測(cè)矩陣,其中xi=(xi1,xi2,…,xiq)T為q×1維列向量,i=1,2,…,n;m(Z)=(m(z1),m(z2),…m(zn))T表示n×1的未知函數(shù)向量,其中Z=(z1,z2,…zn)T表示某個(gè)潛在變量的n×1維觀測(cè)向量,m(·)是一個(gè)未知光滑函數(shù);ρ表示空間自回歸參數(shù)且滿足|ρ|<1;β=(β1,β2,…βq)T表示q×1的未知參數(shù)向量。此外,ε=(ε1,ε2,…εn)T是一個(gè)n×1的殘差向量其中εi,i=1,2,…,n相互獨(dú)立同分布。

目前對(duì)于此模型未知函數(shù)m(Z)有兩種主流估計(jì)方法,一是由Fan和Gijbels[5]提出的局部多項(xiàng)式擬合來(lái)對(duì)m(Z)進(jìn)行非參數(shù)估計(jì);二是由Schumaker[6]提出的B樣條(B-spline)逼近技術(shù)對(duì)m(Z)進(jìn)行非參數(shù)估計(jì)。

在對(duì)模型(1)的檢驗(yàn)研究過(guò)程中,本文則采用Schumaker提出的B樣條逼近技術(shù)對(duì)m(Z)進(jìn)行處理。對(duì)模型(1)的估計(jì)問(wèn)題目前已有部分文獻(xiàn)進(jìn)行了研究,比如,Su和Jin[7]利用剖面最大擬似然估計(jì)方法研究了模型(1)的估計(jì)問(wèn)題。Koch和Krisztin[8]結(jié)合B樣條逼近技術(shù)和遺傳算法研究了模型(1)的估計(jì)問(wèn)題。Su[9]則利用廣義矩估計(jì)方法(GMM)研究了模型(1)的估計(jì)問(wèn)題。

但是關(guān)于模型(1)的檢驗(yàn)問(wèn)題,目前還沒(méi)有相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行系統(tǒng)研究。為此,本文將利用廣義似然比檢驗(yàn)方法研究模型(1)的檢驗(yàn)問(wèn)題。具體地,本文首先結(jié)合B樣條逼近方法以及矩陣的正交投影技術(shù)消除模型的非參數(shù)分量對(duì)模型參數(shù)分量檢驗(yàn)精度的影響,進(jìn)而構(gòu)造了一個(gè)關(guān)于模型參數(shù)分量的廣義似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。另外由于模型結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,理論上很難得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近分布。為此,本文利用Bootstrap[10]自助抽樣法給出了一個(gè)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量p值的迭代算法。

1 基于B樣條投影矩陣的模型參數(shù)估計(jì)

B樣條是數(shù)學(xué)的子學(xué)科數(shù)值分析里樣條曲線一種特殊的表示形式,其分片多項(xiàng)式的構(gòu)造、保持一定的連續(xù)性等性質(zhì)使其擬合性能優(yōu)越。具體地,記t0,t1,…tkn為區(qū)間[0,1]內(nèi)的節(jié)點(diǎn),并記π(t)=(B1(t),B2(t),…Bkn+l+1(t))T為一組l階B樣條基函數(shù),則非參數(shù)函數(shù)m(t)可漸近表示為：

(2)

其中α=(α1,α2,…αkn+l+1)T為樣條系數(shù)向量。結(jié)合式(2)可得:

m(Z)=(π(z1),π(z2),…,π(zn))Tα?Πα。

進(jìn)而模型(1)可以轉(zhuǎn)化為：

Y=ρWY+Xβ+Πα+ε+e,

(3)

其中e=m(Z)-Πα表示B樣條擬合誤差。令P=Π(ΠTΠ)-1ΠT表示Π的正交投影矩陣,則(In-P)Π=Π-PΠ=Π-Π=0。在模型(3)兩邊同乘以矩陣S=In-P,則模型(3)可以轉(zhuǎn)化為：

SY=S(ρWY+Xβ)+S(ε+e),

(4)

(5)

注意到式(5)為經(jīng)典線性模型,利用最小二乘方法可得如下估計(jì)：

(6)

接下來(lái)考慮σ2的估計(jì)參數(shù),設(shè)ε+e服從零均值同方差的正態(tài)分布,可得關(guān)于σ2的正態(tài)擬對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

(7)

最大化式(7)可得σ2的估計(jì)為：

(8)

2 基于似然函數(shù)的模型檢驗(yàn)及Bootstrap實(shí)現(xiàn)

考慮如下參數(shù)顯著性檢驗(yàn)問(wèn)題：

H0:Aθ=bvsH1:Aθ≠b,

(9)

其中,A為給定的d×(q+1)的列滿秩矩陣,b為一個(gè)已知的d×1維向量。此檢驗(yàn)的目的是檢驗(yàn)空間自回歸系數(shù)ρ和回歸參數(shù)向量β是否顯著。

進(jìn)而可得在原假設(shè)H0下的最大擬對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

(10)

(11)

因此結(jié)合式(10)和式(11),并利用與Fan和Jiang[11]類似的方法,可定義廣義似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

(12)

相應(yīng)地,檢驗(yàn)p值的計(jì)算為：

p=PH0(T>t),

(13)

其中,PH0表示在原假設(shè)H0下的累積概率,t表示檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T的觀測(cè)值。對(duì)任一給定的檢驗(yàn)顯著性水平α,如果p<α則拒絕原假設(shè),否則就不能拒絕原假設(shè)。但是由于模型結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,在計(jì)算p值時(shí),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T的漸進(jìn)分布很難直接的得到。因此本文采用Bootstrap自助法對(duì)檢驗(yàn)p值的計(jì)算給出一個(gè)迭代算法,具體步驟如下：

(14)

第三步：由式(14)得到一個(gè)新的因變量向量Y*,則通過(guò)自助樣本{Y*,X,Z}可以得到一個(gè)新的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T的自助版本的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值T*。

(15)

其中#{}表示集合中元素的個(gè)數(shù)。