朱婭婷,朱士信

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

自文獻[1]提出量子碼以來,量子碼開始備受關(guān)注。量子計算具有很大的應(yīng)用前景,為了更好地發(fā)揮它的作用,需要對其進行糾錯。量子糾錯是量子計算和量子通信得以實現(xiàn)的重要保證,而常循環(huán)碼作為經(jīng)典糾錯碼中重要的一環(huán),在量子糾錯方面具有重要作用。有限環(huán)上循環(huán)碼的量子糾錯碼的構(gòu)造受到廣泛關(guān)注,而有限環(huán)上常循環(huán)碼的量子糾錯碼的構(gòu)造研究較少。本文研究環(huán)Fq+uFq+vFq+uvFq上的常循環(huán)碼,并利用它們構(gòu)造量子碼。

文獻[2]首先利用有限鏈環(huán)F2+uF2,u2=0上奇數(shù)長度的循環(huán)碼構(gòu)造了量子碼;文獻[3]利用有限鏈環(huán)F4+uF4,u2=0上奇數(shù)長度的循環(huán)碼構(gòu)造量子碼;文獻[4]用一種新的方法研究有限非鏈環(huán)F2+vF2,v2=v上任意長度的循環(huán)碼,構(gòu)造量子碼;文獻[5]利用有限非鏈環(huán)Fp+vFp,v2=v上循環(huán)碼構(gòu)造量子碼;文獻[6]通過Gray映射,利用環(huán)Fp+uFp,u2=1上u-常循環(huán)碼構(gòu)造量子碼;文獻[7]利用環(huán)F2+uF2+vF2+uvF2,u2=u,v2=v,uv=vu上循環(huán)碼構(gòu)造量子碼;文獻[8]利用環(huán)F3+uF3+vF3+uvF3,u2=1,v2=1,uv=vu上循環(huán)碼構(gòu)造量子碼;文獻[9]給出環(huán)Fq+uFq+vFq+uvFq上斜循環(huán)碼的結(jié)構(gòu),其中u2=u,v2=v,uv=vu,p為奇素數(shù),并利用此環(huán)上的循環(huán)碼構(gòu)造量子碼。此后,環(huán)上線性碼的量子碼的構(gòu)造受到越來越多的關(guān)注,基于各種不同環(huán)上的線性碼,學(xué)者們構(gòu)造了許多參數(shù)較好的量子碼[10-12]。

本文研究環(huán)Fq+uFq+vFq+uvFq的性質(zhì)結(jié)構(gòu),構(gòu)造環(huán)Fq+uFq+vFq+uvFq到域Fq上一個新的保線性、保距、保自正交的Gray映射;證明環(huán)Fq+uFq+vFq+uvFq上16類常循環(huán)碼可分解成不同類型的循環(huán)碼和負循環(huán)碼的組合,并利用其構(gòu)造量子碼;最后與已知的量子碼比較,本文構(gòu)造的量子碼具有更好的參數(shù)。

1 基礎(chǔ)知識

設(shè)m為正整數(shù),p是奇素數(shù)且p≠3,q=pm,Fq是含有q個元素的有限域。設(shè)

R=Fq+uFq+vFq+uvFq,

u2=u,v2=v,uv=vu,

則R是一個交換的主理想環(huán),它是含有4個極大理想的半局部環(huán)。令θ1=uv,θ2=u-uv,θ3=v-uv,θ4=1-u-v+uv,易證,θ1、θ2、θ3、θ4是環(huán)R的一組本原冪等元。

由文獻[9]可得:

R=θ1R?θ2R?θ3R?θ4R,

θiR?Fq,i=1,2,3,4。

由中國剩余定理得:

R=θ1Fq?θ2Fq?θ3Fq?θ4Fq,

其中,?表示直和。環(huán)R中任意元素r可以唯一表示為:

r=θ1r1+θ2r2+θ3r3+θ4r4,

r1、r2、r3、r4∈Fq。

設(shè)Rn表示環(huán)R上n-元組全體構(gòu)成的R模。Rn中每個n-元組c可以唯一表示為:

c=θ1c1+θ2c2+θ3c3+θ4c4,

Rn的每一個非空子集C稱為環(huán)R上長度為n的碼,碼C中的元素稱為碼字。若C是Rn的R-子模,則稱C為R上長度為n的線性碼。

設(shè)λ是環(huán)R的單位,碼C是環(huán)R上長度為n的線性碼。若對任意的(c0,c1,…,cn-1)∈C,有

(λcn-1,c0,…,cn-2)∈C,

則稱C是環(huán)R上長度為n的λ-常循環(huán)碼。

特別地,當λ=1時,C為循環(huán)碼;當λ=-1時,C為負循環(huán)碼。

設(shè)a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn)是Rn中任意2個元素,則它們的內(nèi)積定義為:

a·b=a1b1+a2b2+…+anbn。

若a·b=0,則稱a和b是正交的。環(huán)R上碼長為n的線性碼C的對偶碼定義為:

C⊥={a∈Rn|a·b=0,?b∈C}。

若C?C⊥,則稱C是環(huán)R上長度為n的自正交碼。

設(shè)C是環(huán)R上長度為n的線性碼,定義

θ1a+θ2b+θ3c+θ4d∈C},

θ1a+θ2b+θ3c+θ4d∈C},

θ1a+θ2b+θ3c+θ4d∈C},

θ1a+θ2b+θ3c+θ4d∈C}。

顯然,Ci是Fq上長度為n的線性碼,且

C=θ1C1?θ2C2?θ3C3?θ4C4,

|C|=|C1||C2||C3||C4|。

設(shè)G是環(huán)R上一個n×m矩陣。若線性碼C的任意一個碼字都可以表示成G中行n元組的線性組合,且G中行n元組線性無關(guān),則稱G為碼C的生成矩陣。若可以通過坐標置換,從一個碼得到另一個碼,則這2個碼是等價的。設(shè)Ci的生成矩陣為Gi,則C和φ(C)的生成矩陣分別為:G=[θ1G1θ2G2θ3G3θ4G4]T且φ(G)=[φ(θ1G1)φ(θ2G2)φ(θ3G3)φ(θ4G4)]T。

2 Gray映射

θ1r1+θ2r2+θ3r3+θ4r4|→

其中,r1、r、r3、r4∈Fq。

命題1 當p≠3時,φ是一個雙射。

證明對任意r=θ1r1+θ2r2+θ3r3+θ4r4和r′=θ1r1′+θ2r2′+θ3r3′+θ4r4′∈R,其中ri、ri′∈Fq,i=1,2,3,4,設(shè)φ(r)=φ(r′),則

解得:3r1=3r1′，3r2=3r2′，3r3=3r3′,3r4=3r4′。

因為p≠3,所以3在環(huán)R的單位。于是r1=r1′,r2=r2′,r3=r3′,r4=r4′,即r=r′。

因此φ為單射。

對碼字c=(c1,c2,…,cn)∈C,漢明重量wtH(c)定義為c中非零元的個數(shù)。碼C中2個碼字x=(x1,x2,…,xn)和y=(y1,y2,…,yn)的漢明距離dH(x,y)=wtH(x-y)。碼C中不同碼字的漢明距離的最小值稱為碼C的極小距離,記作dH(C),即

dH(C)=min{dH(x,y)|x,y∈C,x≠y}。

當C是線性碼時,

dH(C)=min{wtH(x)|x∈C,x≠0}。

對任意r∈R它的Gray重量定義為:

wtG(r)=wtH(φ(r))。

環(huán)R上的Gray映射可推廣到Rn上,定義

a=(a1,a2,…,an)|→

(φ(a1),φ(a2),…,φ(an))。

對?a,b∈Rn,a和b的Gray距離定義為:

證明對m、l∈Fq及?a=(a1,a2,…,an)、b=(b1,b2,…,bn)∈Rn,有

φ(ma+lb)=

(φ(ma1+lb1),φ(ma2+lb2),…,φ(man+lbn))。

容易驗證,φ是環(huán)R上的Fq線性映射,即

φ(mai+lbi)=mφ(ai)+lφ(bi)

對任意1≤i≤n成立。于是,

φ(ma+lb)=

(φ(ma1+lb1),φ(ma2+lb2),…,φ(man+lbn))=

(mφ(a1)+lφ(b1),mφ(a2)+lφ(b2),…,

mφ(an)+lφ(bn))=mφ(a)+lφ(b),

因此φ是Fq線性的。

下證保距性。

dG(a,b)=wtG(a-b)=

綜上所述,命題2得證。

由Gray映射φ的定義及性質(zhì)可得如下命題。

命題3 設(shè)C是環(huán)R上長度為n的線性碼且dG(C)=d,則φ(C)是一個參數(shù)為[4n,k,d]的q-元線性碼,其中k=logq|C|。

命題4 設(shè)C是環(huán)R上長度為n的線性碼。若C是自正交碼,則φ(C)也是Fq上自正交碼。

證明在碼C中,任取2個碼字:

a=θ1a1+θ2a2+θ3a3+θ4a4,

b=θ1b1+θ2b2+θ3b3+θ4b4,

a·b=θ1a1·b1+θ2a2·b2+

θ3a3·b3+θ4a4·b4=0。

由此推出,

a1·b1=a2·b2=a3·b3=a4·b4=0。

于是

φ(a)·φ(b)=

3(a1·b1+a2·b2+a3·b3+a4·b4)=0,

即φ(a)與φ(b)正交。

由a和b的任意性,命題4得證。

命題5 設(shè)C=θ1C1?θ2C2?θ3C3?θ4C4是環(huán)R上長度為n的線性碼,其中Ci是Fq上長度為n的線性碼,則

b·a=θ1b1·a1+θ2b2·a2+

θ3b3·a3+θ4b4·a4。

a=θ1a1+θ2a2+θ3a3+θ4a4∈C⊥。

因為C⊥?C,所以

θia=θiai∈θiC⊥?θiC=θiCi,

因此

θ1C1?θ2C2?θ3C3?θ4C4=C。

綜上所述,命題5結(jié)論成立。

3 量子碼的構(gòu)造

本節(jié)主要研究環(huán)R上16類常循環(huán)碼的分解情況,并利用其構(gòu)造量子碼,下面給出引理。

引理1[13](CSS構(gòu)造)設(shè)C是Fq上參數(shù)為[n,k,d]的線性碼。若C⊥?C,則存在參數(shù)為[[n,2k-n,≥d]]q的量子碼。

為了基于環(huán)R上常循環(huán)碼構(gòu)造量子碼,下面給出環(huán)R上常循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)。

證明必要性。設(shè)ci=(ci,0,ci,1,…,ci,n-1)是Ci的任意一個碼字，i=1,2,3,4,則

c=(c0,c1,…,cn-1)=θ1c1+

θ2c2+θ3c3+θ4c4∈C。

因為C是λ-常循環(huán)碼,所以(λcn-1,c0,…,cn-2)∈C。

因為

λcn-1=λ(c1,n-1θ1+c2,n-1θ2+c3,n-1θ3+c4,n-1θ4)=

λ1c1,n-1θ1+λ2c2,n-1θ2+λ3c3,n-1θ3+λ4c4,n-1θ4,

所以對任意的1≤i≤4,有

(λici,n-1,ci,0,…,ci,n-2)∈Ci。

因此Ci是Fq上長度為n的λi-常循環(huán)碼。

充分性。設(shè)a=(a0,a1,…,an-1)=θ1a1+θ2a2+θ3a3+θ4a4是碼C的任意一個碼字,其中

ai=(ai,0,ai,1,…,ai,n-1),i=1,2,3,4。

因為ai∈Ci且Ci是Fq上長度為n的λi-常循環(huán)碼,所以ai′=(λiai,n-1,ai,0,…,ai,n-2)∈Ci。于是

(λan-1,a0,…,an-2)=

θ1a1′+θ2a2′+θ3a3′+θ4a4′∈C。

由a的任意性知,C是環(huán)R上長度為n的λ-常循環(huán)碼。

證明由定理1知,Ci是Fq上長度為n的λi-常循環(huán)碼,因此存在gi(x)∈Fq[x]且gi(x)|(xn-λi),使得ci=(gi(x))。令

g(x)=θ1g1(x)+θ2g2(x)+θ3g3(x)+θ4g4(x)。

對任意c(x)∈(g(x)),存在

a(x)=θ1a1(x)+θ2a2(x)+

θ3a3(x)+θ4a4(x)∈R[x],

使得c(x)=a(x)g(x)。于是

c(x)=θ1a1(x)g1(x)+θ2a2(x)g2(x)+

θ3a3(x)g3(x)+θ4a4(x)g4(x)∈C。

因此(g(x))?C。

對任意c(x)∈C,存在ci(x)∈Ci,使得

c(x)=θ1c1(x)+θ2c2(x)+θ3c3(x)+θ4c4(x)。

因為ci(x)∈Ci,所以存在ai(x)∈Fq[x],使得ci(x)=ai(x)gi(x)。于是

c(x)=θ1a1(x)g1(x)+θ2a2(x)g2(x)+

θ3a3(x)g3(x)+θ4a4(x)g4(x)=

[θ1a1(x)+θ2a2(x)+θ3a3(x)+θ4a4(x)]×

[θ1g1(x)+θ2g2(x)+θ3g3(x)+θ4g4(x)],

即c(x)∈(g(x))。因此C?(g(x))。

綜上所述,得C=(g(x))。

設(shè)hi(x)∈Fq[x],使得gihi(x)=xn-λi。令

h(x)=θ1h1(x)+θ2h2(x)+θ3h3(x)+θ4h4(x),

則h(x)∈R[x]且h(x)g(x)=θ1h1(x)g1(x)+θ2h2(x)g2(x)+θ3h3(x)g3(x)+θ4h4(x)g3(x)=θ1(xn-λ1)+θ2(xn-λ2)+θ3(xn-λ3)+θ4(xn-λ4)=xn-λ,因此g(x)|(xn-λ)。

下面考察環(huán)R上長度為n的λ-常循環(huán)碼C的對偶碼C⊥的結(jié)構(gòu)。由命題5得：

下面利用環(huán)R上長度為n的λ-常循環(huán)碼C構(gòu)造量子碼?；贑SS構(gòu)造碼C需滿足C⊥?C。因為C⊥是環(huán)R上長度為n的λ-1-常循環(huán)碼,所以可以假設(shè)λ-1=λ,即λ2=1。

在環(huán)R上,方程x2=1有16個解,且解集為Λ={a1θ1+a2θ+a3θ3+a4θ4|a1,a2,a3,a4∈{1,-1}}。當λ∈Λ時,由命題5和定理1知,環(huán)R上長度為n的λ-常循環(huán)碼可分解成Fq上長度為n的循環(huán)對偶包含碼或負循環(huán)對偶包含碼。

基于以上理論,關(guān)于環(huán)R上長度為n的λ-常循環(huán)對偶包含碼有如下結(jié)論。

定理2 設(shè)λ=λ1θ1+λ2θ2+λ3θ3+λ4θ4,其中λi∈{1,-1},i=1,2,3,4。設(shè)C=θ1C1?θ2C2?θ3C3?θ4C4是環(huán)R上長度為n、生成多項式為g(x)=θ1g1(x)+θ2g2(x)+θ3g3(x)+θ4g4(x)的λ-常循環(huán)碼,其中g(shù)i(x)∈Fq[x],且gi(x)|(xn-λi),則C⊥?C當且僅當

結(jié)合環(huán)R上長度為n的λ-常循環(huán)碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)和對偶包含條件,可以構(gòu)造如下參數(shù)的量子碼。

定理3 設(shè)λ=λ1θ1+λ2θ2+λ3θ3+λ4θ4,其中λi∈{1,-1},i=1,2,3,4。設(shè)C=θ1C1?θ2C2?θ3C3?θ4C4是環(huán)R上長度為n、生成多項式為g(x)=θ1g1(x)+θ2g2(x)+θ3g3(x)+θ4g4(x)的λ-常循環(huán)碼,其中g(shù)i(x)∈Fq[x],使得:

gi(x)|(xn-λi),

的量子碼,其中dG是碼C的最小Gray距離。

根據(jù)定理3,通過選取恰當?shù)某Ｑh(huán)碼,得到一些新參數(shù)量子碼。部分新參數(shù)的量子碼與已知的量子碼的參數(shù)比較,見表1所列。

表1 量子碼的參數(shù)比較

例1 在F5[x]中,

x11-1=(x+4)(x5+2x4+4x3+x2+

x+4)(x5+4x4+4x3+x2+3x+4),

x11+1=(x+1)(x5+x4+4x3+4x2+

3x+1)(x5+3x4+4x3+4x2+x+1)。

設(shè)C是環(huán)R=F5+uF5+vF5+uvF5上碼長為11、生成多項式為

g(x)=θ1(x5+x4+4x3+4x2+3x+1)+

θ2(x5+3x4+4x3+4x2+x+1)+

θ3(x5+2x4+4x3+x2+x+4)+

θ4(x5+4x4+4x3+x2+3x+4)

的(1-2u)-常循環(huán)碼,其中

g1(x)=x5+x4+4x3+4x2+3x+1;

g2(x)=x5+3x4+4x3+4x2+x+1;

g3(x)=x5+2x4+4x3+x2+x+4;

g4(x)=x5+4x4+4x3+x2+3x+4。

容易驗證,

由定理2知,C⊥?C。

由MAGMA計算知,φ(C)是F5上參數(shù)為[44,24,9]的線性碼。由定理3知,存在參數(shù)為[[44,4,≥9]]的5元量子碼。

文獻[14]構(gòu)造參數(shù)為[[44,4,≥7]]的量子碼,因此本文構(gòu)造的量子碼具有更好的參數(shù)。

例2 在F11[x]中,

x20-1=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)×

(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)×

(x+9)(x+10)(x2+1)(x2+2)×

(x2+3)(x2+4)(x2+5)(x2+9),

x20+1=(x2+x+6)(x2+2x+2)×

(x2+3x+10)(x2+4x+8)×

(x2+5x+7)(x2+6x+7)×

(x2+7x+8)(x2+8x+10)×

(x2+9x+2)(x2+10x+6)。

設(shè)C是環(huán)R=F11+uF11+vF11+uvF11上碼長為20、生成多項式為

g(x)=θ1(x2+x+6)+

θ2(x2+2x+2)+θ3(x+2)+θ4(x+6)

的(1-2u)-常循環(huán)碼,其中

g1(x)=x2+x+6;g2(x)=x2+2x+2;

g3(x)=x+2;g4(x)=x+6。

容易驗證,

由定理2知,C⊥?C。

由MAGMA計算知,φ(C)是F11上參數(shù)為[80,74,3]的線性碼。由定理3知,存在參數(shù)為[[80,68,≥3]]的11元量子碼。

文獻[16]構(gòu)造參數(shù)為[[63,51,≥3]]的量子碼,因此本文構(gòu)造的量子碼比文獻[16]構(gòu)造的量子碼具有更大的碼率。

4 結(jié) 論

本文研究環(huán)R=Fq+uFq+vFq+uvFq上的常循環(huán)碼,引入一個新的保線性保距保自正交的Gray映射;基于環(huán)R的直和分解,研究該環(huán)上16類常循環(huán)碼的分解,并利用其構(gòu)造一些具有較好參數(shù)的量子碼。本文進一步的工作是,選取其他類型的常循環(huán)碼與Gray映射,構(gòu)造參數(shù)更好的量子碼。