汪仕銘,葉 兵,胡 毅,胡鵬浩,鄭辰雅

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院,安徽 合肥 230601; 2.合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院,安徽 合肥 230009; 3.合肥工業(yè)大學(xué) 測(cè)量理論與精密儀器安徽重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230009)

關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是一種串聯(lián)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī),它通過模擬人手臂關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)和擺動(dòng)來進(jìn)行測(cè)量[1]。關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)因其測(cè)量靈活、便于攜帶、測(cè)量空間范圍大且成本低而被廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)檢測(cè)領(lǐng)域中[2-3]。

關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)采用的是串聯(lián)結(jié)構(gòu),這種串聯(lián)式的結(jié)構(gòu)特性給關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)帶來了較為復(fù)雜的誤差因素和較大的誤差傳遞系數(shù),各關(guān)節(jié)對(duì)誤差也都具有放大作用[4-5]。有研究表明,由于關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中理論結(jié)構(gòu)參數(shù)不一致,造成運(yùn)動(dòng)學(xué)模型不準(zhǔn)確,從而帶來近95%的定位誤差[6-7]。因此,通過對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定進(jìn)而修正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型能在很大程度上提高關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)量精度。

國內(nèi)外學(xué)者在參數(shù)標(biāo)定課題上進(jìn)行了廣泛研究。文獻(xiàn)[5]采用帶有錐形孔的長度計(jì)作為標(biāo)準(zhǔn)件,運(yùn)用MDH運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和非?？焖俚哪M退火算法對(duì)廣義幾何參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定;文獻(xiàn)[8]采用帶有15個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球的球桿規(guī)標(biāo)準(zhǔn)件和一種自定心測(cè)頭進(jìn)行數(shù)據(jù)采集,運(yùn)用Levenberg-Marquardt(LM)算法標(biāo)定結(jié)構(gòu)參數(shù);文獻(xiàn)[9]采用量塊作為標(biāo)定基準(zhǔn),通過獲取量塊上一端的點(diǎn)和另一端的面的距離,運(yùn)用粒子群算法對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定;文獻(xiàn)[10]采用自制的帶有多個(gè)錐窩的標(biāo)定板作為標(biāo)準(zhǔn)件,提出了一種基于內(nèi)點(diǎn)法的關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)參數(shù)自標(biāo)定方法;文獻(xiàn)[11]提出了一種基于關(guān)節(jié)類坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量空間的3D標(biāo)定場(chǎng)，用于對(duì)測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定;文獻(xiàn)[12]使用激光跟蹤儀獲取標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù),并基于歐幾里得距離和標(biāo)準(zhǔn)差的目標(biāo)函數(shù)開發(fā)了用于關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)參數(shù)識(shí)別的非線性優(yōu)化算法。激光跟蹤儀也常被應(yīng)用于機(jī)器人的標(biāo)定中[13]。

關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)所采用的手動(dòng)牽拉末端測(cè)頭測(cè)量的方式存在著測(cè)量效率低下、運(yùn)動(dòng)姿態(tài)和測(cè)量重復(fù)性受人為影響較大等缺點(diǎn),容易給測(cè)量帶來許多誤差。

面對(duì)工業(yè)生產(chǎn)制造智能化快速增長的需求,自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)一定程度上可以提高檢測(cè)效率,降低人為因素對(duì)檢測(cè)的影響[14-15]。 關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)標(biāo)定用的基準(zhǔn)是被標(biāo)定好的球桿,基準(zhǔn)和測(cè)量機(jī)測(cè)頭分別采用球和錐窩,以提高標(biāo)定效率。自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)采用恒力觸發(fā)測(cè)頭實(shí)現(xiàn)自動(dòng)觸發(fā)測(cè)量,從測(cè)量效率上考慮,如果標(biāo)準(zhǔn)件采用錐窩,那么測(cè)頭在沒有到達(dá)正確位置時(shí)就有可能產(chǎn)生觸發(fā)測(cè)量信號(hào)。

因此,本文綜合多種標(biāo)定系統(tǒng)的搭建情況[16],針對(duì)自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),搭建了以激光跟蹤儀測(cè)量距離為基準(zhǔn)的標(biāo)定系統(tǒng),建立了一種距離誤差模型,基于此模型設(shè)計(jì)了LM最小二乘迭代算法進(jìn)行標(biāo)定。

1 測(cè)量機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和誤差模型

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

Denavit-Hartenberg(D-H)模型是文獻(xiàn)[17]提出的一種解決機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的方法,它在機(jī)器人的每個(gè)連桿上都建立一個(gè)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系,并使用一個(gè)4×4的矩陣表示相鄰兩桿件之間的相對(duì)位置關(guān)系,通過數(shù)學(xué)方法依次轉(zhuǎn)換可以得到末端執(zhí)行器相對(duì)于基座坐標(biāo)系的變化矩陣,獲取相對(duì)位姿和位置信息,從而建立出機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為連桿長度ai、連桿扭角αi、關(guān)節(jié)偏置di和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi。其中:連桿長度ai表示相鄰兩關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)軸公垂線的長度;連桿扭角αi表示相鄰兩關(guān)節(jié)軸線的夾角,繞xi軸旋轉(zhuǎn);關(guān)節(jié)偏置di表示相鄰兩關(guān)節(jié)之間的距離即相鄰x軸之間的距離;而關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi表示相鄰x軸之間的夾角,繞zi-1軸旋轉(zhuǎn)。

在自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)各關(guān)節(jié)上建立坐標(biāo)系,如圖1所示。從圖1可以看出,設(shè)計(jì)的自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)樣機(jī)結(jié)構(gòu)相鄰2個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸相交,根據(jù)結(jié)構(gòu)參數(shù)定義,此模型中的連桿長度ai為0。

圖1 自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)圖及運(yùn)動(dòng)學(xué)模型簡圖

根據(jù)D-H矩陣原理和結(jié)構(gòu)參數(shù)可得相鄰兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換公式為:

Ai-1,i=R(zi-1,θi)T(0,0,di)T(ai,0,0)R(xi,αi)

(1)

其中:R(zi-1θi)為繞zi-1軸旋轉(zhuǎn)θi的旋轉(zhuǎn)矩陣;T(0,0,di)為在z軸方向移動(dòng)di的平移矩陣;T(0,0,ai)為在x軸方向移動(dòng)ai的平移矩陣;R(xi,αi)為繞xi軸旋轉(zhuǎn)αi的旋轉(zhuǎn)矩陣。

變換矩陣為:

Ai-1,i=

(2)

通過坐標(biāo)系間依次轉(zhuǎn)換,最終可以得到測(cè)頭所在坐標(biāo)系O6相對(duì)于基座坐標(biāo)系O0的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為:

A0,6=A0,1A1,2A2,3A3,4A4,5A5,6

(3)

令測(cè)頭球心在坐標(biāo)系O6上的坐標(biāo)為(lx,ly,lz),則末端測(cè)頭球心相對(duì)于基座坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化矩陣為:

[xpypzp1]T=

(4)

由(4)式可得末端測(cè)頭球心相對(duì)于基座坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)為Pprob=[xpypzp]T。

1.2 距離誤差模型

傳統(tǒng)位置誤差模型的建立,需要在標(biāo)定過程中使用激光跟蹤儀采集若干位置點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)位置,并將激光跟蹤儀坐標(biāo)系下的標(biāo)準(zhǔn)位置轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)基座坐標(biāo)系上,通過測(cè)量機(jī)的測(cè)量位置與激光跟蹤儀標(biāo)準(zhǔn)位置之間的誤差來標(biāo)定測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)。而基于距離誤差模型的標(biāo)定算法則避免了2種不同坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換,防止了該類誤差的產(chǎn)生。

建立距離誤差標(biāo)定模型步驟如下:① 使用高精度激光跟蹤儀測(cè)出空間內(nèi)兩點(diǎn)間的距離;② 使用自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)獲得兩點(diǎn)的測(cè)量距離;③ 將2個(gè)距離值進(jìn)行比較,其均方誤差作為目標(biāo)函數(shù),并使其最小化;④ 根據(jù)上一步求得的結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差補(bǔ)償原有結(jié)構(gòu)參數(shù)修正模型,不斷迭代提高自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)精度。

通過上述方法,設(shè)空間內(nèi)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2),兩點(diǎn)的距離公式為:

(5)

點(diǎn)M1和點(diǎn)M2結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為:

(6)

由自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)通過運(yùn)動(dòng)學(xué)模型求得的2點(diǎn)間的測(cè)量距離可表示為:

S=f(X1,X2)

(7)

則得到距離誤差模型的目標(biāo)函數(shù)為:

(8)

根據(jù)此距離誤差模型和目標(biāo)函數(shù),本文設(shè)計(jì)了LM最小二乘算法用于結(jié)構(gòu)參數(shù)的標(biāo)定。

2 標(biāo)定算法

在關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)標(biāo)定算法研究中,有很多算法得以廣泛應(yīng)用,其中主要的算法有LM非線性最小二乘算法、模擬退火算法、遺傳算法等。

文獻(xiàn)[18]中采用較為常用的LM算法、模擬退火算法、遺傳算法并使用石英棒標(biāo)準(zhǔn)件對(duì)關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)標(biāo)定,標(biāo)定后使用測(cè)試數(shù)據(jù)從算法速度、實(shí)測(cè)效果和穩(wěn)定性3個(gè)方面對(duì)3種算法進(jìn)行了對(duì)比,結(jié)果表明，采用從LM算法標(biāo)定后獲得的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行測(cè)試時(shí)最接近石英棒標(biāo)準(zhǔn)長度,且該算法相較于其他2種算法在計(jì)算過程中更加穩(wěn)定,求解速度上也大大領(lǐng)先。基于此,結(jié)合搭建的激光跟蹤儀標(biāo)定系統(tǒng),本文設(shè)計(jì)了基于距離誤差模型的LM算法對(duì)自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。

LM算法結(jié)合了梯度下降算法與高斯牛頓算法的優(yōu)勢(shì),是一種基于微分誤差思想的非線性最小二乘算法。首先對(duì)于一個(gè)非線性最小二乘問題有:

(9)

其中,e(x)為模型值與標(biāo)準(zhǔn)值之差。將e(x)用泰勒級(jí)數(shù)展開,取一階線性項(xiàng)近似得:

e(x+Δx)=e(x)+e′(x)Δx

(10)

為保證算法公式誤差系數(shù)矩陣部分可逆,LM算法引入阻尼因子和單位陣,因此將目標(biāo)函數(shù)展開、求導(dǎo)并將誤差系數(shù)矩陣J=e′(x)代入可得:

Δx=-(JTJ+μI)-1JTe(x)

(11)

其中:I為單位陣;μ>0可保證系數(shù)矩陣正定。當(dāng)μ很大時(shí),LM算法退化為梯度下降法,可以進(jìn)行全局搜索;當(dāng)μ很小時(shí),LM算法退化為高斯牛頓法,能快速收斂。

將(6)式的元素序號(hào)改為N=(b1,b2,…,b27),則此問題可轉(zhuǎn)換為一個(gè)非線性最小二乘問題,可以通過求解其微分雅各比矩陣,獲取其誤差向量來補(bǔ)償自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

雅各比矩陣中各元素求解如下:

(12)

其微分雅各比矩陣為:

(13)

算法開始時(shí)先給出初始結(jié)構(gòu)參數(shù)x0、阻尼因子μ0=0.001、ν=10、迭代次數(shù)k，計(jì)算距離與標(biāo)準(zhǔn)距離之間的均方誤差作為目標(biāo)函數(shù)。迭代過程中當(dāng)?shù)趇+1次的均方誤差小于第i次時(shí),則補(bǔ)償當(dāng)前結(jié)構(gòu)參數(shù),令i=i+1、μi+1=μi/ν；否則,μi+1=μiν不補(bǔ)償結(jié)構(gòu)參數(shù)。

上述非線性最小二乘解法LM算法可迭代出最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)及分析

3.1 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)中采用激光跟蹤儀作為基準(zhǔn)測(cè)量工具。在測(cè)桿上附著法蘭盤和磁鐵吸附激光跟蹤儀靶球,當(dāng)自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)帶動(dòng)靶球運(yùn)動(dòng)時(shí),激光跟蹤儀也跟隨靶球轉(zhuǎn)動(dòng),并測(cè)量靶球中心坐標(biāo),而自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)同時(shí)測(cè)量并得到關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角值。

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖2所示。圖2中樣機(jī)理論結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1所列。

表1 樣機(jī)理論結(jié)構(gòu)參數(shù)

標(biāo)定實(shí)驗(yàn)在室溫為20 ℃的實(shí)驗(yàn)室內(nèi)進(jìn)行。關(guān)節(jié)1轉(zhuǎn)角在0°～180°范圍內(nèi),使得激光跟蹤儀能夠跟蹤到靶球。該空間內(nèi)均勻設(shè)置了124個(gè)點(diǎn),其中參與標(biāo)定訓(xùn)練的點(diǎn)有84個(gè),測(cè)試的點(diǎn)有40個(gè)。

測(cè)量點(diǎn)在空間中的分布如圖3所示。

圖3 測(cè)量點(diǎn)空間分布圖

需要指出的是,在數(shù)據(jù)采集中關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角盡可能做到充分變化,以提高標(biāo)定結(jié)果的魯棒性。

將實(shí)驗(yàn)中獲取的84組6個(gè)關(guān)節(jié)角度值代入運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，結(jié)合結(jié)構(gòu)參數(shù)可求得測(cè)量機(jī)末端激光跟蹤儀靶球中心相對(duì)于自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)基座坐標(biāo)系下的理論坐標(biāo)。將這些坐標(biāo)任意組合，獲取42個(gè)兩點(diǎn)間距離,并與激光跟蹤儀測(cè)得的標(biāo)準(zhǔn)距離求均方誤差,以此作為目標(biāo)函數(shù)代入算法中進(jìn)行迭代求解,從而辨識(shí)出自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

采用LM算法標(biāo)定后得到的各關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)補(bǔ)償值見表2所列。

表2 自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)標(biāo)定后的結(jié)構(gòu)參數(shù)補(bǔ)償值

測(cè)頭空間長度補(bǔ)償值Δlx=-0.020 3 mm,Δly=-0.008 3 mm,Δlz=2.701 1 mm,即需用表中數(shù)據(jù)去修正自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)理論結(jié)構(gòu)參數(shù)。

分別采用標(biāo)定前、后的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)40個(gè)測(cè)試點(diǎn)所構(gòu)成的20個(gè)距離進(jìn)行計(jì)算,并與激光跟蹤儀測(cè)量的距離進(jìn)行比較。

測(cè)試點(diǎn)標(biāo)定前、后距離誤差的對(duì)比如圖4所示,測(cè)量距離誤差見表3所列。

表3 標(biāo)定前、后測(cè)量距離誤差 mm

由圖4、表3可知,標(biāo)定后測(cè)量誤差大大降低,以最大距離誤差絕對(duì)值來看,從13.895 0 mm降低到0.300 4 mm,減少了約97.8%,這說明針對(duì)距離的標(biāo)定測(cè)試效果良好。

將測(cè)頭部分的法蘭盤和靶球撤下,換上帶有直徑為5 mm紅寶石球的觸發(fā)測(cè)頭,對(duì)半徑為25.431 mm的標(biāo)準(zhǔn)球進(jìn)行測(cè)量。標(biāo)準(zhǔn)球測(cè)量實(shí)驗(yàn),如圖5所示。

圖5 標(biāo)準(zhǔn)球測(cè)量實(shí)驗(yàn)

采用最小二乘算法擬合標(biāo)準(zhǔn)球需在球上采集至少4個(gè)擬合點(diǎn)。當(dāng)采集的擬合點(diǎn)較少時(shí),擬合結(jié)果的容錯(cuò)率較低,受個(gè)別擬合點(diǎn)精度影響較大;當(dāng)采集的擬合點(diǎn)數(shù)量較多時(shí),單個(gè)擬合點(diǎn)的測(cè)量誤差在擬合過程中所占權(quán)重較小,容錯(cuò)率較高。因此測(cè)量過程中采集的擬合點(diǎn)數(shù)量越多,擬合精度越高[19]。

在標(biāo)準(zhǔn)球上半部分均勻分布采集12個(gè)點(diǎn),并使用補(bǔ)償后的結(jié)構(gòu)參數(shù)計(jì)算出測(cè)量的12個(gè)點(diǎn)的位置坐標(biāo),用最小二乘法擬合獲得球體參數(shù),即球心位置坐標(biāo)xr、yr、zr與半徑Rr。半徑Rr表示標(biāo)準(zhǔn)球半徑與測(cè)頭紅寶石球半徑之和,因此擬合球?qū)嶋H半徑為：

r=Rr-2.5 mm。

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)球進(jìn)行重復(fù)性測(cè)量實(shí)驗(yàn),結(jié)果見表4所列。其中,Δr為擬合球半徑與標(biāo)準(zhǔn)半徑的誤差。

自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)擬合標(biāo)準(zhǔn)球的重復(fù)性誤差采用標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算,置信系數(shù)取2,重復(fù)性誤差為2σ,公式為:

(14)

其中:n為實(shí)際測(cè)量次數(shù);xi為每次測(cè)量的結(jié)果;X為多次測(cè)量的平均值;σ為標(biāo)準(zhǔn)差。結(jié)合表4和(14)式分析計(jì)算得出,自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量擬合標(biāo)準(zhǔn)球的誤差較小,其重復(fù)性誤差為0.038 mm。

表4 用標(biāo)定后參數(shù)10次擬合的標(biāo)準(zhǔn)球參數(shù) 單位:mm

4 結(jié) 論

本文提出一種對(duì)自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定的方法,建立了以激光跟蹤測(cè)量距離為基準(zhǔn)的標(biāo)定系統(tǒng),基于距離誤差模型提出自驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的標(biāo)定算法,即距離誤差模型下的LM算法。該方法避開了傳統(tǒng)位置誤差模型需要對(duì)2種不同坐標(biāo)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換的情況,防止了坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換帶來的誤差。標(biāo)定后對(duì)標(biāo)定空間內(nèi)40個(gè)測(cè)試點(diǎn)所組成的20組距離進(jìn)行測(cè)試,其最大距離誤差絕對(duì)值從13.895 0 mm減小到了0.300 4 mm,測(cè)量誤差減小近97.8%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文標(biāo)定方法的有效性。