摘 要： "針對生物地理學(xué)優(yōu)化算法（biogeography-based optimization，BBO）易早熟收斂、陷入局部最優(yōu)的問題，引入物種演化理論提出了改進(jìn)生物地理學(xué)優(yōu)化算法。該算法將所有棲息地按照物種數(shù)量劃分為三種地區(qū)，并建立協(xié)同進(jìn)化關(guān)系，合理地采用區(qū)間入侵、區(qū)內(nèi)合作/競爭策略，滿足多樣性的同時(shí)避免了早熟收斂。定義了物種更迭和物種進(jìn)化兩種變異策略，提出的雙策略協(xié)同變異算子旨在解決變異算子對較優(yōu)解的破壞。通過CEC2017中的八個基準(zhǔn)測試函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)BBO及相關(guān)改進(jìn)算法相比，該算法在算法性能、穩(wěn)定性等方面優(yōu)于BBO及其他改進(jìn)算法，且該算法不易被局部最優(yōu)值所限制。將該算法應(yīng)用于以最大完工時(shí)間為目標(biāo)的柔性作業(yè)車間調(diào)度問題（flexible Job-Shop scheduling problem，F(xiàn)JSP）以檢驗(yàn)其實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，實(shí)驗(yàn)表明，該算法在解決FJSP上具有一定的有效性。

關(guān)鍵詞： "生物地理學(xué)優(yōu)化算法; 物種演化; 物種更迭; 柔性作業(yè)車間調(diào)度問題

中圖分類號： "TP301.6 """文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： "1001-3695（2022）02-007-0367-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.08.0316

Improved biogeography-based optimization algorithm "introducing species evolution

Zhang Qiwen， Yang Yongchao

（School of Computer amp; Communication， Lanzhou University of Technology， Lanzhou 730050， China）

Abstract： "In order to solve the problem of premature convergence and falling into local optimum in biogeography-based optimization algorithm， this paper proposed an improved biogeography-based optimization algorithm introducing species evolution（SEBBO）. The algorithm divided all habitats into three regions according to the number of species， established a co-evolution relationship， and reasonably adopted interval invasion and regional cooperation/competition strategies to meet diversity while avoided premature convergence. It defined two mutation strategies of species change and "species development， and designed the dual-strategy cooperative mutation operator to solve the damage of the mutation operator to the better solution. Then， compared with standard BBO and other related improved algorithms on 8 benchmark functions from CEC2017， SEBBO algorithm is superior to BBO and other BBO variants in terms of algorithm performance and stability， and local optimal values is not easily limit the algorithm. Finally， this paper applied the SEBBO algorithm to flexible Job-Shop scheduling with maximum completion time as the goal to test its practical application value. Experiments show that the algorithm has a certain effectiveness in solving FJSP.

Key words： "biogeography-based optimization algorithm; species evolution; species change； FJSP

0 引言

Simon教授［1］在2008年正式提出了生物地理學(xué)優(yōu)化算法（biogeography-based optimization，BBO）。由于BBO算法原理簡單且參數(shù)較少，一經(jīng)提出就吸引了眾多國內(nèi)外學(xué)者，廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域，但因其存在尋優(yōu)速度緩慢、易早熟收斂等劣勢，學(xué)者們提出了各種改進(jìn)的BBO算法防止其早熟收斂。Zhang等人［2］提出了啟發(fā)式交叉策略和指數(shù)動態(tài)隨機(jī)差分遷移算子，結(jié)合全局最優(yōu)高斯變異算子并融合對立學(xué)習(xí)策略，實(shí)驗(yàn)表明，該算法能避免早熟收斂且具有更好的性能和更快的運(yùn)行速度；張新明等人［3］將變異算子融合到遷移算子中，采用榜樣選擇方案和貪婪保留法將該算法應(yīng)用于圖像分割，實(shí)驗(yàn)表明，基于高效生物地理學(xué)算法的圖像多閾值分割法分割速度快、穩(wěn)定性好；Giri等人［4］通過使用自適應(yīng)鄰域結(jié)構(gòu)提高了算法全局搜索能力，遷入棲息地可以通過分享局部最優(yōu)棲息地和全球最優(yōu)棲息地的信息來更新其特征，該改進(jìn)能夠避免算法過早陷入局部最優(yōu)；Kavah等人［5］在BBO變異算子中引入基于高斯變異、柯西變異、指數(shù)變異的混合變異策略，該策略提高了算法的全局搜索能力，增強(qiáng)了種群的多樣性，避免陷入局部最優(yōu)；Farswan等人［6］將BBO算法的遷移算子和變異算子以及煙花算法（FWA）的爆炸算子結(jié)合在一起，改進(jìn)算法具有更良好的優(yōu)化性能，滿足多樣性的同時(shí)避免過早收斂；Zhao等人［7］提出了兩階段的差分生物地理學(xué)優(yōu)化算法，兩階段遷移模型滿足進(jìn)化早期的種群多樣性并加速進(jìn)化后期的種群收斂速度，引入高斯變異算子使種群能夠有效地跳出局部最優(yōu)；葛強(qiáng)等人［8］將差分變異算子和自適應(yīng)微擾動因子結(jié)合形成新的遷移算子，將高斯變異和柯西變異相結(jié)合改進(jìn)變異算子，實(shí)驗(yàn)表明該算法在收斂速度、尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性等方面都有很大程度的提升。

盡管國內(nèi)外學(xué)者對BBO算法早熟收斂的問題進(jìn)行了廣泛的研究，但是大部分改進(jìn)算法沒有考慮棲息地和棲息地之間的差異及整個棲息地的進(jìn)化情況，所有棲息地的遷移策略和變異策略都相同，很難突破早熟收斂。本文提出了一種引入物種演化的改進(jìn)生物地理學(xué)優(yōu)化算法（improved biogeography-based optimization algorithm introducing species evolution，SEBBO），采用更加匹配自然遷移規(guī)律的雙曲正切變形遷移率模型和余弦遷移模型，根據(jù)遷移模型的特點(diǎn)將所有棲息地按照物種數(shù)量劃分為三類地區(qū)，通過區(qū)間入侵、區(qū)內(nèi)合作/競爭策略建立協(xié)同進(jìn)化關(guān)系；為了解決變異算子對較優(yōu)解的破壞，提出了一種雙策略協(xié)同變異算子。

1 生物地理學(xué)優(yōu)化算法

BBO算法主要的兩個算子就是遷移算子和變異算子。

1）遷移算子

遷移是BBO算法中最為核心的操作，棲息地個體主要通過物種遷移機(jī)制來實(shí)現(xiàn)與其他棲息地之間的信息交換。遷入率和遷出率 分別用λ k和μ k表示，其計(jì) 算公式可參照棲息地的物種遷移模型。如圖1所示，本文針對遷移算子采用文獻(xiàn)［9］提出的雙曲正切變形遷移率模型，該模型匹配自然界物種遷移規(guī)律，作為BBO算法的遷移模型所獲得的最終解優(yōu)于余弦遷移率模型［10］及其他遷移模型的BBO算法，且此遷移模型很適用于本文棲息地動態(tài)劃分機(jī)制。

雙曲正切變形遷移率模型公式如下：

λ k= I 2 "－ e（k－n/2）－e（－k+n/2） e（k－n/2）+e（－k+n/2） +1 """"（1）

μ k= E 2 ""e（k－n/2）－e（－k+n/2） e（k－n/2）+e（－k+n/2） +1 """"（2）

其中 ：I=E=1;k為當(dāng)前棲息地的物種數(shù)量;n為最大物種數(shù)量;e為底數(shù)參數(shù)，本文取值為 1.1。

2）變異算子

BBO算法的物種變異機(jī)制是提高棲息地種群中個體多樣性的有效手段，棲息地個體以一定幾率發(fā)生突變，為該個體在搜索空間中尋找最優(yōu)解增加更多的機(jī)會，但對于較優(yōu)棲息地個體而言，這種隨機(jī)變異無疑大大增加了其突變成較差個體的可能。某一棲息地的突變概率函數(shù)與該棲息地的數(shù)量概率成反比，因此，本文采用余弦遷移模型計(jì)算物種數(shù)量的概率，此遷移模型很適用于本文棲息地動態(tài)劃分機(jī)制。該模型下物種數(shù)量的概率如圖2所示。

物種數(shù) 量為s的棲息地發(fā)生變異的概率 為

m s=m max（1－P s/P max） ""（3）

其中：P s代表?xiàng)⒌匚锓N數(shù)量為s的概率;m max為用戶定義突變率的最大值;P max是所有P s中的最大值，即 max （P s） 。

2 SEBBO算法

2.1 動態(tài)劃分棲息地

為了解決單一的遷移算子及變異算子不能完全適用于種群中性能各異的所有棲息地，本文按照棲息地的物種數(shù)量對棲息地進(jìn)行劃分，將棲息地劃分為三個地區(qū)，即富饒地區(qū)、普通地區(qū)和貧瘠地區(qū)，劃分比例為3∶ 4∶ 3，劃分比例的依據(jù)為所選遷移模型的特點(diǎn)。本文所選遷移模型為雙曲正切變形遷移率模型和余弦遷移模型，雙曲正切遷移模型如圖1所示。當(dāng)物種數(shù)量較少或較多時(shí)，遷移模型的變化率較慢，而當(dāng)物種數(shù)量到達(dá)一定數(shù)目時(shí)，遷移模型的變化率加快。余弦遷移模型計(jì)算各物種數(shù)量對應(yīng)的概率，各物種數(shù)量對應(yīng)的概率如圖2所示（物種數(shù)量為50時(shí)棲息地物種數(shù)量對應(yīng)的概率），結(jié)合突變概率與該棲息地的數(shù)量概率成反比的特點(diǎn)，富饒地區(qū)與貧瘠地區(qū)變異率最大且為常值，普通地區(qū)變異率為變值且越靠近中間數(shù)量變異率越小。區(qū)間入侵策略與區(qū)內(nèi)合作/競爭策略的選取根據(jù)遷入率進(jìn)行選擇。如圖3所示，雙曲正切遷移模型較緩的變化率使貧瘠地區(qū)棲息地執(zhí)行更多的入侵策略，滿足物種多樣性，使富饒地區(qū)棲息地執(zhí)行更多的區(qū)內(nèi)合作/競爭策略，避免算法迭代前期陷入局部最優(yōu)，而在算法迭代后期區(qū)內(nèi)競爭策略使得越優(yōu)秀的棲息地?cái)_動越小（以兩棲息地遷出率之差為擾動），需注重局部搜索。雙策略協(xié)同變異算子采用余弦遷移模型，結(jié)合突變概率與棲息地物種數(shù)量概率成反比的特點(diǎn)，突變較多發(fā)生在物種數(shù)量較多（富饒地區(qū)）和物種數(shù)量較低（貧瘠地區(qū)）的棲息地，針對不同地區(qū)的棲息地選擇不同的策略協(xié)同進(jìn)化。

針對貧瘠地區(qū)，遷入率大而遷出率小，較大概率執(zhí)行區(qū)間入侵策略而小概率執(zhí)行區(qū)內(nèi)合作/入侵策略；對于普通地區(qū)，按照遷入率的變化由區(qū)間入侵策略逐漸轉(zhuǎn)向區(qū)內(nèi)合作/競爭策略；特別地，富饒地區(qū)只存在區(qū)內(nèi)合作/競爭策略。

不同數(shù)量的設(shè)置對算法性能的影響：若貧瘠地區(qū)棲息地?cái)?shù)量多，富饒地區(qū)數(shù)量較少，則導(dǎo)致算法早熟收斂，易陷入局部最優(yōu)；若富饒地區(qū)棲息地?cái)?shù)目多，貧瘠地區(qū)數(shù)量較少，則導(dǎo)致算法迭代后期多樣性不足。

2.2 區(qū)間入侵策略

區(qū)間入侵策略是指物種數(shù)量高的地區(qū)中棲息地中的物種會去入侵?jǐn)?shù)量低的地區(qū)中的棲息地。在自然界中，物種入侵能夠有效改善入侵棲息地的物種數(shù)量。物種在一個棲息地入侵另一個棲息地，需要考慮兩個因素，即棲息地適應(yīng)度和距離。物種遷出棲息地的適應(yīng)度越高，遷出率越高，入侵能力越強(qiáng)，對被入侵棲息地的影響更大。同時(shí)，根據(jù)地理學(xué)鄰近效應(yīng)原理［11］，棲息地更容易被其鄰近棲息地所影響，因此，入侵棲息地的選擇會根據(jù)適應(yīng)度距離比進(jìn)行選擇。區(qū)間物種入侵策略公式如下：

Xt+1 i，j=Xt i，j+F 1×（Xt best，j－Xt i，j）+ F 2×（Xt k，j－Xt i，j） ""（4）

其中： X i是被入侵棲息地；t為迭代次數(shù)；X best是最優(yōu)棲息地，最優(yōu)棲息地會參與每次區(qū)間入侵。對于入侵棲息地X k，計(jì)算其與r個預(yù)備 入侵棲息地的適應(yīng)度差和距離差的比值，選擇適應(yīng) 度距離比最大的預(yù)備棲息地作為入侵棲息地，X K= argmax "k∈r "HSI i－ HSI k/|X k，j－X i，j| 。F 1和F 2是［0，1］間的一個系數(shù)，稱為入侵推動力，F(xiàn) 1和F 2的取值與入侵棲息地的適應(yīng)度成正相關(guān)，F(xiàn) 1= fit （X best，j）/（ fit （X best，j）+ fit （X k，j）），F(xiàn) 2=1－F 1 。

2.3 區(qū)內(nèi)合作策略

種間合作是物種種間正相互作用，是生物之間對一方有利而對另一方無害的種間關(guān)系［12］。某棲息地的物種與同一地區(qū)更優(yōu)秀棲息地的物種合作改變自身適應(yīng)度。區(qū)內(nèi)合作策略公式如下：

Xt+1 i，j=α 1Xt i，j+（1－α 1）Xt r1，j ""（5）

其中： X i是當(dāng)前棲息地;X r1是同一地區(qū)中比自身優(yōu)秀的任意合作棲息地；α 1是［0，1］間的一個系數(shù)，稱為合作強(qiáng)度，α 1的取值與兩物種的適應(yīng)度有關(guān)，α 1越大，說明此棲息地適應(yīng)度越高，合作貢獻(xiàn)越大，因?yàn)檫m應(yīng)度的高低與物種遷出率成正相關(guān)，所以α 1的取值依賴于遷出率μ i，α 1=μ i/（μ i+μ r1） 。

2.4 區(qū)內(nèi)競爭策略

種間競爭是物種種間負(fù)相互作用，一般指生態(tài)需求的物種為爭奪資源或條件而產(chǎn)生的一種直接或間接抑制對方的現(xiàn)象［12］。在競爭中常常是一方取得優(yōu)勢而另一方受抑制甚至被消滅。區(qū)內(nèi)競爭策略根據(jù)達(dá)爾文進(jìn)化論中“優(yōu)勝劣汰，適者生存”提出，區(qū)內(nèi)競爭策略公式如下：

Xt+1 i，j= Xt i，j+α 2×（Xt i，j－Xt r2，j） ""fit （Xt r2，j）lt; fit （Xt i，j）

Xt r2，j "fit （Xt r2，j）≥ fit （Xt i，j） """"（6）

其中： X i是競爭棲息地;X r2是在同一地區(qū)中任意選擇的其他競爭棲息地；α 2稱為競爭強(qiáng)度，與兩棲息地遷出率之差相等，α 2越小，競爭越激烈，α 2=μ i－μ r2 。本文以適應(yīng)度作為物種競爭強(qiáng)弱的指標(biāo)，適應(yīng)度越高，越在競爭中占據(jù)主導(dǎo)地位，反之亦然。競爭成功會得到部分自身所沒有 的生態(tài)差異，若是競爭失敗則被淘汰，棲息地被優(yōu)勢棲息地的物種占領(lǐng)。

區(qū)間入侵策略針對適應(yīng)度不高的貧瘠棲息地和部分普通地區(qū)棲息地，該類地區(qū)的棲息地受最優(yōu)解與較優(yōu)解的指導(dǎo)逐漸向較優(yōu)解靠近，改善自身較低的適應(yīng)度；區(qū)內(nèi)合作策略針對適應(yīng)度較高的富饒棲息地及部分普通地區(qū)棲息地且在算法迭代前期較多使用，該策略借鑒了遺傳算法中交叉操作的思想，決定了遺傳算法的全局搜索能力。將其引入到BBO算法中，一方面取得了遷移操作的效果，讓較差的解獲得較優(yōu)解的特征，從而提高自身的質(zhì)量且提高了多樣性；另一方面，算法避免了較優(yōu)的解在遷移過程中出現(xiàn)退化的情況。區(qū)內(nèi)競爭策略針對適應(yīng)度較高的富饒棲息地及部分普通地區(qū)棲息地，且在算法迭代后期較多使用，若是競爭成功，則添加較小擾動在自身領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行局部搜索；若競爭失敗，則采用具備較強(qiáng)局部搜索能力的傳統(tǒng)遷移策略。

2.5 雙策略協(xié)同變異算子

單一的隨機(jī)變異策略無法兼顧全局搜索和局部搜索，且存在一定缺陷：對于較差棲息地，這種隨機(jī)變異有可能使其突變成新的更優(yōu)棲息地，為種群朝最優(yōu)方向進(jìn)化提供一定機(jī)會，但對于較優(yōu)棲息地而言，尤其在算法迭代后期，隨機(jī)變異不僅很難開發(fā)出比當(dāng)前最優(yōu)解優(yōu)秀的棲息地，還容易產(chǎn)生毫無利用價(jià)值的較差棲息地，致使算法的進(jìn)化效率較低。受達(dá)爾文進(jìn)化論的啟發(fā)，本文在基本變異算子的基礎(chǔ)上重新定義了棲息地的變異策略，即雙策略協(xié)同變異算子。

達(dá)爾文的進(jìn)化論認(rèn)為，一個生物群體在穩(wěn)定的環(huán)境中的進(jìn)化，一部分不適應(yīng)的群體被淘汰，另一部分群體朝著更適應(yīng)環(huán)境的方向進(jìn)化，即“物競天擇，適者生存”。針對不同物種數(shù)量的棲息地，結(jié)合突變概率與該棲息地的數(shù)量概率成反比的特點(diǎn)，突變多發(fā)生在棲息地物種數(shù)量較少（貧瘠地區(qū)）或者較多（富饒地區(qū)）的情況，針對不同類型棲息地使用不同的變異策略。

a）對于貧瘠地區(qū)的棲息地，此類棲息地自身適應(yīng)度太差，有一定概率會被自然淘汰，然后重新生成新的種群，因此定義為“物種更迭”，重新生成新的物種來代替。

b）對于富饒地區(qū)的棲息地，其進(jìn)化是朝著更加適應(yīng)環(huán)境的方向進(jìn)行，且不會較多改變自身已有的適應(yīng)度，定義為“物種進(jìn)化”。

c）對于普通地區(qū)的棲息地，在算法迭代初期，所有棲息地的適應(yīng)度較低，其生態(tài)系統(tǒng)十分脆弱，生物群體有很大概率被淘汰，棲息地大概率執(zhí)行“物種更迭”；堅(jiān)持下來的棲息地，其生態(tài)系統(tǒng)會越來越穩(wěn)定，其物種會朝著更加適應(yīng)環(huán)境的方向進(jìn)化，故大概率執(zhí)行“物種進(jìn)化”。

物種更迭公式如下：

Xt+1 i，j=（ max X（j）－ min X（j））×rand+ min X（j） ""（7）

其中：min X（j）、 max X（j）分別是第j維的最小值和最大值 。

物種進(jìn)化公式如下：

Xt+1 i，j=Xt i，j+α 3⊕ Levy （β） ""（8）

其中 ：α 3表示步長控制量，選擇初始值步長A=1，使得α 3= A "t "更新飛行步長，t是當(dāng)前迭代次數(shù)，α 3的值隨著代數(shù)的增加而減少，進(jìn)行更多的局部搜索；⊕表示點(diǎn)對點(diǎn)乘法； Levy （β）表示服從參數(shù)為β的 Levy 分布，β=1.5 。

萊維飛行［13］具有的較小步長的短距離行走和較大步長的長距離行走，且行走交替，偶爾較大步長的長距離行走防止較小步長短距離行走的聚集，而較小步長的短距離行走在增加種群多樣性的同時(shí)也能夠減少對較優(yōu)解的破壞，不會過多破壞尋優(yōu)過程，因此很適用于“物種進(jìn)化”。

2.6 策略分配的合理性及尋優(yōu)能力的綜合性分析

SEBBO算法針對不同棲息地在不同迭代時(shí)期使用不同的策略綜合尋優(yōu)。在算法迭代早期改進(jìn)遷移算子，區(qū)間入侵策略應(yīng)用于適應(yīng)度較低的棲息地，滿足物種多樣性；算法迭代前期較多使用區(qū)內(nèi)合作策略進(jìn)行全局搜索。雙策略協(xié)同變異算子中物種更迭策略在算法迭代前期較多使用，具備全局搜索性能；物種進(jìn)化策略保證較優(yōu)棲息地尋找最優(yōu)解的同時(shí)不會過多破壞自身已有的適應(yīng)度。在算法迭代后期，此時(shí)算法已經(jīng)收斂，改進(jìn)遷移算子，區(qū)間入侵策略加快算法的收斂速度，算法迭代后期較多使用區(qū)內(nèi)競爭策略，區(qū)內(nèi)競爭策略具備一定的局部搜索能力。雙策略協(xié)同變異算子中物種更迭策略在迭代后期針對適應(yīng)度較低的棲息地滿足物種多樣性，隨機(jī)變異有可能使其突變成新的更優(yōu)棲息地，為種群朝最優(yōu)方向進(jìn)化提供一定機(jī)會；物種進(jìn)化策略在算法迭代后期較多使用，該策略采用Levy飛行公式，此公式具備一定的局部搜索能力。

從整體尋優(yōu)角度來看，以上分配機(jī)制在算法迭代前期具有全局搜索能力，滿足棲息地的多樣性，避免算法陷入局部最優(yōu)；算法迭代后期在滿足算法的局部搜索能力的同時(shí)不會破壞已有較優(yōu)解的適應(yīng)度，因此，以上分配機(jī)制合理。

引入物種演化的改進(jìn)生物地理學(xué)優(yōu)化算法由改進(jìn)遷移算子和雙策略協(xié)同變異算子兩部分組成，改進(jìn)遷移算子由區(qū)間入侵策略、區(qū)內(nèi)合作策略、區(qū)內(nèi)競爭策略組成。區(qū)內(nèi)競爭策略在考慮自身適應(yīng)度的情況下進(jìn)行局部搜索，雙策略協(xié)同變異算子包含物種更迭策略和物種進(jìn)化策略兩部分。 從整體尋優(yōu)角度分析，改進(jìn)遷移算子在算法迭代前期具有全局搜索性能，滿足多樣性的同時(shí)避免陷入局部最優(yōu)；而在算法迭代后期，具有局部搜索性能。雙策略協(xié)同變異算子在算法迭代前期多進(jìn)行全局搜索，滿足多樣性；在算法迭代后期多進(jìn)行局部搜索。因此，該算法在迭代前期偏向全局搜索，而在迭代后期偏向局部搜索。

2.7 低差異序列初始化種群策略

低差異序列［14］又稱做擬隨機(jī)序列，其超均勻分布的特點(diǎn)使得任意長度的子序列能均勻地填充在整個函數(shù)空間，分布均勻的隨機(jī)數(shù)意味著更加優(yōu)秀的樣本分布。使用具有超均勻分布特性的低差異序列初始化種群，避免在初始化過程中產(chǎn)生隨機(jī)重復(fù)的棲息地，使算法性能更優(yōu)、誤差更小、收斂更快。本文使用的低差序列為Halton序列。

3 SEBBO算法的收斂性分析

本文采用馬爾可夫鏈策略來分析SEBBO算法的收斂性。設(shè) X（t）={x 1（t），x 2（t），…，x n（t）}是改進(jìn)算法代數(shù)為t時(shí)的種群，根據(jù)適應(yīng)度將X（t）分為n個子集，x i（t）（i=1，2，…，n）為其中的一個子集。假設(shè)某一迭代次數(shù)最好的目標(biāo)函數(shù)值為F i，i為當(dāng)前狀態(tài)，則下一次迭代時(shí)向更優(yōu)狀態(tài)k轉(zhuǎn)移，應(yīng)滿足klt;i；若k=i ，則算法已經(jīng)收斂到全局最優(yōu)。

物種演化中，從一個狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到下一個狀態(tài)k的轉(zhuǎn)移概率為p ik，則 有

kgt;i，p ikgt;0 ""（9）

klt;i，p ikgt;0 ""（10）

k=i，p ik=0 ""（11）

式（9）～（11） 證明：設(shè)i為某迭代次數(shù)為t時(shí)某棲息地狀態(tài)，該狀態(tài)i為該棲息地經(jīng)過若干次改進(jìn)遷移、改進(jìn)變異、貪婪選擇操作后的狀態(tài)，也是當(dāng)前位置最好的狀態(tài)，若當(dāng)前棲息地執(zhí)行操作，則有三種遷移策略（區(qū)間入侵策略、區(qū)內(nèi)合作策略、區(qū)內(nèi)競爭策略）和兩種變異策略（物種更迭策略和物種進(jìn)化策略）。一種情況是：在迭代次數(shù)t+1，若當(dāng)前棲息地執(zhí)行區(qū)間入侵策略、當(dāng)前棲息地的狀態(tài)更新到更優(yōu)狀態(tài)，則當(dāng)前棲息地的狀態(tài)將以概率P 1更新到 新狀態(tài)。

P 1=λ（1－p m）p s+λp m（1－p i）p s+λp mp ip s=λp s ""（12）

顯然P 1gt;0，命題得證。其中，p m為突變算子執(zhí)行成功的概率；p i為物種更迭策略執(zhí)行成功的概率，1-p i為物種進(jìn)化策略執(zhí)行成功的概率；p s為貪婪選擇算子執(zhí)行成功的 概率。

另外一種情況是：在迭代次 數(shù)t+1，若當(dāng)前棲息地執(zhí)行 區(qū)內(nèi)合作策略或者區(qū)內(nèi)競爭策略：

a）執(zhí)行 區(qū)內(nèi)合作策略，若當(dāng)前棲息地狀態(tài)可以轉(zhuǎn)移到更優(yōu)狀態(tài)，則當(dāng)前棲息地的狀態(tài)將以概率P 2更新到新狀 態(tài)。

P 2=（1－λ）（1－p m）p sp r+（1－λ）p m（1－p i）p sp r+

（1－λ）p mp ip sp r=（1－λ）p sp r ""（13）

顯然P 2gt;0，命題得證。p r為［0，1］的隨 機(jī)數(shù)。

b）執(zhí)行區(qū)內(nèi)競爭策略，若當(dāng)前棲息地狀態(tài)可以轉(zhuǎn)移到更優(yōu)狀態(tài)，則當(dāng)前棲息地的狀態(tài)將以概率 P "3更新到新狀態(tài)。

P 3=（1－λ）（1－p m）p s（1－p r）+（1－λ）p m（1－p i）p s（1－p r）+

（1－λ）p mp ip s（1－p r）=（1－λ）p s（1－p r） ""（14）

顯然 P "3gt;0，命題得證。

綜合式（12）～（14）可得總概率 P 為

P=P 1+P 2+P 3=λp s+（1－λ）p sp r+（1－λ）p s（1－p r）=p s ""（15）

因?yàn)橐胴澙愤x擇算子，所以kgt;i，p ikgt;0；又因?yàn)?≤ p s≤1，可知P≥0；如果Pgt;0，命題得證klt;i，p ikgt;0 。在SEBBO 算法中，每次進(jìn)行新的演化都是對當(dāng)前棲息 地狀態(tài)i向更好的狀態(tài)更新；如果P=0，說明當(dāng)前棲息地已經(jīng)達(dá)到全局最優(yōu)，即k=i，p ik=0 。

SEBBO算法的進(jìn)化過程主要由改進(jìn)的遷移算子和雙策略協(xié)同變異算子以及貪婪選擇算子構(gòu)成，與迭代次數(shù)不相關(guān)，并且考慮到SEBBO算法種群個體的數(shù)目確定，則該算法的進(jìn)化過程滿足有限齊次馬爾可夫鏈。種群子集 x i（t）（i=1，2，…，n），可等價(jià)為有限齊次馬爾可夫鏈上一個狀態(tài)，根據(jù)上述結(jié)論可得，該馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 P "為

P = "p 11 0 … 0

p 21 p 22 … 0

p n1 p n2 … p nn "= "p 11 0 "S "2 "S "1 """""（16）

其中：

S "2=（p 21，p 31，…，p n1） T "（17）

S "1= "p 22 … 0

p n2 … p nn """""（18）

由式（17）（18）可以發(fā)現(xiàn)S 2≠0，S 1≠0。由于馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣中每一行的概率之和是１，則p 11=1≠0。由此可以得出馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 P 滿足可歸約隨機(jī)矩陣［15］，則 有

P ∞ =lim "t→∞ ""p 11 0 "S "2 "S "1 "t =

lim "t→∞ ""pt 11 0 ∑ t-1 i=1 "S i 1 S "2pt-i 11 "S t 1 ""=lim "t→∞ ""p∞ 11 0 "S ∞ 2 0 "t """（19）

由于馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣中每一行的概率相加是1，則式（19）中 p∞ 11=1，且 S ∞ 1=0，同時(shí)必有 S ∞ 2=（1，1，…，1） T，則

P ∞= "1 0 … 0

1 0 … 0

1 0 … 0 """""（20）

可見，當(dāng)?shù)螖?shù)t→∞時(shí)，概率p∞ i1=1（i=1，2，…，n），即無論初始狀態(tài)如何，最后都能以概率1收斂到 全局最優(yōu)解上，則SEBBO算法具有全局收斂性。

4 SEBBO實(shí)現(xiàn)流程

本文將雙曲正切變形遷移率模型、改進(jìn)的遷移算子、雙策略協(xié)同變異算子及低差異序列初始化種群策略合理地結(jié)合在一起，并引入了貪婪選擇算子提出了一種引入物種演化的改進(jìn)生物地理學(xué)優(yōu)化算法（SEBBO），該算法的步驟如下：

a）低差異序列初始種群，設(shè)置相關(guān)參數(shù)，物種數(shù)量 n，當(dāng)前迭代次數(shù)t，最大迭代次數(shù)t max ;

b）評價(jià)每個棲息地的HSI，根據(jù)HSI由優(yōu)至劣排序種群，且更新各個棲息地的物種數(shù)量;

c）根據(jù)雙曲正切變形遷移率模型及余弦遷移模型計(jì)算遷入率、遷出率及變異率;

d）若當(dāng)前 棲息地的遷入率大于隨機(jī)數(shù)，則執(zhí)行區(qū)間入侵策略，否則，執(zhí)行區(qū)內(nèi)合作/區(qū)內(nèi)競爭策略（隨機(jī)數(shù)大于t/t max，執(zhí)行區(qū)內(nèi)合作策略，否則執(zhí)行區(qū)內(nèi)競爭 策略）;

e）若當(dāng)前棲息地的變異率大于隨機(jī)數(shù)，則執(zhí)行雙策 略協(xié)同變異算子（若物種數(shù)量小于0.3n或隨機(jī)數(shù)大于等于t/t max執(zhí)行物種更迭策略；若物種數(shù)量大于0.7n或隨機(jī)數(shù)小于等于t/t max執(zhí)行物種進(jìn)化策略 ）;

f）評價(jià)每個棲息地更新后的HSI并執(zhí)行貪婪選擇算法;

g）根據(jù)HSI由優(yōu)至劣排序種群，且更新各個棲息地的物種數(shù)量;

h）判斷是否達(dá)到算法停止條件，如果是，輸出最終結(jié)果，否則，返回步驟c）。

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

本文采用CEC2017［16］標(biāo)準(zhǔn)測試集中的八個函數(shù)測試集測試SEBBO算法的性能。函數(shù)分為四類： f 1是單峰函數(shù)，f 2和f 3是簡單多模函數(shù)，f 4和f 5是混合函數(shù)，f 6～f 8是組合函 數(shù)，具體如表1所示。每個函數(shù)包含10、30維。算法在每個基準(zhǔn)函數(shù)上執(zhí)行30次;為了進(jìn)行公平比較，將函數(shù)的最大評價(jià)次數(shù)設(shè)置為1 000，將小于1E-8的誤差值和標(biāo)準(zhǔn)偏差視為零。

所有算法均使用MATLAB R2014a編程語言重新實(shí)現(xiàn)，并 在2.5 GHz Intel CoreTM i5-7300 CPU 8 GB RAM的64位OS的 PC上運(yùn)行。

為了驗(yàn)證SEBBO算法的性能，將SEBBO與BBO算法［1］、混合生物地理學(xué)優(yōu)化算法（blended biogeography-based optimization，BBBO） ［17］、基于拉普拉斯的生物地理學(xué)的優(yōu)化算法（Laplacian biogeography-based optimization，LXBBO［18］）、基于生物地理學(xué)優(yōu)化的混合差分進(jìn)化算法（hybrid differential evolution with biogeography-based，DE/BBO） ［19］、兩階段差分生物地理學(xué)優(yōu)化算法（two-stage differential biogeography-based optimization，TDBBO） ［7］、差分遷移和趨優(yōu)變異的生物地理學(xué)優(yōu)化算法（biogeography-based optimization with differential migration and global-best mutation，DGBBO） ［20］ 以及微擾動差分生物地理學(xué)優(yōu)化算法（differential biogeography optimization algorithm based on micro-perturbation and mixed variation，MDEBBO） ［8］進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)。各算法的參數(shù)設(shè)置如表2所示。

為了更直觀地觀察對比各個算法的收斂速度、收斂精度以及算法跳出局部最優(yōu)的能力，圖4給出了SEBBO和基本BBO算法以及六種改進(jìn)BBO算法在函數(shù) f 3、f 4和f 8上的 收斂曲線圖，其中橫軸表示迭代次數(shù)，縱軸表示適應(yīng)度值。

從圖4可知，除圖4（e）外，無論在10維還是30維，SEBBO算法的表現(xiàn)最好。 f "3為簡單多模函數(shù)，圖4（a）（ D =10）和圖4（d）（ D=30）分別表示各算法在函數(shù)f 3不同 維度下的表現(xiàn)，分析可知SEBBO算法在簡單多模函數(shù)收斂精度更高，且不易陷入局部最優(yōu)，當(dāng)其他對比算法陷入局部最優(yōu)狀態(tài)時(shí)，SEBBO算法依舊在收斂，且收斂至最大迭代次數(shù)。 f "4為混合函數(shù)，圖4（b）（ D =10）和圖4（e）（ D =30）分別表示各算法在混合函數(shù)不同維度下的表現(xiàn)，分析圖4（b）可知，SEBBO算法收斂速度更快，收斂精度更高；分析圖4（e）可知，除LXBBO外，BBO算法及其他改進(jìn)BBO算法的表現(xiàn)都很優(yōu)秀，收斂速度快且結(jié)果接近理論最優(yōu)值。 f "8為組合函數(shù)，圖4（c）（ D =10）和圖4（f）（ D =30）分別表示各算法在函數(shù) f "8不同維度下的表現(xiàn)，分析圖4（c）（f）可知，SEBBO算法在組合函數(shù)的收斂速度更快，收斂精度更高，且SEBBO算法不易被局部最優(yōu)值所限制。綜上所述，相較于BBO算法及其改進(jìn)算法，SEBBO算法收斂速度更快，收斂精度更高，跳出局部最優(yōu)的能力更強(qiáng)。

表3、4為各算法對八個測試函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果。表中以平均數(shù)值和方差作為評價(jià)項(xiàng)，平均數(shù)值越小，則優(yōu)化效果越好。通過表3和4中粗體標(biāo)志出的結(jié)果可以看出，在10維和30維度下，除了單峰函數(shù)，其他不論對于簡單多模函數(shù)、混合函數(shù)還是組合函數(shù)，SEBBO均能夠取得較好的優(yōu)化效果。為了進(jìn)一步測試SEBBO與其他算法之間的顯著差異，使用Wilcoxon對各算法進(jìn)行驗(yàn)證，表5給出了在SEBBO和BBO及其變體之間應(yīng)用Wilcoxon檢驗(yàn)對不同維度函數(shù)的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果。其中 “n/w/t/l”分別表示在n 個函數(shù)上SEBBO算法取得了 w次性能更優(yōu)，t次性能相同，l次性能 更差。從表5可以看出，在10維、30維的情況下，SEBBO提供的 R+值高于R-。在α=0.05和α= 0.1的情況下，除TDBBO算法外，SEBBO算法在8個測試函數(shù)上的性能明顯優(yōu)于其他BBO算法的變體，然而實(shí)驗(yàn)表明SEBBO算法在單峰函數(shù)的表現(xiàn)差強(qiáng)人意?？傮w來說，SEBBO算法在簡單多模函數(shù)和混合函數(shù)以及組合函數(shù)中所表現(xiàn)出的效果明顯優(yōu)于基本BBO算法和其他BBO算法變體，可以得出結(jié)論，SEBBO是一種有效的改進(jìn)算法。

6 實(shí)際應(yīng)用及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，將其應(yīng)用于柔性作業(yè)車間調(diào)度問題（FJSP）［21］。FJSP每道加工工序的加工機(jī)器是不確定的，每個工件的每道工序可在多個不同機(jī)器之間進(jìn)行選擇，且不同機(jī)器所對應(yīng)的加工時(shí)間不同。由于它的這一柔性特征使問題更加貼近實(shí)際應(yīng)用，已在鋼鐵制造、化學(xué)工業(yè)、汽車制造等領(lǐng)域廣泛使用。

6.1 問題描述

假設(shè)一個 車間有m臺加工機(jī)器和n個工件，每個 工件有若干不等的工序待加工，工序的加工按照一定的順序進(jìn)行，每個工序的加工過程都可以在許多不同的機(jī)器上進(jìn)行，且所需加工時(shí)間不同。FJSP 的優(yōu)化目標(biāo)是為每個工序分配適當(dāng)?shù)臋C(jī)器，并對每臺機(jī)器上的工序加工順序進(jìn)行排序，以期實(shí)現(xiàn)給定目標(biāo)最優(yōu)。

本文以車間最大完工時(shí)間最小化為目標(biāo)所建立的混合0-1整數(shù)規(guī)劃模型如下：

minC max =max（ C ij ）

（21）

其中： C max表示工件的最大完工時(shí)間；C ij表示工件i的第j道工序的 完成時(shí)間。

對于該問題，考慮以下假設(shè)條件：a）工件和機(jī)器零時(shí)刻均為可用狀態(tài)；b）同一時(shí)刻同臺機(jī)器只可加工一道工序；c）工序加工是不可被中斷的；d）各工件加工優(yōu)先級相同；e）不同工件的工序之間相互獨(dú)立，同一工件的工序之間具有先后加工的確定關(guān)系。

6.2 編碼與解碼

根據(jù)FJSP的特點(diǎn)，每個個體的編碼分為機(jī)器編碼和工序編碼兩部分，兩部分組成一個染色體作為一個可行解決方案。

a）編碼方式。假 設(shè)某車間包含m個工件，每個工件有n個加工工序，則個體位置向量的總長度為2mn，位置向量的各值在［-m，m ］取值。

b）解碼方式。當(dāng)個體位置向調(diào)度方案轉(zhuǎn)換時(shí)，機(jī)器分配根據(jù)文獻(xiàn)［22］中所用的方法，使用式（22）將個體位置向量轉(zhuǎn)換為工序可選分配機(jī)器集的編號。

u（j）= round（ "1 2λ （x（j）+τ）（s（j）－1）+1） ""（22）

其中：u（j）表示個體j所分配機(jī)器在對應(yīng)的工序可選分配機(jī)器集的序號（1≤j≤l）；τ表示工件數(shù)；x（j）表示個體j的位置向量值；s（j）表示個體j對應(yīng)工序可選分配機(jī)器數(shù)；l表 示總工序數(shù)。

在個體位置向量向調(diào)度方案轉(zhuǎn)換時(shí)，工序排序部分采用文獻(xiàn)［23］中的排列順序規(guī)則ROV（ranked order value）。首先，將每個個體的位置向量值按照升序進(jìn)行排序，排序的次序便是 ROV值，按照ROV值所對應(yīng)的次序?qū)ο蛄恐档某跏脊ば蚓幪栠M(jìn)行排序，得到工序排序。

6.3 實(shí)驗(yàn)仿真及分析

為了驗(yàn)證所提算法在解決FJSP上的有效性，本文選取了部分Kacem和Brandimarte的基準(zhǔn)算例［21］進(jìn)行仿真，算例中工件數(shù)為4～20不等，機(jī)器數(shù)為5～15不等。將實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果分別與改進(jìn)貓群優(yōu)化算法（improved cat swarm optimization，ICSO） ［24］、啟發(fā)式算法（heuristic algorithm，HA） ［25］、多目標(biāo)進(jìn)化算法（multi-objective evolutionary optimization，MEO） ［21］及混合鯨魚優(yōu)化算法（improved whale optimization algorithm，IWOA） ［26］中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比，對比結(jié)果如表6、7所示，其中 n表示工件個數(shù)，m 表示機(jī)器數(shù)量，粗體表示同算例中算法結(jié)果的最優(yōu)值。在算例測試中，為了更好地發(fā)揮SEBBO的性能，參數(shù)設(shè)置為以下條件：種群數(shù)量為100，最大迭代次數(shù)800次，每個算例獨(dú)立運(yùn)行10次。

由表6、7可以看出，SEBBO算法在小規(guī)模Kacem算例下均能取得對比文獻(xiàn)中的最優(yōu)值，在Brandimarte這樣的大中型算例中，在MK1、MK3、MK4、MK7及MK8算例測試中均獲得了當(dāng)前的最優(yōu)值，在MK2、MK5及MK6中效果不太理想，但相差不大。值得一提的是，該算法在MK1和MK7中尋找到新的最優(yōu)值，如圖5所示。從表6、7的結(jié)果總體來看，SEBBO算法應(yīng)用于FJSP時(shí)效果良好。

7 結(jié)束語

本文提出了一種引入物種演化的改進(jìn)生物地理學(xué)優(yōu)化算法，旨在解決生物地理學(xué)優(yōu)化算法易發(fā)生早熟收斂、陷入局部最優(yōu)及變異算子破壞較優(yōu)解的問題。該算法考慮棲息地和棲息地之間的差異及整個棲息地的進(jìn)化情況，將所有棲息地按照物種數(shù)量進(jìn)行動態(tài)劃分，根據(jù)不同迭代次數(shù)針對不同類型棲息地選擇不同的策略進(jìn)行協(xié)同進(jìn)化。在基本變異策略的基礎(chǔ)上提出了一種雙策略協(xié)同變異算子，采用物種更迭和物種進(jìn)化兩種變異策略滿足多樣性，同時(shí)能夠減少對較優(yōu)解的破壞。實(shí)驗(yàn)表明，該算法在收斂速度、收斂精度和穩(wěn)定性等方面都有明顯的優(yōu)勢，且本算法不易被局部最優(yōu)值所限制。最后，將改進(jìn)算法應(yīng)用于柔性作業(yè)車間調(diào)度，證明了所提算法在解決 FJSP上的有效性。

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