尹力，王文龍

摘要：構(gòu)建一類合成毒品濫用者接受治療前后的傳染性模型.研究表明：當(dāng)R0<1時(shí)，時(shí)滯τ不影響無合成毒品濫用平衡點(diǎn)E0的穩(wěn)定性;當(dāng)R0>1時(shí)，合成毒品傳播平衡點(diǎn)E*產(chǎn)生純虛根條件.數(shù)值模擬驗(yàn)證了此結(jié)論.

關(guān)鍵詞：合成毒品;時(shí)滯;穩(wěn)定性;純虛根

[中圖分類號(hào)]O175[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

Dynamic Analysis of a Class of Synthetic Drug Propagation Model

YIN Li，WANG Wenlong

（College of Science，Northeast Forestry University，Harbin 150000，China）

Abstract：To model a class of synthetic drug abusers as infectious before and after treatment，Studies have shown that whenR0<1，the time delay τ does not affect the stability of equilibrium point E0 without synthetic drug abuse，and whenR0>1，the conditions for the production of pure imaginary roots of equilibrium point E* with synthetic drug propagation，The results are verified by numerical simulation.

Key words： synthetic drug;delay;stability;pure virtual root

毒品濫用狀況直接損害人類的身心健康.[1]自20世紀(jì)以來，國際上的毒品濫用狀況日漸嚴(yán)重，合成毒品逐漸滲入我國.[2]許多學(xué)者對(duì)傳統(tǒng)麻醉毒品模型的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究.2007年，White及Comiskey[3]建立了海洛因上癮傳染病模型.2011年，Samanta[4]等人建立了分布時(shí)滯的毒品模型.2013年，張玲和夏米西努爾[5]建立了隨機(jī)海洛因毒品傳播模型.2017年，李玉基和徐瑞[6]研究了一類具有分布時(shí)滯和飽和發(fā)生率的海洛因毒品傳播模型.劉朋燕[7]探究了一類考慮復(fù)吸的合成毒品傳播模型.

本文假設(shè)處于戒毒治療階段的合成毒品濫用者對(duì)易感者不具有傳染性，有吸毒史的易感者只有與合成毒品濫用者接觸才會(huì)發(fā)生復(fù)吸現(xiàn)象.為探究時(shí)間因素對(duì)復(fù)吸的影響，文中考慮接受治療合成毒品濫用者轉(zhuǎn)化成沒有接受治療合成毒品濫用者所需的時(shí)間，對(duì)劉朋燕[7]的模型添加時(shí)滯τ，得到如下模型：

S·=Λ-β1SI-μS

Q·=εI+δR-μQ-β2QI

I·=β1SI+β2QI+σR（t-τ）-b1I

R·=γI-b2R.（1）

其中，b1=ε+γ+μ，b2=δ+σ+μ.本文將分析轉(zhuǎn)化時(shí)間τ對(duì)系統(tǒng)的影響.

1平衡點(diǎn)的存在性

定義基本再生數(shù)為R0=b2β1Λμ（b1b2-γσ），則系統(tǒng)（1）始終存在無合成毒品濫用平衡點(diǎn)

E0=Λμ，0，0，0;若R0>1，系統(tǒng)（1）存在合成毒品傳播平衡點(diǎn)

E*=（S*，Q*，I*，R*）

其中，S*=Λβ1I*+μ，Q*=b2ε+δγb2（μ+β2I*）I*，R*=γb2I*，I*是存在且唯一的.

2平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

2.1系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E0=Λμ，0，0，0的穩(wěn)定性

系統(tǒng)（1）在E0處線性化系統(tǒng)的特征方程為

（λ+μ）2λ2+b1+b2-β1Λμλ+b1b2-β1Λμb2-γσe-λτ=0.（2）

定理1如果R0<1，則對(duì)任意的τ≥0，系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)E0=Λμ，0，0，0漸近穩(wěn)定.

證明將λ=iω0（ω0>0）代入特征方程（2）中解得：

ω0=12-β1Λμ-b12+b22+β1Λμ-b12+b222-4b1b2-β1Λμb22-γ2σ212

如果R0<1，則b1b2-β1Λμb2>γσ，從而特征方程（2）無純虛根，由參考文獻(xiàn)[8]可知，當(dāng)τ≥0時(shí)，方程（2）所有的根都具有負(fù)實(shí)部，即平衡點(diǎn)E0漸近穩(wěn)定，證畢.

2.2系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E*=（S*，Q*，I*，R*）的穩(wěn)定性

系統(tǒng)（1）在E*處線性化系統(tǒng)的特征方程為：

λ4+d3λ3+d2λ2+d1λ+d0+d4e-λτ=0.（3）

其中，A11=γσ，A12=γσA+γσB，A13=γσAB，A=β1I*+μ，B=μ+β2I*，C=β2I*γδ，

D=β2I*εb2，d0=ABb2b1-b2β1ΛB-2AC-2AD+Aβ2I*（C+D）B+β21I*ΛBb2A，

d1=Ab2b1-β1Λb2-A（C+D）B+ABb2+ABb1-β1ΛB-A（C+D）b2+Aβ2I*（C+D）b2B-Aβ2I*ε-

Bb2b1-β1ΛBb2A-2C-2D+β2I*（C+D）B+β21I*ΛBA+β21I*Λb2A，

d2=Ab2+Ab1-β1Λ-A（C+D）b2B+AB+b2b1-β1Λb2A-C+DB+Bb2+Bb1-β1ΛBA-C+Db2+

β2I*（C+D）b2B-β2I*ε+β22I*ΛA，

d3=A+B-C+Db2B-β1ΛA+b2+b1，

d4=-A11λ2+A12λ+A13.

將λ=iω0（ω0>0）代入特征方程（3）中：

Z4+f3X3+f2Z2+f1Z+f0=0.（4）

其中，Z=ω20;f3=d23-2d2;f2=d22+2d0-2d1d3-A211;f1=d21-2d0d2-A212+2A11A13;

f0=d20-A213.

運(yùn)用四次方程式的零點(diǎn)分布理論，得到以下結(jié)論：

引理1如果f0<0，則方程（4）至少有一個(gè)正根.

證明設(shè)F（Z）=Z4+f3Z3+f2Z2+f1Z+f0，f（0）=f0<0，并且limZ→∞f（Z）=∞，所以，存在Z0∈（0，∞），使得F（Z0）=0.

證畢.

引理2[9]假設(shè)f0≥0，

（1）如果G≥0，則方程（4）有正根，當(dāng)且僅當(dāng)Z1>0且F（Z1）<0;

（2）如果G<0，則方程（4）有正根，當(dāng)且僅當(dāng)至少存在一個(gè)Z*∈Z1，Z2，Z3，使Z*>0且F（Z*）≤0.

定理2（1）若R0>1且滿足引理1或引理2，則

a.當(dāng)τ=τj時(shí)，特征方程（3）存在一對(duì)純虛根±iω0，其中

τ0=1ω0arcsinA12ω0ω40-d2ω20+d0-d1ω0-d3ω30A13-A11ω20A212ω20+A11ω20+A132，

τj=1ω0ω0τ0+2jπ，j=1，2….

b.當(dāng)τ∈0，τ0時(shí)，系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)E*（S*，Q*，I*，R*）局部漸近穩(wěn)定.

（2）如果不滿足引理1和引理2，那么方程（3）所有的根，當(dāng)τ≥0都具有負(fù)實(shí)部，平衡點(diǎn)E*（S*，Q*，I*，R*）全局漸近穩(wěn)定.

證明（1）a.由引理1和2可知，方程（3）至少存在一個(gè)正實(shí)根，那么對(duì)于方程（4）來說，當(dāng)F（Z0）≠0時(shí)，存在正根ω0=Z使得方程（3）有一對(duì)純虛根±iω0，得到時(shí)滯臨界點(diǎn)

τ0=1ω0arcsinA12ω0ω40-d2ω20+d0-d1ω0-d3ω30A13-A11ω20A212ω20+A11ω20+A132，

τj=1ω0ω0τ0+2jπ，j=1，2….

b.若假設(shè)成立，當(dāng)τ∈0，τ0，滿足引理1和引理2中的任意一個(gè)條件時(shí)，方程（4）有正實(shí)根，從而方程（3）有一對(duì)純虛根，平衡點(diǎn)E*（S*，Q*，I*，R*）局部漸近穩(wěn)定.

（2）如果不滿足引理1和引理2的條件，由參考文獻(xiàn)[9]的定理2.3可知，當(dāng)τ≥0，方程（3）都具有負(fù)實(shí)部，平衡點(diǎn)E*（S*，Q*，I*，R*）全局漸近穩(wěn)定.

證畢.

3數(shù)值模擬給出模型（1）的數(shù)值模擬，驗(yàn)證結(jié)論.

由定理1可知，當(dāng)R0<1時(shí)，對(duì)于τ≥0，平衡點(diǎn)E0漸近穩(wěn)定.

取Λ=1，β1=0.01，μ=0.025，ε=0.01，

δ=0.9，β2=0.01，σ=0.000 02，γ=0.8，計(jì)算可得：R0=0.479 052，Λμ，0，0，0=（40，0，0，0），取初值為（1，0，0，0），取時(shí)間范圍[0，400]，取

τ=0.3時(shí)，E0Λμ，0，0，0漸近穩(wěn)定，見圖1.

由引理2和定理2可知，若f0≥0，G≥0，當(dāng)且僅當(dāng)Z1>0且F（Z1）<0，平衡點(diǎn)E*（S*，Q*，I*，R*）局部漸近穩(wěn)定.

取Λ=1.2，β1=0.82，μ=0.025，ε=0.5，δ=0.9，β2=0.74，σ=0.000 02，γ=0.7，計(jì)算得：R0=32.131 009，f0=295.457 213，G=9.030 268，Z1=4 454.155 426，τ0=59.275，F(xiàn)（Z1）=-573 368 486 819 321，（S*，Q*，I*，R*）=（0.055 401，1.593 995，26.384 436，19.966 168）取初值為（2，0，0，0），取時(shí)間范圍為[0，400]，取τ=5∈0，τ0時(shí)，平衡點(diǎn)E*（S*，Q*，I*，R*）局部漸近穩(wěn)定，見圖2.

由定理2可知，如果不滿足引理1和引理2，那么方程（3）所有的根，當(dāng)τ≥0都具有負(fù)實(shí)部，平衡點(diǎn)E*（S*，Q*，I*，R*）全局漸近穩(wěn)定.

取Λ=1.2，β1=0.01，μ=0.020 1，ε=0.001，δ=0.9，β2=0.001，σ=0.810 02，γ=0.99，通過計(jì)算可得：R0=1.090 25，f0=0.000 000 026 093，G=-0.037 7，Z1=-1.439 88，Z2=-3.972 748，F(xiàn)（Z1）=-4.632 551，F(xiàn)（Z2）=-52.823 798，Z3=-1.807 691，F(xiàn)（Z3）=-7.255 297，（S*，Q*，I*，R*）=（9.581，177.5，10.51，6.012）取初值為（2，2，0，0），取時(shí)間范圍為[0，800]，取τ=20時(shí)，平衡點(diǎn)E*（S*，Q*，I*，R*）全局漸近穩(wěn)定，見圖3.

4結(jié)論

考慮合成毒品對(duì)人體的危害及復(fù)吸發(fā)生可能性的增加，構(gòu)建一類合成毒品濫用者接受治療

前后的傳染性模型.通過對(duì)系統(tǒng)的分析，分別給出無合成毒品濫用和合成毒品濫用平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定和局部漸近穩(wěn)定的條件，模擬驗(yàn)證了所得結(jié)論.從基本再生數(shù)的表達(dá)式中也可以看出，感染率會(huì)影響毒品濫用人數(shù)，其數(shù)值越小，合成毒品濫用人數(shù)越少，有吸毒史但已經(jīng)戒毒的人數(shù)就會(huì)越多.因此，應(yīng)多鼓勵(lì)合成毒品濫用者接受治療，提高治療率，關(guān)注戒毒人員的心理狀態(tài)，引導(dǎo)其健康的生活方式，防止復(fù)吸現(xiàn)象的發(fā)生.

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編輯：琳莉