● 華中師范大學(xué)附屬保利南湖小學(xué) 危 雄

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中提出的十個(gè)核心概念中，“數(shù)感”居于首位，它是形成和發(fā)展運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)分析能力和推理能力等各種數(shù)學(xué)能力的前提和基礎(chǔ)。

《標(biāo)準(zhǔn)》 中指出：“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中“數(shù)”的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?！边@一表述，對數(shù)感進(jìn)行了界定，對其作用進(jìn)行了描述，但還是略顯抽象，我們不妨先來看兩個(gè)例子。

案例1：一位學(xué)生計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)后進(jìn)行展示。

（15+17+14+16+18）÷5

= 90÷5

= 18

另一位學(xué)生立刻舉手示意這位學(xué)生肯定算錯(cuò)了，他認(rèn)為，這組數(shù)中最大的數(shù)才是18，平均數(shù)不可能是18。在這組數(shù)中，平均數(shù)不可能等于最大數(shù)，這就是數(shù)感。數(shù)感好的學(xué)生，往往能對數(shù)學(xué)問題作出更迅速、準(zhǔn)確的判斷。

案例2：在一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出：如果我們能夠把一張紙對折27次，那么，它的厚度就可以超過世界最高峰的高度，你們相信嗎？

學(xué)生表示出強(qiáng)烈的質(zhì)疑，他們難以相信，薄薄的一張紙的簡單對折，怎么可能會達(dá)到世界最高峰的高度。直觀感覺與計(jì)算結(jié)果之間產(chǎn)生了一個(gè)巨大的反差，吸引學(xué)生投入到接下來的數(shù)學(xué)探索活動(dòng)中。

對紙對折后的厚度進(jìn)行想象，其實(shí)也是一種數(shù)感，當(dāng)這種數(shù)感與新信息產(chǎn)生沖突時(shí)，會刺激學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的好奇心和探索欲，進(jìn)而使學(xué)生以極大的熱情投入到學(xué)習(xí)活動(dòng)中。

可以看出，在數(shù)學(xué)的教與學(xué)中，數(shù)感都發(fā)揮著重要作用，下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)。

一、在數(shù)的認(rèn)識中完善數(shù)感

對數(shù)的認(rèn)識是數(shù)感培養(yǎng)的基礎(chǔ)，學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識是逐漸“豐滿”起來的，在這個(gè)過程中，教師應(yīng)抓住機(jī)會，完善他們的數(shù)感。

（一）從數(shù)字到數(shù)位

學(xué)生對整數(shù)的認(rèn)識要經(jīng)歷數(shù)字、數(shù)位、數(shù)級三個(gè)階段。

數(shù)字：數(shù)字的認(rèn)識，包含讀法、寫法、組成等，這些是顯性的；還包含著對應(yīng)關(guān)系，不同的表達(dá)方式等，這些是隱性的。將這些顯性與隱性的認(rèn)識合起來，就組成了對數(shù)字的數(shù)感。

數(shù)位：數(shù)位的體驗(yàn)源自“滿十進(jìn)一”，因?yàn)椤皾M十進(jìn)一”，所以同樣的數(shù)字，在前一位上表示的大小是后一位上表示的大小的10倍，也就是所謂的“十進(jìn)制”，不同位置表示不同大小，這就整合成了對數(shù)位的數(shù)感。

數(shù)級：數(shù)級的概念是在較大數(shù)的認(rèn)識中建立起來的。因?yàn)橛辛藬?shù)位，以及由個(gè)位、十位、百位、千位四個(gè)數(shù)位組成的數(shù)級，有限的數(shù)字可以寫出無窮多的數(shù)。這種體會就構(gòu)成了對數(shù)級的數(shù)感。

（二）從一個(gè)到半個(gè)

在整數(shù)中，計(jì)數(shù)單位都是由1組成的，到了分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，這個(gè)規(guī)律就被打破了，分?jǐn)?shù)在計(jì)數(shù)時(shí)是半個(gè)半個(gè)數(shù)（如二分之一），小半個(gè)小半個(gè)數(shù)（如三分之一、四分之一……），它們不是由1組成的，而是由1分解而來的。還有對單位“1”的認(rèn)識，這個(gè)單位“1”可以是1個(gè)物體，也可以是許多個(gè)物體，“1”從一個(gè)數(shù)變成了一個(gè)“單位”。這些認(rèn)識的突破、差別的體會是豐富學(xué)生數(shù)感的機(jī)會。

（三）從精確到近似

數(shù)數(shù)，是一一對應(yīng)的。如在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)就對應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，但是，認(rèn)識了近似數(shù)后，數(shù)就表示一個(gè)區(qū)間了。比方說，一個(gè)數(shù)的近似數(shù)是20，它對應(yīng)的不再是一個(gè)點(diǎn)，而是從15到24之間的一條線。這種對學(xué)生原有認(rèn)識的挑戰(zhàn)，也是一次發(fā)展學(xué)生數(shù)感的機(jī)會。

（四）從確定到可能

有些數(shù)的大小是確定的，但也有一些數(shù)是不確定的，比方說一個(gè)蘋果，我們不知道它的質(zhì)量，可以說這個(gè)蘋果的重量是x克，用字母來表示不確定的數(shù)。將數(shù)學(xué)的抽象、簡潔之美展現(xiàn)在學(xué)生面前，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

（五）從絕對到相對

認(rèn)識“負(fù)數(shù)”之后，數(shù)不僅可以表示“多”與“少”，還可以表示一種標(biāo)準(zhǔn)，這是對數(shù)的認(rèn)識的又一次突破。比如，0攝氏度不是沒有溫度，而是一個(gè)分界線，因此，數(shù)就有了相對性。又如，三個(gè)同學(xué)的身高分別是150厘米、145厘米和140厘米，如果以第二個(gè)同學(xué)的身高145厘米為標(biāo)準(zhǔn)，那么第一個(gè)同學(xué)的身高就可以表示為5，第三個(gè)同學(xué)的身高就可以表示為-5。這種體驗(yàn)，也會成為數(shù)感的一部分。

二、在經(jīng)驗(yàn)積累中強(qiáng)化數(shù)感

在學(xué)習(xí)和生活中，學(xué)生積累的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)越豐富，對數(shù)就會越敏感，數(shù)感也就越強(qiáng)。

（一）重視直觀感知

老師可以讓學(xué)生了解：操場跑道的長度大約是多少？跑一圈大概需要多長時(shí)間？操場的面積有多大？操場上能站多少名學(xué)生？一捧綠豆大約有多少粒？一捧綠豆大約重多少克……引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中充分體驗(yàn)，提高他們對物體數(shù)量直觀感知的準(zhǔn)確性，從而強(qiáng)化數(shù)感。

再如，引導(dǎo)學(xué)生把1米和10米進(jìn)行對比，一大捆小棒與一小捆小棒進(jìn)行對比，一袋糖與幾顆糖進(jìn)行對比……讓他們在觀察、比較的過程中，感受大數(shù)與小數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，為今后進(jìn)行數(shù)量判斷積累經(jīng)驗(yàn)。

（二）了解生活常識

以速度為例，一般人步行的速度是每小時(shí)3到4千米；百米賽跑的世界紀(jì)錄是9秒多，也就是每秒可以跑10米多；小汽車在市區(qū)行駛的速度大概是每小時(shí)30到40千米左右，在高速上可以開到每小時(shí)100多千米；高鐵的速度可以達(dá)到每小時(shí)300千米……學(xué)生了解到這些常識，就能在解決問題時(shí)，對相關(guān)數(shù)據(jù)的可能范圍進(jìn)行預(yù)估，對其合理性進(jìn)行判斷，使數(shù)感得到加強(qiáng)。

再如，讓學(xué)生通過調(diào)查、討論，弄清楚身份證號、學(xué)號、住址的郵政編碼、門牌號、手機(jī)號、汽車牌照號、火車票上車次號的規(guī)律和意義，可以幫助他們對生活中的數(shù)字信息作出合理的推斷與解釋，能更快、更有效地提取環(huán)境中的數(shù)字信息，建立良好的數(shù)感。

（三）記住特殊例子

如一些特殊的數(shù)：100以內(nèi)因數(shù)個(gè)數(shù)最多并且最小的數(shù)是60，這也是為什么規(guī)定1小時(shí)是60分鐘的原因；1、2、3……9、10的最小公倍數(shù)是2520，這也是金字塔內(nèi)神秘的數(shù)；1001可以分解為7、11、13這三個(gè)數(shù)的乘積，所以把任意一個(gè)三位數(shù)連續(xù)寫兩次得到的六位數(shù)，一定是7、11、13的倍數(shù)……

再如，一些特殊的規(guī)律：相同的日期，隔一年星期數(shù)會增加1；正方形的面積等于對角線的平方除以2；一個(gè)奇數(shù)的平方除以8一定是余1的……

記住這些特殊的例子，一是可以引導(dǎo)學(xué)生探索其背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，加深學(xué)生對數(shù)的理解；二是可以利用這些經(jīng)驗(yàn)，更靈活地作出數(shù)學(xué)判斷，形成更有效的策略。這些都能促使學(xué)生的數(shù)感得到進(jìn)一步發(fā)展。

三、在計(jì)算教學(xué)中鞏固數(shù)感

數(shù)感是可以“算出來”的，計(jì)算是培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)感的重要途徑。在計(jì)算過程中，數(shù)感好的學(xué)生往往能表現(xiàn)出更多的靈活性和創(chuàng)造性。

（一）弄清算理

在學(xué)計(jì)算時(shí)，算理是關(guān)鍵，教師可以讓學(xué)生結(jié)合具體情境理解算理，算理弄清楚了，各種新穎獨(dú)特的算法就產(chǎn)生了。

以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例，一支鋼筆32元，12支鋼筆多少元呢？列式是32×12。計(jì)算時(shí)，我們可以先算10支鋼筆的錢數(shù)，再算2支鋼筆的錢數(shù)，最后加起來。所以計(jì)算時(shí)就可以變成：

32×12=32×10+32×2=320+64=384。

這其實(shí)就是最基本的乘法計(jì)算的算理，弄清楚后，就可以很容易理解豎式的含義，還能引出許多簡單、有趣的計(jì)算方法。

比如，一個(gè)兩位數(shù)乘11的方法，可總結(jié)為“兩頭一拉，中間一加”。以“32×11”為例，將數(shù)字3、2分別寫在百位和個(gè)位，3與2的和寫在十位，就得到其結(jié)果352。

再比如，一個(gè)兩位數(shù)乘101，只需要把這個(gè)兩位數(shù)連續(xù)寫兩遍就可以了。如計(jì)算32×101的結(jié)果，就是把32連續(xù)寫兩遍，得到3232。

算理弄清楚了，學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然，這樣計(jì)算的過程就會變得豐富多彩，數(shù)感也會越來越好。

（二）鼓勵(lì)心算

如果教師在教學(xué)中經(jīng)常要求學(xué)生使用心算，而不是豎式，學(xué)生就會積極進(jìn)行計(jì)算策略的選擇，而這個(gè)選擇過程其實(shí)就是不斷地尋找數(shù)與數(shù)之間聯(lián)系的過程。

例如：當(dāng)學(xué)生看到99時(shí)，可以想到90+9，100-1，11×9，33×3……

于是，當(dāng)他計(jì)算99+54時(shí)，會把99看作100，加上54后再減1，心算一下就知道結(jié)果是153；當(dāng)他計(jì)算99+55+22+44，會發(fā)現(xiàn)這些數(shù)都是11的倍數(shù)，一共是20個(gè)11，也就是220。

學(xué)生建立的數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系越多，計(jì)算的方法也就越多樣，過程就會越來越擺脫模式的限制，從而數(shù)感也就越強(qiáng)。

（三）加強(qiáng)估算

數(shù)感與估算都有一種模糊性，兩者有著密切的關(guān)聯(lián)。同時(shí)，估算也能反映學(xué)生對情境中數(shù)的范圍與數(shù)量間關(guān)系的一種大致理解。

例如：一本書48元，買106本書需要準(zhǔn)備多少元？學(xué)生可能會采用不同的估算方法：

（1）48×106≈50×106=5300元

（2）48×106≈48×100=4800元

（3）48×106≈50×100=5000元

（4）48×106≈50×110=5500元

以上幾種估算方法，哪一種更合理一些呢？

第二種估法算起來方便，但把結(jié)果估小了，帶的錢肯定不夠用；第三種估法，把一個(gè)乘數(shù)估大一些，一個(gè)乘數(shù)估小一些，估出的結(jié)果應(yīng)該是和準(zhǔn)確值最接近的，但也可能存在帶的錢不夠的情況；第四種估法，錢肯定是夠了，但與準(zhǔn)確值相差會比較大；相對來說，第一種估法是比較合適的。

所以，在對計(jì)算結(jié)果的估計(jì)過程中，學(xué)生知道估算時(shí)不僅要使計(jì)算方便，結(jié)果盡量準(zhǔn)確，而且要符合實(shí)際情況，這樣數(shù)感就得到了鍛煉。

四、在解決問題中激活數(shù)感

絕大多數(shù)實(shí)際問題都會涉及數(shù)，在應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決問題的過程中，自然而然地會用數(shù)感進(jìn)行推理思考，使數(shù)感得到激活。

（一）在生活情境中用出數(shù)感

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在解決問題時(shí)，自覺搜索與之匹配的數(shù)量關(guān)系，建立它們之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)思維理解現(xiàn)實(shí)問題，從而發(fā)展數(shù)感。

例如：下面是我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤的介紹，請你從括號中選擇合適的數(shù)把它補(bǔ)充完整。

陳景潤爺爺是中國著名數(shù)學(xué)家，他出生于_____年。

陳景潤爺爺主要從事解析數(shù)論方面的研究，他廢寢忘食，每天工作_____小時(shí)以上，_____世紀(jì)_____年代對高斯圓內(nèi)格點(diǎn)、球內(nèi)格點(diǎn)、塔里問題與華林問題作了重要改進(jìn)，_____年_____月證明了命題“1+2”，將_____多年來人們未能解決的哥德巴赫猜想的證明大大推進(jìn)了一步，這一結(jié)果被國際上譽(yù)為“陳氏定理”。

_____年陳景潤爺爺去世，年僅_____歲。

（5、12、20、50、63、200、1933、1966、1996）

在選數(shù)填空的過程中，學(xué)生要結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，進(jìn)行細(xì)致周到的考慮，使數(shù)感得到加強(qiáng)。

再如，一個(gè)學(xué)校有1500名學(xué)生，如果每人每天浪費(fèi)1張紙，一年會浪費(fèi)多少張紙？這相當(dāng)于鋸掉了多少棵樹？這個(gè)問題的解決過程，就是學(xué)生用數(shù)學(xué)思維理解和解釋現(xiàn)實(shí)生活、處理有關(guān)問題的過程，也是一個(gè)數(shù)感提升的過程。

（二）在對話交流中悟出數(shù)感

對話包含表達(dá)與傾聽，表達(dá)需要組織語言，學(xué)生能不斷優(yōu)化自己的想法；傾聽則能獲得啟示，在交流過程中，學(xué)生的數(shù)感能自然而然地得到增強(qiáng)。

例如：每輛小火車乘6人，全班49人至少要租幾輛小火車？怎樣乘坐小火車比較合理？

生1：這個(gè)問題簡單，49÷6=8（輛）……1（人），8輛就夠了。

生2：不對，不對，應(yīng)該租9輛，每輛乘6人，8輛可乘48人，還有1個(gè)人乘第9輛。

生3：我覺得租9輛肯定是沒問題的，但最后1輛只坐1個(gè)人不大合理，每輛小火車上坐的人應(yīng)盡量平均才最好。

生4：是的，是的，我覺得可以前4輛小火車每輛坐6人，后5輛小火車每輛坐5人。

在對這個(gè)問題的討論過程中，學(xué)生互相啟發(fā)，從租8輛到租9輛，再到人員的合理安排，他們的思考經(jīng)歷了三個(gè)不同的層次，在交流中真切地體會到了解決問題時(shí)應(yīng)結(jié)合實(shí)際情況作出合理決策，從而加深了數(shù)感。

（三）在開放問題中練出數(shù)感

在解決問題的過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，自己“存儲”了哪些與之相關(guān)的知識，怎樣用這些知識解決問題，在問題解決的過程中活躍數(shù)感。

例如：一個(gè)班有男生24人，__________，女生有多少人？要求學(xué)生根據(jù)這些信息，補(bǔ)充一個(gè)條件，求出女生有20人。

這個(gè)開放的問題為學(xué)生提供了廣闊的思維空間，不同學(xué)生的答案也顯示出數(shù)感的不同層次。

第一類：男生比女生多4人、女生比男生少4人；

第二類：女生比男生的一半多8人、男生是女生的2倍少16人；

第三類：男生是女生的6/5、女生是男生的5/6；

第四類：男生比女生多1/5、女生比男生少1/6；

…………

這樣的訓(xùn)練不僅鞏固了不同類型數(shù)學(xué)問題的解決方法，又使得學(xué)生的數(shù)感更加敏銳。

總之，數(shù)感的培養(yǎng)是小學(xué)數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一，它是一個(gè)長期訓(xùn)練的過程，教師要善于挖掘教材以及生活中的資源，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。